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- 2021-05-13 发布
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专题 7.1 不等式关系与不等式解法、基本不等式及应用
【三年高考】
1.【201.7 高考江苏】某公司一年购买某种货物 600 吨,每次购买吨,运费为 6 万元/次,一
年的总存储费用为 万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则的值是 ▲ .
【答案】30
【解析】总费用为 ,当且仅当 ,即 时
等号成立.
【考点】基本不等式求最值
【名师点睛】在利用基本不等式求最值时,要特别注意“拆、拼、凑”等技巧,使其满足基
本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等
号取得的条件)的条件才能应用,否则会出现错误.
2.【2015 高考江苏,7】不等式 的解集为________.
【答案】
【解析】由题意得: ,解集为
3.【2013 江苏,理 11】已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x>0 时,f(x)=x2-4x,则不
等式 f(x)>x 的解集用区间表示为__________.
【答案】(-5,0)∪(5,+∞).
【解析】∵函数 f(x)为奇函数,且 x>0 时,f(x)=x2-4x,则 f(x)= ∴原
不等式等价于 或
由此可解得 x>5 或-5<x<0.
故应填(-5,0)∪(5,+∞)..
4. 【2017 山东,理 7】若 ,且 ,则下列不等式成立的是
(A) (B)
(C) (D)
4x
600 9004 6 4( ) 4 2 900 240x xx x
+ × = + ≥ × = 900x x
= 30x =
2
2 4x x− <
( 1,2).−
2 2 1 2x x x− < ⇒ − < < ( 1,2).−
2
2
4 , 0,
0, 0,
4 , 0,
x x x
x
x x x
− >
=
− − <
2
0,
4 ,
x
x x x
>
− > 2
0,
4 ,
x
x x x
<
− − >
0a b> > 1ab =
( )2
1 log2a
ba a bb
+ < < + ( )2
1log2a
b a b a b
< + < +
( )2
1 log 2a
ba a bb
+ < + < ( )2
1log 2a
ba b a b
+ < + <
【答案】B
【考点】1.指数函数与对数函数的性质.2.基本不等式.
【名师点睛】比较幂或对数值的大小,若幂的底数相同或对数的底数相同,通常利用指数函数
或对数函数单调性进行比较,若底数不同,可考虑利用中间量进行比较.本题虽小,但考查的知
识点较多,需灵活利用指数函数、对数函数的性质及基本不等式作出判断.
5 .【 2017 天 津 , 理 8 】 已 知 函 数 设 , 若 关 于 x 的 不 等 式
在 R 上恒成立,则 a 的取值范围是
(A) (B) (C) (D)
【答案】
(当 时取等号),
2 3, 1,
( ) 2 , 1.
x x x
f x
x xx
− + ≤= + >
a∈R
( ) | |2
xf x a≥ +
47[ ,2]16
− 47 39[ , ]16 16
− [ 2 3,2]− 39[ 2 3, ]16
−
A
2 22 22 2
x x
x x
+ ≥ × = 2x =
所以 ,
综上 .故选 A.
【考点】不等式、恒成立问题
【名师点睛】首先满足 转化为 去解决,由于涉及分
段函数问题要遵循分段处理原则,分别对的两种不同情况进行讨论,针对每种情况根据的范
围,利用极端原理,求出对应的的范围.
6.【2017 天津,理 12】若 , ,则 的最小值为___________.
【答案】
【解析】 ,(前一个等号成立条件是
, 后 一 个 等 号 成 立 的 条 件 是 , 两 个 等 号 可 以 同 时 取 得 , 则 当 且 仅 当
时取等号).
【考点】均值不等式
【名师点睛】利用均指不等式求最值要灵活运用两个公式,(1) ,当
且仅当 时取等号;(2) , ,当且仅当 时取等号;首先要
注意公式的使用范围,其次还要注意等号成立的条件;另外有时也考查利用“等转不等”“作
乘法”“1 的妙用”求最值.
7.【2016 高考浙江理数改编】已知 a,b,c 是实数,则下列命题①“若|a2+b+c|+|a+b2+c|≤
1,则 a2+b2+c2<100”;
② “ 若 |a2+b+c|+|a2+b–c| ≤ 1 , 则 a2+b2+c2<100 ”;③ “ 若 |a+b+c2|+|a+b–c2| ≤ 1 , 则
a2+b2+c2<100”;④“若|a2+b+c|+|a+b2–c|≤1,则 a2+b2+c2<100”中正确的是 .
【答案】④
2 3 2a− ≤ ≤
47 216 a− ≤ ≤
( ) 2
xf x a≥ + ( ) ( )2 2
x xf x a f x− − ≤ ≤ −
,a b∈R 0ab >
4 44 1a b
ab
+ +
4 4 2 24 1 4 1 1 14 2 4 4a b a b ab abab ab ab ab
+ + +≥ = + ≥ ⋅ =
2 22a b= 1
2ab =
2 22 2,2 4a b= =
2 2, , 2a b R a b ab∈ + ≥
a b= ,a b R+∈ 2a b ab+ ≥ a b=
考点:不等式的性质.
【方法点睛】对于判断不等式恒成立问题,一般采用举反例排除法.解答本题时能够对四个
选项逐个利用赋值的方式进行排除,确认成立的不等式.
8.【2016 高考上海理数】设 x ,则不等式 的解集为__________.
【答案】
【解析】
试题分析:
由题意得: ,即 ,故解集为 .
考点:绝对值不等式的基本解法.
【名师点睛】解绝对值不等式,关键是去掉绝对值符号,进一步求解,本题也可利用两边平
方的方法.本题较为容易.
9.【2015 高考陕西,理 9】设 ,若 , ,
,则 的大小关系是_____________.
【答案】
10.【2015 高考湖北,理 10】设 , 表示不超过 的最大整数. 若存在实数,使得 ,
,…, 同时成立,则正整数的最大值是_________.
【答案】4
【解析】因为 表示不超过 的最大整数.由 得 ,由 得 ,由
R∈ 13 <−x
(2,4)
1 3 1x− < − < 2 4x< < (2,4)
( ) ln ,0f x x a b= < < ( )p f ab= ( )2
a bq f
+=
1 ( ( ) ( ))2r f a f b= + , ,p q r
p r q= <
x∈R [ ]x x [ ] 1t =
2[ ] 2t = [ ]nt n=
[ ]x x 1][ =t 21 <≤ t 2][ 2 =t 32 2 <≤ t
得 ,所以 ,所以 ,由 得 ,所以
,由 得 ,与 矛盾,故正整数的最大值是 4.
11.【2015 高考四川,理 9】如果函数 在区
间 上单调递减,则 mn 的最大值为__________.
【答案】18
12.【2015 高考天津,文 12】已知 则当 a 的值为 时
取得最大值.
【答案】4
【2018 年高考命题预测】
纵观 2017 各地高考试题,对不等式关系与不等式解法、基本不等式及应用的考查,主要考查
不等式性质、不等关系、二次不等式解法、基本不等式及其应用,高考中一般会以小题形式
形式考查,个别省市在大题中考查不等式的应用.对不等式性质的考查,要注意不等式性质
运用的条件,以及与函数交汇考查单调性,一般是选填题,属于容易题.对不等关系的考查,
要培养将实际问题抽象为不等关系的能力,从而利用数学的方法解决,一般是选填题,部分
省市在大题中出现,属于容易题或中档题.对不等式解法的考查,主要是二次不等式的解法,
往往与集合知识交汇考查,注意含参数的二次不等式的解法.对基本不等式及其应用的考查,
会涉及求函数的最值问题,或者将实际问题抽象出数学最优化问题,利用基本不等式求解. 不
3][ 4 =t 54 4 <≤ t 52 2 <≤ t 52 2 <≤ t 3][ 3 =t 43 3 <≤ t
546 5 <≤ t 5][ 5 =t 65 5 <≤ t 546 5 <≤ t
( ) ( ) ( ) ( )21 2 8 1 0 02f x m x n x m n= − + − + ≥ ≥,
1 22
,
0, 0, 8,a b ab> > = ( )2 2log log 2a b⋅
等式几乎能与所有数学知识建立广泛的联系,通常以不等式与函数、三角、向量、数列、解
析几何、数列的综合问题的形式出现,尤其是以导数或向量为背景的导数(或向量)、不等式、
函数的综合题和有关不等式的证明或性质的代数逻辑推理题.问题多属于中档题甚至是难题,
对不等式的知识,方法与技巧要求较高.预测 2018 年可能有一道选择或者填空出现,考查不
等式的解法,或不等式的性质,或基本不等式,也可能与导数结合出一道解答题.
【2018 年高考考点定位】
高考对不等式关系与不等式解法、基本不等式及应用的考查有以下几种主要形式:一是考查
不等式的性质;二是不等式关系;三是不等式解法;四是基本不等式及应用,其中经常与函
数、方程等知识的相联系.
【考点 1】不等式性质
【备考知识梳理】
1.不等式的基本性质:(1) (2) (3)
, (4)
2.不等式的运算性质:(1)加法法则:
(2)减法法则: ,(3)乘法法则:
(4)除法法则: ,(5)乘方法则:
(6)开方法则:
【规律方法技巧】
1.判断一个关于不等式的命题的真假时,先把要判断的命题与不等式性质联系起来考虑,找
到与命题相近的性质,并应用性质判断命题的真假,当然判断的同时可能还要用到其他知识,
比如对数函数、指数函数的性质.
2.特殊值法是判断命题真假时常用到的一个方法,在命题真假未定时,先用特殊值试试,可
以得到一些对命题的感性认识,如正好找到一组特殊值使命题不成立,则该命题为假命题.
【考点针对训练】
a b b a> ⇔ < ,a b b c a c> > ⇒ >
a b c a c b+ < ⇔ < − a b a c b c> ⇔ + > +
0
0
0
c ac bc
a b c ac bc
c ac bc
> ⇒ >
> = ⇒ =
< ⇒ <
,a b c d a c b d> > ⇒ + > +
,a b c d a d b c> > ⇒ − > −
0, 0 0a b c d ac bd> > > > ⇒ > >
0, 0 0a ba b c d d c
> > > > ⇒ > >
0 0( , 2)n na b a b n N n> > ⇒ > > ∈ ≥
0 0( , 2)n na b a b n N n> > ⇒ > > ∈ ≥
1.如果 ,那么下列不等式① ② ③ ④ 成立的
是 .
【答案】④
【解析】因 ,故 ,①错,④正确,
,②错; ,③
错.
2. 设 ,则下列不等式① ② ③ ④ 成立的是 .
【答案】④
【解析】取 ,代入可知①②③错,又∵ ,∴
,故选④.
【考点 2】不等关系
【备考知识梳理】
在日常生产生活中,不等关系更为普遍,利润的优化、方案的设计等方面都蕴含着不等关系,
再比如几何中的两点之间线段最短,三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边等等,
用数学中的不等式表示这些不等关系,建立数学模型,利用数学知识解决现实生活的不等关
系.
【规律方法技巧】
区分不等关系与不等式的异同,不等关系强调的是关系,可用符号 表示,而不
等式则是表现两者的不等关系,可用 等式子表示,不等关系
是通过不等式表现.
【考点针对训练】
1.若 a,b,c 为实数,且 ,则下列不等式① ② ③ ④
正确的是 .
【答案】④
【解析】试题分析:因为 ,所以 即 , 均不成立;当
时, 不成立;故填④.
2.已知定义域为 R 的奇函数 的导函数为 ,当 时,
0a b< < 1 1
a b
< 2ab b< 2ab a− < − 1 1
a b
− < −
0a b< < 1 1 0b a
a b ab
−− = > 1 1
a b
⇒ >
2 2( )b ab b b a b ab− = − ⇒ < 2 2 2( ) 0a ab a a b a ab a ab− = − > ⇒ > ⇒ − < −
10 <<< ba 3 3a b> 1 1
a b
< 1ba > ( )lg 0b a− <
1 1,4 2a b= = 10 <<< ba
( )0 1 lg 0b a b a< − < ∴ − <
,> < ≠ ≥ ≤, , ,
,aa b b b b b> < ≠ ≥ ≤,a , a , a
0a b< < 2 2ac bc< 1 1b a
a b
2 2a ab b> >
0a b< < 1 1> , 1, 1,b a
a b a b
< > 1 1b a
a b
2 0c = 2 2ac bc<
( )y f x= ( )y f x′= 0x ≠
,若 ,则 的大小关
系正确的是______________.
【答案】
【考点 3】一元二次不等式解法
【备考知识梳理】
对于一元二次方程 的两根为 且 ,设 ,它的
解按照 , , 可分三种情况,相应地,二次函数 的
图像与 轴的位置关系也分为三种情况.因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式
或 的解集.
二次函数
( )的图象
有两相异实根 有两相等实根
无实根
【规律方法技巧】
( ) ( )
0f xf x x
′ + > ( )1 1 1 1, 2 2 , ln ln2 2 2 2a f b f c f = = − − = , ,a b c
a c b< <
2 0( 0)ax bx c a+ + = > 1 2x x、 1 2x x≤ acb 42 −=∆
0>∆ 0=∆ 0<∆ 2y ax bx c= + + ( 0)a >
x
2 0ax bx c+ + > ( 0)a > 2 0ax bx c+ + < ( 0)a >
2 4b ac∆ = − 0>∆ 0=∆ 0<∆
cbxaxy ++= 2
0>a
2 0
( 0)
ax bx c
a
+ + =
> 的根 )(, 2121 xxxx <
a
bxx 221 −==
的解集)0(
02
>
>++
a
cbxax { }21 xxxxx >< 或
−≠
a
bxx 2 R
的解集)0(
02
>
<++
a
cbxax { }21 xxxx << ∅ ∅
1.解一元二次不等式首先要看二次项系数 a 是否为正;若为负,则将其变为正数;
2.若相应方程有实数根,求根时注意灵活运用因式分解和配方法;
3.写不等式的解集时首先应判断两根的大小,若不能判断两根的大小应分类讨论;
4.根据不等式的解集的端点恰为相应的方程的根,我们可以利用韦达定理,找到不等式的解
集与其系数之间的关系;
5.若所给不等式最高项系数含有字母,还需要讨论最高项的系数.
【考点针对训练】
1.已知关于 的不等式 的解集为 .
(1)求 的值;
(2)当 时,解关于 的不等式 (用表示).
的解集为 ,当 时,所求不等式的解集为 ,当 时,所求
不等式的解集为 .
2.若不等式 对任意满足 的实数 恒成立,则实数的最大值
为 .
【答案】
【考点 4】基本不等式及应用
x 2 3 2 0ax x− + > { }1x x x b< >或
,a b
c∈R x 2 ( ) 0ax ac b x bc− + + <
{ }2x x c< < 2c < { }2x c x< < 2c =
∅
2 2 22 ( )y x c x xy− ≥ − 0x y> > ,x y
422 −
【备考知识梳理】
1、 如果 ,那么 (当且仅当 时取等号“=”)
推论: ( )
2、 如果 , ,则 ,(当且仅当 时取等号“=”).
推论: ( , );
3、
【规律方法技巧】
1.利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况,要从整体上把握运用基本不
等式,对不满足使用基本不等式条件的可通过“变形”来转换,常见的变形技巧有:拆项,
并项,也可乘上一个数或加上一个数,“1”的代换法等.
2. 在用基本不等式求函数的最值时,应具备三个条件:一正二定三取等.
① 一正:函数的解析式中,各项均为正数;
② 二定:函数的解析式中,含变数的各项的和或积必须有一个为定值;
③ 三取等:函数的解析式中,含变数的各项均相等,取得最值.
若使用基本不等式时,等号取不到,可以通过“对勾函数”,利用单调性求最值.
【考点针对训练】
1.已知正数 a,b,c 满足 3a-b+2c=0,则 的最大值为 .
【答案】
【解析】 ,当且仅当 时取等号,故 的最大值
为
2.设实数 满足 ,则 的最小值是 .
【答案】
, Ra b∈ 2 2 2a b ab+ ≥ a b=
2 2
ab 2
a b+≤ , Ra b∈
0a > 0b > 2a b ab+ ≥ a b=
2ab ( )2
a b+≤ 0a > 0b >
2 2
2( )2 2
a b a b+ +≥
2 22 ( 0, 0)1 1 2 2
a b a bab a b
a b
+ +≤ ≤ ≤ > >
+
ac
b
6
12
6
3 2 122 3 2
ac ac ac
b a c a c
= ≤ =+ ⋅ 3 2 2
ba c= = ac
b
6
12
,x y
2
2 14
x y− = 23 2x xy−
6 4 2+
【解析】令 ,则 ,所以 ,则
.
【两年模拟详解析】
1.【苏北三市(连云港、徐州、宿迁)2017 届高三年级第三次调研考试】已知对于任意的
,都有 ,则实数的取值范围是__________.
【答案】 (或 )
【解析】整理不等式可得: .
问题等价于在区间 上,过点 斜率为 的直线恒在抛物线
的上方,注意到点 三点共线,据此可得实数 a 的取值
范围是 ,即 1
2
x y t+ = 1
2
x y t
− = ( )1
1
1
2 t t
x t t
y −
= +
=
,
,
2 2
2
43 2 6 2 6 4 2x xy t t
− = + + +≥
2.【2016-2017 学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研(二)】已知 , 均为正数,且
,则 的最小值为 .
【答案】7
【解析】 ,所以
(当且仅当 时取等号)
而 (当且仅当 时取等号),因此
(当且仅当 时取等号),即 的最小值为 7.
3.【南京市、盐城市 2017 届高三年级第一次模拟】在 中, 所对的边分别为
,若 ,则 面积的最大值为 ▲ .
a b
2 0ab a b− − =
2
22 1
4
a ba b
− + −
ABC∆ , ,A B C
, ,a b c 2 2 22 8a b c+ + = ABC∆
【答案】
【解析】
,
而 ,
所以 ,当且
仅当 时取等号
4. 【镇江市 2017 届高三年级第一次模拟】已知函数 是定义在 上的奇函数,当
时, ,则不等式 的解集为 .
【答案】
【解析】当 时, ,所以 或 ,
解得 或 ,解集为
5. 【镇江市 2017 届高三年级第一次模拟】不等式 ( 且 )对任
意 恒成立,则实数的取值范围为 .
【答案】
【解析】 ,所以 ,又
, 当 且 仅 当 时 取 等 号 , 因 此
或
6. 【镇江市 2017 届高三年级第一次模拟】已知不等式 对任意
, 恒成立,则实数 的取值范围为 .
2 5
5
2 2 2 2 2 2
2 2 21 1 1 ( ) 1 (8 3 )sin 1 cos ( ) ( )2 2 2 4 2 4ABC
a b c cS ab C ab C ab ab∆
+ − −= = − = − = −
2 2 2 22 8 2 4 2ab a b c ab c≤ + = − ⇒ ≤ −
2 2 2 2
2 2 2 21 (8 3 ) 1 1 5 (16 5 ) 2 5(4 ) (16 5 )2 4 4 4 52 5ABC
c c cS c c c∆
− + −≤ − − = − ≤ =
2 8, 5a b c= =
)(xf R 0>x
xxxf 42 −=)( xxf >)(
( ) ( )5,0 5,− +∞
0−
>
xxx
x
4
0
2
>+−
<
xxx
x
)4(
0
2
5>x 05 <<− x ),5()0,5( +∞− U
42 <− xxa lnlog 0>a 1≠a
),( 1001∈x
( ) 1
40,1 e ,
+∞
)100ln,0(ln)100,1( ∈⇒∈ xx xxaxxa lnln
4
ln
14lnlog 2 +<⇒<−
4lnln
42lnln
4 =×≥+ xxxx
)100ln,0(2ln ∈=x
104ln
1 <<⇒< aa 4
1
ea >
222 ≥+−+− )ln()( λnmnm
R∈m ),( +∞∈ 0n λ
【答案】
【解析】不等式恒成立等价于直线 上任一点到曲线 上任一点距离最小值不
小于 ,易得直线 与曲线 相切,所以
7. 【 2017 年 第 二 次 全 国 大 联 考 江 苏 卷 】 对 任 意 的 , 不 等 式
恒成立,则实数 的取值范围是____________.
【答案】
8. 【2017 年第二次全国大联考江苏卷】实数 满足 ,使 取得最大值
的最优解有两个,则 的最小值为
【答案】
【解析】如下图所示,画出不等式组所表示的区域,∵ 取得最大值的最优解有两个,
∴ ,∴当 , 或 , 时, 有最小值
.
9. 【2017 年第二次全国大联考江苏卷】在锐角三角形 中,若 依次成
等差数列,则 的取值范围为 .
1λ
λ+= xy xy ln=
2 1−= xy xy ln= 11,2
2
|1| ≥⇒−>≥+ λλλ
π(0, )2
θ ∈
2 2
1 4 | 2 1|sin cos xθ θ+ ≥ − x
[ 4,5]−
,x y 0
1
xy
x y
≥
+ ≤
z ax y= +
z ax y= + _______.
1−
z ax y= +
1 1a a− = ⇒ = − 1x = 0y = 0x = 1y = − z ax y x y= + = − +
1−
ABC tan ,tan ,tanA B C
tan tan tanA B C
【答案】
【解析】由题意得
因为锐角三角形 ,所以 ,因此 ,
(当且仅当 时取等号),从而
.
10. 【2017 年第二次全国大联考江苏卷】已知 且 ,则
的最小值为
【答案】
【解析】由 得 ,可设 ,因此
,当且仅当 时
取等号,即 的最小值为 .
11. 【2017 年第三次全国大联考江苏卷】已知 ,则 的最
大值为_____________.
【答案】
【解析】令 ,则 ,因为
,当且仅当 时取等号,所以
,即 的最大值为 (当且仅当 时取
[3 3, )+∞
tan tan2tan tan tan 2tan( ) tan tan 2 tan tan1 tan tan
A CB A C A C A C A CA C
+= + ⇒ − + = + ⇒ − = +−
ABC tan 0,tan 0A C> > tan tan 3A C =
2tan 2 tan tan tan 3B A C B≥ ⇒ ≥ tan tanA C=
tan tan tan 3 3A B C ≥
,x y∈R 2 22 3 1x xy y+ − = 2 2z x y= +
_______.
5 1
4
+
2 22 3 1x xy y+ − = ( 3 )( ) 1x y x y+ − = 13 , ,( 0)x y t x y tt
+ = − = ≠
22
222 2
53 1 5 2 22 5 1, ,4 4 8 8 4
tt t t tt t tx y z x y
× ++ − + + += = = + = ≥ =
2 5t =
2 2z x y= + 5 1
4
+
2 1, , 2 6x y x yx y+∈ + + + =R 2x y+
4
2 ( 0)x y m m+ = > 2 1 6 mx y
+ = −
2 1 2 1 2 1 4( ) (4 )x y y x
x y x y m m x y
++ = + = + +
1 4 8(4 2 )y x
m x y m
≥ + ⋅ = 2x y=
286 , 6 8 0,2 4m m m mm
− ≥ − + ≤ ≤ ≤ 2x y+ 4 2 2x y= =
等号).
12.【2017 年高考原创押题预测卷 01(江苏卷)】若, 满足不等式 则 的最大
值是 .
【答案】 2
【解析】在直角坐标系内作出不等式组 ,所表示的可行域如图阴影部分(含边
界),其中 表示可行域内点 与原点 连线的斜率,由图可知, 斜率最大,
,所以 最大值为 2.
13 .【 2017 年 高 考 原 创 押 题 预 测 卷 02 ( 江 苏 卷 )】 已 知 且 满 足
,则 的最小值为 .
【答案】
【解析】由题设可得点 分别在曲线 上.设点 ,
则问题转化为求曲线 上的动点 与直线 上的动点 之间的距离的最
小值的平方问题.设点 是曲线 的切点,因 ,故在点
处的切线的斜率 ,由题意 ,即 时,也即当切线与已知直线
平行时,此时切点 到已知直线 的距离最近,最近距离
y
2,
6,
2 0,
x
x y
x y
≥
+ ≤
− ≤
y
x
2
6
2 0
x
x y
x y
≥
+ ≤
− ≤
y
x ( , )x y O OC
4 22OCk = = y
x
, , ,a b c d ∈R
12
3ln3 =−=+
c
d
b
aa 22 )()( dbca −+−
e
9ln5
9
QP, cdaab 23,ln3 =−+= ),(),,( dcQbaP
aab ln3+= P 32 += cd Q
)ln3,( tttM + aab ln3+=
ab 31/ += M
tk 31+= 231 =+
t 3=t 32 += cd
)3ln33,3( +M 32 += cd
,也即 的最小值为
.
14. 【2017 年高考原创押题预测卷 03(江苏卷)】设 ,点 在过点
的直线上,则 的最大值为.
【答案】
15. 【淮安、宿迁、连云港、徐州苏北四市 2016 届高三第二次调研】设 是正实数,满
足 ,则 的最小值为 .
【答案】
【解析】 , ,
令 当且仅
当 时取“=”, 则 的最小值为
16.【江苏省清江中学数学模拟试卷】不等式 的解集为 .
【答案】
【解析】当 时, , ,所以 ,当 时, ,
,所以 ,因此原不等式的解集为 .
17.【江苏省清江中学数学模拟试卷】已知 x,y 是正整数, ,则 t 的
| 6 3 3ln3 3| 6 3ln3
5 5
d
− − + −= = 22 )()( dbca −+−
2 2
2 9(2 ln3) 9 ln5 5 3
ed
−= =
0, 0a b> > ( , )P a b
(1, 1), (2, 3)A B− − 2 22 4S ab a b= + +
5
4
cba ,,
acb ≥+
ba
c
c
b
++
12 2
−
1 1,2 , ,2 2
c cb c a b c a b a b b c a b b c
+ ≥ + ≥ + ≥ ≥+ + + + 2
b c b c
c a b c b c
+ ≥ ++ +
1 2 1 1 1 2 1 1 1 1, 2 22 2 1 2 2 1 2 2 2 1 2 2
b b c t tt tc c b c t t t
+ += + = + = + − ≥ ⋅ − = −+ + + +
2 1
2t
−=
ba
c
c
b
++ 12 2
−
2 lnx x x+ >
(1, )+∞
0 1x< ≤ 2x x< ln 0x ≤ 2 lnx x x+ ≤ 1x > 2x x>
ln 0x > 2 lnx x x+ > (1, )+∞
2 16max{ , }( )t x y x y
= −
最小值为 .
【答案】8
【解析】由题意只要考虑 是正数,即 的情形,因为
,所以 ,当 时,
,所以 .
18【江苏省清江中学 2016 届高三上学期周练数学试题】已知实数 ,若以 ,
, 为三边长能构成一个三角形,则实数 的范围为 .
【答案】
【解析】根据已知条件得: ,
对于任意 都成立;
∴由①得, 令
,
∴ 在 上单调递增;
由②得 ,令 ,
∴ 在 单调递增;
,
综上即 λ 的取值范围为
16
( )y x y− 0x y− > 16
( )y x y−
2
2
16 64
( )2
y x y x
≥ =+ −
2 2
2
16 64max{ , } max{ , }( )t x xy x y x
= ≥−
2 8x =
2
2
64 8 xx
= = min 8t =
0y x> > x y+
2 2x y+ xλ λ
[1 ]2 2+,
2 2
2 2
2 2
x y x y x
x y x x y
x y x x y
λ
λ
λ
+ + + > + + > +
+ + > +
①
②
③
2 2 2 20 2y x x y x y xy x y> > ∴ + = + + > + , ;
2 20 x y x x yλ λ> ∴ + + > + , 0, 0y x λ> > >
21 1 ( )y y
x x
λ < + + + ,
2
2
1 1 1 1 0
1
y tt t f t t t f tx t
= > = + + +
+
>′ = +, ,( ) ; ( )
( )f t 1 + ∞(, ) ( ) ( )1 2 2, 2 2f t f λ∴ + ∴ ≤> += ;
21 1 ( )y y
x x
λ > + − +
2
2
2
11 1 1 0
1
y t tt t g t t t g tx t
+ −= > = + − + ′ = >
+
, ,( ) ; ( )
g t( ) 1 + ∞(, )
( ) ( )
2
2
,2 2 1, 1, 1
1 11 1 1 1
tg t t g t g t
t t
t t
λ= ∴ → ∞ → ∴ < ∴ ≥
+ + + + + +
= + ,( )
[1 ]2 2+,
19.【扬州市 2015—2016 学年度第一学期期末检测试题】.已知 且
,则 的最小值为 .
【答案】3
【解析】令 ,又 得 , 解得 ,
即 , ,当且仅当 时取“=”
20.【镇江市 2016 届高三年级第一次模拟考试】已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x>0
时,f(x)=1-log2x,则不等式 f(x)<0 的解集是________.
【答案】(-2,0)∪(2,+∞).
【解析】当 x<0 时, , f(x)<0,即 ,解得
;当 x>0 时,f(x)=1-log2x,f(x)<0,即 ,解得 ,综上所述,
不等式 f(x)<0 的解集是(-2,0)∪(2,+∞).
21.【泰州市 2016 届高三第一次模拟考试】若正实数 满足 ,
则 的最大值为 .
【答案】
【解析】令 ,则 ,
因此 ,当
时, ,因此 的最大值为 .
22.【江苏歌风中如皋办高三数学九月月考】若实数 满足 ,且
,则 的最小值为 .
【答案】4
【解析】由已知 , ,又 ,所以
1>>ba
7log3log2 =+ ab ba 1
1
2 −+
ba
loga b t= 1>>ba 0 1t< < 32log 3log 2 7a bb a t t
+ = + = 1
2t =
21log ,2a b a b= = 2
1 11 1 31 1a ab a
+ = − + + ≥− − 2a =
( ) ( ) ( )2log 1f x f x x= − − = − − ( )2log 1 0x− − <
2 0x− < < 21 log 0x− < 2x >
,x y 2(2 1) (5 2)( 2)xy y y− = + −
1
2x y
+
3 2 12
−
1 ,( 0)2x t ty
+ = > 2 2 2(2 2) (5 2)( 2),(4 5) (8 8 ) 8 0yt y y t y t y− = + − − + − + =
2 2 2 3 2(8 8 ) 32(4 5) 0 2 4 7 0 0 1 2t t t t t∆ = − − − ≥ ⇒ + − ≤ ⇒ < ≤ − + 3 21 2t = − +
2
6 2 8 35 24 24 4 0 04 5 17 12 2 12 2 16
ty xt
− −−= = > = >− − −, 1
2x y
+ 3 2 12
−
,x y 0x y> >
2 2log log 1x y+ =
2 2x y
x y
+
−
2 2 2log log log 1xy x y= + = 2xy = 0x y− >
2 2 2( ) 2x y x y xy
x y x y
+ − +=− −
(当且仅当 时取等号),所以最小值为 4.
【一年原创真预测】
1.若正实数 满足 ,则 的最大值为 .
【答案】
【解析】由题可得 ,因为
,当且仅当 时, 取得最大值 .
【入选理由】】本题考查基本不等式和指数运算等基础知识,意在考查学生的运算能力,分析
问题、解决问题的能力,以及学生逻辑推理能力.本题是基本不等式与指数函数结合,难度不
大,故选此题.
2.若关于 的不等式 对任意实数 恒成立,则 的最大值为_________.
【答案】
【入选理由】本题考查不等式恒成立问题,利用导数判断函数的单调性,函数的极值与最值
问题等基础知识,意在考查运用转化与化归思想、综合分析问题解决问题以及运算求解能
力.本题是一个综合题,考查了不等式的性质的应用,同时又是一个函数性质题,有一定的
难度,但构思比较巧,故选此题.
3.已知 ,对任意 ,若不等式 恒成立,则 的取值范围是
___________.
4( )x y x y
= − + −
42 ( ) 4x y x y
≥ − ⋅ =− 2x y− =
,a b 1ab = 22 4
b
a −−
1
4
( )22 4 2
b
a ba − − +− = ( )2 2 2a b ab a b a b+ ≥ ⇒ + ≥ ⇒ − + ≤ −
( ) ( )2 12 2 2 4
a b a b− + − +−⇒ ≤ ⇒ ≤ 1a b= = 22 4
b
a −−
1
4
x 0xe ax b− − ≥ x ab
2
e
| | | | 2a b= = x R∈ | | 1a xb+ ≥ a b⋅
【答案】 ,或
【入选理由】本题考查向量的模,二次函数最值,不等式恒成立等基础知识,意在考查运用
转化与化归思想、综合分析问题解决问题以及运算求解能力.本题是一个综合题,巧妙的把
向量,二次函数,不等式有机的结合在一起,难度中等,此题的解题妙处就在把向量的模的
问题转化为二次函数来处理,的确是一个好题,故选此题.
( , 2 3−∞ − )2 3, +∞