高考数学全国高考文科数学试题及答案全国 10页

2011 年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学（必修+选修 II） 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。 第Ⅰ卷 1 至 2 页。第Ⅱ卷 3 至 4 页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 注意事项： 1．答题前，考生在答题卡上务必用直径 0．5 毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号 填写清楚，并贴好条形码。请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。 2．每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮 擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效。．．．．．．．．．． 3．第Ⅰ卷共 l2 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的。 一、选择题 1．设集合 U= 1,2,3,4 ,  1,2,3 ,M   2,3,4 ,N  则 =（M N）ð A． 1 2， B． 2 3， C． 2，4 D． 1，4 2．函数 2 ( 0)y x x ≥ 的反函数为 A． 2 ( )4 xy x R  B． 2 ( 0)4 xy x ≥ C． 24y x ( )x R D． 24 ( 0)y x x ≥ 3．权向量 a,b 满足 1| | | | 1, 2a b a b     ,则 2a b  A． 2 B． 3 C． 5 D． 7 4．若变量 x、y 满足约束条件 6 3 2 1 x y x y x        ，则 2 3z x y  的最小值为 A．17 B．14 C．5 D．3 5．下面四个条件中，使 a b 成立的充分而不必要的条件是 A． 1a b  B． 1a b  C． 2 2a b D． 3 3a b 6．设 nS 为等差数列{ }na 的前 n 项和，若 1 1a  ，公差为 22, 24k kd S S   ，则 k= A．8 B．7 C．6 D．5 7．设函数 ( ) cos ( 0)f x x  ＞ ，将 ( )y f x 的图像向右平移 3  个单位长度后，所得的图像与 原图像重合，则 的最小值等于 A． 1 3 B．3 C．6 D．9 8．已知二面角 l   ，点 , ,A AC l  C 为垂足，点 ,B BD l  ，D 为垂足，若 AB=2， AC=BD=1，则 CD= A．2 B． 3 C． 2 D．1 9．4 位同学每人从甲、乙、丙 3 门课程中选修 1 门，则恰有 2 人选修课程甲的不同选法共有 A．12 种 B．24 种 C．30 种 D．36 种 10．设 ( )f x 是周期为 2 的奇函数，当 0≤x≤1 时， ( )f x = 2 (1 )x x ，则 5( )2f  = A．- 1 2 B． 1 4  C． 1 4 D． 1 2 11．设两圆 1C 、 2C 都和两坐标轴相切，且都过点（4，1），则两圆心的距离 1 2C C = A．4 B． 4 2 C．8 D．8 2 12．已知平面 截一球面得圆 M，过圆心 M 且与 成 060 ，二面角的平面  截该球面得圆 N，若 该球的半径为 4，圆 M 的面积为 4 ，则圆 N 的面积为 A． 7 B．9 C．11 D．13 第Ⅱ卷 注意事项： 1．答题前，考生先在答题卡上用直径 0．5 毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考 证号 填写清楚，然后贴好条形码。请认真核准条形码卜的准考证号、姓名和科目。 2．第Ⅱ卷共 2 页，请用直径 0．5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答， 在试题卷上作答无效。 3．第Ⅱ卷共 l0 小题，共 90 分。 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分把答案填在题中横线上（注意：在试卷上作．．．．． 答无效．．．） 13．（1- x ）10 的二项展开式中，x 的系数与 x9 的系数之差为: ． 14．已知 a∈（ 3, 2  ）， tan 2, cos  则 = 15．已知正方体 ABCD—A1B1C1D1 中，E 为 C1D1 的中点，则异面直线 AE 与 BC 所成角的余弦值为 。 16．已知 F1、F2 分别为双曲线 C: 2 9 x - 2 27 y =1 的左、右焦点，点 A∈C，点 M 的坐标为（2，0）， AM 为∠F1AF2∠的平分线．则|AF2| = ． 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17．（本小题满分 l0 分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．） 设等比数列 na 的前 n 项和为 nS ,已知 2 6,a  1 36 30,a a  求 na 和 nS 18．（本小题满分 2 分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．） △ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c．己知 sin csin 2 sin sin ,a A C a C b B   （Ⅰ）求 B； （Ⅱ）若 075 , 2,A b a c  求 与 19．（本小题满分 l2 分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．） 根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为 0.5，购买乙种保险但不购买甲种保 险的概率为 0.3，设各车主购买保险相互独立。 （I）求该地 1 位车主至少购买甲、乙两种保险中的 1 种概率； （II）求该地的 3 位车主中恰有 1 位车主甲、乙两种保险都不购买的概率。 20．（本小题满分 l2 分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．） 如图，四棱锥 S ABCD 中， AB CD , BC CD ，侧面 SAB 为等边三角形， 2, 1AB BC CD SD    ． （I）证明： SD  平面 SAB； （II）求 AB 与平面 SBC 所成的角的大小。 21．（本小题满分 l2 分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．） 已知函数  3 2( ) 3 (3 6 ) 12 4f x x ax a x a a R       （I）证明：曲线 ( ) 0y f x x 在 处的切线过点（2，2）； （II）若 0( )f x x x在 处取得极小值， 0 (1,3)x  ，求 a 的取值范围。 22．（本小题满分 l2 分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．） 已知 O 为坐标原点，F 为椭圆 2 2: 12 yC x   在 y 轴正半轴上的焦点，过 F 且斜率为 - 2 的直线l 与 C 交与 A、B 两点，点 P 满足 0.OA OB OP     （Ⅰ）证明：点 P 在 C 上； （II）设点 P 关于 O 的对称点为 Q，证明：A、P、B、Q 四点在同一圆上。 参考答案 评分说明： 1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要 考查内容比照评分参考制订相应的评分细则。 2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和 难度，可视影响的程度决定后继部分的给力，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半； 如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。 3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。 4．只给整数分数，选择题不给中间分。 一、选择题 1—6 DBBCAD 7—12 CCBACD 二、填空题 13．0 14． 5 5  15． 2 3 16．6 三、解答题 17．解：设{ }na 的公比为 q，由题设得 1 2 1 1 6, 6 30. a q a a q     …………3 分 解得 1 13, 2, 2, 3. a a q q        或 …………6 分 当 1 1 3, 2 , 3 2 , 3 (2 1);n n n na q a S      时 当 1 1 2, 3 , 2 3 , 3 1.n n n na q a S     时 …………10 分 18．解： （I）由正弦定理得 2 2 22 .a c ac b   …………3 分 由余弦定理得 2 2 2 2 cos .b a c ac B   故 2cos , 45 .2B B  因此 …………6 分 （II）sin sin(30 45 )A    sin30 cos45 cos30 sin 45 2 6 .4       …………8 分 故 sin 2 6 1 3,sin 2 Aa b B      sin sin 602 6.sin sin 45 Cc b B      …………12 分 19．解：记 A 表示事件：该地的 1 位车主购买甲种保险； B 表示事件：该地的 1 位车主购买乙种保险但不购买甲种保险； C 表示事件：该地的 1 位车主至少购买甲、乙两种保险中的 1 种； D 表示事件：该地的 1 位车主甲、乙两种保险都不购买； E 表示事件：该地的 3 位车主中恰有 1 位车主甲、乙两种保险都不购买。 （I） ( ) 0.5, ( ) 0.3, ,P A P B C A B    …………3 分 ( ) ( ) ( ) ( ) 0.8.P C P A B P A P B     …………6 分 （II） , ( ) 1 ( ) 1 0.8 0.2,D C P D P C      …………9 分 1 2 3( ) 0.2 0.8 0.384.P E C    …………12 分 20．解法一： （I）取 AB 中点 E，连结 DE，则四边形 BCDE 为矩形，DE=CB=2， 连结 SE，则 , 3.SE AB SE  又 SD=1，故 2 2 2ED SE SD  ， 所以 DSE 为直角。 …………3 分 由 , ,AB DE AB SE DE SE E   ， 得 AB  平面 SDE，所以 AB SD 。 SD 与两条相交直线 AB、SE 都垂直。 所以 SD  平面 SAB。 …………6 分 （II）由 AB  平面 SDE 知， 平面 ABCD  平面 SED。 作 ,SF DE 垂足为 F，则 SF  平面 ABCD， 3 .2 SD SESF DE   作 FG BC ，垂足为 G，则 FG=DC=1。 连结 SG，则 SG BC ， 又 ,BC FG SG FG G  ， 故 BC  平面 SFG，平面 SBC  平面 SFG。 …………9 分 作 FH SG ，H 为垂足，则 FH  平面 SBC。 3 7 SF FGFH SG   ，即 F 到平面 SBC 的距离为 21 .7 由于 ED//BC，所以 ED//平面 SBC，E 到平面 SBC 的距离 d 也有 21 .7 设 AB 与平面 SBC 所成的角为α， 则 21 21sin , arcsin .7 7 d EB     …………12 分 解法二： 以 C 为坐标原点，射线 CD 为 x 轴正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系 C—xyz。 设 D（1，0，0），则 A（2，2，0）、B（0，2，0）。 又设 ( , , ), 0, 0, 0.S x y z x y z  则 （I） ( 2, 2, ), ( , 2, )AS x y z BS x y z      ， ( 1, , )DS x y z  ， 由| | | |AS BS  得 2 2 2 2 2 2( 2) ( 2) ( 2) ,x y z x y z        故 x=1。 由 2 2| | 1 1,DS y z   得 又由 2 2 2| | 2 ( 2) 4,BS x y z     得 即 2 2 1 34 1 0, , .2 2y z y y z     故 …………3 分 于是 1 3 3 3 3 3(1, , ), ( 1, , ), (1, , )2 2 2 2 2 2S AS BS      ， 1 3(0, , ), 0, 0.2 2DS DS AS DS BS         故 , , ,DS AD DS BS AS BS S  又 所以 SD  平面 SAB。 （II）设平面 SBC 的法向量 ( , , )a m n p ， 则 , , 0, 0.a BS a CB a BS a CB         又 3 3(1, , ), (0,2,0),2 2BS CB    故 3 3 0,2 2 2 0. m n p n       …………9 分 取 p=2 得 ( 3,0,2), ( 2,0,0)a AB   又 。 21cos , .7| | | | AB aAB a AB a      故 AB 与平面 SBC 所成的角为 21arcsin .7 21．解：（I） 2'( ) 3 6 3 6 .f x x ax a    …………2 分 由 (0) 12 4, '(0) 3 6f a f a    得曲线 ( ) 0y f x x 在 处的切线方程为 由此知曲线 ( ) 0y f x x 在 处的切线过点（2，2） …………6 分 （II）由 2'( ) 0 2 1 2 0.f x x ax a    得 （i）当 2 1 2 1 , ( )a f x     时 没有极小值； （ii）当 2 1 2 1 , '( ) 0a a f x     或 时 由 得 2 2 1 22 1, 2 1,x a a a x a a a          故 0 2.x x 由题设知 21 2 1 3.a a a      当 2 1a   时，不等式 21 2 1 3a a a      无解。 当 2 1a    时，解不等式 2 51 2 1 3 2 1.2a a a a          得 综合（i）（ii）得 a 的取值范围是 5( , 2 1).2    …………12 分 22．解：（I）F（0，1），l 的方程为 2 1y x   ， 代入 2 2 12 yx   并化简得 24 2 2 1 0.x x   …………2 分 设 1 1 2 2 3 3( , ), ( , ), ( , ),A x y B x y P x y 则 1 2 2 6 2 6, ,4 4x x   1 2 1 2 1 2 2 , 2( ) 2 1,2x x y y x x        由题意得 3 1 2 3 1 2 2( ) , ( ) 1.2x x x y y y          所以点 P 的坐标为 2( , 1).2   经验证，点 P 的坐标为 2( , 1)2   满足方程 2 2 1,2 yx   故点 P 在椭圆 C 上。 …………6 分 （II）由 2( , 1)2P   和题设知， 2( ,1)2Q PQ 的垂直一部分线 1l 的方程为 2 .2y x  ① 设 AB 的中点为 M，则 2 1( , )4 2M ，AB 的垂直平分线为 2l 的方程为 2 1 .2 4y x  ② 由①、②得 1 2,l l 的交点为 2 1( , )8 8N  。 …………9 分 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 1 3 11| | ( ) ( 1 ) ,2 8 8 8 3 2| | 1 ( 2) | | ,2 3 2| | ,4 2 2 1 1 3 3| | ( ) ( ) ,4 8 2 8 8 3 11| | | | | | ,8 NP AB x x AM MN NA AM MN                       故|NP|=|NA|。 又|NP|=|NQ|，|NA|=|NB|， 所以|NA|=|NP|=|NB|=|MQ|， 由此知 A、P、B、Q 四点在以 N 为圆心，NA 为半径的圆上 …………12 分