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  • 2021-05-13 发布

高考真题文科数学解析分类汇编概率

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‎2012高考文科试题解析分类汇编:概率 ‎1.【2012高考安徽文10】袋中共有6个除了颜色外完全相同的球,其中有1个红球,2个白球和3个黑球,从袋中任取两球,两球颜色为一白一黑的概率等于 ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎【答案】B ‎【解析】1个红球,2个白球和3个黑球记为 从袋中任取两球共有15种;‎ 满足两球颜色为一白一黑有种,概率等于 ‎2.【2012高考辽宁文11】在长为‎12cm的线段AB上任取一点C. 现作一矩形,邻边长分别等于线段AC,CB的长,则该矩形面积大于‎20cm2的概率为 ‎:(A) (B) (C) (D) ‎ ‎【答案】C ‎ 【解析】设线段AC的长为cm,则线段CB的长为()cm,那么矩形的面积为cm2,‎ 由,解得。又,所以该矩形面积小于‎32cm2的概率为,故选C ‎【点评】本题主要考查函数模型的应用、不等式的解法、几何概型的计算,以及分析问题的能力,属于中档题。‎ ‎3.【2012高考湖北文10】如图,在圆心角为直角的扇形OAB中,分别以OA,OB为直径作两个半圆。在扇形OAB内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率是 A. B. . C. D. ‎ ‎【答案】C ‎ ‎【解析】如图,不妨设扇形的半径为‎2a,如图,记两块白色区域的面积分别为S1,S2,两块阴影部分的面积分别为S3,S4,‎ 则S1+S2+S3+S4=S扇形OAB=①,‎ 而S1+S3 与S2+S3的和恰好为一个半径为a的圆,即S1+S3 +S2+S3②.‎ ‎①-②得S3=S4,由图可知S3=,所以. .‎ 由几何概型概率公式可得,此点取自阴影部分的概率 P=.‎ ‎【点评】本题考查古典概型的应用以及观察推理的能力.本题难在如何求解阴影部分的面积,即如何巧妙地将不规则图形的面积化为规则图形的面积来求解.来年需注意几何概型在实际生活中的应用.‎ ‎4.【2102高考北京文3】设不等式组,表示平面区域为D,在区域D内随机取一个点,则此点到坐标原点的距离大于2的概率是 ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎【答案】D ‎【解析】题目中表示的区域表示正方形区域,而动点可以存在的位置为正方形面积减去四分之一的圆的面积部分,因此,故选D ‎【考点定位】 本小题是一道综合题,它涉及到的知识包括:线性规划,圆的概念和面积公式、概率。‎ ‎ 5.【2012高考浙江文12】‎ 从边长为1的正方形的中心和顶点这五点中,随机(等可能)取两点,则该两点间的距离为的概率是___________。‎ ‎【答案】‎ ‎【命题意图】本题主要了以正方形中某些点为背景的随机事件的概率问题。‎ ‎【解析】若使两点间的距离为,则为对角线一半,选择点必含中心,概率为.‎ ‎6.【2012高考重庆文15】某艺校在一天的6节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其它三门艺术课各1节,则在课表上的相邻两节文化课之间至少间隔1节艺术课的概率 为 (用数字作答)。‎ ‎ 【答案】‎ ‎【解析】先排其他三门艺术课有种排法,再把语文、数学、外语三门文化课插入由三门艺术课隔开的四个空中,有种排法,所以所有的排法有。6节课共有种排法。所以相邻两节文化课至少间隔1节艺术课的概率为。‎ ‎7.【2012高考上海文11】三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛,若每人只选择一个项目,则有且仅有两位同学选择的项目相同的概率是 (结果用最简分数表示)‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】三位同学从三个项目选其中两个项目有中,若有且仅有两人选择的项目完成相同,则有,所以有且仅有两人选择的项目完成相同的概率为。‎ ‎8.【2012高考江苏6】(5分)现有10个数,它们能构成一个以1为首项,为公比的等比数列,若从这10个数中随机抽取一个数,则它小于8的概率是 ▲ .‎ ‎【答案】。‎ ‎【考点】等比数列,概率。‎ ‎【解析】∵以1为首项,为公比的等比数列的10个数为1,-3,9,-27,···其中有5个负数,1个正数1计6个数小于8,‎ ‎ ∴从这10个数中随机抽取一个数,它小于8的概率是。‎ ‎9.【2012高考江苏25】(10分)设为随机变量,从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条,当两条棱相交时,;当两条棱平行时,的值为两条棱之间的距离;当两条棱异面时,.‎ ‎ (1)求概率;‎ ‎ (2)求的分布列,并求其数学期望.‎ ‎【答案】解:(1)若两条棱相交,则交点必为正方体8个顶点中的一个,过任意1个顶点恰有3条棱,‎ ‎ ∴共有对相交棱。‎ ‎ ∴ 。‎ ‎ (2)若两条棱平行,则它们的距离为1或,其中距离为的共有6对,‎ ‎ ∴ ,。‎ ‎ ∴随机变量的分布列是:‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎ ∴其数学期望。 ‎ ‎【考点】概率分布、数学期望等基础知识。‎ ‎【解析】(1)求出两条棱相交时相交棱的对数,即可由概率公式求得概率。‎ ‎ (2)求出两条棱平行且距离为的共有6对,即可求出,从而求出(两条棱平行且距离为1和两条棱异面),因此得到随机变量的分布列,求出其数学期望。‎ ‎10.【2012高考新课标文18】(本小题满分12分)‎ 某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花,然后以每枝10元的价格出售.如果当天卖不完,剩下的玫瑰花做垃圾处理.‎ ‎(Ⅰ)若花店一天购进17枝玫瑰花,求当天的利润y(单位:元)关于当天需求量n(单位:枝,n∈N)的函数解析式. ‎ ‎(Ⅱ)花店记录了100天玫瑰花的日需求量(单位:枝),整理得下表:‎ 日需求量n ‎14‎ ‎15‎ ‎16‎ ‎17‎ ‎18‎ ‎19‎ ‎20‎ 频数 ‎10‎ ‎20‎ ‎16‎ ‎16‎ ‎15‎ ‎13‎ ‎10‎ ‎(1)假设花店在这100天内每天购进17枝玫瑰花,求这100天的日利润(单位:元)的平均数;‎ ‎(2)若花店一天购进17枝玫瑰花,以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率,求当天的利润不少于75元的概率.‎ ‎【命题意图】本题主要考查给出样本频数分别表求样本的均值、将频率做概率求互斥事件的和概率,是简单题.‎ ‎【解析】(Ⅰ)当日需求量时,利润=85;‎ 当日需求量时,利润,‎ ‎∴关于的解析式为;‎ ‎(Ⅱ)(i)这100天中有10天的日利润为55元,20天的日利润为65元,16天的日利润为75元,54天的日利润为85元,所以这100天的平均利润为 ‎=76.4;‎ ‎(ii)利润不低于75元当且仅当日需求不少于16枝,故当天的利润不少于75元的概率为 ‎11.【2012高考四川文17】(本小题满分12分) ‎ 某居民小区有两个相互独立的安全防范系统(简称系统)和,系统和系统在任意时刻发生故障的概率分别为和。‎ ‎(Ⅰ)若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为,求的值;‎ ‎(Ⅱ)求系统在3次相互独立的检测中不发生故障的次数大于发生故障的次数的概率。‎ 命题立意:本题主要考查独立事件的概率公式、随机试验等基础知识,考查实际问题的数学建模能力,数据的分析处理能力和基本运算能力.‎ ‎[解析](1)设:“至少有一个系统不发生故障”为事件C,那么 ‎1-P(C)=1-P= ,解得P=………………………………6 分 ‎ ‎(2)设“系统A在3次相互独立的检测中不发生故障的次数大于发生故障的次数”为 事件D,‎ 那么P(D)=‎ 答:检测中不发生故障的次数大于发生故障的次数的概率为. ………………12分.‎ ‎[点评]本小题主要考查相互独立事件,独立重复试验、互斥事件等概念及相关计算,考查运用概率知识与方法解决实际问题的能力.‎ ‎12.【2102高考北京文17】(本小题共13分)‎ 近年来,某市为了促进生活垃圾的风分类处理,将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类,并分别设置了相应分垃圾箱,为调查居民生活垃圾分类投放情况,现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1000吨生活垃圾,数据统计如下(单位:吨):‎ ‎“厨余垃圾”箱 ‎“可回收物”箱 ‎“其他垃圾”箱 厨余垃圾 ‎400‎ ‎100‎ ‎100‎ 可回收物 ‎30‎ ‎240‎ ‎30‎ 其他垃圾 ‎20‎ ‎20‎ ‎60‎ ‎(Ⅰ)试估计厨余垃圾投放正确的概率;‎ ‎(Ⅱ)试估计生活垃圾投放错误额概率;‎ ‎(Ⅲ)假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为其中a>0,=600。当数据的方差最大时,写出的值(结论不要求证明),并求此时的值。‎ ‎(注:,其中为数据的平均数)‎ 考点定位】此题的难度集中在第三问,基他两问难度不大,第三问是对能力的考查,不要求证明,即不要求说明理由,但是要求学生对方差意义的理解非常深刻。‎ ‎(1)厨余垃圾投放正确的概率约为 ‎=‎ ‎(2)设生活垃圾投放错误为事件A,则事件表示生活垃圾投放正确。‎ 事件的概率约为“厨余垃圾”箱里厨余垃圾量、“可回收物”箱里可回收物量与“其他垃圾”箱里其他垃圾量的总和除以生活垃圾总量,即P(),约为。所以P(A)约为1-0.7=0,3。‎ ‎(3)当,时,取得最大值.因为,‎ 所以.‎ ‎13.【2012高考湖南文17】(本小题满分12分)‎ 某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息,安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据,如下表所示.‎ 一次购物量 ‎1至4件 ‎5至8件 ‎9至12件 ‎13至16件 ‎17件及以上 顾客数(人)‎ ‎30‎ ‎25‎ ‎10‎ 结算时间(分钟/人)‎ ‎1‎ ‎1.5‎ ‎2‎ ‎2.5‎ ‎3‎ 已知这100位顾客中的一次购物量超过8件的顾客占55%.‎ ‎(Ⅰ)确定x,y的值,并估计顾客一次购物的结算时间的平均值;‎ ‎(Ⅱ)求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率.(将频率视为概率)‎ ‎【解析】(Ⅰ)由已知得,该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体,所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为一个容量为100的简单随机样本,顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计,其估计值为:‎ ‎(分钟).‎ ‎(Ⅱ)记A为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟”,分别表示事件“该顾客一次购物的结算时间为1分钟”, “该顾客一次购物的结算时间为分钟”, “该顾客一次购物的结算时间为2分钟”.将频率视为概率,得 ‎.‎ 是互斥事件,‎ ‎.‎ 故一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率为.‎ ‎【点评】本题考查概率统计的基础知识,考查运算能力、分析问题能力.第一问中根据统计表和100位顾客中的一次购物量超过8件的顾客占55%,知从而解得,再用样本估计总体,得出顾客一次购物的结算时间的平均值的估计值;第二问,通过设事件,判断事件之间互斥关系,从而求得 一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率.‎ ‎14.【2012高考山东文18】(本小题满分12分)‎ 袋中有五张卡片,其中红色卡片三张,标号分别为1,2,3;蓝色卡片两张,标号分别为1,2.‎ ‎(Ⅰ)从以上五张卡片中任取两张,求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率;‎ ‎(Ⅱ)现袋中再放入一张标号为0的绿色卡片,从这六张卡片中任取两张,求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率.‎ ‎【答案】(I)从五张卡片中任取两张的所有可能情况有如下10种:红1红2,红1红3,红1蓝1,红1蓝2,红2红3,红2蓝1,红2蓝2,红3蓝1,红3蓝2,蓝1蓝2.其中两张卡片的颜色不同且标号之和小于4的有3种情况,故所求的概率为.‎ ‎(II)加入一张标号为0的绿色卡片后,从六张卡片中任取两张,除上面的10种情况外,多出5种情况:红1绿0,红2绿0,红3绿0,蓝1绿0,蓝2绿0,即共有15种情况,其中颜色不同且标号之和小于4的有8种情况,所以概率为.‎ ‎15.【2012高考全国文20】(本小题满分12分)(注意:在试题卷上作答无效)‎ 乒乓球比赛规则规定:一局比赛,双方比分在平前,一方连续发球 次后,对方再连续发球次,依次轮换。每次发球,胜方得分,负方得分。设在甲、乙的比赛中,每次发球,发球方得分的概率为,各次发球的胜负结果相互独立。甲、乙的一局比赛中,甲先发球。‎ ‎(Ⅰ)求开始第次发球时,甲、乙的比分为比的概率;‎ ‎(Ⅱ)求开始第次发球时,甲得分领先的概率。‎ ‎【命题意图】本试题主要是考查了关于独立事件的概率的求解。首先要理解发球的具体情况,然后对于事件的情况分析,讨论,并结合独立事件的概率求解结论。‎ 解:记为事件“第i次发球,甲胜”,i=1,2,3,则。‎ ‎(Ⅰ)事件“开始第次发球时,甲、乙的比分为比”为,由互斥事件有一个发生的概率加法公式得 ‎。‎ 即开始第次发球时,甲、乙的比分为比的概率为0.352‎ ‎(Ⅱ)五次发球甲领先时的比分有:这两种情况 开始第5次发球时比分为的概率为:‎ 开始第5次发球时比分为的概率为:‎ 故求开始第5次发球时,甲得分领先的概率为。‎ ‎【点评】首先从试题的选材上来源于生活,同学们比较熟悉的背景,同时建立在该基础上求解进行分类讨论的思想的运用。情景比较亲切,容易入手,但是在讨论情况的时间,容易丢情况。‎ ‎16.【2012高考重庆文18】(本小题满分13分,(Ⅰ)小问7分,(Ⅱ)小问6分)‎ 甲、乙两人轮流投篮,每人每次投一球,约定甲先投且先投中者获胜,一直每人都已投球3次时投篮结束,设甲每次投篮投中的概率为,乙每次投篮投中的概率为,且各次投篮互不影响。(Ⅰ)求乙获胜的概率;(Ⅱ)求投篮结束时乙只投了2个球的概率。‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 独立事件同时发生的概率计算公式知 ‎17.【2012高考天津文科15】(本小题满分13分)‎ 某地区有小学21所,中学14所,大学7所,现采取分层抽样的方法从这些学校中抽取6所学校对学生进行视力调查。‎ ‎(I)求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目。‎ ‎(II)若从抽取的6所学校中随机抽取2所学校做进一步数据分析,‎ ‎ (1)列出所有可能的抽取结果;‎ ‎(2)求抽取的2所学校均为小学的概率。‎ ‎【解析】(1)从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目之比为 ‎ 得:从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目为 ‎ (2)(i)设抽取的6所学校中小学为,中学为,大学为;‎ ‎ 抽取2所学校的结果为:,‎ ‎ 共种;‎ ‎ (ii)抽取的2所学校均为小学的结果为:共种 ‎ 抽取的2所学校均为小学的概率为 ‎18.【2012高考陕西文19】(本小题满分12分)‎ 假设甲乙两种品牌的同类产品在某地区市场上销售量相等,为了解他们的使用寿命,现从两种品牌的产品中分别随机抽取100个进行测试,结果统计如下:‎ ‎(Ⅰ)估计甲品牌产品寿命小于200小时的概率;‎ ‎(Ⅱ)这两种品牌产品中,,某个产品已使用了200小时,试估计该产品是甲品牌的概率。‎ ‎【解析】(Ⅰ)甲品牌产品寿命小于200小时的频率为,用频率估计概率,所以,‎ ‎ 甲品牌产品寿命小于200小时的概率为.‎ ‎ (Ⅱ)根据抽样结果,寿命大于200小时的产品有75+70=145个,其中甲品牌产品 ‎ ‎ 是75个,所以在样本中,寿命大于200小时的产品是甲品牌的频率是,‎ ‎ 用频率估计概率,所以已使用了200小时的该产品是甲品牌的概率为.‎ ‎19.【2012高考江西文18】(本小题满分12分)‎ 如图,从A1(1,0,0),A2(2,0,0),B1(0,1,0,)B2(0,2,0),C1(0,0,1),C2(0,0,2)这6个点中随机选取3个点。‎ (1) 求这3点与原点O恰好是正三棱锥的四个顶点的概率;‎ (2) 求这3点与原点O共面的概率。‎ ‎ 【解析】(1)总的结果数为20种,则满足条件的种数为2种所以所求概率为 ‎(2)满足条件的情况为,,,,,‎ ‎,所以所求概率为.‎