新高考数学一轮复习解析几何课堂达标43椭圆文新人教版 9页

课堂达标(四十三) 椭圆 ‎[A基础巩固练]‎ ‎1．(2018·广东深圳4月调研)在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为，点P为椭圆上一点，且△PF1F2的周长为12，那么C的方程为(　　)‎ A.＋y2＝1　　　　 B.＋＝1‎ C.＋＝1 D.＋＝1‎ ‎[解析]　由题设可得＝⇒a＝2c，‎ 又椭圆的定义可得2a＋2c＝12⇒a＋c＝6，‎ 即3c＝6⇒c＝2，a＝4，所以b2＝16－4＝12，‎ 则椭圆方程为＋＝1，‎ 应选答案D.‎ ‎[答案]　D ‎2．(2018·郑州第三次质检)椭圆＋＝1的左焦点为F，直线x＝a与椭圆相交于点M，N，当△FMN的周长最大时，△FMN的面积是(　　)‎ A. B. C. D. ‎[解析]　设椭圆右焦点为F′，则|MF′|＋|NF′|≥|MN|，当M，N，F′三点共线时，等号成立，所以△FMN的周长|MF|＋|NF|＋|MN|≤|MF|＋|NF|＋|MF′|＋|NF′|＝4a＝4，‎ 此时|MN|＝＝，所以此时△FMN的面积为S＝××2＝，故选择C.‎ ‎[答案]　C ‎3．(2018·邯郸一模)椭圆＋＝1的焦点为F1，F2，点P在椭圆上，如果线段PF2的中点在y轴上，那么|PF2|是|PF1|的(　　)‎ A．7倍　　 B．5倍 ‎ C．4倍　　 D．3倍 ‎[解析]　设线段PF2的中点为D，则|OD|＝|PF1|，OD∥PF1，OD⊥x轴，∴PF1⊥x轴．‎ ‎∴|PF1|＝＝＝.‎ 又∵|PF1|＋|PF2|＝4，‎ ‎∴|PF2|＝4－＝.‎ ‎∴|PF2|是|PF1|的7倍．‎ ‎[答案]　A ‎4．(2018·青岛月考)已知A1，A2分别为椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左，右顶点，P是椭圆C上异于A1，A2的任意一点，若直线PA1，PA2的斜率的乘积为－，则椭圆C的离心率为(　　)‎ A.　　 B. ‎ C.　　　 D. ‎[解析]　设P(x0，y0)，则×＝－，‎ 化简得＋＝1，则＝，e＝＝＝，故选D.‎ ‎[答案]　D ‎5．(2018·广州二模)设F1，F2分别是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，点P在椭圆C上，若线段PF1的中点在y轴上，∠PF1F2＝30°，则椭圆的离心率为(　　)‎ A.　　 B. ‎ C.　　　 D. ‎[解析]　如图，设PF1的中点为M，连接PF2.因为O为F1F2的中点，所以OM为△PF1F2的中位线．‎ 所以OM∥PF2，所以∠PF2F1＝∠MOF1＝90°.‎ 因为∠PF1F2＝30°，‎ 所以|PF1|＝2|PF2|.‎ 由勾股定理得|F1F2|‎ ‎＝＝|PF2|，‎ 由椭圆定义得2a＝|PF1|＋|PF2|‎ ‎＝3|PF2|⇒a＝，2c＝|F1F2|＝|PF2|⇒c＝，‎ 则e＝＝·＝.故选A.‎ ‎[答案]　A ‎6．(2018·东北师大附中三模)已知F是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的右焦点，点P在椭圆C上，线段PF与圆2＋y2＝相切于点Q，且PQ＝2QF，则椭圆C的离心率等于(　　)‎ A.　　 B. ‎ C.　　　 D. ‎[解析]　设椭圆的左焦点为F1，连接F1，设圆心为C，则 ‎∵2＋y2＝，则圆心坐标为，‎ 半径为r＝，∴|F1F|＝3|FC|‎ ‎∵PQ＝2QF，∴PF1∥QC，|PF1|＝b ‎∴|PF|＝2a－b ‎∵线段PF与圆＋＝1(a>b>0)(其中c2＝a2－b2)相切于点Q，∴CQ⊥PF，∴PF1⊥PF，‎ ‎∴b2＋(2a－b)2＝4c2，∴b2＋(2a－b)2＝4(a2－b2)‎ ‎∴a＝b，则＝，∴e＝＝＝，‎ 故选A.‎ ‎[答案]　A ‎7．(2018·保定一模)与圆C1：(x＋3)2＋y2＝1外切，且与圆C2：(x－3)2＋y2＝81内切的动圆圆心P的轨迹方程为______．‎ ‎[解析]　设动圆的半径为r，圆心为P(x，y)，则有|PC1|＝r＋1，|PC2|＝9－r.所以|PC1|＋|PC2|＝10＞|C1C2|，即P在以C1(－3,0)，C2(3,0)为焦点，长轴长为10的椭圆上，得点P的轨迹方程为＋＝1.‎ ‎[答案]　＋＝1‎ ‎8．(2018·北京东城模拟)已知椭圆C的中心在原点，一个焦点F(－2,0)，且长轴长与短轴长的比是2∶，则椭圆C的方程是______．‎ ‎[解析]　设椭圆C的方程为＋＝1(a>b>0)．‎ 由题意知解得a2＝16，b2＝12.‎ 所以椭圆C的方程为＋＝1.‎ ‎[答案]　＋＝1‎ ‎9．(2018·河北武邑中学二模)如图，已知椭圆C1：＋y2＝1，曲线C2：y＝x2－1与y轴的交点为M，过坐标原点O的直线l与C2相交于A，B两点，直线MA，MB分别与C1相交于D，E两点，则·的值是(　　)‎ A．正数 B．0‎ C．负数 D．皆有可能 ‎[解析]　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(0，－1)，‎ ＝(x1，y1＋1)，＝(x2，y2＋1)设直线l的方程为y＝kx与抛物线方程联立，‎ 整理为：x2－kx－1＝0，所以x1＋x2＝k，x1x2＝－1，‎ ·＝·＝x1x2＋(y1＋1)(y2＋1)＝x1x2＋y1y2＋(y1＋y2)＋1‎ ‎＝x1x2＋k2x1x2＋k(x1＋x2)＋1＝－1－k2＋k2＋1＝0，故选B.‎ ‎[答案]　B ‎10．(2016·北京卷)已知椭圆C：＋＝1过点A(2,0)，B(0,1)两点．‎ ‎(1)求椭圆C的方程及离心率；‎ ‎(2)设P为第三象限内一点且在椭圆C上，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，求证：四边形ABNM的面积为定值．‎ ‎[解]　(1)由题意得，a＝2，b＝1.‎ 所以椭圆C的方程为＋y2＝1.‎ 又c＝＝，‎ 所以离心率e＝＝.‎ ‎(2)设P(x0，y0)(x0＜0，y0＜0)，则x＋4y＝4.‎ 又A(2,0)，B(0,1)，‎ 所以，直线PA的方程为y＝(x－2)．‎ 令x＝0，得yM＝－，‎ 从而|BM|＝1－yM＝1＋.‎ 直线PB的方程为y＝x＋1.‎ 令y＝0，得xN＝－，‎ 从而|AN|＝2－xN＝2＋.‎ 所以四边形ABNM的面积 S＝|AN|·|BM|‎ ‎＝ ‎＝ ‎＝＝2.‎ 从而四边形ABNM的面积为定值．‎ ‎[B能力提升练]‎ ‎1．(2018·石家庄质检)已知两定点A(－2,0)和B(2,0)，动点P(x，y)在直线l：y＝x＋3上移动，椭圆C以A，B为焦点且经过点P，则椭圆C的离心率的最大值为(　　)‎ A. B. C. D. ‎[解析]　设点A关于直线l的对称点为A1(x1，y1)，‎ 则有解得x1＝－3，y1＝1，‎ 易知|PA|＋|PB|的最小值等于|A1B|＝，‎ 因此椭圆C的离心率e＝＝的最大值为.‎ ‎[答案]　B ‎2．2016年1月14日，国防科工局宣布，嫦娥四号任务已经通过了探月工程重大专项领导小组审议通过，正式开始实施．如图所示，假设“嫦娥四号”卫星将沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行．若用2c1和2c2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a1和2a2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴长，给出下列式子：‎ ‎①a1＋c1＝a2＋c2；②a1－c1＝a2－c2；③<；‎ ‎④c1a2>a1c2.‎ 其中正确式子的序号是(　　)‎ A．①③ B．①④‎ C．②③ D．②④‎ ‎[解析]　观察图形可知a1＋c1>a2＋c2，‎ 即①式不正确；a1－c1＝a2－c2＝|PF|，即②式正确；由a1－c1＝a2－c2>0，c1>c2>0，知<，‎ 即<，从而c1a2>a1c2，>，即④式正确，③式不正确．‎ 故选D.‎ ‎[答案]　D ‎3．(2018·石家庄质检)椭圆＋y2＝1的左，右焦点分别为F1，F2，点P为椭圆上一动点，若∠F1PF2为钝角，则点P的横坐标的取值范围是______．‎ ‎[解析]　设椭圆上一点P的坐标为(x，y)，‎ 则＝(x＋，y)，＝(x－，y)．‎ ‎∵∠F1PF2为钝角，∴·<0，‎ 即x2－3＋y2<0，①‎ ‎∵y2＝1－，代入①得x2－3＋1－<0，‎ x2<2，∴x2<.‎ 解得－b>0)的右焦点F(c,0)关于直线y＝x的对称点Q在椭圆上，则椭圆的离心率是______．‎ ‎[解析]　设椭圆的另一个焦点为F1(－c,0)，如图，连接QF1，QF，设QF与直线y＝x交于点M.‎ 由题意知M为线段QF的中点，且OM⊥FQ.‎ 又O为线段F1F的中点，‎ ‎∴F1Q∥OM，∴F1Q⊥QF，|F1Q|＝2|OM|.‎ 在Rt△MOF中，tan∠MOF＝＝，|OF|＝c，‎ 可解得|OM|＝，|MF|＝，故|QF|＝2|MF|＝，|QF1|＝2|OM|＝.‎ 由椭圆的定义得|QF|＋|QF1|＝＋＝2a，‎ 整理得b＝c，∴a＝＝c，故e＝＝.‎ ‎[答案]　 ‎5．(2017·天津)设椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点为F，右顶点为A，离心率为.已知A是抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，F到抛物线的准线l的距离为.‎ ‎(1)求椭圆的方程和抛物线的方程；‎ ‎(2)设l上两点P，Q关于x轴对称，直线AP与椭圆相交于点B(B异于点A)，直线BQ与x轴相交于点D.若△APD的面积为，求直线AP的方程．‎ ‎[解]　(1)设F的坐标为(－c,0)．依题意，＝，＝a，a－c＝，解得a＝1，c＝，p＝2，于是b2＝a2－c2＝.所以，椭圆的方程为x2＋＝1，抛物线的方程为y2＝4x.‎ ‎(2)设直线AP的方程为x＝my＋1(m≠0)，‎ 与直线l的方程x＝－1联立，可得点P，‎ 故A.将x＝my＋1与x2＋＝1联立，消去x，整理得(3m2＋4)y2＋6my＝0，解得y＝0，或y＝.由点B异于点A，可得点B.由Q，可得直线BQ的方程为(x＋1)－＝0，令y＝0，解得x＝，故D.‎ 所以|AD|＝1－＝.‎ 又因为△APD的面积为，故××＝，整理得3m2－2|m|＋2＝0，解得|m|＝，所以m＝±.‎ 所以，直线AP的方程为3x＋y－3＝0，‎ 或3x－y－3＝0.‎ ‎[C尖子生专练]‎ ‎(2016·四川卷)已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点，直线l：y＝－x＋3与椭圆E有且只有一个公共点T.‎ ‎(1)求椭圆E的方程及点T的坐标；‎ ‎(2)设O是坐标原点，直线l′平行于OT，与椭圆E交于不同的两点A，B，且与直线l交于点P.证明：存在常数λ，使得|PT|2＝λ|PA|·|PB|，并求λ的值．‎ ‎[解]　(1)由已知，a＝b，则椭圆E的方程为＋＝1.‎ 由方程组得3x2－12x＋(18－2b2)＝0.①‎ 方程①的判别式为Δ＝24(b2－3)，由Δ＝0，得b2＝3，此时方程①的解为x＝2，所以椭圆E的方程为＋＝1.‎ 点T坐标为(2,1)．‎ ‎(2)由已知可设直线l′的方程为y＝x＋m(m≠0)，‎ 有方程组可得 所以P点坐标为，|PT|2＝m2.‎ 设点A，B的坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)．‎ 由方程组 可得3x2＋4mx＋(4m2－12)＝0.②‎ 方程②的判别式Δ＝16(9－2m2)，由Δ＞0，‎ 解得－＜m＜.‎ 由②得x1＋x2＝－，x1x2＝.‎ 所以|PA|＝＝，‎ 同理|PB|＝，‎ 所以|PB|·|PB|＝＝ ‎＝＝m2.‎ 故存在常数λ＝，使得|PT|2＝λ|PA|·|PB|.‎ 考前的心理准备，考前可通过心理暗示缓解紧张情绪，进行临场心理调节。紧张时可用“我能行”、“静心”、“认真”等自我暗示来稳定情绪，适当做做深呼吸。放松心情，减少压力，参加成考的学生需要将平时的家庭、学校、社会的压力全丢掉，轻装上阵。Coming back home in the evening, family and I sat and watched TV together, we are returning and eating the fruit while chatting, the whole family is happy and harmonious!考试要淡定。拿到试卷后，不要急于动笔，先浏览试题，粗略知道各题的难易、分值后合理安排答题时间。分值较小的题，如果一时做不出来，可先放一放，抢时间先做会做的题，然后再回头考虑本题。.I live very happily today! In the morning, it is very fine! Then I climb the mountain with family, the air on the mountain is very fresh, the flowers plants and trees on the mountain all seem extremely beautiful. ‎