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- 2021-05-13 发布
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2015·江苏卷(数学)
1．A1[2015·江苏卷] 已知集合 A＝{1，2，3}，B＝{2，4，5}，则集合 A∪B 中元素的个
数为________．
1．5 [解析] 因为 A∪B＝{1，2，3，4，5}，所以 A∪B 中元素的个数为 5.
2．I2[2015·江苏卷] 已知一组数据 4，6，5，8，7，6，那么这组数据的平均数为________．
2．6 [解析] x＝1
6
×(4＋6＋5＋8＋7＋6)＝6.
3．L4[2015·江苏卷] 设复数 z 满足 z2＝3＋4i(i 是虚数单位)，则 z 的模为________．
3. 5 [解析] 因为 z2＝3＋4i，所以|z2|＝|z|2＝|3＋4i|＝ 9＋16＝5，所以|z|＝ 5.
4．L2[2015·江苏卷] 根据如图 11 所示的伪代码，可知输出的结果 S 为________．
S←1
I←1
While I<8
S←S＋2
I←I＋3
End While
Print S
图 11
4．7 [解析] 第一次循环得 S＝1＋2＝3，I＝1＋3＝4<8；第二次循环得 S＝3＋2＝5，I
＝4＋3＝7<8；第三次循环得 S＝5＋2＝7，I＝7＋3＝10>8，退出循环，故输出的 S＝7.
5．K2[2015·江苏卷] 袋中有形状、大小都相同的 4 只球，其中 1 只白球，1 只红球，2
只黄球．从中一次随机摸出 2 只球，则这 2 只球颜色不同的概率为________．
5.5
6 [解析] 方法一：以 1 表示白球，以 2 表示红球，以 3，4 表示 2 只黄球，则随机摸
出 2 只球的所有基本事件有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4)，共 6 个，2 只
球颜色不同的基本事件有 5 个，故所求概率 P＝5
6.
方法二：2 只球颜色不同的对立事件是 2 只球颜色相同，有 1 种情况，故所求概率 P＝1
－1
6
＝5
6.
6．F2[2015·江苏卷] 已知向量 a＝(2，1)，b＝(1，－2)，若 ma＋nb＝(9，－8)(m，n∈R)，
则 m－n 的值为________．
6．－3 [解析] 因为 ma＋nb＝(2m＋n，m－2n)＝(9，－8)，所以 2m＋n＝9，
m－2n＝－8，
解得
m＝2，
n＝5，
故 m－n＝－3.
7．E3[2015·江苏卷] 不等式 2x2－x<4 的解集为________．
7．{x|－10.当 x→＋
∞时，u(x)→0，所以 d> 2
2
，故 cmax＝ 2
2 .
13．B8、B9[2015·江苏卷] 已知函数 f(x)＝|ln x|，g(x)＝ 0，01，
则方程|f(x)＋
g(x)|＝1 实根的个数为________．
13．4 [解析] 当 01 时，由|f（x）＋g（x）|＝1 得|ln x|＝3－|x2－4|或|ln x|＝1－|x2－4|.分别在同一个坐
标系中作出函数 y＝|ln x|与 y＝3－|x2－4|的图像(如图 1)和函数 y＝|ln x|与 y＝1－|x2－4|的图像
(如图 2)．
图 1
图 2
当 x>1 时，它们分别有 1 个、2 个交点，故 x>1 时，方程有 3 个实根．
综上，方程|f（x）＋g（x）|＝1 共有 4 个不同的实根．
14．C7、F3[2015·江苏卷] 设向量 ak＝ coskπ
6
，sinkπ
6
＋coskπ
6 (k＝0，1，2，…，12)，
则错误!(ak·ak＋1)的值为________．
14 ． 9 3 [ 解 析 ] 因 为 ak · ak ＋ 1 ＝ cos kπ
6
cos （k＋1）π
6
＋
sinkπ
6
＋coskπ
6
sin（k＋1）π
6
＋cos（k＋1）π
6
＝ 2cos kπ
6
cos （k＋1）π
6
＋ sin kπ
6
sin （k＋1）π
6
＋ sin kπ
6
cos （k＋1）π
6
＋
coskπ
6
sin（k＋1）π
6
＝coskπ
6
cos（k＋1）π
6
＋cosπ
6
＋sin（2k＋1）π
6
＝1
2cos（2k＋1）π
6
＋sin（2k＋1）π
6
＋
3 3
4
，
所以错误!(ak·ak＋1)＝12×3 3
4
＋1
2
错误!cos（2k＋1）π
6
＋错误!sin（2k＋1）π
6
＝9 3.
15．C8[2015·江苏卷] 在△ABC 中，已知 AB＝2，AC＝3，A＝60°.
(1)求 BC 的长；
(2)求 sin 2C 的值．
15．解：(1)由余弦定理知，BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos A＝4＋9－2×2×3×1
2
＝7，所
以 BC＝ 7.
(2)由正弦定理知， AB
sin C
＝ BC
sin A
，所以 sin C＝AB
BC
·sin A＝2sin 60°
7
＝ 21
7 .
因为 AB0，g(t)是增函数．
从而，当 t＝10 2时，函数 g(t)有极小值，也是最小值，所以 g(t)min＝300，此时 f(t)min
＝15 3.
故当 t＝10 2时，公路 l 的长度最短，最短长度为 15 3千米．
18．H5、H10[2015·江苏卷] 如图14，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆x2
a2
＋y2
b2
＝1(a>b>0)
的离心率为 2
2
，且右焦点 F 到左准线 l 的距离为 3.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过 F 的直线与椭圆交于 A，B 两点，线段 AB 的垂直平分线分别交直线 l 和 AB 于点 P，
C，若 PC＝2AB，求直线 AB 的方程．
图 14
18．解：(1)由题意，得c
a
＝ 2
2
，且 c＋a2
c
＝3，
解得 a＝ 2，c＝1，则 b＝1，
所以椭圆的标准方程为x2
2
＋y2＝1.
(2)当 AB⊥x 轴时，AB＝ 2，又 CP＝3，不合题意．
当 AB 与 x 轴不垂直时，设直线 AB 的方程为 y＝k(x－1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，将直线
AB 的方程代入椭圆方程，得(1＋2k2)x2－4k2x＋2(k2－1)＝0，则 x1，2＝2k2± 2（1＋k2）
1＋2k2
，C
点的坐标为
2k2
1＋2k2
， －k
1＋2k2 ，
且 AB＝ （x2－x1）2＋（y2－y1）2＝ （1＋k2）（x2－x1）2＝
2 2（1＋k2）
1＋2k2 .
若 k＝0，则线段 AB 的垂直平分线为 y 轴，与左准线平行，不合题意，
从而 k≠0，故直线 PC 的方程为 y＋ k
1＋2k2
＝－1
k
x－ 2k2
1＋2k2 ，
则 P 点的坐标为
－2， 5k2＋2
k（1＋2k2） ，
从而 PC＝2（3k2＋1） 1＋k2
|k|（1＋2k2） .
因为 PC＝2AB，所以2（3k2＋1） 1＋k2
|k|（1＋2k2）
＝4 2（1＋k2）
1＋2k2
，解得 k＝±1，
此时直线 AB 的方程为 y＝x－1 或 y＝－x＋1.
19．B9、B12[2015·江苏卷] 已知函数 f(x)＝x3＋ax2＋b(a，b∈R)．
(1)试讨论 f(x)的单调性；
(2)若 b＝c－a(实数 c 是与 a 无关的常数)，当函数 f(x)有三个不同的零点时，a 的取值范
围恰好是(－∞，－3)∪ 1，3
2 ∪
3
2
，＋∞ ，求 c 的值．
19．解：(1)f′(x)＝3x2＋2ax，令 f′(x)＝0，解得 x1＝0，x2＝－2a
3 .
当 a＝0 时，因为 f′(x)＝3x2≥0，所以函数 f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增；
当 a>0 时，若 x∈ －∞，－2a
3 ∪(0，＋∞)，则 f′(x)>0，若 x∈ －2a
3
，0 ，则 f′(x)<0，
所以函数 f(x)在 －∞，－2a
3 ，(0，＋∞)上单调递增，在 －2a
3
，0 上单调递减；
当 a<0 时，若 x∈(－∞，0)∪ －2a
3
，＋∞ ，则 f′(x)>0，若 x∈ 0，－2a
3 ，则 f′(x)<0，
所以函数 f(x)在(－∞，0)， －2a
3
，＋∞ 上单调递增，在 0，－2a
3 上单调递减．
(2)由(1)知，函数 f(x)的两个极值分别为 f(0)＝b，f
－2a
3 ＝ 4
27a3＋b，则函数 f(x)有三个零
点等价于 f(0)·f
－2a
3 ＝b
4
27a3＋b <0，从而
a>0，
－ 4
27a30 时， 4
27a3－a＋c>0 或当 a<0 时， 4
27a3－a＋c<0.
设 g(a)＝ 4
27a3－a＋c.因为函数 f(x)有三个零点时，a 的取值范围恰好是(－∞，－3)∪ 1，3
2
∪
3
2
，＋∞ ，
所以在(－∞，－3)上 g(a)<0，且在 1，3
2 ∪
3
2
，＋∞ 上 g(a)>0 均恒成立，
从而 g(－3)＝c－1≤0，且 g
3
2 ＝c－1≥0，因此 c＝1.
此时，f(x)＝x3＋ax2＋1－a＝(x＋1)[x2＋(a－1)x＋1－a]．
因为函数 f(x)有三个零点，所以 x2＋(a－1)x＋1－a＝0 有两个异于－1 的不等实根，
所以Δ＝(a－1)2－4(1－a)＝a2＋2a－3>0，
且(－1)2－(a－1)＋1－a≠0，
解得 a∈(－∞，－3)∪ 1，3
2 ∪
3
2
，＋∞
.
综上，c＝1.
20．D2、D3、D5[2015·江苏卷] 设 a1，a2，a3，a4 是各项为正数且公差为 d(d≠0)的等差
数列．
(1)证明：2a1，2a2，2a3，2a4 依次构成等比数列．
(2)是否存在 a1，d，使得 a1，a22，a33，a 44依次构成等比数列？并说明理由．
(3)是否存在 a1，d 及正整数 n，k，使得 an1，an＋k2 ，an＋2k3 ，a n＋3k4 依次构成等比数列？并说
明理由．
20．解：(1)证明：因为2an＋1
2an
＝2an＋1－an＝2d(n＝1，2，3)是同一个常数，
所以 2a1，2a2，2a3，2a4 依次构成等比数列．
(2)令 a1＋d＝a，则 a1，a2，a3，a4 分别为 a－d，a，a＋d，a＋2d(a>d，a>－2d，d≠0)．
假设存在 a1，d，使得 a1，a22，a33，a 44依次构成等比数列，
则 a4＝(a－d)(a＋d)3，且(a＋d)6＝a2(a＋2d)4.
令 t＝d
a
，则 1＝(1－t)(1＋t)3，且(1＋t)6＝(1＋2t)4
－1
2－1
3
，t≠0 ，
则(1＋2t)n＋2k＝(1＋t)2(n＋k)，且(1＋t)n＋k(1＋3t)n＋3k＝(1＋2t)2(n＋2k)．
将上述两个等式两边取对数，得(n＋2k)ln(1＋2t)＝2(n＋k)ln(1＋t)，且(n＋k)ln(1＋t)＋(n
＋3k)ln(1＋3t)＝2(n＋2k)ln(1＋2t)，
化简得 2k[ln(1＋2t)－ln(1＋t)]＝n[2ln(1＋t)－ln(1＋2t)]，
且 k[3ln(1＋3t)＋ln(1＋t)－4ln(1＋2t)]＝n[2ln(1＋2t)－ln(1＋t)－ln(1＋3t)]．
再将这两式相除，化简得
ln(1＋3t)ln(1＋2t)＋3ln(1＋2t)ln(1＋t)＝4ln(1＋3t)ln(1＋t)(**)．
令 g(t)＝4ln(1＋3t)ln(1＋t)－ln(1＋3t)ln(1＋2t)－3ln(1＋2t)ln(1＋t)，则 g′(t)＝
2[（1＋3t）2ln（1＋3t）－3（1＋2t）2ln（1＋2t）＋3（1＋t）2ln（1＋t）]
（1＋t）（1＋2t）（1＋3t） .
令φ(t)＝(1＋3t)2ln(1＋3t)－3(1＋2t)2ln(1＋2t)＋3(1＋t)2ln(1＋t)，
则φ′(t)＝6[(1＋3t)ln(1＋3t)－2(1＋2t)ln(1＋2t)＋(1＋t)ln(1＋t)]．
令φ1(t)＝φ′(t)，则φ′1(t)＝6[3ln(1＋3t)－4ln(1＋2t)＋ln(1＋t)]．
令φ2(t)＝φ′1(t)，则φ′2(t)＝ 12
（1＋t）（1＋2t）（1＋3t）>0.
由 g(0)＝φ(0)＝φ1(0)＝φ2(0)＝0，φ′2(t)>0，
知φ2(t)，φ1(t)，φ(t)，g(t)在 －1
3
，0 和(0，＋∞)上均单调．
故 g(t)只有唯一零点 t＝0，即方程(**)只有唯一解 t＝0，故假设不成立，
所以不存在 a1，d 及正整数 n，k，使得 an1，an＋k2 ，an＋2k3 ，a n＋3k4 依次构成等比数列．
21．N1[2015·江苏卷] A．[选修 41：几何证明选讲]如图 15，在△ABC 中，AB＝AC，
△ABC 的外接圆⊙O 的弦 AE 交 BC 于点 D.
求证：△ABD∽△AEB.
图 15
N2B.[选修 42：矩阵与变换]已知 x，y∈R，向量α＝
1
－1 是矩阵 A＝
x 1
y 0 的属于特征
值－2 的一个特征向量，求矩阵 A 以及它的另一个特征值．
N3C.[选修 44：坐标系与参数方程]已知圆 C 的极坐标方程为ρ2＋2 2ρsin
θ－π
4 －4
＝0，求圆 C 的半径．
N4D.[选修 45：不等式选讲]解不等式 x＋|2x＋3|≥2.
21．A.证明：因为 AB＝AC，所以∠ABD＝∠C.
又因为∠C＝∠E，所以∠ABD＝∠E，
又∠BAE 为公共角，所以△ABD∽△AEB.
B．解：由已知，得 Aα＝－2α，即
x 1
y 0
1
－1 ＝ x－1
y
＝
－2
2 ，则 x－1＝－2，
y＝2，
即 x＝－1，
y＝2，
所以矩阵 A＝
－1 1
2 0 .
从而矩阵 A 的特征多项式 f(λ)＝(λ＋2)(λ－1)，
所以矩阵 A 的另一个特征值为 1.
C．解：以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点 O，以极轴为 x 轴的正半轴，建立
直角坐标系 xOy.
圆 C 的极坐标方程为ρ2＋2 2ρ
2
2 sin θ－ 2
2 cos θ －4＝0，化简得ρ2＋2ρsin θ－
2ρcos θ－4＝0，
则圆 C 的直角坐标方程为 x2＋y2－2x＋2y－4＝0，
即(x－1)2＋(y＋1)2＝6，
所以圆 C 的半径为 6.
D．解：原不等式可化为
x<－3
2
，
－x－3≥2
或
x≥－3
2
，
3x＋3≥2，
解得 x≤－5 或 x≥－1
3.
综上，原不等式的解集是 x|x≤－5 或 x≥－1
3 .
22．G11、G12[2015·江苏卷] 如图 16，在四棱锥 P ABCD 中，已知 PA⊥平面 ABCD，
且四边形 ABCD 为直角梯形，∠ABC＝∠BAD＝π
2
，PA＝AD＝2，AB＝BC＝1.
(1)求平面 PAB 与平面 PCD 所成二面角的余弦值；
(2)点 Q 是线段 BP 上的动点，当直线 CQ 与 DP 所成的角最小时，求线段 BQ 的长．
图 16
22．解：以{AB→，AD→ ，AP→}为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系 A xyz，则各点的
坐标为 B(1，0，0)，C(1，1，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)．
(1)因为 AD⊥平面 PAB，所以AD→ 是平面 PAB 的一个法向量，AD→ ＝(0，2，0)．
因为PC→＝(1，1，－2)，PD→ ＝(0，2，－2)，
设平面 PCD 的一个法向量为 m＝(x，y，z)，
所以 m·PC→＝0，m·PD→ ＝0，
即 x＋y－2z＝0，
2y－2z＝0.
令 y＝1，解得 z＝1，x＝1，
所以 m＝(1，1，1)是平面 PCD 的一个法向量．
从而 cos〈AD→ ，m〉＝ AD→ ·m
|AD→ ||m|
＝ 3
3
，
所以平面 PAB 与平面 PCD 所成二面角的余弦值为 3
3 .
(2)由BP→＝(－1，0，2)，可设BQ→ ＝λBP→＝(－λ，0，2λ)(0≤λ≤1)，
又CB→＝(0，－1，0)，所以CQ→ ＝CB→＋BQ→ ＝(－λ，－1，2λ)，又DP→ ＝(0，－2，2)，
从而 cos〈CQ→ ，DP→ 〉＝CQ→ ·DP→
|CQ→ ||DP→ |
＝ 1＋2λ
10λ2＋2
.
设 1＋2λ＝t，t∈[1，3]，则 cos2〈CQ→ ，DP→ 〉＝ 2t2
5t2－10t＋9
＝
2
9
1
t
－5
9
2
＋20
9
≤ 9
10
，
当且仅当 t＝9
5
，即λ＝2
5
时，|cos〈CQ→ ，DP→ 〉|取得最大值为3 10
10 .
因为 y＝cos x 在 0，π
2 上是减函数，所以此时直线 CQ 与 DP 所成角取得最小值．
又因为 BP＝ 12＋22＝ 5，所以 BQ＝2
5BP＝2 5
5 .
23．M3[2015·江苏卷] 已知集合 X＝{1，2，3}，Yn＝{1，2，3，…，n}(n∈N*)，设 Sn
＝{(a，b)|a 整除 b 或 b 整除 a，a∈X，b∈Yn}．令 f(n)表示集合 Sn 所含元素的个数．
(1)写出 f(6)的值；
(2)当 n≥6 时，写出 f(n)的表达式，并用数学归纳法证明．
23．解：(1)f(6)＝13.
(2)当 n≥6 时，
f(n)＝
n＋2＋
n
2
＋n
3 ，n＝6t，
n＋2＋
n－1
2
＋n－1
3 ，n＝6t＋1，
n＋2＋
n
2
＋n－2
3 ，n＝6t＋2，
n＋2＋
n－1
2
＋n
3 ，n＝6t＋3，
n＋2＋
n
2
＋n－1
3 ，n＝6t＋4，
n＋2＋
n－1
2
＋n－2
3 ，n＝6t＋5
(t∈N*)．
下面用数学归纳法证明：
①当 n＝6 时，f(6)＝6＋2＋6
2
＋6
3
＝13，结论成立．
②假设 n＝k(k≥6)时结论成立，那么 n＝k＋1 时，f(k＋1)在 f(k)的基础上新增加的元素在
(1，k＋1)，(2，k＋1)，(3，k＋1)中产生，分以下情形讨论：
(i)若 k＋1＝6t，则 k＝6(t－1)＋5，此时有
f(k＋1)＝f(k)＋3＝k＋2＋k－1
2
＋k－2
3
＋3
＝(k＋1)＋2＋k＋1
2
＋k＋1
3
，结论成立；
(ii)若 k＋1＝6t＋1，则 k＝6t，此时有
f(k＋1)＝f(k)＋1＝k＋2＋k
2
＋k
3
＋1
＝(k＋1)＋2＋（k＋1）－1
2
＋（k＋1）－1
3
，结论成立；
(iii)若 k＋1＝6t＋2，则 k＝6t＋1，此时有
f(k＋1)＝f(k)＋2＝k＋2＋k－1
2
＋k－1
3
＋2
＝(k＋1)＋2＋k＋1
2
＋（k＋1）－2
3
，结论成立；
(iv)若 k＋1＝6t＋3，则 k＝6t＋2，此时有
f(k＋1)＝f(k)＋2＝k＋2＋k
2
＋k－2
3
＋2
＝(k＋1)＋2＋（k＋1）－1
2
＋k＋1
3
，结论成立；
(v)若 k＋1＝6t＋4，则 k＝6t＋3，此时有
f(k＋1)＝f(k)＋2＝k＋2＋k－1
2
＋k
3
＋2
＝(k＋1)＋2＋k＋1
2
＋（k＋1）－1
3
，结论成立；
(vi)若 k＋1＝6t＋5，则 k＝6t＋4，此时有
f(k＋1)＝f(k)＋1＝k＋2＋k
2
＋k－1
3
＋1
＝(k＋1)＋2＋（k＋1）－1
2
＋（k＋1）－2
3
，结论成立．
综上所述，结论对满足 n≥6 的自然数 n 均成立．
2014 年江苏高数学试题
数学Ⅰ试题
参考公式:
圆柱的侧学科王面积公式:S 圆柱=cl, 其中 c 是圆柱底面的周长，l 为母线长.
圆柱的体积公式:V 圆柱=Sh,其中 S 是圆柱的底面积，h 为高.
一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分.请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．.
1．已知集合 { 2 1 3 4}A ， ，， ， { 1 2 3}B ， ， ，则 A B 学科王 ．
【答案】{ 1 3} ，
2．已知复数 2(5 2 )z i (i 为虚数学科王单位)，则 z 的实部为 ．
【答案】21
3．右图是一个算法流程图，则输出的 n 的值是 ．
【答案】5 学科王
4．从1 2 3 6， ，， 这 4 个数中一次随机地取 2 个数，则所取 2 个数的乘积为 6 的
概率是 ．
【答案】 1
3
5．已知函数 cosy x 与 sin(2 )(0 )y x ≤ ，它们的学科王图象学科王有一个横坐标为
3
的交点，则 的值是 ．
【答案】学科王
6
6．设抽测的树木的底部周长均在区间[80 130]， 上，其频率分布
直方图如图所示，则在抽测的 60 株树木中，有 株
树木的底部周长小于 100 cm．
【答案】24
7．在各项均为正数的等比数学科王列{ }na 中，若 2 1a ， 8 6 42a a a ，
则 6a 的值是 ．
【答案】4
8．设甲学科王、乙两个圆柱的底面积分别为 1 2S S， ，体积分别为 1 2V V， ，若它们的侧面积相等，且
1
2
9
4
S
S ，则 1
2
V
V
的值是 ．
【答案】 3
2
9．在平面直角坐标系 xOy 中，直线 2 3 0x y 被圆 2 2( 2) ( 1) 4x y 截得的弦长
为 ．
【答案】 2 55
5
1 学科王 0．已知函数 2( ) 1f x x mx ，若学科王对任意 [ 1]x m m ， ，都有 ( ) 0f x 成立，则实数 m
的取值范围是 学科王 ．
【答案】 2 02
，
11．在平面直角坐标系 xOy 中，若曲线 2 by ax x ( a b， 为常数)过点 (2 5)P ， ，且该曲线在
点 P 处的切线与直线 7 2 3 0x y 平行，则 a b 的值是 ．
【答案】 3
12．如图，在平行四边形 ABCD 中，已知学科王， 8 5AB AD ， ， 3 2CP PD AP BP ， ，则 AB AD
的值是 ．
【答案】22
13．已知 ( )f x 是定义在 R 上且周期为 3 的函数，当 [0 3)x ， 时， 2 1( ) 2 2f x x x ．若函
数 ( )y f x a 在 区 间 [ 3 4] ， 上 有 10 个 零 点 ( 互 不 相 同 ) ， 则 实 数 a 的 取 值 范 围
是 ．
【答案】 10 2
，
14．若 ABC 的内角满足 sin 2 sin 2sinA B C ，则 cosC 的最小值是 ．
【答案】 6 2
4
二、解答题：本大题共6小题, 共计学科王90 分. 请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答, 解答时应写出文字
说明、证明学学科王科王过程或演算步骤.
15．(本小题满分 14 分)已知 2 ， ， 5sin 5 ．
（1）求 sin 4 的值；
（2）学科王求 cos 26 的值．
【答案】本小题主要学科王考查三角函数的基本关系式、两角和与差及二倍角的公式，考查运算
求解能
力. 满分 14 分.
（1）∵ 5sin2 5 ， ， ，
∴ 2 2 5cos 1 sin 5
2 10sin sin cos cos sin (cos sin )4 4 4 2 10 ；
（2）∵ 2 24 3sin 2 2sin cos cos2 cos sin5 5 ，
∴ 3 3 1 4 3 3 4cos 2 cos cos2 sin sin 26 6 6 2 5 2 5 10 ．
16．(本小题满分14 分)如图，在三棱锥 P ABC 中，D E F， ， 分别为棱 PC AC AB， ， 的中点．已
知 6PA AC PA ， ， 8BC ， 5DF ．
（1）求证：直线 PA∥平面 DEF 学科王；
（2）平面 BDE⊥平面 ABC．
【答案】本小题主要考查直线与直线、学学科王科王直线与平面以及平面与平面的位置关系，
考查空间想象能力和推理论证能力.满分 14 分.
（学科王 1）∵ D E， 为 PC AC， 中点 ∴DE∥PA
∵ PA 平面 DEF，DE 平面 DEF ∴PA∥平面 DEF
（2）∵ D E， 为 PC AC， 中点 ∴ 1 32DE PA
∵ E F， 为 AC AB， 中点 ∴学科王
1 42EF BC
∴ 2 2 2DE EF DF ∴ 90DEF °，∴DE⊥EF
∵ //DE PA PA AC， ，∴学科王 DE AC
学科王∵ AC EF E 学科王
∴DE⊥平面 ABC
∵DE 平面 BDE， ∴平面 BDE⊥平面 ABC．
17 ． ( 本 小 学 科 王 题 满 分 14 分 ) 如 图 ， 在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy 中 ， 1 2F F， 分 别 是 椭 圆
22
2 2 1( 0)yx a ba b 的左、右学科王焦点，顶点 B 的坐标为 (0 )b， ，连结 2BF 并延长交椭圆于
点 A，过点 A 作 x 轴的垂线交椭圆于另一点 C，连结 1FC ．
（1）若点 C 的坐标为 4 1
3 3
， ，且 2 2BF ，求椭圆的方程；
（2）若 1FC AB ，求椭圆离心率 e 的值．
【答案】本小题主要考查椭圆的标准方程与几何性质、直线与直线的位置关系等基础知识，
考查运
算求解能力. 满分 14 分.
（1）∵ 4 1
3 3C ， ，∴ 2 2
16 1
9 9 9a b
∵ 2 2 2 2
2BF b c a ，∴ 2 2( 2) 2a ，∴ 2 1b
∴椭圆方程学科王为 2
2 12
x y
（2）设焦点 1 2( 0) ( 0) ( )F c F c C x y ， ， ， ， ，
学科王∵ A C， 关于 x 轴对称，∴学科王 ( )A x y，
∵ 2B F A， ， 三点共线，∴ b yb
c x
，即 0bx cy bc ①
∵学科王 1FC AB ，∴ 1y b
x c c ，即 2 0xc by c ②学科王
①②联立方程组，解得
2
2 2
2
2 2
2
cax b c
bcy b c
∴ 2 2
2 2 2 2
2a c bcC b c b c ，
∵C 在椭圆上，∴ 2 22 2
2 2 2 2
2 2
2
1
a c bc
b c b c
a b
，
化简得 2 25c a ，∴ 5
5
c
a , 故离心学科王率为 5
5
18．(本小题满分 16 分)如图，为保护河上古桥 OA，规划建一座新桥 BC，同时设立一个圆形
保护区．规划要求：新桥 BC 与河岸 AB 垂直；保护区的边界为圆心 M 在线段 OA 上并与
BC 相切的圆，且古桥两端 O 和 A 到该圆上任意一点的距离均不少于 80m．经测量，点 A
位于点 O 学科王正北方向 60 学科王 m 处，点 C 位于点 O 正东方向 170m
处(OC 为河岸)， 4tan 3BCO ．
（1）求新桥 BC 的长；
（2）当 OM 多长时，圆形保护区的面积最大？
解：本小题主要考查直线方程、直线与圆的位置关系和解三角形
等基础知识，考查建立数学模型及运用数学知识解决实际问题的能
力.满分 16 分.
解法一：
(1) 如图，以 O 为坐标原点，OC 学科王所在直线为 x 轴，建立平面直角坐
标系 xOy.
由条件知 A(0, 60)，C(170, 0)，
直线 BC 的斜率 k BC=－tan∠BCO=－ 4
3
.
又因为 AB⊥BC，所以直线 AB 的斜率 k AB= 3
4
.
设点 B 的坐标为(a,b)，则 k BC= 0 4 ,170 3
b
a
k AB= 60 3 ,0 4
b
a
解得 a=80 学科王，b=120. 所以 BC= 2 2(170 80) (0 120) 150 .
因此新桥 BC 的长是 150 m.
(2)设保护区的边界圆 M 的半径为 r m,OM=d m,(0≤d≤60).
由条件知，直线 BC 的方程为 4 ( 170)3y x ，即 4 3 680 0x y
由于圆 M 与直线 BC 相切，故点 M(0，d)到直线 BC 的距离是 r，
即 | 3 680 | 680 3
5 5
d dr .
因学科学科王学科王王为 O 和 A 到圆 M 上任意一点的距离均不少于 80 m,
所 以 80
(60 ) 80
r d
r d
≥
≥ 即
680 3 805
680 3 (60 ) 805
d d
d d
≥
≥
解 得
10 35d≤ ≤
故当 d=10 时, 680 3
5
dr 最大，即圆面积最大.
所以当 OM = 10 m 时，圆形保护区的面积最大.
解法二:(1)如图，延长 OA, CB 交于点 F.
因为 tan∠BCO= 4
3
.所以 sin∠FCO= 4
5
，cos∠FCO= 3
5
.
因为 OA=6 学科王 0,OC=170，所以 OF=OC tan∠FCO= 680
3
.
CF= 850
cos 3
OC
FCO
,从而 500
3AF OF OA .
因为 OA⊥OC，所以 cos∠AFB=sin∠FCO== 4
5
，
又因为 AB⊥BC，所以 BF=AF cos∠AFB== 400
3
，从而 BC=CF－BF=150.
因此新桥 BC 的长是 150 m.
(2)设保护区的边界圆 M 与 BC 的切点为 D，连接 MD，则 MD⊥BC，且 MD 是圆 M 的半
径，学科王并设 MD=r m，OM=d m(0≤d≤60).
因为 OA⊥OC，所以 sin∠CFO =学科王 cos∠FCO，
故由(1)知，sin∠CFO = 3 ,680 5
3
MD MD r
MF OF OM d
学科王
所以 680 3
5
dr .
因为 O 和 A 到圆 M 上任意一点的距离均不少于 80 m,
所以 80
(60 ) 80
r d
r d
≥
≥ 即
680 3 805
680 3 (60 ) 805
d d
d d
≥
≥
学科王
解得10 35d≤ ≤
故学科王当 d=10 时, 680 3
5
dr 最大，即圆面积最大.
所以当 OM = 10 学科王 m 时，圆形保护区的面积最大.
19．(本小题满分 1 学科王 6 分)已知函数 ( ) e ex xf x 其中 e 是自然对数的底数．
（1 学科王）证明： ( )f x 是 R 上的偶函数；
（2）若关于 x 的学科王不等式 ( ) e 1xmf x m ≤ 在 (0 ) ， 上恒成立，求实数 m 的取值范围；
（3）已知正数 a 满足：存学科王在 0 [1 )x ， ，使得 3
0 0 0( ) ( 3 )f x a x x 成立．试比较 1ea 与 e 1a
的大小，并证明你的结论．
【答案】本小题主要考查初等函数的基学科王本性质、导数的应用等基础知识，考查综合运用数
学思想
学科王 方法分析与解决问题的能力.满分 16 分.
（1） x R ， ( ) e e ( )x xf x f x ，∴ ( )f x 是 R 上的偶函数
（2 学科王）学科王由题意， (e e ) e 1x x xm m ≤ ，即 (e e 1) e 1x x xm ≤
∵ (0 )x ， ，∴ e e 1 0x x ，即 e 1
e e 1
x
x xm
≤ 对 (0 )x ， 恒成立
令 e ( 1)xt t ，则 2
1
1
tm t t
≤ 对任意 (1 )t ， 恒成立
∵ 2 2
1 1 1 1
1 ( 1) ( 1) 1 1 31 11
t t
t t t t t t
≥ ，当且仅当 2t 时等号成立
∴ 1
3m ≤
（3） '( ) e ex xf x ，当 1x 时 '( ) 0f x ，∴ ( )f x 在 (1 ) ， 上单调增
令学科王
3( ) ( 3 )h x a x x ， '( ) 3 ( 1)h x ax x
∵ 0 1a x ， ，∴ '( ) 0h x ，学科王即 ( )h x 在 (1 )x ， 上单调减
∵存在 0 [1 )x ， ，使得 3
0 0 0( ) ( 3 )f x a x x ，学科王∴ 1(1) e 2ef a ，即 1 1e2 ea
∵
e1
e 1 1
1ln ln lne (e 1)ln 1e
a
a
a a a a
设 ( ) (e 1)ln 1m a a a ，则 e 1 e 1 1 1'( ) 1 e2 e
am a aa a
，
学科王当 1 1e e 12 e a 时， '( ) 0m a ， ( )m a 单调增；
当 e 1a 时， '( ) 0m a ， ( )m a 单学科王调减
因此 ( )m a 至多有两个零点，而 (1) (e) 0m m
∴当 ea 时， ( ) 0m a ， e 1 1eaa ；
当 1 1e e2 e a
学科王
时， ( ) 0m a ， e 1 1eaa ；
当 ea 时， ( ) 0m a ， e 1 1eaa ．
20．(本小题满分 16 学科王分)设数列{ }na 的前 n 项和为 nS ．若对任意的正整数 n，总存在正整数 m，
使得 n mS a ，则称{ }na 是“H 数列”．
（1）若数列学科王 { }na 的前 n 项和 2 ( )n
nS n N ，证明：{ }na 是“H 数列”；
（2）设学科王 { }na 是等差数列，其首项 1 1a ，公差 0d ．若{ }na 是“H 数列”，求 d 的值；
（3）证明：对任意的等差数列 { }na ，总存在两个“H 数列” { }nb 和 { }nc ，使得
( )n n na b c n N 成立．
【答案】本小题主要考查数列的概念、等学科王差数列等基础知识，考查探究能力及推理论证能
力, 满分 16 分.
（1）当 2n≥ 时学科王， 1 1
1 2 2 2n n n
n n na S S
当 1n 时， 1 1 2a S
∴ 1n 时， 1 1S a ，当 2n≥ 时， 1n nS a
∴{ }na 是“H 数列”
（2） 1
( 1) ( 1)
2 2n
n n n nS na d n d
对 n N ， m N 使 n mS a ，即 ( 1) 1 ( 1)2
n nn d m d
取 2n 得1 ( 1)d m d ， 12m d
∵ 0d ，∴ 2m ，又 m N ，∴ 1m ，∴ 1d
（3）设{ }na 的学科王公差为 d
令 1 1 1( 1) (2 )nb a n a n a ，对 n N ， 1 1n nb b a
1( 1)( )nc n a d ，对 n N ， 1 1n nc c a d
学科王则 1 ( 1)n n nb c a n d a ，且{ } { }n nb c， 为等差数列
{ }nb 的前 n 项和 1 1
( 1) ( )2n
n nT na a ，学科王令 1(2 )nT m a ，则 ( 3) 22
n nm
当 1n 学科王
时 1m ；
当 2n 时 1m ；
当 3n≥ 时，由于 n 与 3n 奇偶性不同，即 ( 3)n n 非负偶数， m N
因此对 n ，都可学科王找到 m N ，使 n mT b 成立，即{ }nb 为“H 数列”．
{ }nc 的前ｎ项和 1
( 1) ( )2n
n nR a d ，令 1( 1)( )n mc m a d R ，则 ( 1) 12
n nm
∵对 n N ， ( 1)n n 是非负偶数，∴ m N
即对 n N ，都可找到 m N ，使得 n mR c 成立，即{ }nc 为“H 数列”
因此命题得证.
数学Ⅱ(附加题)
21.【选做题】本题包括 A, B,C,D 四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答.
若多做，则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
A.【选修 41:几何证明选讲】(本小题满分 10 分)
如图，AB 是圆 O 的直径，C、 D 是圆 O 上位于 AB 异侧的两点
证明:∠OCB=∠D.
本小题主要考查圆的基本性质，考查推理论证能力.满分 10 分.
证明：因为 B, C 是圆 O 上的两点，所以 OB=OC.
故∠OCB=∠B.
学科王又因为 C, D 是圆 O 上位于学科王 AB 异侧的两点，
故∠B，∠D 为同弧所对的两个圆周角，
所以∠B=∠D.
学科王 因此∠OCB=∠D.
B.【选修 42:矩阵与变换】(本小题满分 10 分)
已知矩阵 1 2
1 x
A ， 1 1
2 1
B ，向量 2
y
， x y， 为实数，若 Aα = Bα ，求 x y， 的
值．
【答案】本小题主要考查矩阵的乘法等基础知识，考查运算求解能力.满分 10 分.
2 2
2
y
xy
A ， 2
4
y
y
Bα ，由 Aα = Bα 得 2 2 2
2 4
y y
xy y
，
，解得 1 42x y ，
C.【选修 44:学科王坐标系与参数方程】(本小题满分 10 分)
在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线 l 的参数方程为
21 2
22 2
x t
y t
，
(t 为参数)，直线 l 与抛物
线 2 4y x 交于 A B， 两点，求线段 AB 的长．
【答案】本小题主要考查直线的参数方程、抛物线的标准方程等基础知识，考查运算求解能
力.满分 10 分.
直线 l： 3x y 代入抛物线方程 2 4y x 并整理得 2 10 9 0x x
∴交点 (1 2)A ， ， (9 6)B ， ，故| | 8 2AB
D.【选修 45:不等式选讲】(本小题满分 10 分)
已知 x>0, y>0,证明：(1+x+y2)( 1+x2+y)≥9xy.
本小题主要考查算术一几何平均不等式.考查推理论证能力.满分 10 分.
证明：因为 x>0, y>0, 所以 1+x+y2≥ 233 0xy ，1+x2+y≥ 233 0x y ，
所以(1+x+y2)( 1+x2+y)≥ 2 23 33 3xy x y =9xy.
【必做题】第 22 题、第 23 题，每题 10 分，共计 20 分.请在答题卡指定区域内作答，解答时
应写出文字说明、证明过程或演学科王算步骤.
22．(本小题满分 10 分)
盒中共有 9 个球，其中有 4 个红球，3 个黄球和 2 个绿球，这些球除颜色外完全相同．
（1 学科王）从盒中一次随机取出 2 个球，求取出的 2 个球颜色相同的概率 P；
（2）从盒中一次随机取出 4 个球，其中红球、黄球、绿球的个数分别记为 1 2 3x x x， ， ，随机变
量 X 学科王表示学科王 1 2 3x x x， ， 中的最大数，求 X 的概率分布和数学期望 ( )E X ．
22.学科王【必做题】本小题主要考查排列与组合、离散型随机变量的均值等基础知识，考查运算
求解能力.满分 10 分.
（1）一次取 2 个球共有 2
9C 36 种可能情况，2 个球颜色相同共有 2 2 2
4 3 2C C C 10 种可能情
况
∴取出的 2 个球颜色相同的概学科王率 10 5
36 18P
（2）X 的所有可能取值为 4 3 2，， ，则
4
4
4
9
C 1( 4) C 126P X
3 1 3 1
4 5 3 6
3
9
C C C C 13( 3) C 63P X
11( 2) 1 ( 3) ( 4) 14P X P X P X
∴X 的概率分布列为
X 2 3 4
P 11
14
13
63
1
126
故 X 的数学期望 11 13 1 20( ) 2 3 414 63 126 9E X
23．(本小题满分 10 分)
已知函数 0
sin( ) ( 0)xf x xx ，记 ( )nf x 为 1 ( )nf x
学科王
的导数， n N ．
（1）求 1 22 2 2 2f f 的值；
（2）证明：对任意的 n N ，等式 1
2
4 4 4 2n nnf f
成立．
23.【必做题】本题主要考查简单的复合函数的导数，考查探究能力及运用数学归纳法的推理
论证能力.满分 10 分.
(1)解：由已知，得 1 0 2
sin cos sin( ) ( ) ,x x xf x f x x x x
于是 2 1 2 2 3
cos sin sin 2cos 2sin( ) ( ) ,x x x x xf x f x x x x x x
所以 1 22 3
4 2 16( ) , ( ) ,2 2f f
故 1 22 ( ) ( ) 1.2 2 2f f
(2)证明学科王：由已知，得 0 ( ) sin ,xf x x 等式两边分别对 x 求导，得 0 0( ) ( ) cosf x xf x x ，
即 0 1( ) ( ) cos sin( )2f x xf x x x ，类似可得
1 22 ( ) ( ) sin sin( )f x xf x x x ，
2 3
33 ( ) ( ) cos sin( )2f x xf x x x ，
3 44 ( ) ( ) sin sin( 2 )f x xf x x x .
下面学科王用数学归纳法证明等式 1 ( ) ( ) sin( )2n n
nnf x xf x x
对所有的 n *N 都成立.
(i)当 n=1 时，由上可知等式成立.
(ii 学科王)假设当 n=k 时等式成立, 即 1 ( ) ( ) sin( )2k k
kkf x xf x x
.
因为 1 1 1[ ( ) ( )] ( ) ( ) ( ) ( 1) ( ) ( ),k k k k k k kkf x xf x kf x f x xf x k f x f x
( 1)[sin( )] cos( ) ( ) sin[ ]2 2 2 2
kk k kx x x x ，
所学科王以 1( 1) ( ) ( )k kk f x f x ( 1)sin[ ]2
kx .
所以当 n 学学科王科王=k+1 时,等式也成立.
综合(i),(ii)可知等式 1 ( ) ( ) sin( )2n n
nnf x xf x x
对所有的 n *N 都成立.
令
4x ，可得 1 ( ) ( ) sin( )4 4 4 4 2n n
nnf f
( n *N ).
所以 1
2( ) ( )4 4 4 2n nnf f
( n *N ).
2013 年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学(江苏卷)
数学Ⅰ试题
一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．
上．．．
1．(2013 江苏，1)函数 π3sin 2 4y x
的最小正周期为__________．
2．(2013 江苏，2)设 z＝(2－i)2(i 为虚数单位)，则复数 z 的模为__________．
3．(2013 江苏，3)双曲线
2 2
=116 9
x y 的两条渐近线的方程为__________．
4．(2013 江苏，4)集合{－1,0,1}共有__________个子集．
5．(2013 江苏，5)下图是一个算法的流程图，则输出的 n 的值是__________．
6．(2013 江苏，6)抽样统计甲、乙两位射击运动员的 5 次训练成绩(单位：环)，
结果如下：
运动员 第 1 次 第 2 次 第 3 次 第 4 次 第 5 次
甲 87 91 90 89 93
乙 89 90 91 88 92
则成绩较为稳定(方差较小)的那位运动员成绩的方差为__________．
7．(2013 江苏，7)现有某类病毒记作 XmYn，其中正整数 m，n(m≤7，n≤9)可以任意选取，
则 m，n 都取到奇数的概率为__________．
8．(2013 江苏，8)如图，在三棱柱 A1B1C1－ABC 中，D，E，F 分别是 AB，AC，AA1 的中点，
设三棱锥 F－ADE 的体积为 V1，三棱柱 A1B1C1－ABC 的体积为 V2，则 V1∶V2＝__________.
9．(2013 江苏，9)抛物线 y＝x2 在 x＝1 处的切线与两坐标轴围成三角形区域为 D(包含
三角形内部和边界)．若点 P(x，y)是区域 D 内的任意一点，则 x＋2y 的取值范围是__________．
10．(2013 江苏，10)设 D，E 分别是△ABC 的边 AB，BC 上的点， 1= 2AD AB ， 2= 3BE BC .
若 1 2DE AB AC (λ1，λ2 为实数)，则λ1＋λ2 的值为__________．
11．(2013 江苏，11)已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数，当 x＞0 时，f(x)＝x2－4x，则
不等式 f(x)＞x 的解集用区间表示为__________．
12．(2013 江苏，12)在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C 的标准方程为
2 2
2 2 =1x y
a b
(a＞0，
b＞0)，右焦点为 F，右准线为 l，短轴的一个端点为 B.设原点到直线 BF 的距离为 d1，F 到 l
的距离为 d2.若 2 16d d ，则椭圆 C 的离心率为__________．
13．(2013 江苏，13)在平面直角坐标系 xOy 中，设定点 A(a，a)，P 是函数 1y x
(x＞0)
图象上一动点．若点 P，A 之间的最短距离为 2 2 ，则满足条件的实数 a 的所有值为
__________．
14．(2013 江苏，14)在正项等比数列{an}中， 5
1
2a ，a6＋a7＝3.则满足 a1＋a2＋…＋an
＞a1a2…an 的最大正整数 n 的值为__________．
二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文
字说明、证明过程或演算步骤．
15．(2013 江苏，15)(本小题满分 14 分)已知 a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin
β)，0＜β＜α＜π.
(1)若|a－b|＝ 2 ，求证：a⊥b；
(2)设 c＝(0,1)，若 a－b＝c，求α，β的值．
16．(2013 江苏，16)(本小题满分 14 分)如图，在三棱锥 S－ABC 中，平面 SAB⊥平面 SBC，
AB⊥BC，AS＝AB.过 A 作 AF⊥SB，垂足为 F，点 E，G 分别是棱 SA，SC 的中点．
求证：(1)平面 EFG∥平面 ABC；
(2)BC⊥SA.
17．(2013 江苏，17)(本小题满分 14 分)如图，在平面直角坐标系 xOy 中，点 A(0,3)，直线
l：y＝2x－4.设圆 C 的半径为 1，圆心在 l 上.
(1)若圆心 C 也在直线 y＝x－1 上，过点 A 作圆 C 的切线，求切线的方程；
(2)若圆 C 上存在点 M，使 MA＝2MO，求圆心 C 的横坐标 a 的取值范围.
18．(2013 江苏，18)(本小题满分 16 分)
如图，游客从某旅游景区的景点 A 处下山至 C 处有两种路径．一种是从 A 沿直线步行到 C，
另一种是先从 A 沿索道乘缆车到 B，然后从 B 沿直线步行到 C.
现有甲、乙两位游客从 A 处下山，甲沿 AC 匀速步行，速度为 50 m/min，在甲出发 2 min 后，
乙从 A 乘缆车到 B，在 B 处停留 1 min 后，再从 B 匀速步行到 C.假设缆车匀速直线运动的速
度为 130 m/min，山路 AC 长为 1 260 m，经测量，cos A＝12
13
，cos C＝ 3
5
.
(1)求索道 AB 的长；
(2)问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？
(3)为使两位游客在 C 处互相等待的时间不超过 3 分钟，乙步行的速度应控制在什么范围
内？
19．(2013 江苏，19)(本小题满分 16 分)设{an}是首项为 a，公差为 d 的等差数列(d≠0)，Sn 是
其前 n 项和．记 2
n
n
nSb n c
，n∈N*，其中 c 为实数．
(1)若 c＝0，且 b1，b2，b4 成等比数列，证明：Snk＝n2Sk(k，n∈N*)；
(2)若{bn}是等差数列，证明：c＝0.
20．(2013 江苏，20)(本小题满分 16 分)设函数 f(x)＝ln x－ax，g(x)＝ex－ax，其中 a 为
实数．
(1)若 f(x)在(1，＋∞)上是单调减函数，且 g(x)在(1，＋∞)上有最小值，求 a 的取值范围；
(2)若 g(x)在(－1，＋∞)上是单调增函数，试求 f(x)的零点个数，并证明你的结论．
数学Ⅱ(附加题)
【选做题】本题包括 A、B、C、D 四小题，请选定其中两小题．．．．．．．．，．并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．若
多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
21．(2013 江苏，21)A．[选修 4－1：几何证明选讲](本小题满分 10 分)
如图，AB 和 BC 分别与圆 O 相切于点 D，C，AC 经过圆心 O，且 BC＝2OC.
B．[选修 4－2：矩阵与变换](本小题满分 10 分)已知矩阵 A＝ 1 0
0 2
，B＝ 1 2
0 6
，求矩阵
A－1B.
C．[选修 4－4：坐标系与参数方程](本小题满分 10 分)在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的
参数方程为 1,
2
x t
y t
(t 为参数)，曲线 C 的参数方程为
22tan
2tan
x
y
(θ为参数)．试求直
线 l 和曲线 C 的普通方程，并求出它们的公共点的坐标．
D．[选修 4－5：不等式选讲](本小题满分 10 分)已知 a≥b＞0，求证：2a3－b3≥2ab2－a2b.
【必做题】第 22 题、第 23 题，每题 10 分，共计 20 分．请在答题卡指定区．．．．．．域内作答，解答
时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
22．(2013 江苏，22)(本小题满分 10 分)如图，在直三棱柱 A1B1C1－ABC 中，AB⊥AC，AB＝AC
＝2，A1A＝4，点 D 是 BC 的中点．
(1)求异面直线 A1B 与 C1D 所成角的余弦值；
(2)求平面 ADC1 与平面 ABA1 所成二面角的正弦值．
23．(2013 江苏，23)(本小题满分 10 分)设数列{an}：1，－2，－2,3,3,3，－4，－4，－4，
－4，…， 1 1( 1) , ,( 1)
k
k kk k
个
，…，即当 1 1
2 2
k k k kn (k∈N*)时，an＝(－1)k－
1k.记 Sn＝a1＋a2＋…＋an(n∈N*)．对于 l∈N*，定义集合 Pl＝{n|Sn 是 an 的整数倍，n∈N*，且
1≤n≤l}．
(1)求集合 P11 中元素的个数；
(2)求集合 P2 000 中元素的个数．
2013 年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学(江苏卷)
数学Ⅰ试题
一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．
上．．．
1．答案：π
解析：函数 π3sin 2 4y x
的最小正周期 2π π2T .
2．答案：5
解析：|z|＝|(2－i)2|＝|4－4i＋i2|＝|3－4i|＝ 2 23 4 5 ＝5.
3．答案： 3
4y x
解析：由题意可知所求双曲线的渐近线方程为 3
4y x .
4．答案：8
解析：由于集合{－1,0,1}有 3 个元素，故其子集个数为 23＝8.
5．答案：3
解析：第一次循环后：a←8，n←2；
第二次循环后：a←26，n←3；
由于 26＞20，跳出循环，
输出 n＝3.
6．答案：2
解析：由题中数据可得 =90x甲 ， =90x乙 .
于是 2s甲 ＝ 1
5
[(87－90)2＋(91－90)2＋(90－90)2＋(89－90)2＋(93－90)2]＝4， 2s乙 ＝ 1
5
[(89
－90)2＋(90－90)2＋(91－90)2＋(88－90)2＋(92－90)2]＝2，
由 2 2>s s乙甲 ，可知乙运动员成绩稳定．故应填 2.
7．答案： 20
63
解析：由题意知 m 的可能取值为 1,2,3，…，7；n 的可能取值为 1,2,3，…，9.由于是任取
m，n：若 m＝1 时，n 可取 1,2,3，…，9，共 9 种情况；同理 m 取 2,3，…，7 时，n 也各有 9
种情况，故 m，n 的取值情况共有 7×9＝63 种．若 m，n 都取奇数，则 m 的取值为 1,3,5,7，
n 的取值为 1,3,5,7,9，因此满足条件的情形有 4×5＝20 种．故所求概率为 20
63
.
8．答案：1∶24
解析：由题意可知点 F 到面 ABC 的距离与点 A1 到面 ABC 的距离之比为 1∶2，S△ADE∶S△ABC＝1∶
4.
因此 V1∶V2＝
1
3
2
AED
ABC
AF S
AF S
＝1∶24.
9．答案： 12, 2
解析：由题意可知抛物线 y＝x2 在 x＝1 处的切线方程为 y＝2x－1.该切线与两坐标轴围成的
区域如图中阴影部分所示：
当直线 x＋2y＝0 平移到过点 A 1 ,02
时，x＋2y 取得最大值 1
2
.
当直线 x＋2y＝0 平移到过点 B(0，－1)时，x＋2y 取得最小值－2.
因此所求的 x＋2y 的取值范围为 12, 2
.
10．答案： 1
2
解析：由题意作图如图．
∵在△ABC 中， 1 2
2 3DE DB BE AB BC 1 2 ( )2 3AB AC AB
1 2
1 2
6 3AB AC AB AC ，∴λ1＝ 1
6
，λ2＝ 2
3
.
故λ1＋λ2＝ 1
2
.
11．答案：(－5,0)∪(5，＋∞)
解析：∵函数 f(x)为奇函数，且 x＞0 时，f(x)＝x2－4x，则 f(x)＝
2
2
4 , 0,
0, 0,
4 , 0,
x x x
x
x x x
∴原
不等式等价于 2
0,
4 ,
x
x x x
或 2
0,
4 ,
x
x x x
由此可解得 x＞5 或－5＜x＜0.
故应填(－5,0)∪(5，＋∞)．
12．答案： 3
3
解析：设椭圆 C 的半焦距为 c，由题意可设直线 BF 的方程为 =1x y
c b
，即 bx＋cy－bc＝0.
于是可知 1 2 2
bc bcd ab c
，
2 2 2 2
2
a a c bd cc c c
.
∵ 2 16d d ，∴
2 6b bc
c a
，即 26ab c .
∴a2(a2－c2)＝6c4.∴6e4＋e2－1＝0.∴e2＝ 1
3
.
∴ 3
3e .
13．答案：－1， 10
解析：设 P 点的坐标为 1,x x
，则
|PA|2＝
2
2 2 2
2
1 1 1( ) = 2 =2x a a x a x ax x x
.令 1 2t x x
，则|PA|2＝t2－
2at＋2a2－2＝(t－a)2＋a2－2(t≥2)．
结合题意可知
(1)当 a≤2，t＝2 时，|PA|2 取得最小值．此时(2－a)2＋a2－2＝8，解得 a＝－1，a＝3(舍去)．
(2)当 a＞2，t＝a 时，|PA|2 取得最小值．此时 a2－2＝8，解得 a＝ 10 ，a＝ 10 (舍去)．故
满足条件的实数 a 的所有值为 10 ，－1.
14．答案：12
解析：设正项等比数列{an}的公比为 q，则由 ，a6＋a7＝a5(q＋q2)＝3 可得 q＝2，于是 an
＝2n－6，
则 a1＋a2＋…＋an＝ 5
1 (1 2 ) 132 21 2 32
n
n
.
∵ 5
1
2a ，q＝2，
∴a6＝1，a1a11＝a2a10＝…＝ 2
6a ＝1.
∴a1a2…a11＝1.当 n 取 12 时，a1＋a2＋…＋a12＝27－ 1
32
＞a1a2…a11a12＝a12＝26 成立；当 n 取 13
时，a1＋a2＋…＋a13＝28－ 1
32
＜a1a2…a11a12a13＝a12a13＝26·27＝213.当 n＞13 时，随着 n 增大
a1＋a2＋…＋an 将恒小于 a1a2…an.因此所求 n 的最大值为 12.
二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文
字说明、证明过程或演算步骤．
15． (1)证明：由题意得|a－b|2＝2，即(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝2.
又因为 a2＝b2＝|a|2＝|b|2＝1，
所以 2－2a·b＝2，即 a·b＝0.
故 a⊥b.
(2)解：因为 a＋b＝(cos α＋cos β，sin α＋sin β)＝(0,1)，所以 cos cos 0,
sin sin 1,
由此得 cos α＝cos(π－β)．由 0＜β＜π，得 0＜π－β＜π，又 0＜α＜π，故α＝π
－β.代入 sin α＋sin β＝1，得 sin α＝sin β＝ 1
2
，而α＞β，所以 5π
6
， π
6
.
16．证明：(1)因为 AS＝AB，AF⊥SB，垂足为 F，所以 F 是 SB 的中点．又因为 E 是 SA 的中点，
所以 EF∥AB.
因为 EF 平面 ABC，AB 平面 ABC，
所以 EF∥平面 ABC.
同理 EG∥平面 ABC.又 EF∩EG＝E，
所以平面 EFG∥平面 ABC.
(2)因为平面 SAB⊥平面 SBC，且交线为 SB，又 AF 平面 SAB，AF⊥SB，所以 AF⊥平面 SBC.
因为 BC 平面 SBC，所以 AF⊥BC.
又因为 AB⊥BC，AF∩AB＝A，AF，AB 平面 SAB，所以 BC⊥平面 SAB.
因为 SA 平面 SAB，所以 BC⊥SA.
17．解：(1)由题设，圆心 C 是直线 y＝2x－4 和 y＝x－1 的交点，解得点 C(3,2)，于是切线
的斜率必存在.
设过 A(0,3)的圆 C 的切线方程为 y＝kx＋3，
由题意，
2
| 3 1|
1
k
k
＝1，解得 k＝0 或 3
4
，
故所求切线方程为 y＝3 或 3x＋4y－12＝0.
(2)因为圆心在直线 y＝2x－4 上，所以圆 C 的方程为(x－a)2＋[y－2(a－2)]2＝1.
设点 M(x，y)，因为 MA＝2MO，
所以 2 2 2 23 =2x y x y ，化简得 x2＋y2＋2y－3＝0，即 x2＋(y＋1)2＝4，所以点 M
在以 D(0，－1)为圆心，2 为半径的圆上．
由题意，点 M(x，y)在圆 C 上，所以圆 C 与圆 D 有公共点，则|2－1|≤CD≤2＋1，
即 2 21 2 3 3a a .
由 5a2－12a＋8≥0，得 a∈R；
由 5a2－12a≤0，得 0≤a≤12
5
.
所以点 C 的横坐标 a 的取值范围为 120, 5
.
18．解：(1)在△ABC 中，因为 cos A＝12
13
，cos C＝ 3
5
，所以 sin A＝ 5
13
，sin C＝ 4
5
.
从 而 sin B ＝ sin[π － (A ＋ C)] ＝ sin(A ＋ C) ＝ sin Acos C ＋ cos Asin C ＝
5 3 12 4 63
13 5 13 5 65
.
由正弦定理
sin sin
AB AC
C B
，得 1260 4sin 63sin 5
65
ACAB CB
＝1 040(m)．
所以索道 AB 的长为 1 040 m.
(2)假设乙出发 t min 后，甲、乙两游客距离为 d，此时，甲行走了(100＋50t) m，乙距离 A
处 130t m，
所以由余弦定理得 d2＝(100＋50t)2＋(130t)2－2×130t×(100＋50t)×12
13
＝200(37t2－70t
＋50)，
因 0≤t≤1040
130
，即 0≤t≤8，故当 35
37t (min)时，甲、乙两游客距离最短．
(3)由正弦定理
sin sin
BC AC
A B
，得 BC＝ 1260 5sin 63sin 13
65
AC AB
＝500(m)．
乙从 B 出发时，甲已走了 50×(2＋8＋1)＝550(m)，还需走 710 m 才能到达 C.
设乙步行的速度为 v m/min，由题意得 500 7103 350v
，解得 1250 625
43 14v ，所以为
使两位游客在 C 处互相等待的时间不超过 3 min，乙步行的速度应控制在 1250 625,43 14
(单位：
m/min)范围内．
19．证明：由题设， ( 1)
2n
n nS na d .
(1)由 c＝0，得 1
2
n
n
S nb a dn
.又因为 b1，b2，b4 成等比数列，所以 2
2b ＝b1b4，
即
2 3=2 2
da a a d
，化简得 d2－2ad＝0.因为 d≠0，所以 d＝2a.
因此，对于所有的 m∈N*，有 Sm＝m2a.
从而对于所有的 k，n∈N*，有 Snk＝(nk)2a＝n2k2a＝n2Sk.
(2)设数列{bn}的公差是 d1，则 bn＝b1＋(n－1)d1，即 2
nnS
n c
＝b1＋(n－1)d1，n∈N*，代入 Sn
的表达式，整理得，对于所有的 n∈N*，有 3 2
1 1 1 1
1 1
2 2d d n b d a d n cd n
＝c(d1
－b1)．
令 A＝ 1
1
2d d ，B＝b1－d1－a＋ 1
2 d ，D＝c(d1－b1)，则对于所有的 n∈N*，有 An3＋Bn2＋cd1n
＝D.(*)
在(*)式中分别取 n＝1,2,3,4，得 A＋B＋cd1＝8A＋4B＋2cd1＝27A＋9B＋3cd1＝64A＋16B＋
4cd1，
从而有
1
1
1
7 3 0,
19 5 0,
21 5 0,
A B cd
A B cd
A B cd
①
②
③
由②，③得 A＝0，cd1＝－5B，代入方程①，得 B＝0，从而 cd1＝0.
即 1
1
2d d ＝0，b1－d1－a＋ 1
2 d ＝0，cd1＝0.
若 d1＝0，则由 1
1
2d d ＝0，得 d＝0，与题设矛盾，所以 d1≠0.
又因为 cd1＝0，所以 c＝0.
20．解：(1)令 f′(x)＝ 1 1 axax x
＜0，考虑到 f(x)的定义域为(0，＋∞)，故 a＞0，
进而解得 x＞a－1，即 f(x)在(a－1，＋∞)上是单调减函数．同理，f(x)在(0，a－1)上是单调增
函数．由于 f(x)在(1，＋∞)上是单调减函数，故(1，＋∞) (a－1，＋∞)，从而 a－1≤1，
即 a≥1.令 g′(x)＝ex－a＝0，得 x＝ln a．当 x＜ln a 时，g′(x)＜0；当 x＞ln a 时，g′(x)
＞0.又 g(x)在(1，＋∞)上有最小值，所以 ln a＞1，即 a＞e.
综上，有 a∈(e，＋∞)．
(2)当 a≤0 时，g(x)必为单调增函数；当 a＞0 时，令 g′(x)＝ex－a＞0，解得 a＜ex，即 x
＞ln a.
因为 g(x)在(－1，＋∞)上是单调增函数，类似(1)有 ln a≤－1，即 0＜a≤e－1.
结合上述两种情况，有 a≤e－1.
①当 a＝0 时，由 f(1)＝0 以及 f′(x)＝ 1
x
＞0，得 f(x)存在唯一的零点；
②当 a＜0 时，由于 f(ea)＝a－aea＝a(1－ea)＜0，f(1)＝－a＞0，且函数 f(x)在[ea,1]上的
图象不间断，所以 f(x)在(ea,1)上存在零点．
另外，当 x＞0 时，f′(x)＝ 1
x
－a＞0，故 f(x)在(0，＋∞)上是单调增函数，所以 f(x)只
有一个零点．
③当 0＜a≤e－1 时，令 f′(x)＝ 1
x
－a＝0，解得 x＝a－1.当 0＜x＜a－1 时，f′(x)＞0，当 x
＞a－1 时，f′(x)＜0，所以，x＝a－1 是 f(x)的最大值点，且最大值为 f(a－1)＝－ln a－1.
当－ln a－1＝0，即 a＝e－1 时，f(x)有一个零点 x＝e.
当－ln a－1＞0，即 0＜a＜e－1 时，f(x)有两个零点．
实际上，对于 0＜a＜e－1，由于 f(e－1)＝－1－ae－1＜0，f(a－1)＞0，且函数 f(x)在[e－1，a－1]
上的图象不间断，所以 f(x)在(e－1，a－1)上存在零点．
另外，当 x∈(0，a－1)时，f′(x)＝ 1
x
－a＞0，故 f(x)在(0，a－1)上是单调增函数，所以 f(x)
在(0，a－1)上只有一个零点．
下面考虑 f(x)在(a－1，＋∞)上的情况．先证 f(ea－1)＝a(a－2－ea－1)＜0.
为此，我们要证明：当 x＞e 时，ex＞x2.设 h(x)＝ex－x2，则 h′(x)＝ex－2x，再设 l(x)＝h′(x)
＝ex－2x，则 l′(x)＝ex－2.
当 x＞1 时，l′(x)＝ex－2＞e－2＞0，所以 l(x)＝h′(x)在(1，＋∞)上是单调增函数．故
当 x＞2 时，h′(x)＝ex－2x＞h′(2)＝e2－4＞0，
从而 h(x)在(2，＋∞)上是单调增函数，进而当 x＞e 时，
h(x)＝ex－x2＞h(e)＝ee－e2＞0.即当 x＞e 时，ex＞x2.
当 0＜a＜e－1，即 a－1＞e 时，f(ea－1)＝a－1－aea－1＝a(a－2－ea－1)＜0，又 f(a－1)＞0，且函数 f(x)
在[a－1，ea－1]上的图象不间断，所以 f(x)在(a－1，ea－1)上存在零点．又当 x＞a－1 时，f′(x)
＝ 1
x
－a＜0，故 f(x)在(a－1，＋∞)上是单调减函数，所以 f(x)在(a－1，＋∞)上只有一个零
点．
综合①，②，③，当 a≤0 或 a＝e－1 时，f(x)的零点个数为 1，
当 0＜a＜e－1 时，f(x)的零点个数为 2.
数学Ⅱ(附加题)
【选做题】本题包括 A、B、C、D 四小题，请选定其中两小题．．．．．．．．，．并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．若
多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
21．证明：连结 OD.因为 AB 和 BC 分别与圆 O 相切于点 D，C，
所以∠ADO＝∠ACB＝90°.
又因为∠A＝∠A，所以 Rt△ADO∽Rt△ACB.
所以 BC AC
OD AD
.
又 BC＝2OC＝2OD，故 AC＝2AD.
B．[选修 4－2：矩阵与变换]解：设矩阵 A 的逆矩阵为
a b
c d
，则 1 0
0 2
a b
c d
＝ 1 0
0 1
，
即
2 2
a b
c d
＝ 1 0
0 1
，
故 a＝－1，b＝0，c＝0， 1
2d ，从而 A 的逆矩阵为 A－1＝
1 0
10 2
，
所以 A－1B＝
1 0
10 2
1 2
0 6
＝ 1 2
0 3
.
C．解：因为直线 l 的参数方程为
x＝t＋1，
y＝2t
(t 为参数)，由 x＝t＋1 得 t＝x－1，代入 y
＝2t，得到直线 l 的普通方程为 2x－y－2＝0.
同理得到曲线 C 的普通方程为 y2＝2x.
联立方程组 2
2 1 ,
2 ,
y x
y x
解得公共点的坐标为(2,2)， 1 , 12
.
D．证明：2a3－b3－(2ab2－a2b)＝2a(a2－b2)＋b(a2－b2)＝(a2－b2)(2a＋b)＝(a－b)(a＋b)(2a
＋b)．
因为 a≥b＞0，所以 a－b≥0，a＋b＞0,2a＋b＞0，
从而(a－b)(a＋b)(2a＋b)≥0，即 2a3－b3≥2ab2－a2b.
【必做题】第 22 题、第 23 题，每题 10 分，共计 20 分．请在答题卡指定区．．．．．．域内作答，解答
时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
22．
解：(1)以 A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系 A－xyz，
则 A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0,2,0)，D(1,1,0)，A1(0,0,4)，C1(0,2,4)，
所以 1A B
＝(2,0，－4)， 1C D
＝(1，－1，－4)．
因为 cos〈 1A B
， 1C D
〉＝ 1 1
1 1
A B C D
A B C D
＝ 18 3 10
1020 18
，
所以异面直线 A1B 与 C1D 所成角的余弦值为 3 10
10
.
(2)设平面 ADC1 的法向量为 n1＝(x，y，z)，因为 AD
＝(1,1,0)， 1AC
＝(0,2,4)，所以 n1· AD
＝0，n1· 1AC
＝0，即 x＋y＝0 且 y＋2z＝0，取 z＝1，得 x＝2，y＝－2，所以，n1＝(2，
－2,1)是平面 ADC1 的一个法向量．取平面 AA1B 的一个法向量为 n2＝(0,1,0)，设平面 ADC1 与
平面 ABA1 所成二面角的大小为θ.
由|cos θ|＝ 1 2
1 2
2 2
| || | 39 1
n n
n n
，得 sin θ＝ 5
3
.
因此，平面 ADC1 与平面 ABA1 所成二面角的正弦值为 5
3
.
23．解：(1)由数列{an}的定义得 a1＝1，a2＝－2，a3＝－2，a4＝3，a5＝3，a6＝3，a7＝－4，
a8＝－4，a9＝－4，a10＝－4，a11＝5，所以 S1＝1，S2＝－1，S3＝－3，S4＝0，S5＝3，S6＝6，
S7＝2，S8＝－2，S9＝－6，S10＝－10，S11＝－5，从而 S1＝a1，S4＝0×a4，S5＝a5，S6＝2a6，S11
＝－a11，所以集合 P11 中元素的个数为 5.
(2)先证：Si(2i＋1)＝－i(2i＋1)(i∈N*)．
事实上，①当 i＝1 时，Si(2i＋1)＝S3＝－3，－i(2i＋1)＝－3，故原等式成立；
②假设 i＝m 时成立，即 Sm(2m＋1)＝－m(2m＋1)，则 i＝m＋1 时，S(m＋1)(2m＋3)＝Sm(2m＋1)＋(2m＋1)2
－(2m＋2)2＝－m(2m＋1)－4m－3＝－(2m2＋5m＋3)＝－(m＋1)(2m＋3)．
综合①②可得Si(2i＋1)＝－i(2i＋1)．于是S(i＋1)(2i＋1)＝Si(2i＋1)＋(2i＋1)2＝－i(2i＋1)＋(2i＋1)2
＝(2i＋1)(i＋1)．
由上可知 Si(2i＋1)是 2i＋1 的倍数，而 ai(2i＋1)＋j＝2i＋1(j＝1,2，…，2i＋1)，所以 Si(2i＋1)＋j＝
Si(2i＋1)＋j(2i＋1)是 ai(2i＋1)＋j(j＝1,2，…，2i＋1)的倍数．又 S(i＋1)(2i＋1)＝(i＋1)(2i＋1)不是
2i＋2 的倍数，而 a(i＋1)(2i＋1)＋j＝－(2i＋2)(j＝1,2，…，2i＋2)，所以 S(i＋1)(2i＋1)＋j＝S(i＋1)(2i＋1)
－j(2i＋2)＝(2i＋1)(i＋1)－j(2i＋2)不是 a(i＋1)(2i＋1)＋j(j＝1,2，…，2i＋2)的倍数，故当 l
＝i(2i＋1)时，集合 Pl 中元素的个数为 1＋3＋…＋(2i－1)＝i2，于是，当 l＝i(2i＋1)＋
j(1≤j≤2i＋1)时，集合 Pl 中元素的个数为 i2＋j.
又 2 000＝31×(2×31＋1)＋47，故集合 P2 000 中元素的个数为 312＋47＝1 008.
2012 年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）
数学
（全卷满分 160 分，考试时间 120 分钟）
棱锥的体积 1
3V Sh ，其中 S 为底面积， h 为高．
一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．．
1．（2012 年江苏省 5 分）已知集合 {1 2 4}A ， ， ， {2 4 6}B ， ， ，则 A B ▲ ．
【答案】 1,2,4,6 。
【考点】集合的概念和运算。
【分析】由集合的并集意义得 1,2,4,6A B 。
2．（2012 年江苏省 5 分）某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为3 3 4: : ，现用分层抽样
的方法从该校
高中三个年级的学生中抽取容量为 50 的样本，则应从高二年级抽取 ▲ 名学生．
【答案】15。
【考点】分层抽样。
【解析】分层抽样又称分类抽样或类型抽样。将总体划分为若干个同质层，再在各层
内随机抽样或机械抽样，分层抽样的特点是将科学分组法与抽样法结合在一起，分组
减小了各抽样层变异性的影响，抽样保证了所抽取的样本具有足够的代表性。因此，
由 350 =153 3 4
知应从高二年级抽取 15 名学生。
3．（2012 年江苏省 5 分）设 a bR， ， 11 7ii 1 2ia b
（i 为虚数单位），则 a b 的值为 ▲ ．
【答案】8。
【考点】复数的运算和复数的概念。
【 分 析 】 由 11 7ii 1 2ia b
得
11 7i 1 2i11 7i 11 15i 14i = = =5 3i1 2i 1 2i 1 2i 1 4a b
， 所 以
=5 =3a b， ， =8a b 。
4．（2012 年江苏省 5 分）下图是一个算法流程图，则输出的 k 的值是 ▲ ．
【答案】5。
【考点】程序框图。
【分析】根据流程图所示的顺序，程序的运行过程中变量值变化如下表：
是否继续循环 k 2k 5k 4
循环前 0 0
第一圈 是 1 0
第二圈 是 2 －2
第三圈 是 3 －2
第四圈 是 4 0
第五圈 是 5 4
第六圈 否 输出 5
∴最终输出结果 k=5。
5．（2012 年江苏省 5 分）函数 xxf 6log21)( 的定义域为 ▲ ．
【答案】 0 6， 。
【考点】函数的定义域，二次根式和对数函数有意义的条件，解对数不等式。
【解析】根据二次根式和对数函数有意义的条件，得
1
26 6
0 00 611 2log 0 log 6 = 62
0 <
x > x >x > xx x x
。
6．（2012 年江苏省 5 分）现有 10 个数，它们能构成一个以 1 为首项， 3 为公比的等比数列，
若从这 10 个数中随机抽取一个数，则它小于 8 的概率是 ▲ ．
【答案】 3
5
。
【考点】等比数列，概率。
【解析】∵以 1 为首项， 3 为公比的等比数列的 10 个数为 1，－3，9，27，···其中有 5 个
负数，1 个正数 1 计 6 个数小于 8，
∴从这 10 个数中随机抽取一个数，它小于 8 的概率是 6 3=10 5
。
7．（2012 年江苏省 5 分）如图，在长方体 1 1 1 1ABCD ABC D 中， 3cmAB AD ， 1 2cmAA ，
则四棱锥 1 1A BB D D 的体积为 ▲ cm3．
【答案】6。
【考点】正方形的性质，棱锥的体积。
【解析】∵长方体底面 ABCD 是正方形，∴△ ABD 中 =3 2BD cm，BD 边上的高是 3 22 cm
（它也是 1 1A BB D D 中 1 1BB D D 上的高）。
∴四棱锥 1 1A BB D D 的体积为 1 33 2 2 2=63 2
。由
8．（2012 年江苏省 5 分）在平面直角坐标系 xOy 中，若双曲线
2 2
2 14
x y
m m
的离心率为 5 ，
则 m 的值为 ▲ ．
【答案】2。
【考点】双曲线的性质。
【解析】由
2 2
2 14
x y
m m
得 2 2= = 4 = 4a m b m c m m ， ， 。
∴
2 4= = = 5c m me a m
，即 2 4 4=0m m ，解得 =2m 。
9．（2012 年江苏省 5 分）如图，在矩形 ABCD 中， 2 2AB BC ， ，点 E 为 BC 的中点，
点 F 在边 CD 上，若 2AB AF
，则 AE BF
的值是 ▲ ．
【答案】 2 。
【考点】向量的计算，矩形的性质，三角形外角性质，和的余弦公式，锐角三角函数定义。
【解析】由 2AB AF
，得 cos 2AB AF FAB
，由矩形的性质，得
cos =AF FAB DF
。
∵ 2AB ，∴ 2 2DF ，∴ 1DF 。∴ 2 1CF 。
记 AE BF
和 之间的夹角为 ,AEB FBC ， ，则 。
又∵ 2BC ，点 E 为 BC 的中点，∴ 1BE 。
∴ = cos = cos = cos cos sin sinAE BF AE BF AE BF AE BF
= cos cos sin sin = 1 2 2 2 1 2AE BF AE BF BE BC AB CF
。
本题也可建立以 , AB AD 为坐标轴的直角坐标系，求出各点坐标后求解。
10．（2012 年江苏省 5 分）设 ( )f x 是定义在 R 上且周期为 2 的函数，在区间[ 1 1] ， 上，
0
1
1 1
( ) 2 01
x
x
ax
f x bx
x
≤
≤ ≤
， ，
， ，
其中 a bR， ．若 1 3
2 2f f
，
则 3a b 的值为 ▲ ．
【答案】 10 。
【考点】周期函数的性质。
【解析】∵ ( )f x 是定义在 R 上且周期为 2 的函数，∴ 1 1f f ，即 21= 2
ba ①。
又∵ 3 1 1= 12 2 2f f a
， 1 3
2 2f f
，
∴ 1 41=2 3
ba ②。
联立①②，解得， =2. = 4a b 。∴ 3 = 10a b 。
11．（2012 年江苏省 5 分）设 为锐角，若 4cos 6 5
，则 )122sin( a 的值为 ▲ ．
【答案】 17 250
。
【考点】同角三角函数，倍角三角函数，和角三角函数。
【解析】∵ 为锐角，即 0 2< < ，∴ 2=6 6 2 6 3< < 。
∵ 4cos 6 5
，∴ 3sin 6 5
。
∴ 3 4 24sin 2 2sin cos =2 =3 6 6 5 5 25
。
∴ 7cos 2 3 25
。
∴ sin(2 )=sin(2 )=sin 2 cos cos 2 sin12 3 4 3 4 3 4a a a a
24 2 7 2 17= = 225 2 25 2 50
。
12．（2012 年江苏省 5 分）在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为 2 2 8 15 0x y x ，若直
线 2y kx
上至少存在一点，使得以该点为圆心，1 为半径的圆与圆C 有公共点，则 k 的最大值是 ▲ ．
【答案】 4
3
。
【考点】圆与圆的位置关系，点到直线的距离
【解析】∵圆C 的方程可化为： 2 24 1x y ，∴圆 C 的圆心为 (4,0) ，半径为 1。
∵由题意，直线 2y kx 上至少存在一点 0 0( , 2)A x kx ，以该点为圆心，1 为半径
的圆与圆C 有
公共点；
∴存在 0x R ，使得 1 1AC 成立，即 min 2AC 。
∵ minAC 即 为 点 C 到 直线 2y kx 的距离
2
4 2
1
k
k
，∴
2
4 2 2
1
k
k
，解得
40 3k 。
∴ k 的最大值是 4
3
。
13．（2012 年江苏省 5 分）已知函数 2( ) ( )f x x ax b a b R， 的值域为[0 ) ， ，若关于 x
的不等式
( )f x c 的解集为 ( 6)m m ， ，则实数 c 的值为 ▲ ．
【答案】9。
【考点】函数的值域，不等式的解集。
【解析】由值域为[0 ) ， ，当 2 =0x ax b 时有 2 4 0a b V ，即
2
4
ab ，
∴
22
2 2( ) 4 2
a af x x ax b x ax x
。
∴
2
( ) 2
af x x c
解得
2
ac x c ，
2 2
a ac x c 。
∵不等式 ( )f x c 的解集为 ( 6)m m ， ，∴ ( ) ( ) 2 62 2
a ac c c ，解得
9c 。
14．（2012 年江苏省 5 分）已知正数 a b c， ， 满足： 4 ln5 3 lnb c a a c cc a c b ≤ ≤ ≥， ，则 b
a
的取值范围是 ▲ ．
【答案】 7e， 。
【考点】可行域。
【解析】条件 4 ln5 3 lnb c a a c cc a c b ≤ ≤ ≥， 可化为：
3 5
4
a
c
a b
c c
a b
c c
b ec
。
设 = =a bx yc c
， ，则题目转化为：
已知 x y， 满足
3 5
4
0 0
x
x y
x y
y e
x > y >
，
，求 y
x
的取值范围。
作出（ x y， ）所在平面区域（如图）。求出 = xy e 的切
线的斜率 e ，设过切点 0 0P x y， 的切线为 = 0y ex m m ，
则 0 0
0 0 0
= =y ex m mex x x
，要使它最小，须 =0m 。
∴ y
x
的最小值在 0 0P x y， 处，为 e 。此时，点 0 0P x y， 在 = xy e 上 ,A B 之间。
当（ x y， ）对应点 C 时， =4 5 =20 5 =7 =7=5 3 4 =20 12
y x y x yy xy x y x x
，
∴ y
x
的最大值在 C 处，为 7。
∴ y
x
的取值范围为 7e， ，即 b
a
的取值范围是 7e， 。
二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、
证明过程或
演算步骤．
15．（2012 年江苏省 14 分）在 ABC 中，已知 3AB AC BA BC
．
（1）求证： tan 3tanB A ；
（2）若 5cos 5C ，求 A 的值．
【 答 案 】 解 ：（ 1 ） ∵ 3AB AC BA BC
， ∴ cos =3 cosAB AC A BA BC B ， 即
cos =3 cosAC A BC B 。
由正弦定理，得 =sin sin
AC BC
B A
，∴ sin cos =3sin cosB A A B 。
又 ∵ 0 < A B < ， ∴ cos 0 cos 0A> B >， 。 ∴ sin sin=3cos cos
B A
B A 即
tan 3tanB A 。
（2）∵ 5cos 05C ，∴ tan =1A 。∴ = 4A 。
【考点】平面微量的数量积，三角函数的基本关系式，两角和的正切公式，解三角形。
【解析】（1）先将 3AB AC BA BC
表示成数量积，再根据正弦定理和同角三角函数关系
式证明。
（2）由 5cos 5C ，可求 tanC ，由三角形三角关系，得到 tan A B ，从而
根据两角和的正切公式和（1）的结论即可求得 A 的值。
16．（2012 年江苏省 14 分）如图，在直三棱柱 1 1 1ABC A B C 中， 1 1 1 1A B AC ，D E， 分别是棱
1BC CC， 上的点（点D 不同于点 C ），且 AD DE F ， 为 1 1B C 的中点．
求证：（1）平面 ADE 平面 1 1BCC B ；
（2）直线 1 //A F 平面 ADE ．
【答案】证明：（1）∵ 1 1 1ABC A B C 是直三棱柱，∴ 1CC 平面 ABC 。
又∵ AD 平面 ABC ，∴ 1CC AD 。
又∵ 1AD DE CC DE ， ， 平面 1 1 1BCC B CC DE E， ，∴ AD 平
面 1 1BCC B 。（lb ylfx）
又∵ AD 平面 ADE ，∴平面 ADE 平面 1 1BCC B 。
（2）∵ 1 1 1 1A B AC ，F 为 1 1B C 的中点，∴ 1 1 1A F B C 。
又∵ 1CC 平面 1 1 1A B C ，且 1A F 平面 1 1 1A B C ，∴ 1 1CC A F 。
又∵ 1 1 1 CC B C ， 平面 1 1BCC B ， 1 1 1 1CC B C C ，∴ 1A F 平面 1 1 1A B C 。
由（1）知， AD 平面 1 1BCC B ，∴ 1A F ∥ AD 。
又∵ AD 平面 1, ADE A F 平面 ADE ，∴直线 1 //A F 平面 ADE
【考点】直线与平面、平面与平面的位置关系。
【解析】（1）要证平面 ADE 平面 1 1BCC B ，只要证平面 ADE 上的 AD 平面 1 1BCC B 即可。
它可由已知 1 1 1ABC A B C 是直三棱柱和 AD DE 证得。
（2）要证直线 1 //A F 平面 ADE ，只要证 1A F ∥平面 ADE 上的 AD 即可。
17．（2012 年江苏省 14 分）如图，建立平面直角坐标系 xoy ，x 轴在地平面上， y 轴垂直于地
平面，单位长度为 1 千米．某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程
2 21 (1 ) ( 0)20y kx k x k 表示的曲线上，其中 k 与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地
点的横坐标．
（1）求炮的最大射程；
（2）设在第一象限有一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为 3.2 千米，试问它的横坐标a 不
超过多少时，
炮弹可以击中它？请说明理由．
【答案】解：（1）在 2 21 (1 ) ( 0)20y kx k x k 中，令 0y ，得 2 21 (1 ) =020kx k x 。
由实际意义和题设条件知 0 0x > k >， 。
∴ 2
20 20 20= = =1011 2
kx k kk
，当且仅当 =1k 时取等号。
∴炮的最大射程是 10 千米。
（2）∵ 0a > ，∴炮弹可以击中目标等价于存在 0k ，使 2 21 (1 ) =3.220ka k a
成立，
即关于k 的方程 2 2 220 64=0a k ak a 有正根。
由 2 2 2= 20 4 64 0a a a 得 6a 。
此时，
2 2 2
2
20 20 4 64
= 02
a a a a
k >a
（不考虑另一根）。
∴当 a 不超过 6 千米时，炮弹可以击中目标。
【考点】函数、方程和基本不等式的应用。
【解析】（1）求炮的最大射程即求 2 21 (1 ) ( 0)20y kx k x k 与 x 轴的横坐标，求出后应用
基本不等式求解。
（2）求炮弹击中目标时的横坐标的最大值，由一元二次方程根的判别式求解。
18．（2012 年江苏省 16 分）若函数 )(xfy 在 0xx 处取得极大值或极小值，则称 0x 为函
数 )(xfy 的极值点。
已知 a b， 是实数，1 和 1 是函数 3 2( )f x x ax bx 的两个极值点．
（1）求 a 和 b 的值；
（2）设函数 ( )g x 的导函数 ( ) ( ) 2g x f x ，求 ( )g x 的极值点；
（3）设 ( ) ( ( ))h x f f x c ，其中 [ 2 2]c ， ，求函数 ( )y h x 的零点个数．
【答案】解：（1）由 3 2( )f x x ax bx ，得 2( ) 3 2f' x x ax b 。
∵1 和 1 是函数 3 2( )f x x ax bx 的两个极值点，
∴ (1) 3 2 =0f' a b ， ( 1) 3 2 =0f' a b ，解得 = = 3a b 0， 。
（2）∵ 由（1）得， 3( ) 3f x x x ，
∴ 23( ) ( ) 2= 3 2= 1 2g x f x x x x x ，解得 1 2 3= =1 = 2x x x ， 。
∵当 2x < 时， ( ) 0g x < ；当 2 1< x < 时， ( ) 0g x > ，
∴ = 2x 是 ( )g x 的极值点。
∵当 2 1< x < 或 1x > 时， ( ) 0g x > ，∴ =1x 不是 ( )g x 的极值点。
∴ ( )g x 的极值点是－2。
（3）令 ( )=f x t ，则 ( ) ( )h x f t c 。
先讨论关于 x 的方程 ( )=f x d 根的情况： 2, 2d
当 =2d 时，由（2 ）可知， ( )= 2f x 的两个不同的根为 I 和一 2 ，注意
到 ( )f x 是奇函数，∴ ( )=2f x 的两个不同的根为一和 2。
当 2d < 时 ， ∵ ( 1) = (2) =2 0f d f d d > ，
(1) = ( 2) = 2 0f d f d d < ，
∴一 2 , －1，1 ，2 都不是 ( )=f x d 的根。
由（1）知 ( )=3 1 1f' x x x 。
① 当 2x ， 时 ， ( ) 0f' x > ， 于 是 ( )f x 是 单 调 增 函 数 ， 从 而
( ) (2)=2f x > f 。
此时 ( )=f x d 在 2 ， 无实根。
② 当 1 2x ， 时． ( ) 0f' x > ，于是 ( )f x 是单调增函数。
又∵ (1) 0f d < ， (2) 0f d > ， = ( )y f x d 的图象不间断，
∴ ( )=f x d 在（1 , 2 ）内有唯一实根。
同理， ( )=f x d 在（一 2 ，一 I ）内有唯一实根。
③ 当 1 1x ， 时， ( ) 0f' x < ，于是 ( )f x 是单调减两数。
又∵ ( 1) 0f d > ， (1) 0f d < ， = ( )y f x d 的图象不间断，
∴ ( )=f x d 在（一 1，1 ）内有唯一实根。
因此，当 =2d 时， ( )=f x d 有两个不同的根 1 2x x， 满足 1 2=1 =2x x， ；当
2d < 时
( )=f x d 有三个不同的根 3 1 5x x x， ， ，满足 2 =3, 4, 5ix < i， 。
现考虑函数 ( )y h x 的零点：
( i ）当 =2c 时， ( )=f t c 有两个根 1 2t t， ，满足 1 2= =2t t1， 。
而 1( )=f x t 有三个不同的根， 2( )=f x t 有两个不同的根，故 ( )y h x 有 5 个
零点。
( 11 ） 当 2c < 时 ， ( )=f t c 有 三 个 不 同 的 根 3 4 5t t t， ， ， 满 足
2 =3, 4, 5it < i， 。
而 =3,( ) 4, = 5if x t i 有三个不同的根，故 ( )y h x 有 9 个零点。
综上所述，当 =2c 时，函数 ( )y h x 有 5 个零点；当 2c < 时，函数 ( )y h x
有 9 个零点。
【考点】函数的概念和性质，导数的应用。
【解析】（1）求出 )(xfy 的导数，根据 1 和 1 是函数 )(xfy 的两个极值点代入列方程
组求解即可。
（2）由（1）得， 3( ) 3f x x x ，求出 ( )g x ，令 ( )=0g x ，求解讨论即可。
（3）比较复杂，先分 =2d 和 2d < 讨论关于 x 的方程 ( )=f x d 根的情况；再考虑
函数 ( )y h x 的零点。
19．（2012 年江苏省 16 分）如图，在平面直角坐标系 xoy 中，椭圆
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
的左、
右焦点分别为 1( 0)F c ， ， 2 ( 0)F c， ．已知 (1 )e， 和 3
2e
， 都在椭圆上，其中 e 为椭圆的离心
率．
（1）求椭圆的方程；
（2）设 ,A B 是椭圆上位于 x 轴上方的两点，且直线 1AF 与直线 2BF 平行， 2AF 与 1BF 交于
点 P．
（i）若 1 2
6
2AF BF ，求直线 1AF 的斜率；
（ii）求证： 1 2PF PF 是定值．
【答案】解：（1）由题设知， 2 2 2= = ca b c e a
， ，由点 (1 )e， 在椭圆上，得
2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
1 11 =1 = = =1e c b c a b a a b b
a b a a b
，
∴ 2 2= 1c a 。
由点 3
2e
， 在椭圆上，得
2 2
2 2 2
4 2 2
2 2 4 4
3 3
2 2 1 31 1 1 4 4=0 =21 4
e c a a a a
a b a a
∴椭圆的方程为
2
2 12
x y 。
（2）由（1）得 1( 1 0)F ， ， 2 (1 0)F ， ，又∵ 1AF ∥ 2BF ，
∴ 设 1AF 、 2BF 的 方 程 分 别 为 = 1 = 1my x my x ， ，
1 1 2 2 1 20 0A x y B x y y > y >， ， ， ， ， 。
∴
2
221 2 21
1 1 1 2
1 1
2 21 2 2 1=0 =2 2= 1
x m my m y my y
mmy x
。
∴ 2 22
2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 2 2
2 1 12 2= 1 0 = = 1 2 2
m m mm mAF x y my y m m m
。①
同理， 2 2
2 2
2 1 1
= 2
m m m
BF m
。②
（i）由①②得，
2
1 2 2
2 1
2
m mAF BF m
。解
2
2
2 1 6=2 2
m m
m
得 2m =2。
∵注意到 0m > ，∴ = 2m 。
∴直线 1AF 的斜率为 1 2= 2m
。
（ ii ） 证 明 ： ∵ 1AF ∥ 2BF ， ∴ 2
1 1
BFPB
PF AF
， 即
2 1 2 1
1 1 1 1
1 1BF PB PF BF AFPB
PF AF PF AF
。
∴ 1
1 1
1 2
= AFPF BFAF BF
。
由点 B 在椭圆上知， 1 2 2 2BF BF ，∴ 1
1 2
1 2
= 2 2AFPF BFAF BF
。
同理。 2
2 1
1 2
= 2 2BFPF AFAF BF
。
∴ 1 2 2
1 2 2 1
1 2 1 2 1 2
2+ = 2 2 2 2 2 2AF BF AF BFPF PF BF AFAF BF AF BF AF BF
由①②得， 2
1 2
2 2 1
=
2
m
AF BF
m
，
2
2
1=
2
mAF BF
m
，
∴ 1 2
2 3+ =2 2 = 22 2PF PF 。
∴ 1 2PF PF 是定值。
【考点】椭圆的性质，直线方程，两点间的距离公式。
【解析】（1）根据椭圆的性质和已知 (1 )e， 和 3
2e
， 都在椭圆上列式求解。
（2）根据已知条件 1 2
6
2AF BF ，用待定系数法求解。
20．（2012 年江苏省 16 分）已知各项均为正数的两个数列{ }na 和{ }nb 满足：
221
nn
nn
n
ba
baa
， *Nn ，
（1）设
n
n
n a
bb 11 ， *Nn ，求证：数列
2
n
n
b
a
是等差数列；
（2）设
n
n
n a
bb 21 ， *Nn ，且{ }na 是等比数列，求 1a 和 1b 的值．
【答案】解：（1）∵
n
n
n a
bb 11 ，∴ 1
1 2 2 2
=
1
n n n
n
n n n
n
a b ba
a b b
a
。
∴
2
1
1
1n n
n n
b b
a a
。 ∴
22 2 2 2
1
1
1 1 *n n n n
n n n n
b b b b n Na a a a
。
∴数列
2
n
n
b
a
是以 1 为公差的等差数列。
（2）∵ 0 0n na > b >， ，∴
2
22 2
2
n n
n n n n
a b a b < a b
。
∴ 1 2 2
1 2n n
n
n n
a b< a
a b
。（﹡）
设等比数列{ }na 的公比为 q ，由 0na > 知 0q > ，下面用反证法证明 =1q
若 1,q > 则 2
1 2= 2aa < aq
，∴当
1
2logqn > a
时， 1 1 2n
na a q > ，与
（﹡）矛盾。
若 0 1,< q < 则 2
1 2= 1aa > a >q
，∴当
1
1logqn > a
时， 1 1 1n
na a q < ，与（﹡）
矛盾。
∴综上所述， =1q 。∴ 1 *na a n N ，∴ 11 2< a 。
又∵ 1
1
22 =n
n n
n
bb ba a *n N ，∴{ }nb 是公比是
1
2
a
的等比数列。
若 1 2a ，则
1
2 1>a
，于是 1 2 3b b Then
m a
Else
m b
End If
Print m
答案： +1（－ ， ）2
解：由对数的性质的 12 1 0, ,2x x
点评：考查对数函数及其性质，位置在前三题，内容稳定、形式稳定、位置稳定，难度稳定，
为热身题．
3、【解读与点评】
设复数 z 满足 izi 23)1( （i 是虚数单位），则 z 的实部是_________
答案：1
解：由 izi 23)1( 得： 3 21 , 1 3 ,iz z ii
点评：（1）本题涉及复数及虚数单位的概念，复数的运算，复数相等 3 个知识点．
（2）基本解法主要有 2 步演算：除法运算以及移项求解；
（3）与前三年的复数题类似，基本上都是关于虚数单位i 的四则运算，位置在前一二题，
内容稳定、形式稳定、位置稳定，难度稳定，均为热身题．
4、【解读与点评】
根据如图所示的伪代码，当输入 ba, 分别为 2，3 时，最后输出的 m 的值是________
答案：3
解：本题的伪代码表示输出的是 a,b 中大的，因此，m=3。
点评：本题考查算法中的选择结构和伪代码，由于前几年都是考查流程图，因此今年
改考伪代码，另外前几年考查的循环结构，今年考查选择结构， 但是仍然按照考纲
要求在 A 级考查。
5、【解读与点评】
从 1，2，3，4 这四个数中一次随机取两个数，则其中一个数是另一个的两倍的概率是______
答案： 1
3
解法：1.从 1，2，3，4 这四个数中一次随机取两个数的基本事件为：（1，2），（1，3），（1，
4），（2，3），（2，4），（3，4）；其中一个数是另一个的两倍的基本事件为：（1，2），（2，4）；
因此，其中一个数是另一个的两倍的概率是 1
3
；
解法：2. 从 1，2，3，4 这四个数中一次随机取两个数的基本事件数为： 2
4C ，其中一个数是
另一个的两倍的基本事件数为：2；因此，其中一个数是另一个的两倍的概率是 1
3
；
点评：由于概率在江苏省考纲的文理公共部分中不能用排列组合，因此，只能用列举的方法，
也就不能考查较高要求的试题，解法 2 只能是针对理科考生可以使用，不过本题由于要求不
高，因此用解法 1 也没有多大运算量。
6、【解读与点评】
某老师从星期一到星期五收到信件数分别是 10，6，8，5，6，则该组数据的方差 ___2 s
答案：16
5
解法：1.直接利用公式 1 (10 6 8 5 6) 7,5x
2 2 2 2 2 21 16[(10 7) (6 7) (8 7) (5 7) (6 7) ]5 5s ；
解法：1.用简化公式 1 (10 6 8 5 6) 7,5x
2 2 2 2 2 2 21 16(10 6 8 5 6 5 7 )5 5s ；
点评：统计部分是必修教材中占教学时间比较多的一个部分，方差与平均数又是其中一个重
要的部分，应该说统计部分共分为三个方面：抽样、特征数、分布。
7、【解读与点评】
已知 ,2)4tan( x 则
x
x
2tan
tan 的值为__________
答案： 4
9
解 法 ： 1.
2
2
tan( ) 1 1 tan tan 1 tan 44tan tan( ) , 2tan4 4 3 tan 2 2 9tan( ) 14 1 tan
x x x xx x xxx x
（－ ）＝ ＝ ＝
－
解 法 ：
2.
2
2
1 tan 4 tan tan 1 tan 4tan( ) 2, 2, tan , 2tan4 1 tan 3 tan 2 2 9
1 tan
x x x xx x xx x
x
（－ ）＝ ＝
－
点评：该题涉及正切函数的和差倍角公式，以及相关的运算；考查函数与方程的思想，转化
与化归的思想和公式的使用；该题的求解分为两大步骤：1.求 tanx;2.用公式对
x
x
2tan
tan 进行转
化。
8、【解读与点评】
在平面直角坐标系 xOy 中，过坐标原点的一条直线与函数
xxf 2)( 的图象交于 P、Q 两点，
则线段 PQ 长的最小值是________
答案：4
解 法 1 ： 由 题 意 可 设 直 线 方 程 为 ： y=kx （ k>0 ） , 解 方 程 组 2
y kx
y x
得 交 点 为 ：
2 2( , 2 ),( , 2 )k kk k
，
9第 题图
2 22 1(2 ) (2 2 ) 2 2( ) 4PQ k kk k
当且仅当 k=1 时取等号；
解 法 2 ： 由 函 数
xxf 2)( 图 像 的 对 称 性 ， 可 设 交 点 为 2( , )x x
， 2( , )x x
， 则
2 24(2 ) ( ) 4PQ x x
，当且仅当 2x 时取等号;
点评：该题考查函数与方程、直线方程、两点间距离公式以及基本不等式。解答过程主要有
三步：1.求直线与函数
xxf 2)( 的图象的交点，2.求两个交点间的距离；3.用基本不等式求
最小值。
9、【解读与点评】
函 数 ,,(),sin()( wAwxAxf 是 常 数 ， )0,0 wA 的 部 分 图 象 如 图 所 示 ， 则
____)0( f
答案： 6
2
解：由图可知： 72, , 2, (0) 04 12 3 4
TA f
22 , ,3 3k k
2 6(0) 2 sin( )3 2f k 由图知： 6(0) 2f
点评：该题考查三角函数的图像与性质、函数与方程以及诱导
公式，还有数形结合的思想和推理能力。本题需要求的参数比
较多，利用图像研究解析式可以较好的考查三角函数图象和性质的有关知识点。
10、【解读与点评】
已知
21,ee 是夹角为
3
2 的两个单位向量， ,,2 2121
eekbeea 若 0
ba ，则 k 的
值为 。
答案： 5
4
解：因为
21,ee 是夹角为
3
2 的两个单位向量，所以， 2 2
1 2 1 2
11, 1, ,2e e e e
2 2
1 1 2 2
1 5(1 2 ) 2 (1 2 ) 2 22 2ab ke k e e e k k k ， 50, .4a b k
点评：该题考查向量的数量积及其相关的概念，涉及的运算：向量的加、减、乘以及向量的
垂直、单位向量、数量积的定义和夹角的定义，主要考查学生基本的知识与能力。
11、【解读与点评】
已知实数 0a ，函数
1,2
1,2)( xax
xaxxf ，若 )1()1( afaf ，则 a 的值为________
答案： 3
4a
解： 30,2 2 1 2 , 2a a a a a a ，不符合； 30, 1 2 2 2 , 4a a a a a a
点 评 ： 该 题 考 查 函 数 性 质 ， 含 参 的 分 类 讨 论 以 及 函 数 与 方 程 的 思 想 ， 对 于 条 件
)1()1( afaf 容易误解为图像的对称问题，分段函数是江苏省高考题的一个热点，四
五年来基本每年都考查分段函数（或绝对值函数）。
12、【解读与点评】
在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 P 是函数 )0()( xexf x 的图象上的动点，该图象在 P
处的切线l 交 y 轴于点 M，过点 P 作l 的垂线交 y 轴于点 N，设线段 MN 的中点的纵坐标为 t，
则 t 的最大值是_____________
答案： max
1 1( )2t e e
解：设 0
0( , ),xP x e 则 0 0 0
0 0: ( ), (0,(1 ) )x x xl y e e x x M x e ，过点 P 作l 的垂线
0 0 0 0
0 0( ), (0, )x x x xy e e x x N e x e ，
0 0 0 0 0 0
0 0 0
1 1[(1 ) ] ( )2 2
x x x x x xt x e e x e e x e e
0 0'
0
1 ( )(1 )2
x xt e e x ，所以，t 在 (0,1) 上单调增，在 (1, ) 单调减， max
1 1( )2t e e
。
点评：该题综合考查指数函数、导数的几何意义、导数的应用、直线方程及其斜率、直线的
位置关系，还考查数形结合、推理论证能力、运算求解能力。
13、【解读与点评】
设 1 2 71 a a a ，其中 7531 ,,, aaaa 成公比为 q 的等比数列， 642 ,, aaa 成公差为 1 的
等差数列，则 q 的最小值是________
答案： 3
min 3q
解法 1：由题意： 2 3
1 2 1 2 1 2 11 1 2a a a q a a q a a q ，
2
2 2 2 21, 1 2a q a a q a
3
2 2 3q a ，而 2 1 2 2 21, 1, , 1, 2a a a a a 的最小值分
别为 1，2，3； 3
min 3q 。
解法 2：由题意： 2 3
1 2 1 2 1 2 11 1 2a a a q a a q a a q ，
3
2 2 2 2 2 21, 1 2 q 2, 1a q a a q a a a ， ， 由 于 函 数
31, 2,( 1)y x y x x 都是增函数，由图可以看出： 2 1a 时， 3
min 3q 。
点评：1.该题综合考查等差、等比的概念及通项公式，不等式的性质；还考查学生推理能力、
分析问题解决问题的能力。
2.该题还可以一般化为：设 1 2 2 11 na a a ，其中 1 3 5 2 1, , , , na a a a 成公比为 q 的等
比数列， 2 4 2, , , na a a 成公差为 1 的等差数列，则 q 的最小值是________
解：设 2 1,a x 则 21 1 1 , 1,nx q x q x n q q
1max{ , 1, , 1} min{ 1, , 1}( 1)n nq x x x n q x x n x 且 ，
要使得 q 最小，则 x 必须最小，所以 x=1,因此，只要求满足条件：
1 11
12max{1,2 , , } min{2, , };n nn q n 的 q 的最小值即可；
研究函数 '
2
ln 1 ln( ) , ( ) ,x xf x f xx x
3x 时，f(x)是减函数， ln3 ln 4 ln
3 4
n
n
，
即
1 11
3 43 4 nn ，又
11 1
32 42 4 , 3q ；
再研究函数 ' '
2
11 lnln( ) ( 2), ( ) , ( ) 0,1 ( 1)
xx xf x x f x f xx x
所
以， 2x 时，f(x)是减函数，
ln 2 ln3 ln ,1 2 1
n
n
即
1 11
3 122 3 4 ,nn
1
1nq n ，
1 1
1 33 13 , 3 ,nnq n n 有图可以看出：当1 5n 时， 1 33 ,n n
当 6n 时可以用数学归纳法证明： 3 13nn ，又 2,n 3
min 3q
14、【解读与点评】
设 集 合 },,)2(2|),{( 222 RyxmyxmyxA ,
},,122|),{( RyxmyxmyxB , 若 , BA 则 实 数 m 的 取 值 范 围 是
______________
答案： 1 2 12 m
解：当 0m 时，集合 A 是以（2，0）为圆心，以 m 为半径的圆，集合 B 是在两条平行线
之间， 2 2 1 2(1 2) 022
m m m ，因为 , BA 所以，此时无解；当 0m
时，集合 A 是以（2，0）为圆心，以
2
m 和 m 为半径的圆环，集合 B 是在两条平行线之间，
必有
2 2 1
2
2 2
2
m m
m m
2 1 2 12 m .又因为 2m 1, 2 12 2m m
点评：1.该题综合考查集合及其运算、直线与圆的位置关系、含参分类讨论、点到直线距离
公式、两条直线位置关系、解不等式，考查数形结合思想、抽象概括能力、综合能力。
2.该题还隐含使用线性规划的知识，进一步提高对集合的要求，融合了解析几何中直线方程、
两条直线位置关系、点到直线距离、直线与圆位置关系，既要求学生熟悉相关的知识方法并
要求能把相关的问题转化为熟悉的知识与方法去处理，是一个要求很高的题目。
二、解答题：本大题共 6 小题，共 90 分。请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说
明、证明过程或演算步骤。
15、（本小题满分 14 分）【解读与点评】
在△ABC 中，角 A、B、C 所对应的边为 cba ,,
（1）若 ,cos2)6sin( AA 求 A 的值；
（2）若 cbA 3,3
1cos ，求 Csin 的值.
解：（1） sin( ) 2cos , sin cos cos sin 2cos sin 3 cos ,6 6 6A A A A A A A
又因为 A 是三角形内角，
3A
（2）解法 1. 2 2 2 21cos , 3 , 2 cos 8 , 2 23A b c a b c bc A c a c
由正弦定理得： 2 2
sin sin
c c
A C
，而 2 2 2sin 1 cos ,3A A 1sin 3C 。
解法 2. 2 2 2 2 2 2 21cos , 3 , 2 cos 8 , 2 2 ,3A b c a b c bc A c a c b a c ，
所以 ABC 直角三角形， B 是直角； 1sin 3C
点评：该题考查三角函数基本关系式、和差角公式、正余弦定理及有关运算能力。该题着重
考查学生基础知识和基本方法。
16、（本小题满分 14 分）【解读与点评】
如图，在四棱锥 ABCDP 中，平面 PAD⊥平面 ABCD，
AB=AD，∠BAD=60°，E、F 分别是 AP、AD 的中点
求证：（1）直线 EF‖平面 PCD；
（2）平面 BEF⊥平面 PAD
证明：（1）因为 E、F 分别是 AP、AD 的中点，
( 16 )第 题图
,EF PD 又 , ,P D PCD E PCD 面 面
直线 EF‖平面 PCD
（2） AB=AD, BAD=60 , F 是 AD 的中点， ,BF AD
又平面 PAD⊥平面 ABCD， PAD ABCD AD,面 面 ＝ ,BF PAD 面
所以，平面 BEF⊥平面 PAD。
点评：该题简单考查空间想象能力和推理论证能力、线面平行和垂直的判定与性质。由于江
苏省考纲上没有角与距离问题，去年考了一题距离引起非议，今年也就不敢再考了。
17、（本小题满分 14 分）【解读与点评】
请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD 是边长为 60cm 的正方形硬纸片，切去阴影部分所示
的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得 ABCD 四个点重合于图中的点 P，正好
形成一个正四棱柱形状的包装盒，E、F 在 AB 上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，
设 AE=FB=xcm
（1）若广告商要求包装盒侧面积 S（cm 2 ）最大，试问 x 应取何值？
（2）若广告商要求包装盒容积 V（cm 3 ）最大，试问 x
应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值。
解：
（1） 2 2 2 260 4 (60 2 ) 240 8S x x x x （00，求证：PA⊥PB
解：（1） 由题意 M(-2,0),N(0, 2 ),M、N 的中点
坐标为(-1, 2
2
),又因为直线 PA 过坐标原点且平
分线段 MN，所以 2
2k 。
（2）由 2 2
2
2 4
y x
x y
得 2 4 2 4( , ), ( , )3 3 3 3P A ， 2( ,0)3C ，AC 方程：
2
3
4 2 2
3 3 3
xy
即： 2
3y x
所以点 P 到直线 AB 的距离
2 4 2
2 23 3 3
32
d
（3）解法一：由题意设 0 0 0 0 1 1 0( , ), ( , ), ( , ), ( ,0)P x y A x y B x y C x 则 ，
A、C、B 三点共线， 0 1 01
1 0 0 1 0
,2
y y yy
x x x x x
又因为点 P、B 在椭圆上，
2 2 2 2
0 0 1 11, 14 2 4 2
x y x y ，两式相减得： 0 1
0 12( )PB
x xk y y
0 0 1 1 0 0 1
0 0 1 1 0 0 1
( )( )[ ] 12( ) ( )( )PA PB
y x x y y x xk k x y y x x y y
PA PB
解法二：设 1 1 2 2 0 0 1 1 1( , ), ( , ),A,B N(x ,y ), P( , ),C( ,0)A x y B x y x y x中点 则 ,
A、C、B 三点共线， 2 2 1 1
2 1 2 1 1
,2 AB
y y y y kx x x x x
又因为点 A、B 在椭圆上,
2 2 2 2
2 2 1 11, 14 2 4 2
x y x y ,两式相减得： 0
0
1
2 AB
y
x k
,
0 1
0 1
1 2 12ON PA AB
AB
y yk k kx x k
, ,ON PB PA PB
解法三：设 1 1 2 2 1 2 1 2 1 1 1( , ), ( , ),( 0, 0, ), A( , ), ( ,0)P x y B x y x x x x x y C x 则 ，设 PB
的斜率为 k1,则 1 1 1 2 1 2 1
1 1 1 2 1 2 1
( ) ( )2 2 2 2 ,( ) ( )CA AB
y y y y y y yk k kx x x x x x x
2 1
1
2 1
y yk x x
又
2 2 2 2 2 2
1 1 2 2 2 1 2 1 2 1
1 2 2
2 1 2 1 2 1
1, 1, 2 2 14 2 4 2
x y x y y y y y y ykk PA PBx x x x x x
解 法 四 ： 将 直 线 PA 的 方 程 y=kx 代 入 124
22
yx 解 得 ：
2 2
2 2, , ( , ), ( , )
1 2 1 2
x t P t kt A t kt
k k
设 则 ， ( ,0),C t ,2AB
kk
所 以 ， AB 的 方 程 为 ： ( ),2
ky x t 代 入 椭 圆 方 程 124
22
yx 得 ：
2 2 2 2 2(2 ) 2 (3 2) 0;k x tk x t k 解 得 ：
2 2 2 3
2 2 2
(3 2) (3 2), ( , )2 2 2
t k t k tkx x t Bk k k
或
3
2
2
2
2 1,(3 2)
2
PB
tk tkkk k k PA PBt k tk
点评：1.（1）（2）两题主要考查直线的斜率及其方程、点到直线距离公式、解方程组；
2.（3）是考查学生灵活运用点共线问题、点在曲线上、直线斜率、两条直线位置关系的判
断、运算能力，这里的解法 4 思路比较容易但是运算量比较大，运算难度也比较大。
3.从（3）的求解来看，涉及到入手的思路，虽然从这种类型的特征看常规思路有两个：（1）
设而不求，用点差法转化；（2）解方程组，求交点进行转化。但是显然这个试题用第一种思
路要简单得多，因此，入手思路的选择对解题影响很大。
19、（本小题满分 16 分）【解读与点评】
已知 a，b 是实数，函数 ,)(,)( 23 bxxxgaxxxf )(xf 和 )(xg 是 )(),( xgxf 的导
函数，若 0)()( xgxf 在区间 I 上恒成立，则称 )(xf 和 )(xg 在区间 I 上单调性一致。
（1）设 0a ，若函数 )(xf 和 )(xg 在区间 ),1[ 上单调性一致,求实数 b 的取值范围；
（2）设 ,0a 且 ba ，若函数 )(xf 和 )(xg 在以 a，b 为端点的开区间上单调性一致，求|ab|
的最大值。
解 ：（ 1 ） 因 为 函 数 )(xf 和 )(xg 在 区 间 ),1[ 上 单 调 性 一 致 ， 所 以 ，
' '[ 1, ), ( ) ( ) 0,x f x g x 即
[ 1, ), x 0,x 2（3 +a）(2x+b) 0, [ 1, ), 0,a x 2x+b
即 0, [ 1, ), , 2;a x b b 2x
（2）解法 1.因为 a<0,所以，由 ' ( ) 0f x 得： .3
ax
若 b>0, 0, 0 ( , ),a a b 而 ' '(0) (0) 0,f g ab 不符合题意， 0;b
当 ( ,0)x 时， ' ( ) 0,g x 而当 ( , )3
ax 时， ' ( ) 0,f x
因此，当 ( , )3
ax 时， ' '( ) ( ) 0,f x g x 所以，由题意得： ,3 3
a aa b 且
1 10, 0,3 3a b 1 ,3a b 当且仅当 1 , 03a b 时取等号。
又当 1 , 03a b 时， ' ' 2 1( ) ( ) 6 ( ),9f x g x x x 当 1( ,0)3x 时， ' '( ) ( ) 0,f x g x
符合题意，所以， max
1
3a b
解法 2.当b a 时，因为，函数 )(xf 和 )(xg 在区间（b,a）上单调性一致，所以，
' '( , ), ( ) ( ) 0,x b a f x g x 即
( , ), x 0,x b a 2（3 +a）(2x+b) 0, ( , ),2 0b a x b a x b
2( , ), 3 ,x b a a x 23 ,b a b
设 z a b ，考虑点(b,a)的可行域，函数 23y x 的斜率为 1 的切线的切点设为 0 0( , )x y
则 0 0 0
1 16 1, , ,6 12x x y max
1 1 1( )12 6 6z ；
当 0a b 时 ， 因 为 ， 函 数 )(xf 和 )(xg 在 区 间 （ a, b ） 上 单 调 性 一 致 ， 所 以 ，
' '( , ), ( ) ( ) 0,x a b f x g x
即 ( , ), x 0,x a b 2（3 +a）(2x+b) 0, ( , ),2 0b x a b x b ，
2( , ), 3 ,x a b a x
2 13 , 0,3a a a max
1( ) ;3b a
当 0a b 时 ， 因 为 ， 函 数 )(xf 和 )(xg 在 区 间 （ a, b ） 上 单 调 性 一 致 ， 所 以 ，
' '( , ), ( ) ( ) 0,x a b f x g x
即 ( , ),( x 0,x a b 22x+b)（3 +a） 0,b 而 x=0 时， x2（3 +a）(2x+b)=ab<0,不符合题
意，
当 0a b 时 ， 由 题 意 ：
( ,0), x 0,x a 22x（3 +a） 2( ,0), x 0, 3 0,x a a a 23 +a
1 10,3 3a b a
综上可知， max
1
3a b 。
点评：1.题(1)考查单调性概念、导数运算及应用、含参不等式恒成立问题,（1）是（2）的台
阶梯；
2.题（2）综合考查分类讨论、线性规划、解二次不等式、二次函数、含参不等式恒成立问题、
导数及其应用、化归及数形结合的思想。
3.解法 1 应该说是在对问题的认识比较深刻的情况下才能想到，解法 2 的思路比较自然，过
程相对比较繁，从做的情况看还是用解法 2 的比较多。
20、（本小题满分 16 分）【解读与点评】
设 M 为部分正整数组成的集合，数列 }{ na 的首项 11 a ，前 n 项和为 nS ，已知对任意整数 k
属于 M，当 n>k 时， )(2 knknkn SSSS 都成立。
（1）设 M=｛1｝， 22 a ，求 5a 的值；（2）设 M=｛3，4｝，求数列 }{ na 的通项公式。
（ 1 ） 解 ： 1 1 1 2 1 11, 1, 2( ), 2( )n n n n n nk n S S S S S S S S 即 ：
2 12n n na a a
所以，n>1 时， na 成等差，而 22 a ， 2 3 2 1 1 3 53, 2( ) 7, 4, 8;S S S S S a a
（ 2 ） 解 法 1. 由 题 意 ：
3 3 3 4 4 43, 2( ),(1); 4, 2( ),(2)n n n n n nn S S S S n S S S S ，
4 2 1 3 5 3 1 44, 2( ),(3); 5, 2( ),(4);n n n n n nn S S S S n S S S S
当 5n 时，由（1）（2）得： 4 3 42 ,(5)n na a a
由（3）（4）得： 5 2 42 ,(6)n na a a
由（1）（3）得： 4 2 12 ,(7);n n na a a
由（2）（4）得： 5 3 12 ,(8);n n na a a
由（7）（8）知： 4 1 2, , ,n n na a a 成等差， 5 1 3, , ,n n na a a 成等差；设公差分别为： 1 2, ,d d
由 （ 5 ） （ 6 ） 得 ：
5 3 2 4 4 2 4 2 1 5 4 12 2 2 ,(9); 2 2 2 ,(10);n n n n n na a d a a d a a d a a d
由（9）（10）得： 5 4 2 1 4 1 2 2 3 2 1,2 , ;n n n na a d d a d d a a d d a ( 2)n n 成
等差，设公差为 d,
在（1）（2）中分别取 n=4,n=5 得： 1 2 1 2 22 +6a 15 2(2 5 5 ), 4 5 2;a d a a d a d 即
1 2 1 2 22 8 28 2(2 7 9 ), 3 5 1a a d a a d a d 即
2 3, 2, 2 1.na d a n
解法 2.由题意 {3,4}k 且 n>k 时， 1 1 12 2 , 2 2 ,n k n k n k n k n k n kS S S S S S S S 两
式相减
得 ：
1 1 1 6 3 3 6 6 2 2 62 , 8 , , , , , , , , , ,n k n k n n n n n n n n n na a a n a a a a a AP a a a a AP 时 成 也成
3 3 6 6 2 28 , (1)n n n n n nn a a a a a a n时,2a
所以，当 9n 时， 3 1 1 3 3 3 1 1, , , , ,n n n n n n n na a a a AP a a a a 成
由（1）得： 1 1,n na a n2a 所以，当 9n 时，{ }na 成 AP,设公差为 d，
当 2 8m 时， 6 8,m 由（1）得： 12 1 13, ,m m m ma a a a m+6 m+72a 2a
7 6 1 13 12 12( ) , 2 ,m m m m m m m ma a a a a a a a d d d
12, ,n nn a a d 又 由
2 2 ( 3,4), ( ) ( ) 2 ,n k n k n k n k n n n k kS S S S k S S S S S
3 4 4 2 1
7 3 19 2 ,16 2 , , , ,2 2 2d S d S a d a d a d 1 1, 2, 2 1.na d a n
点评：1.该题考查等差数列概念、和与通项关系、集合概念、转化与化归、分析问题与解决
问题的能力，其中（1）是（2）的台阶题，通过（1）的解答可以加深对（2）的理解。
2. 该题思路比较困难，特别是如何从使用和与通项关系式后走出来，发现规律，推出
规律，这实际上还有一个归纳推理和探索的过程，从做的情况看，很多人思路混乱，漫无目
的，也就是说该题给出较高的抽象概括能力的要求和思维要求。
3.该题解决的主要途径是发现成等差的规律，然后朝着这个方向努力，再利用等差数列
的概念进行转化，当然在题（1）中也有着这样的暗示。
2011 年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)
数学 II（附加题）
21.【选做题】本题包括 A、B、C、D 四小题，请选定其中两题．．．．．．．，．并在答题卡指定区．．．．．．．．
域内作答．．．．，若多做，则按作答的前两题评分。解答时应写出文字说明、证明过程或
演算步骤.
C．选修 4-1：几何证明选讲（本小题满分 10 分）【解读与点评】
如图，圆 1O 与圆 2O 内切于点 A ，其半径分别为 1r 与 2 1 2( )r r r ，
圆 1O 的弦 AB 交圆 2O 于点C （ 1O 不在 AB 上）。
求证： :AB AC 为定值。
证明：因为，圆 1O 与圆 2O 内切于点 A ，所以，连接 1O 2O 经过 A,
连接 1O B 、 2O C ，
由弦切角定理可得 1 1
2 1
2
, O B rABAO C AO B AC O C r
点评：该题考查圆的切线的性质、三角形相似的判定及其性质。
D． 选修 4-2：矩阵与变换（本小题满分 10 分）【解读与点评】
已知矩阵 1 1
2 1A
，向量 1
2
，求向量 ，使得 2A ．
解 ： 设 x
y ， 由 2A 得 ： 3 2 1
4 3 2
x
y
，
21A第 图
3 2 1 1 1,4 3 2 2 2
x y x
x y y
点评：该题考查矩阵的乘法、待定系数法和解方程组。由矩阵乘法、向量相等、解二元
一次方程组三个步骤组成。
C．选修 4-4：坐标系与参数方程（本小题满分 10 分）【解读与点评】
在平面直角坐标系 xOy 中，求过椭圆 5cos
3sin
x
y
（ 为参数）的右焦点且与直线
4 2
3
x t
y t
（t 为参数）平行的直线的普通方程。
解：椭圆的普通方程为
2 2
1,25 9
x y 右焦点为（4，0），直线 4 2
3
x t
y t
（t 为参数）的
普通方程为 2 2y x ，斜率为： 1
2
；所求直线方程为： 1 ( 4), 2 4 02y x x y 即
点评：该题考查参数方程与普通方程的互化、椭圆的基本性质、直线方程、两条直线的
位置关系。
D．选修 4-5：不等式选讲（本小题满分 10 分）【解读与点评】
解不等式： | 2 1| 3x x
解：原不等式等价于： 43 2 1 3 , 2 3x x x x ，解集为 4( 2, )3
点评：该题考查绝对值不等式的求解。
【必做题】第 22 题、第 23 题，每题 10 分，共计 20 分.请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作
答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。http://www.mathedu.cn
22. （本小题满分 10 分）【解读与点评】
如图，在正四棱柱 1 1 1 1ABCD ABCD 中， 1 2, 1AA AB ，点 N 是 BC 的中点，点 M 在
1CC 上，设二面角 1A DN M 的大小为 。
（1）当 090 时，求 AM 的长；
（2）当 6cos 6
时，求CM 的长。
解：以 D 为原点，DA 为 x 轴正半轴，DC 为 y 轴正半轴，DD1 为 z 轴正半轴，
建立空间直角坐标系，则 A(1,0,0),A1(1,0,2),N( 1
2
,1,0),C(0,1,0) )，设 M(0，1,z),
面 MDN 的法向量 1 1 1 1( , , )n x y z ， 1
1(1,0,2), ( ,1,0), (0,1, )2DA DN DM z
设面 A1DN 的法向量为 0 0 0( , , )n x y z ，则
0 0
1
0 0
2 0
0, 0, 1 02
x z
DA n DNn
x y
22第 题图
取 0 0 02, 1, 1,x y z 则 即 (2, 1, 1)n
(1) 由 题 意 ：
1 1
1 1 1 1 1
1 1 1
1 02
0, 0, ,0 0
2 0
x y
DNn DM n nn y zz
x y z
取
1 1 1
12, 1, 5, ;5x y z z 则
2 2 21 51(1 0) (0 1) (0 )5 5AM
（2）由题意： 1
1 1
1
60, 0, ,6
nn
DNn DM n
n n
即
1 1
1 1
2
1 1 1 1 1 1 1
1 02
0
3 4 4 2 0
x y
y zz
x x y x z y z
取
1 1 1
12, 1, 2, ;2x y z z 则 1 .2CM
点评：1.该题考查空间向量基本概念、法向量的求法、线面所成角、距离、数量积、空间想
象能力、运算能力。
2.这两题都要在先求法向量的情况下再求距离，在题（2）中对方程组的求解方面要求比较高，
还考查了转化与划归，特别是对条件 6cos 6
的转化。
23．（本小题满分 10 分）【解读与点评】
设整数 4n ， ( , )P a b 是平面直角坐标系 xOy 中的点，其中 , {1,2,3, , },a b n a b
（1）记 nA 为满足 3a b 的点 P 的个数，求 nA ；
（2）记 nB 为满足 1 ( )3 a b 是整数的点 P 的个数，求 nB
（1）解：因为满足 3a b , {1,2,3, , },a b n a b 的每一组解构成一个点 P,所以
3nA n 。
（2）解法 1.设 *1 ( )3 a b k N ，则 13 ,0 3 1, 0 ,3
na b k k n k
对每一个 k 对应的解数为：n3k,构成以 3 为公差的等差数列；
当 n1 被 3 整除时，解数一共有： 1 3 n 1 ( 1)( 2)1 4 3 2 3 6
n n nn
当 n1 被 3 除余 1 时，解数一共有： 2 3 2 ( 2)( 1)2 5 3 2 3 6
n n n nn
当 n1 被 3 除余 2 时，解数一共有： 3 3 3 ( 3)3 6 3 2 3 6
n n n nn
*
( 1)( 2) , 3 1 3 26 ( )( 3) , 3 36
n
n n n k orn k
B k Nn n n k
解法 2.设 *k N ， ( )nf k 为满足题设的 3a b k 的点 P 的个数，由题设 ( ) 1nf k ；
11 3 3 , 1 ;3
nb a k n k k
设 *1 3 ,( , 0,1,2)n m r m N r ，则 k m ，
1 1
3 ( 1) (2 3 3)( ) ( 3 ) 2 2
m m
n n
k k
m m m n mB f k n k mn
，
将 1
3
n rm 代入上式化简得： ( 1)( 2) ( 1) ,6 6n
n n r rB
*
* *
( 3) ,( )6 3
( 1)( 2) ,( , )6 3
n
n n n N
B n n n N n N
点评：1.该题考查计数原理、等差数列求和、分类讨论、归纳推理能力。
2.题（1）是为题（2）打基础，通过题（1）的求解，可以理解题（2）的特点与思路，
从而找出题（2）的解题思路。
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