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- 2021-05-13 发布
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高考数学中的数列经典题与易错题
1.已知两个等差数列和的前项和分别为和,且,则使得为整数的正整数的个数是( )
A.2 B.3 C.4 D.5
分析:,分离常数。答案:D
2.设数列,都是正项等比数列,,分别为数列与的前n项和,且,则= .
分析:等比数列取对数变为等差数列。答案:
3.已知数列的通项公式是,其前n项和是,则对任意的(其中*),的最大值是 .
分析:所有大于零的项的和最大。答案:10
4.如果等比数列的首项,公比,前n项和为,那么与的大小为 ( )
A. B. C. D.
分析:,所以为递增数列。答案:C
5.对于数列,“(n=1,2,3,…)成等差数列”是“”的( )
A.必要不充分条件B充分不必要条件[C.充要条件D.既不充分也不必要条件
答案:C
变式训练:
(1)成等差数列是数列为等比数列的 条件
(2)成等比数列是数列为等比数列的 条件
(3)是数列为等比数列的 条件
(4)是数列为等比数列的 条件
(5)是数列为等比数列的 条件
6.已知数列满足,且,则数列的通项公式是 .
分析:一题多解:法1:因为,,两式相减可得:
法2:,法3:,法4:归纳猜想。
7、 (2012年青岛一模)等差数列的公差大于零,且、是方程的两个根;各项均为正数的等比数列的前项和为,且满足,.
(Ⅰ)求数列、的通项公式;
(Ⅱ)若数列满足,求数列的前项和.
分析:分段函数求和,(1),(2)
8、设是数列的前项和,,且,.
(1)求数列的通项公式;
(2)求数列前n项和。
分析: ,注意求有两种方法。
9、已知a为实数,数列满足,当 时,.
(1)当 时,填写下列表格;
n
2
3
51
200
an
(2)当 时,求数列的前200项的和;
(3)令,,求证:当时,有.
答案:(1)196,192,1,4(2)5475(3)n为偶数时,
n为奇数时,
10、(2011年山东试题)若数列的通项公式为:,数列满足:,求数列的前n项和Sn.
答案:其实本题亦可以不讨论,可以使用错位相减法求和。
11、已知数列是递增数列,且满足
(Ⅰ)若是等差数列,求数列的通项公式;
(Ⅱ)对于(Ⅰ)中,令 ,求数列的前项和.
分析:不要有思维定势。本题不用分分类讨论。
答案:
12、数列的前n项和为,,
(1)求数列的通项公式
(2)求数列的前n项和
(1)(2)
分析:意识决定高度,细节决定成败。注意n=1的验证。
变式训练:已知数列中,(n∈N*).
(1)求数列通项公式;
(2)求数列的前项和。
(1)(2)
13、已知正项数列的前项和为,且满足
(1)求数列的通项公式;
(2)设,则是否存在数列,满足
对一切正整数都成立?若存在,请求出数列的通项公式;若不存在,请说明理由.
答案:存在
14、已知两个等比数列,,满足,,,.
(1)若,求数列的通项公式;(2)若数列唯一,求的值.
答案:(1)或 (2)
15、已知函数数列
(I)求证数列是等差数列,并求数列的通项公式;
(II)记
答案:(1) (2)
16、【2009年58中高考复习用题】(引自2007年重庆高考试题)证明:
变式练习:(2009年山东高考试题)证明不等式:
相似度:90% 方法完全相同
17、已知:
(1)证明:对一切成立,
(2)证明:
(3)证明:
18、证明对任意的正整数,不等式都成立.
19、已知数列的首项前项和为,且
(I)证明数列是等比数列;
(II)令,求函数在点处的导数并比较与的大小
20、等差数列中,是一个与n无关的常数,则该常数的可能值的集合为( )B
A. B. C. D.
21、某商场橱窗里用同样的乒乓球堆成若干准“正三棱锥”形的展品,其中第一堆只有一层,就一个乒乓球;第2、3、4、…堆最底层(第一层)分别按图4所示方式固定摆放.从第一层开始,每层的小球自然垒放在下一层之上,第n堆第n层就放一个乒乓球,以表示第n堆的乒乓球总数,则 ; (答案用n表示)
22、已知数列,求的前n项和为
23、已知数列,求的前n项和为
24、汉诺塔问题是根据一个传说形成的一个问题:有三根杆子和套在一根杆子上的若干大小不等的穿孔圆盘,按下列规则,把圆盘从一根杆子上全部移到另一根杆子上.
①每次只能移动1个碟片;②大盘不能叠在小盘上面.
如图所示,将A杆上所有碟片移到C杆上,B杆可以作为过渡杆使用,称将碟片从一个杆子移动到另一个标子为移动一次,记将A杆子上的n个碟片移动到C杆上最少需要移动an次.
(Ⅰ)写出a1,a2,a3,a4的值;
(Ⅱ)求数列{an}的通项公式;
(Ⅲ)设,求数列{bn}的前n项和Sn.
由①②可知数列{an}的通项公式是.…………………………8分
(也可由递推式构造等比数列求解)
(Ⅲ)由(Ⅱ)可知,,所以
开始
S=0,T=0, i=1
=k?
输入a1 ,d, k
T=T+ ai×2 i
ai+1= ai+d
i=i+1
输出S,T
结束
是
否
25、如图所示,程序框图给出了无穷正项数列
满足的条件,且当k=5时,输出的S
是;当k=10时,输出的S是.
(1)试求数列的通项公式;
(2)试求当k=10时,输出的T的值.
(写出必要的解题步骤)
解:(1)观察框图可知,数列为等差数列,设其公差为d,
又可知, (1分)
由
得
(3分)
由题意可知,k=5时,S=
(5分)
解得 (6分)
(7分)
(2)由框图和(1)可得
当
(9分)
两式相减可得
(11分)
(12分)