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  • 2021-05-13 发布

高考数学中的数列经典题与易错题(部分含答案)

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高考数学中的数列经典题与易错题 ‎1.已知两个等差数列和的前项和分别为和,且,则使得为整数的正整数的个数是( )‎ A.2 B.3 C.4 D.5‎ 分析:,分离常数。答案:D ‎2.设数列,都是正项等比数列,,分别为数列与的前n项和,且,则= .‎ 分析:等比数列取对数变为等差数列。答案:‎ ‎3.已知数列的通项公式是,其前n项和是,则对任意的(其中*),的最大值是 .‎ 分析:所有大于零的项的和最大。答案:10‎ ‎4.如果等比数列的首项,公比,前n项和为,那么与的大小为 ( )‎ A. B. C. D.‎ 分析:,所以为递增数列。答案:C ‎5.对于数列,“(n=1,2,3,…)成等差数列”是“”的( )‎ A.必要不充分条件B充分不必要条件[C.充要条件D.既不充分也不必要条件 答案:C 变式训练:‎ ‎(1)成等差数列是数列为等比数列的 条件 ‎(2)成等比数列是数列为等比数列的 条件 ‎(3)是数列为等比数列的 条件 ‎(4)是数列为等比数列的 条件 ‎(5)是数列为等比数列的 条件 ‎6.已知数列满足,且,则数列的通项公式是 .‎ 分析:一题多解:法1:因为,,两式相减可得:‎ 法2:,法3:,法4:归纳猜想。‎ 7、 ‎(2012年青岛一模)等差数列的公差大于零,且、是方程的两个根;各项均为正数的等比数列的前项和为,且满足,.‎ ‎(Ⅰ)求数列、的通项公式;‎ ‎(Ⅱ)若数列满足,求数列的前项和.‎ 分析:分段函数求和,(1),(2)‎ ‎8、设是数列的前项和,,且,.‎ ‎(1)求数列的通项公式;‎ ‎(2)求数列前n项和。‎ 分析: ,注意求有两种方法。‎ ‎9、已知a为实数,数列满足,当 时,.‎ ‎(1)当 时,填写下列表格;‎ n ‎2‎ ‎3‎ ‎51‎ ‎200‎ an ‎(2)当 时,求数列的前200项的和;‎ ‎(3)令,,求证:当时,有.‎ 答案:(1)196,192,1,4(2)5475(3)n为偶数时,‎ n为奇数时,‎ ‎10、(2011年山东试题)若数列的通项公式为:,数列满足:,求数列的前n项和Sn.‎ 答案:其实本题亦可以不讨论,可以使用错位相减法求和。‎ ‎11、已知数列是递增数列,且满足 ‎(Ⅰ)若是等差数列,求数列的通项公式;‎ ‎(Ⅱ)对于(Ⅰ)中,令 ,求数列的前项和.‎ 分析:不要有思维定势。本题不用分分类讨论。‎ 答案:‎ ‎12、数列的前n项和为,,‎ ‎(1)求数列的通项公式 ‎(2)求数列的前n项和 ‎(1)(2)‎ 分析:意识决定高度,细节决定成败。注意n=1的验证。‎ 变式训练:已知数列中,(n∈N*).‎ ‎(1)求数列通项公式;‎ ‎(2)求数列的前项和。‎ ‎(1)(2)‎ ‎13、已知正项数列的前项和为,且满足 ‎ (1)求数列的通项公式;‎ ‎ (2)设,则是否存在数列,满足 对一切正整数都成立?若存在,请求出数列的通项公式;若不存在,请说明理由.‎ 答案:存在 ‎14、已知两个等比数列,,满足,,,.‎ ‎(1)若,求数列的通项公式;(2)若数列唯一,求的值.‎ 答案:(1)或 (2)‎ ‎15、已知函数数列 ‎ (I)求证数列是等差数列,并求数列的通项公式;‎ ‎ (II)记 答案:(1) (2)‎ ‎16、【2009年58中高考复习用题】(引自2007年重庆高考试题)证明:‎ 变式练习:(2009年山东高考试题)证明不等式:‎ 相似度:90% 方法完全相同 ‎17、已知:‎ ‎(1)证明:对一切成立,‎ ‎(2)证明:‎ ‎(3)证明:‎ ‎18、证明对任意的正整数,不等式都成立.‎ ‎19、已知数列的首项前项和为,且 ‎(I)证明数列是等比数列;‎ ‎(II)令,求函数在点处的导数并比较与的大小 ‎20、等差数列中,是一个与n无关的常数,则该常数的可能值的集合为( )B ‎ A. B. C. D.‎ ‎21、某商场橱窗里用同样的乒乓球堆成若干准“正三棱锥”形的展品,其中第一堆只有一层,就一个乒乓球;第2、3、4、…堆最底层(第一层)分别按图4所示方式固定摆放.从第一层开始,每层的小球自然垒放在下一层之上,第n堆第n层就放一个乒乓球,以表示第n堆的乒乓球总数,则 ; (答案用n表示) ‎ ‎22、已知数列,求的前n项和为 ‎23、已知数列,求的前n项和为 ‎24、汉诺塔问题是根据一个传说形成的一个问题:有三根杆子和套在一根杆子上的若干大小不等的穿孔圆盘,按下列规则,把圆盘从一根杆子上全部移到另一根杆子上.‎ ‎①每次只能移动1个碟片;②大盘不能叠在小盘上面.‎ 如图所示,将A杆上所有碟片移到C杆上,B杆可以作为过渡杆使用,称将碟片从一个杆子移动到另一个标子为移动一次,记将A杆子上的n个碟片移动到C杆上最少需要移动an次. ‎ ‎(Ⅰ)写出a1,a2,a3,a4的值;‎ ‎(Ⅱ)求数列{an}的通项公式;‎ ‎(Ⅲ)设,求数列{bn}的前n项和Sn.‎ 由①②可知数列{an}的通项公式是.…………………………8分 ‎(也可由递推式构造等比数列求解)‎ ‎(Ⅲ)由(Ⅱ)可知,,所以 ‎ ‎ 开始 S=0,T=0, i=1‎ ‎ =k?‎ 输入a1 ,d, k T=T+ ai×2 i ‎ ai+1= ai+d i=i+1‎ 输出S,T 结束 是 否 ‎25、如图所示,程序框图给出了无穷正项数列 满足的条件,且当k=5时,输出的S 是;当k=10时,输出的S是.‎ ‎ (1)试求数列的通项公式;‎ ‎ (2)试求当k=10时,输出的T的值.‎ ‎(写出必要的解题步骤)‎ 解:(1)观察框图可知,数列为等差数列,设其公差为d,‎ 又可知, (1分)‎ 由 得 ‎ (3分)‎ 由题意可知,k=5时,S=‎ ‎ (5分)‎ 解得 (6分)‎ ‎ (7分)‎ ‎(2)由框图和(1)可得 当 ‎ (9分)‎ 两式相减可得 ‎ (11分)‎ ‎ (12分)‎