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  • 2021-05-13 发布

2009江苏高考数学立体几何二轮复习材料

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立体几何二轮复习材料 ‎【课程目标】‎ 本模块的内容包括:立体几何初步、平面解析几何初步。‎ 通过立体几何初步的教学,使学生经历直观感知、操作确认、思辨论证、度量计算等方法认识和探索几何图形及其性质的过程;使学生直观认识和理解空间点、线、面的位置关系,能用数学语言表述有关平行、垂直的性质与判定,并对某些结论进行论证,了解一些简单几何体的表面积与体积的计算方法;培养和发展学生的空间想像能力、推理论证能力、运用图形语言进行交流的能力以及几何直观能力;使学生感受、体验从整体到局部、从具体到抽象,由浅入深、由表及里、由粗到细等认识事物的一般科学方法。‎ ‎【学习要求】‎ ‎1.立体几何初步 ‎(1)空间几何体 直观了解柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征;能运用这些结构特征描述现实生活中简单物体的结构。‎ 能画出简单空间图形(棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、球等的简易组合)的三视图,能识别上述的三视图所表示的立体模型;能使用纸板等材料制作简单空间图形(例如长方体、圆柱、圆锥等)的模型,会用斜二测法画出它们的直观图。‎ 了解空间图形的两种不同表示形式(三视图和直观图),了解三视图、直观图与它们所表示的立体模型之间的内在联系。‎ 会画某些简单实物的三视图与直观图(在不影响图形特征的基础上,直观图的尺寸、线条等不作严格要求)。‎ ‎(2)点、线、面之间的位置关系 理解空间点、线、面的位置关系;会用数学语言规范地表述空间点、线、面的位置关系。了解如下可以作为推理依据的4条公理、3条推论和1条定理:‎ ‎◆公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内。‎ ‎◆公理2:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线。‎ ‎◆公理3:过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面。‎ 推论1:经过一条直线和这条直线外的一点,有且只有一个平面。‎ 推论2:经过两条相交直线,有且只有一个平面。‎ 推论3:经过两条平行直线,有且只有一个平面。‎ ‎◆公理4:平行于同一条直线的两条直线平行。‎ ‎◆定理:空间中如果两个角的两条边分别对应平行,并且方向相同,那么这两个角相等。‎ 了解空间线面平行、垂直的有关概念;能正确地判断空间线线、线面与面面的位置关系;理解如下的4条关于空间中线面平行、垂直的判定定理:‎ ‎◆平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行。‎ ‎◆一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行。‎ ‎◆一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直,则该直线与此平面垂直。‎ ‎◆一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直。‎ 并能用图形语言和符号语言表述这些判定定理(这4条定理的证明,这里不作要求)。‎ 理解如下的4条关于空间中线面平行、垂直的性质定理:‎ ‎◆一条直线与一个平面平行,则过该直线的任一个平面与此平面的交线与该直线平行。‎ ‎◆两个平面平行,则任意一个平面与这两个平面相交所得的交线相互平行。‎ ‎◆垂直于同一个平面的两条直线平行。‎ ‎◆两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。‎ 能用图形语言和符号语言表述这些性质定理,并能加以证明。‎ 能运用上述4条公理、3条推论和9条定理证明一些空间位置关系的简单命题。‎ 了解异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角及其平面角的概念;了解点到平面的距离、平行于平面的直线到平面的距离、两个平行平面间的距离的概念(上述角与距离的计算不作要求)。‎ ‎(3)柱、锥、台、球的表面积和体积 了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式(不要求记忆公式),会求直棱柱、正棱锥、正棱台、圆柱、圆锥、圆台和球的表面积和体积。‎ ‎ ‎ ‎2008江苏高考数学科考试说明 对知识的考查要求依次分为了解、理解、掌握三个层次(在下表中分别用A、B、C表示)。‎ 了解:要求对所列知识的含义有最基本的认识,并能解决相关的简单问题。‎ 理解:要求对所列知识有较深刻的认识,并能解决有一定综合性的问题。‎ 掌握:要求系统地掌握知识的内在联系,并能解决综合性较强的或较为困难的问题。‎ 具体考查要求如下 内 容 要 求 A B C ‎14.空间几何体 柱、锥、台、球及其简单组成体 ‎√‎ 三视图与直视图 ‎√‎ 柱、锥、台、球的表面积和体积 ‎√‎ ‎15.点、线、面之间的位置关系 平面及其基本性质 ‎√‎ 直线与平面平行、垂直的判定与性质 ‎√‎ 两平面平行、垂直的判定与性质 ‎√‎ B C A F D E ‎16.(08江苏卷)(14分)在四面体中,,且E、F分别是AB、BD的中点,‎ 求证:(1)直线EF//面ACD ‎(2)面EFC⊥面BCD ‎【解析】:本小题考查空间直线于平面、平面与平面的位置 关系的判定,考查空间想象能力、推理论证能力。‎ ‎(1)∵E、F分别是AB、BD的中点 ∴EF是△ABD的中位线 ‎∴EF//AD 又∵面ACD,AD面ACD∴直线EF//面ACD ‎(2)‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎19.(08山东文科)(本小题满分12分)A B C M P D 如图,在四棱锥中,平面平面,,是等边三角形,已知,.‎ ‎(Ⅰ)设是上的一点,证明:平面平面;‎ ‎(Ⅱ)求四棱锥的体积.‎ ‎(Ⅰ)证明:在中,‎ 由于,,,‎ A B C M P D O 所以.‎ 故.‎ 又平面平面,平面平面,‎ 平面,‎ 所以平面,‎ 又平面,‎ 故平面平面.‎ ‎(Ⅱ)解:过作交于,‎ 由于平面平面,‎ 所以平面.‎ 因此为四棱锥的高,‎ 又是边长为4的等边三角形.‎ 因此.‎ 在底面四边形中,,,‎ 所以四边形是梯形,在中,斜边边上的高为,‎ 此即为梯形的高,‎ 所以四边形的面积为.‎ 故.‎ ‎12.(08宁夏卷)已知平面平面,,点,,直线,直线,直线,则下列四种位置关系中,不一定成立的是( D )‎ A. B. C. D.‎ ‎18.(08宁夏卷)(本小题满分12分)如下的三个图中,上面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图.它的正视图和俯视图在下面画出(单位:cm)‎ ‎(Ⅰ)在正视图下面,按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图;‎ ‎(Ⅱ)按照给出的尺寸,求该多面体的体积;‎ ‎(Ⅲ)在所给直观图中连结,证明:面.‎ ‎4‎ ‎6‎ ‎4‎ ‎2‎ ‎2‎ E D A B C F G ‎2‎ 解:(Ⅰ)如图 ‎4‎ ‎6‎ ‎4‎ ‎2‎ ‎2‎ ‎2‎ ‎4‎ ‎6‎ ‎2‎ ‎2‎ ‎(俯视图)‎ ‎(正视图)‎ ‎(侧视图)‎ ‎ 3分 A B C D E F G ‎(Ⅱ)所求多面体体积 ‎. 7分 ‎(Ⅲ)证明:在长方体中,‎ 连结,则.‎ 因为分别为,中点,‎ 所以,‎ 从而.又平面,‎ 所以面. 12分 ‎7.(08广东卷)将正三棱柱截去三个角(如图1所示A,B,C分别是△CHI三边的中点)得到几何体如图2,则该几何体按图2所示方向的侧视图(或称左视图)为A E F D I A H G B C E F D A B C 侧视 图1‎ 图2‎ B E A.‎ B E B.‎ B E C.‎ B E D.‎ ‎18. (08广东卷)(本小题满分14分)‎ 如图5所示,四棱锥P-ABCD的底面ABCD是半径为R的圆的内接四边形,其中BD是圆的直径,∠ABD=60°,∠BDC=45°,△ADP~△BAD.‎ ‎(1)求线段PD的长;‎ C P A B 图5‎ D ‎(2)若PC=R,求三棱锥P-ABC的体积. ‎ 解:(1)因为是圆的直径,所以 ‎ 又△ADP~△BAD.‎ ‎ 所以 ‎ ‎ (2)在中,‎ ‎ 因为 ‎ ‎ 所以 又 ‎ 所以底面 ‎ ‎ ‎ 三棱锥体积为 ‎11.(06江苏卷)两相同的正四棱锥组成如图1所示的几何体,可放棱长为1‎ 的正方体内,使正四棱锥的底面ABCD与正方体的某一个平面平行,且各顶点均在正方体的面上,则这样的几何体体积的可能值有(D)‎ ‎(A)1个  (B)2个 (C)3个  (D)无穷多个 ‎73.(06天津卷)如图,在五面体中,点是矩形的对角线的交点,面是等边三角形,棱.‎ ‎(1)证明//平面;‎ ‎(2)设,证明平面.‎ A B C D A1‎ B1‎ C1‎ D1‎ A1‎ ‎33.(06安徽卷)多面体上,位于同一条棱两端的顶点称为相邻的,如图,正方体的一个顶点A在平面α内,其余顶点在α的同侧,正方体上与顶点A相邻的三个顶点到α的距离分别为1,2和4,P是正方体的其余四个顶点中的一个,则P到平面α的距离可能是:_①③④⑤_____(写出所有正确结论的编号) ①3; ②4; ③5; ④6; ⑤7‎ A B C D A1‎ ‎34.(06安徽卷)平行四边形的一个顶点A在平面α内,其余顶点在α的同侧,已知其中有两个顶点到的距离分别为1和2 ,那么剩下的一个顶点到平面的距离可能是:①1; ②2; ③3; ④4; ‎ 以上结论正确的为_____①③_________。(写出所有正确结论的编号)‎ A C B C1‎ B1‎ A1‎ P ‎36.(06广东卷)棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上,则该球的表面积为____‎ ‎37.(06湖南卷)过三棱柱 ABC-A1B1C1 的任意两条棱的中点作直线,其中与平面ABB1A1平行的直线共有   6  条.‎ C1‎ C B A1‎ ‎ 38.(06江西卷)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面为直角三角形,ÐACB=90°,AC=6,BC=CC1=,P是BC1上一动点,则CP+PA1的最小值是___________‎ ‎39.(06江西卷)如图,已知正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为1,高为8,一质点自A点出发,沿着三棱柱的侧面绕行两周到达点的最短路线的长为 10.‎ A B C P D E F ‎41.(06辽宁卷)如图,半径为2的半球内有一内接正六棱锥,则此正六棱锥的侧面积是_______‎ ‎43.(06全国II)圆是以R为半径的球O的小圆,若圆的面积和球O的表面积S的比为,则圆心到球心O的距离与球半径的比____‎ ‎49.(06四川卷)m、n是空间两条不同直线,α、β是空间两条不同平面,下面有四个命题:‎ ‎①m⊥α,n∥β,α∥βm⊥n    ②m⊥n,n∥β,m⊥αn∥β ‎③m⊥n,α∥β,m∥αn⊥β    ④m⊥α,m∥n,α∥βn⊥β 其中真命题的编号是________(写出所有真命题的编号)。①、④.‎ ‎52.(06上海春)正四棱锥底面边长为4,侧棱长为3,则其体积为 ..‎ ‎4.(07江苏)已知两条直线,两个平面.给出下面四个命题:‎ ‎①,;②,,;‎ ‎③,;④,,.‎ 其中正确命题的序号是( C )‎ A.①、③ B.②、④ C.①、④ D.②、③‎ ‎18.(07江苏)如图,已知是棱长为的正方体,‎ 点在上,点在上,且.‎ ‎(1)求证:四点共面;(4分)‎ ‎(2)若点在上,,点在上,‎ ‎,垂足为,求证:平面;(4分)‎ 本小题主要考查平面的基本性质、线线平行、线面垂直、二面角等基础知识和基本运算,考查空间想象能力、逻辑推理能力和运算能力.满分12分.‎ 解法一:‎ ‎(1)如图,在上取点,使,连结,,则,.‎ 因为,,所以四边形,‎ 都为平行四边形.‎ 从而,.‎ 又因为,所以,故四边形是平行四边形,由此推知,从而.‎ 因此,四点共面.‎ ‎(2)如图,,又,所以,‎ ‎.‎ 因为,所以为平行四边形,从而.‎ 又平面,所以平面.‎ ‎3.(07山东)下列几何体各自的三视图中,有且仅有两个视图相同的是( D )‎ ‎①正方形 ‎②圆锥 ‎③三棱台 ‎④正四棱锥 A.①② B.①③ C.①④ D.②④‎ ‎20.(07山东)(本小题满分12分)如图,在直四棱柱中,‎ 已知,.‎ B C D A ‎(1)求证:;‎ ‎(2)设是上一点,试确定的位置,使平面 ‎,并说明理由.‎ ‎(1)证明:在直四棱柱中,‎ ‎ 连结,,‎ ‎ 四边形是正方形..‎ ‎ 又,,‎ B C D A M E ‎ 平面, 平面,‎ ‎ .‎ ‎ 平面,‎ ‎ 且,平面,‎ ‎ 又平面,.‎ ‎(2)连结,连结,‎ ‎ 设,‎ ‎ ,连结,‎ ‎ 平面平面,‎ ‎ 要使平面,须使,‎ ‎ 又是的中点.是的中点.‎ ‎ 又易知 .‎ ‎ 即是的中点.综上所述,当是的中点时,可使平面.‎ ‎19.(07广东卷)(本小题满分14分)如图6所示,等腰的底边,高,点是线段上异于点的动点,点在边上,且,现沿将折起到的位置,使,记,表示四棱锥的体积.‎ ‎(1)求的表达式;‎ 图6‎ P E D F B C A ‎(2)当为何值时,取得最大值?‎ ‎(3)当取得最大值时,求异面直线与所成角的余弦值.‎ ‎(1)由折起的过程可知,PE⊥平面ABC,‎ ‎,‎ V(x)=()‎ ‎(2),所以时, ,‎ V(x)单调递增;时 ,V(x)单调递减;‎ 因此x=6时,V(x)取得最大值;‎ ‎(3)过F作MF//AC交AD与M,‎ 则,PM=,‎ ‎,‎ 在△PFM中, ,∴异面直线AC与PF所成角的余弦值为;‎ ‎(15)(07浙江卷)如图,已知球O点面上四点A、B、C、D,DA平面ABC,ABBC,DA=AB=BC=,则球O点体积等于 。‎ ‎(关键是找出球心,从而确定球的半径。由题意,三角形DAC,‎ 三角形DBC都是直角三角形,且有公共斜边。所以DC边的中点就是 球心(到D、A、C、B四点距离相等),所以球的半径就是线段DC长度 的一半。) ‎ ‎ ‎ ‎2008~2009江苏各地考试试卷 ‎16.(15分)已知等腰梯形PDCB中(如图1),PB=3,DC=1,PB=BC=,A为PB边上一点,且PA=1,将△PAD沿AD折起,使面PAD⊥面ABCD(如图2).‎ ‎(1)证明:平面PAD⊥PCD;‎ ‎(2)试在棱PB上确定一点M,使截面AMC把几何体分成的两部分;‎ ‎(3)在M满足(2)的情况下,判断直线PD是否平行面AMC.‎ ‎(1)证明:依题意知:‎ ‎ …………2分 ‎ …4分 ‎ (2)由(1)知平面ABCD ‎ ‎ ∴平面PAB⊥平面ABCD. …………5分 ‎ 在PB上取一点M,作MN⊥AB,则MN⊥平面ABCD,‎ ‎ 设MN=h ‎ 则 ‎ …………8分 ‎ 要使 ‎ 即M为PB的中点. …………10分 ‎ (3)连接BD交AC于O,因为AB//CD,AB=2,CD=1,由相似三角形易得BO=2OD ‎∴O不是BD的中心……………………10分 又∵M为PB的中点 ‎∴在△PBD中,OM与PD不平行 ‎∴OM所以直线与PD所在直线相交 又OM平面AMC ‎∴直线PD与平面AMC不平行.……………………15分 ‎16.已知ABCD是矩形,AD=4,AB=2,E、F分别是线段AB、BC的中点,PA⊥平面ABCD.‎ ‎(Ⅰ)求证:PF⊥FD;(Ⅱ)问棱PA上是否存在点G,使EG//平面PFD,若存在,确定点G的位置,若不存在,请说明理由.‎ P A B C D F E ‎(Ⅰ)证明:连结AF,在矩形ABCD中,因为 AD=4,AB=2,点F是BC的中点,所以∠AFB=∠DFC=45°.‎ 所以∠AFD=90°,即AF⊥FD.‎ 又PA⊥平面ABCD,所以PA⊥FD. ‎ 所以FD⊥平面PAF. ‎ 故PF⊥FD. ‎ ‎(Ⅱ)过E作EH//FD交AD于H,则EH//平面PFD,且 AH=AD. 再过H作HG//PD交PA于G,则GH//平面PFD,且 AG=PA. 所以平面EHG//平面PFD,则EG//平面PFD, ‎ 从而点G满足AG=PA. ‎ ‎18、在直三棱柱中,,,‎ 是的中点,是上一点,且.‎ ‎(1)求证: 平面;‎ ‎(2)求三棱锥的体积;‎ ‎(3)试在上找一点,使得平面.‎ ‎(1)证明:为中点 ,又直三棱柱中:底面 底面,,平面,平面 ‎ .在 矩形中:,‎ ‎ , ,‎ 即, ,平面; ----------5分 ‎(2)解:平面 ‎ ‎ =; -------10分 ‎(3)当时,平面.‎ 证明:连,设,连, 为矩形,为中点,为中点,,平面,平面 ‎ ‎ 平面. ------16分 ‎17、已知直角梯形中, ,过作 ‎,垂足为,的中点,现将沿折叠,使得.‎ ‎(1)求证:;(5分)(2)求证:;(5分)‎ ‎(3)在线段上找一点,使得面面,并说明理由. (5分)‎ A B C D E G F ‎·‎ ‎·‎ A B C D E G F 解:(1)证明:由已知得:, …………(2分)‎ ‎ , ,……………………(5分)‎ ‎(2)证明:取中点,连接,,‎ ‎ , , , ……………(7分)‎ ‎ , …………………………(10分)‎ ‎(3)分析可知,点满足时, ……………………(11分)‎ ‎ 证明:取中点,连结、、、、‎ ‎ 容易计算,‎ ‎ 在中,可知,‎ ‎ ∴在中, ,∴……………………………(13分)‎ ‎ 又在中,,‎ ‎, ………………………………………(15分)‎ ‎(说明:若设,通过分析,利用推算出,亦可,不必再作证明)‎ ‎16.在几何体ABCDE中,∠BAC=,DC⊥平面ABC,EB⊥平面ABC,F是BC的中点,AB=AC=BE=2,CD=1‎ ‎(1)求证:DC∥平面ABE;‎ ‎(2)求证:AF⊥平面BCDE;‎ ‎(3)求证:平面AFD⊥平面AFE.‎ 解:(Ⅰ) ∵DC⊥平面ABC,EB⊥平面ABC ‎∴DC//EB,又∵DC平面ABE,EB平面ABE,∴DC∥平面ABE……(4分)‎ ‎(Ⅱ)∵DC⊥平面ABC,∴DC⊥AF,又∵AF⊥BC,∴AF⊥平面BCDE……(8分)‎ ‎(Ⅲ)由(2)知AF⊥平面BCDE,∴AF⊥EF,在三角形DEF中,由计算知DF⊥EF,‎ ‎∴EF⊥平面AFD,又EF平面AFE,∴平面AFD⊥平面AFE.……(14分)‎ ‎17.一个多面体的直观图及三视图如图所示:(其中M、N分别是AF、BC的中点). ‎ ‎(1)求证:MN∥平面CDEF; (2)求多面体A—CDEF的体积. ‎ 解:由三视图可知,该多面体是底面为直角三角形的直三棱住ADE—BCF, ‎ ‎ 且AB=BC=BF=2,DE=CF=2‎ ‎ ∴∠CBF=‎ 取BF中点G,连MG、NG,‎ 由M、N分别为AF、BC的中点可得,‎ NG∥CF,MG∥EF, ‎ ‎ ∴平面MNG∥平面CDEF ‎∴MN∥平面CDEF.‎ ‎(2)取DE的中点H.∵AD=AE,∴AH⊥DE,在直三棱柱ADE—BCF中,平面ADE⊥平面CDEF,面ADE∩面CDEF=DE.∴AH⊥平面CDEF. ∴多面体A—CDEF是以AH为高,以矩形CDEF为底面的棱锥,在△ADE中,AH=,‎ ‎∴棱锥A—CDEF的体积为 ‎17 A B C D E F G 如图,矩形中,,,为上的点,且,AC、BD交于点G.‎ ‎(1)求证:(6分);‎ ‎(2)求证;(6分);‎ ‎(3)求三棱锥的体积(4分).‎ ‎17 解.(1)证明:,‎ ‎ ∴,‎ ‎ AE平面ABE, ∴‎ A B C D E F G 又,∴‎ 又∵BC∩BF=B,‎ ‎∴ ………………… 6分 ‎ (Ⅱ)证明:依题意可知:是中点 ‎ 则,而 ‎ ∴是中点 , ‎ ‎ 在中,,且FG平面BFD,AE平面BFD.‎ ‎∴ …………… 12分 ‎ ‎(Ⅲ)解:‎ ‎ ∴,而 ‎ ∴ ∴‎ ‎ 是中点 ‎ ∴是中点 ∴且 ‎ ‎ ‎ ∴‎ ‎ ∴中,‎ ‎ ∴ ‎ ‎ ∴ ………………… 16分 ‎(其它求法一样给分)‎ ‎16. 如图为正方体ABCD-A1B1C1D1切去一个三棱锥B1—A1BC1后得到的几何体.‎ ‎(1) 画出该几何体的正视图;‎ ‎(2) 若点O为底面ABCD的中心,求证:直线D1O∥平面A1BC1;‎ ‎(3). 求证:平面A1BC1⊥平面BD1D.‎ 解:(1)该几何体的正视图为:------------------3分 ‎(2)将其补成正方体ABCD-A1B1C1D1,设B1D1和A1C1交于点O1,连接O1B,‎ 依题意可知,D1O1∥OB,且D1O1=OB,即四边形D1OB O1为平行四边形,--6分 ‎ 则D1O∥O1B,因为BO1平面BA1C1,D1O平面BA1C1,‎ ‎ 所以有直线D1O∥平面BA1C1;-------------------------------------------------------8分 ‎(3)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,DD1⊥平面A1B1C1D1,‎ ‎ 则DD1⊥A1C1,---------------------------------------------------10分 ‎ 另一方面,B1D1⊥A1C1,---------------------------------------------------------12分 ‎ 又∵DD1∩B1D1= D1,∴A1C1⊥平面BD1D,‎ ‎∵A1C1平面A1BC1,则平面A1BC1⊥平面BD1D.-------------------14分 ‎6、如图是利用斜二测画法画出的的直观图,已知=4,‎ 且的面积为16,过作轴,则的 长为 . ‎ ‎17、一个多面体的直观图和三视图如图所示,其中M、N分别是AB、AC的中点,G是DF上的一动点.‎ ‎(1)求证:(7分)‎ ‎(2)当FG=GD时,在棱AD上确定一点P,使得GP//平面FMC,并给出证明.(8分)‎ 证明:由三视图可得直观图为直三棱柱且底面ADF中AD⊥DF,DF=AD=DC ‎ (1)连接DB,可知B、N、D共线,且AC⊥DN ‎ 又FD⊥AD FD⊥CD,‎ FD⊥面ABCD ‎ FD⊥AC ‎ AC⊥面FDN ‎ ‎ GN⊥AC ‎ (2)点P在A点处 证明:取DC中点S,连接AS、GS、GA ‎ G是DF的中点,GS//FC,AS//CM ‎ 面GSA//面FMC ‎ ‎ ‎ GA//面FMC 即GP//面FMC ‎17.如图所示,在直四棱柱中,, M A B C D A1‎ B1‎ C1‎ D1‎ ,点是棱上一点.‎ ‎(Ⅰ)求证:面;(5分)‎ ‎(Ⅱ)求证:;(5分)‎ ‎(Ⅲ)试确定点的位置,使得平面平面. ‎ ‎(Ⅰ)证明:由直四棱柱,得,‎ 所以是平行四边形,所以 …(3分)‎ ‎ 而,,‎ 所以面 …(5分)‎ M A B C D A1‎ B1‎ C1‎ D1‎ N N1‎ O ‎(Ⅱ)证明:因为, 所以 ………(7分)‎ 又因为,且,所以 ‎ 而,所以 ……(10分)‎ ‎(Ⅲ)当点为棱的中点时,平面平面 取DC的中点N,,连结交于,连结.因为N是DC中点,BD=BC,所以;又因为DC是面ABCD与面的交线,而面ABCD⊥面,所以……………(13分)‎ 又可证得,是的中点,所以BM∥ON且BM=ON,即BMON是平行四边形,所以BN∥OM,所以OM平面,因为OM面DMC1,所以平面平面……………(15分)‎ A C B D S A A B D S 主视图 左视图 俯视图 ‎2已知一几何体的三视图如图,主视图与左视图为全等的等腰直角三角形,直角边长为6,俯视图为正方形,(1)求点A到面SBC的距离;(2)有一个小正四棱柱内接于这个几何体,棱柱底面在面ABCD内,其余顶点在几何体的棱上,当棱柱的底面边长与高取何值时,棱柱的体积最大,并求出这个最大值。‎ ‎(1)3;‎ ‎(2)底面边长为4、高为2时体积最大,最大体积为32‎ ‎17. 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,棱长为a,E为棱CC1上的的动点.‎ ‎(1)求证:A1E⊥BD;‎ ‎(2)当E恰为棱CC1的中点时,求证:平面A1BD⊥平面EBD;‎ ‎(3)在(2)的条件下,求。‎ 证明:(1)连AC,A1C1‎ ‎ 正方体AC1中,AA1平面ABCD AA1BD ‎ 正方形ABCD, ACBD且ACAA1=A BD平面ACC1A1 且ECC1 ‎ A1E平面ACC1A1 BDA1E 4分 ‎ (2)设ACBD=O,则O为BD的中点,连A1O,EO ‎ 由(1)得BD平面A1ACC1 BDA1O,BDEO ‎ 即为二面角A1-BD-E的平面角 6分 ‎ AB=a,E为CC1中点 A1O= A1E= EO=‎ ‎ A1O2+OE2=A1E2 A1OOE ‎ ‎ 平面A1BD平面BDE 10分 ‎(3)由(2)得A1O平面BDE 且A1O= ‎ ‎ V= 14分 ‎16.一个多面体的直观图和三视图如下:‎ ‎ ‎ ‎(其中分别是中点) (1)求证:平面;‎ ‎(2)求多面体的体积.‎ ‎(1)由三视图知,该多面体是底面为直角三角形的直三棱柱,且,‎ ‎,∴.‎ ‎(1)取中点,连,由分别是中点,可设:,‎ ‎∴面面 ∴面.‎ ‎(2)作于,由于三棱柱为直三棱柱 ‎ ‎∴面,且 ∴,‎ ‎17.(本题满分14分)如图,在四棱锥中,底面为正方形,底面,,,为的中点.‎ ‎(1)求证:PB||平面EAC;‎ ‎(2)求证:平面PBD 平面PAC ;‎ ‎(3)在侧面上找一点,使面。‎ ‎21. 如图,在棱长为2的正方体中,‎ ‎、分别为、的中点.‎ ‎(1)求证://平面;‎ ‎(2)求证:;‎ ‎(3)求三棱锥的体积.‎ 解:(1)连接,已知、分别为、的中点.‎ EF是三角形BD1D的中位线,EF//BD1;…(3分)‎ 又,,EF//面BD1C1…(5分)‎ ‎(2)连接、BC1,‎ 正方体中,D1C1^面BCC1B1,BC1Ì面BCC1B1,所以D1C1^ B1C……………………………6分 在正方形BCCB中,两对角线互相垂直,即BC1^B1C,………………7分 D1C1 、BC1Ì面BC1D1,所以B1C^面BC1D1…(8分)‎ BD1Ì面BC1D1,所以有B1C^ BD1,…(9分)‎ 在(1)已证:EF//BD1,所以EF^B1C.………………………10分 ‎(3)连接B1D1,在各直角三角形中,计算得:‎ EB1=3,EF=,FB1=,FC=,B1C=, …………………………………12分 ‎………………………………14分