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- 2021-05-13 发布
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立体几何二轮复习材料
【课程目标】
本模块的内容包括:立体几何初步、平面解析几何初步。
通过立体几何初步的教学,使学生经历直观感知、操作确认、思辨论证、度量计算等方法认识和探索几何图形及其性质的过程;使学生直观认识和理解空间点、线、面的位置关系,能用数学语言表述有关平行、垂直的性质与判定,并对某些结论进行论证,了解一些简单几何体的表面积与体积的计算方法;培养和发展学生的空间想像能力、推理论证能力、运用图形语言进行交流的能力以及几何直观能力;使学生感受、体验从整体到局部、从具体到抽象,由浅入深、由表及里、由粗到细等认识事物的一般科学方法。
【学习要求】
1.立体几何初步
(1)空间几何体
直观了解柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征;能运用这些结构特征描述现实生活中简单物体的结构。
能画出简单空间图形(棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、球等的简易组合)的三视图,能识别上述的三视图所表示的立体模型;能使用纸板等材料制作简单空间图形(例如长方体、圆柱、圆锥等)的模型,会用斜二测法画出它们的直观图。
了解空间图形的两种不同表示形式(三视图和直观图),了解三视图、直观图与它们所表示的立体模型之间的内在联系。
会画某些简单实物的三视图与直观图(在不影响图形特征的基础上,直观图的尺寸、线条等不作严格要求)。
(2)点、线、面之间的位置关系
理解空间点、线、面的位置关系;会用数学语言规范地表述空间点、线、面的位置关系。了解如下可以作为推理依据的4条公理、3条推论和1条定理:
◆公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内。
◆公理2:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线。
◆公理3:过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面。
推论1:经过一条直线和这条直线外的一点,有且只有一个平面。
推论2:经过两条相交直线,有且只有一个平面。
推论3:经过两条平行直线,有且只有一个平面。
◆公理4:平行于同一条直线的两条直线平行。
◆定理:空间中如果两个角的两条边分别对应平行,并且方向相同,那么这两个角相等。
了解空间线面平行、垂直的有关概念;能正确地判断空间线线、线面与面面的位置关系;理解如下的4条关于空间中线面平行、垂直的判定定理:
◆平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行。
◆一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行。
◆一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直,则该直线与此平面垂直。
◆一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直。
并能用图形语言和符号语言表述这些判定定理(这4条定理的证明,这里不作要求)。
理解如下的4条关于空间中线面平行、垂直的性质定理:
◆一条直线与一个平面平行,则过该直线的任一个平面与此平面的交线与该直线平行。
◆两个平面平行,则任意一个平面与这两个平面相交所得的交线相互平行。
◆垂直于同一个平面的两条直线平行。
◆两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。
能用图形语言和符号语言表述这些性质定理,并能加以证明。
能运用上述4条公理、3条推论和9条定理证明一些空间位置关系的简单命题。
了解异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角及其平面角的概念;了解点到平面的距离、平行于平面的直线到平面的距离、两个平行平面间的距离的概念(上述角与距离的计算不作要求)。
(3)柱、锥、台、球的表面积和体积
了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式(不要求记忆公式),会求直棱柱、正棱锥、正棱台、圆柱、圆锥、圆台和球的表面积和体积。
2008江苏高考数学科考试说明
对知识的考查要求依次分为了解、理解、掌握三个层次(在下表中分别用A、B、C表示)。
了解:要求对所列知识的含义有最基本的认识,并能解决相关的简单问题。
理解:要求对所列知识有较深刻的认识,并能解决有一定综合性的问题。
掌握:要求系统地掌握知识的内在联系,并能解决综合性较强的或较为困难的问题。
具体考查要求如下
内 容
要 求
A
B
C
14.空间几何体
柱、锥、台、球及其简单组成体
√
三视图与直视图
√
柱、锥、台、球的表面积和体积
√
15.点、线、面之间的位置关系
平面及其基本性质
√
直线与平面平行、垂直的判定与性质
√
两平面平行、垂直的判定与性质
√
B
C
A
F
D
E
16.(08江苏卷)(14分)在四面体中,,且E、F分别是AB、BD的中点,
求证:(1)直线EF//面ACD
(2)面EFC⊥面BCD
【解析】:本小题考查空间直线于平面、平面与平面的位置
关系的判定,考查空间想象能力、推理论证能力。
(1)∵E、F分别是AB、BD的中点 ∴EF是△ABD的中位线
∴EF//AD
又∵面ACD,AD面ACD∴直线EF//面ACD
(2)
19.(08山东文科)(本小题满分12分)A
B
C
M
P
D
如图,在四棱锥中,平面平面,,是等边三角形,已知,.
(Ⅰ)设是上的一点,证明:平面平面;
(Ⅱ)求四棱锥的体积.
(Ⅰ)证明:在中,
由于,,,
A
B
C
M
P
D
O
所以.
故.
又平面平面,平面平面,
平面,
所以平面,
又平面,
故平面平面.
(Ⅱ)解:过作交于,
由于平面平面,
所以平面.
因此为四棱锥的高,
又是边长为4的等边三角形.
因此.
在底面四边形中,,,
所以四边形是梯形,在中,斜边边上的高为,
此即为梯形的高,
所以四边形的面积为.
故.
12.(08宁夏卷)已知平面平面,,点,,直线,直线,直线,则下列四种位置关系中,不一定成立的是( D )
A. B. C. D.
18.(08宁夏卷)(本小题满分12分)如下的三个图中,上面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图.它的正视图和俯视图在下面画出(单位:cm)
(Ⅰ)在正视图下面,按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图;
(Ⅱ)按照给出的尺寸,求该多面体的体积;
(Ⅲ)在所给直观图中连结,证明:面.
4
6
4
2
2
E
D
A
B
C
F
G
2
解:(Ⅰ)如图
4
6
4
2
2
2
4
6
2
2
(俯视图)
(正视图)
(侧视图)
3分
A
B
C
D
E
F
G
(Ⅱ)所求多面体体积
. 7分
(Ⅲ)证明:在长方体中,
连结,则.
因为分别为,中点,
所以,
从而.又平面,
所以面. 12分
7.(08广东卷)将正三棱柱截去三个角(如图1所示A,B,C分别是△CHI三边的中点)得到几何体如图2,则该几何体按图2所示方向的侧视图(或称左视图)为A
E
F
D
I
A
H
G
B
C
E
F
D
A
B
C
侧视
图1
图2
B
E
A.
B
E
B.
B
E
C.
B
E
D.
18. (08广东卷)(本小题满分14分)
如图5所示,四棱锥P-ABCD的底面ABCD是半径为R的圆的内接四边形,其中BD是圆的直径,∠ABD=60°,∠BDC=45°,△ADP~△BAD.
(1)求线段PD的长;
C
P
A
B
图5
D
(2)若PC=R,求三棱锥P-ABC的体积.
解:(1)因为是圆的直径,所以
又△ADP~△BAD.
所以
(2)在中,
因为
所以 又
所以底面
三棱锥体积为
11.(06江苏卷)两相同的正四棱锥组成如图1所示的几何体,可放棱长为1
的正方体内,使正四棱锥的底面ABCD与正方体的某一个平面平行,且各顶点均在正方体的面上,则这样的几何体体积的可能值有(D)
(A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)无穷多个
73.(06天津卷)如图,在五面体中,点是矩形的对角线的交点,面是等边三角形,棱.
(1)证明//平面;
(2)设,证明平面.
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
A1
33.(06安徽卷)多面体上,位于同一条棱两端的顶点称为相邻的,如图,正方体的一个顶点A在平面α内,其余顶点在α的同侧,正方体上与顶点A相邻的三个顶点到α的距离分别为1,2和4,P是正方体的其余四个顶点中的一个,则P到平面α的距离可能是:_①③④⑤_____(写出所有正确结论的编号) ①3; ②4; ③5; ④6; ⑤7
A
B
C
D
A1
34.(06安徽卷)平行四边形的一个顶点A在平面α内,其余顶点在α的同侧,已知其中有两个顶点到的距离分别为1和2 ,那么剩下的一个顶点到平面的距离可能是:①1; ②2; ③3; ④4;
以上结论正确的为_____①③_________。(写出所有正确结论的编号)
A
C
B
C1
B1
A1
P
36.(06广东卷)棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上,则该球的表面积为____
37.(06湖南卷)过三棱柱 ABC-A1B1C1 的任意两条棱的中点作直线,其中与平面ABB1A1平行的直线共有 6 条.
C1
C
B
A1
38.(06江西卷)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面为直角三角形,ÐACB=90°,AC=6,BC=CC1=,P是BC1上一动点,则CP+PA1的最小值是___________
39.(06江西卷)如图,已知正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为1,高为8,一质点自A点出发,沿着三棱柱的侧面绕行两周到达点的最短路线的长为 10.
A
B
C
P
D
E
F
41.(06辽宁卷)如图,半径为2的半球内有一内接正六棱锥,则此正六棱锥的侧面积是_______
43.(06全国II)圆是以R为半径的球O的小圆,若圆的面积和球O的表面积S的比为,则圆心到球心O的距离与球半径的比____
49.(06四川卷)m、n是空间两条不同直线,α、β是空间两条不同平面,下面有四个命题:
①m⊥α,n∥β,α∥βm⊥n ②m⊥n,n∥β,m⊥αn∥β
③m⊥n,α∥β,m∥αn⊥β ④m⊥α,m∥n,α∥βn⊥β
其中真命题的编号是________(写出所有真命题的编号)。①、④.
52.(06上海春)正四棱锥底面边长为4,侧棱长为3,则其体积为 ..
4.(07江苏)已知两条直线,两个平面.给出下面四个命题:
①,;②,,;
③,;④,,.
其中正确命题的序号是( C )
A.①、③ B.②、④ C.①、④ D.②、③
18.(07江苏)如图,已知是棱长为的正方体,
点在上,点在上,且.
(1)求证:四点共面;(4分)
(2)若点在上,,点在上,
,垂足为,求证:平面;(4分)
本小题主要考查平面的基本性质、线线平行、线面垂直、二面角等基础知识和基本运算,考查空间想象能力、逻辑推理能力和运算能力.满分12分.
解法一:
(1)如图,在上取点,使,连结,,则,.
因为,,所以四边形,
都为平行四边形.
从而,.
又因为,所以,故四边形是平行四边形,由此推知,从而.
因此,四点共面.
(2)如图,,又,所以,
.
因为,所以为平行四边形,从而.
又平面,所以平面.
3.(07山东)下列几何体各自的三视图中,有且仅有两个视图相同的是( D )
①正方形
②圆锥
③三棱台
④正四棱锥
A.①② B.①③ C.①④ D.②④
20.(07山东)(本小题满分12分)如图,在直四棱柱中,
已知,.
B
C
D
A
(1)求证:;
(2)设是上一点,试确定的位置,使平面
,并说明理由.
(1)证明:在直四棱柱中,
连结,,
四边形是正方形..
又,,
B
C
D
A
M
E
平面, 平面,
.
平面,
且,平面,
又平面,.
(2)连结,连结,
设,
,连结,
平面平面,
要使平面,须使,
又是的中点.是的中点.
又易知 .
即是的中点.综上所述,当是的中点时,可使平面.
19.(07广东卷)(本小题满分14分)如图6所示,等腰的底边,高,点是线段上异于点的动点,点在边上,且,现沿将折起到的位置,使,记,表示四棱锥的体积.
(1)求的表达式;
图6
P
E
D
F
B
C
A
(2)当为何值时,取得最大值?
(3)当取得最大值时,求异面直线与所成角的余弦值.
(1)由折起的过程可知,PE⊥平面ABC,
,
V(x)=()
(2),所以时, ,
V(x)单调递增;时 ,V(x)单调递减;
因此x=6时,V(x)取得最大值;
(3)过F作MF//AC交AD与M,
则,PM=,
,
在△PFM中, ,∴异面直线AC与PF所成角的余弦值为;
(15)(07浙江卷)如图,已知球O点面上四点A、B、C、D,DA平面ABC,ABBC,DA=AB=BC=,则球O点体积等于 。
(关键是找出球心,从而确定球的半径。由题意,三角形DAC,
三角形DBC都是直角三角形,且有公共斜边。所以DC边的中点就是
球心(到D、A、C、B四点距离相等),所以球的半径就是线段DC长度
的一半。)
2008~2009江苏各地考试试卷
16.(15分)已知等腰梯形PDCB中(如图1),PB=3,DC=1,PB=BC=,A为PB边上一点,且PA=1,将△PAD沿AD折起,使面PAD⊥面ABCD(如图2).
(1)证明:平面PAD⊥PCD;
(2)试在棱PB上确定一点M,使截面AMC把几何体分成的两部分;
(3)在M满足(2)的情况下,判断直线PD是否平行面AMC.
(1)证明:依题意知:
…………2分
…4分
(2)由(1)知平面ABCD
∴平面PAB⊥平面ABCD. …………5分
在PB上取一点M,作MN⊥AB,则MN⊥平面ABCD,
设MN=h
则
…………8分
要使
即M为PB的中点. …………10分
(3)连接BD交AC于O,因为AB//CD,AB=2,CD=1,由相似三角形易得BO=2OD
∴O不是BD的中心……………………10分
又∵M为PB的中点
∴在△PBD中,OM与PD不平行
∴OM所以直线与PD所在直线相交
又OM平面AMC
∴直线PD与平面AMC不平行.……………………15分
16.已知ABCD是矩形,AD=4,AB=2,E、F分别是线段AB、BC的中点,PA⊥平面ABCD.
(Ⅰ)求证:PF⊥FD;(Ⅱ)问棱PA上是否存在点G,使EG//平面PFD,若存在,确定点G的位置,若不存在,请说明理由.
P
A
B
C
D
F
E
(Ⅰ)证明:连结AF,在矩形ABCD中,因为
AD=4,AB=2,点F是BC的中点,所以∠AFB=∠DFC=45°.
所以∠AFD=90°,即AF⊥FD.
又PA⊥平面ABCD,所以PA⊥FD.
所以FD⊥平面PAF.
故PF⊥FD.
(Ⅱ)过E作EH//FD交AD于H,则EH//平面PFD,且 AH=AD. 再过H作HG//PD交PA于G,则GH//平面PFD,且 AG=PA. 所以平面EHG//平面PFD,则EG//平面PFD,
从而点G满足AG=PA.
18、在直三棱柱中,,,
是的中点,是上一点,且.
(1)求证: 平面;
(2)求三棱锥的体积;
(3)试在上找一点,使得平面.
(1)证明:为中点 ,又直三棱柱中:底面
底面,,平面,平面
.在 矩形中:,
, ,
即, ,平面; ----------5分
(2)解:平面
=; -------10分
(3)当时,平面.
证明:连,设,连, 为矩形,为中点,为中点,,平面,平面
平面. ------16分
17、已知直角梯形中, ,过作
,垂足为,的中点,现将沿折叠,使得.
(1)求证:;(5分)(2)求证:;(5分)
(3)在线段上找一点,使得面面,并说明理由. (5分)
A
B
C
D
E
G
F
·
·
A
B
C
D
E
G
F
解:(1)证明:由已知得:, …………(2分)
, ,……………………(5分)
(2)证明:取中点,连接,,
, , , ……………(7分)
, …………………………(10分)
(3)分析可知,点满足时, ……………………(11分)
证明:取中点,连结、、、、
容易计算,
在中,可知,
∴在中, ,∴……………………………(13分)
又在中,,
, ………………………………………(15分)
(说明:若设,通过分析,利用推算出,亦可,不必再作证明)
16.在几何体ABCDE中,∠BAC=,DC⊥平面ABC,EB⊥平面ABC,F是BC的中点,AB=AC=BE=2,CD=1
(1)求证:DC∥平面ABE;
(2)求证:AF⊥平面BCDE;
(3)求证:平面AFD⊥平面AFE.
解:(Ⅰ) ∵DC⊥平面ABC,EB⊥平面ABC
∴DC//EB,又∵DC平面ABE,EB平面ABE,∴DC∥平面ABE……(4分)
(Ⅱ)∵DC⊥平面ABC,∴DC⊥AF,又∵AF⊥BC,∴AF⊥平面BCDE……(8分)
(Ⅲ)由(2)知AF⊥平面BCDE,∴AF⊥EF,在三角形DEF中,由计算知DF⊥EF,
∴EF⊥平面AFD,又EF平面AFE,∴平面AFD⊥平面AFE.……(14分)
17.一个多面体的直观图及三视图如图所示:(其中M、N分别是AF、BC的中点).
(1)求证:MN∥平面CDEF; (2)求多面体A—CDEF的体积.
解:由三视图可知,该多面体是底面为直角三角形的直三棱住ADE—BCF,
且AB=BC=BF=2,DE=CF=2
∴∠CBF=
取BF中点G,连MG、NG,
由M、N分别为AF、BC的中点可得,
NG∥CF,MG∥EF,
∴平面MNG∥平面CDEF
∴MN∥平面CDEF.
(2)取DE的中点H.∵AD=AE,∴AH⊥DE,在直三棱柱ADE—BCF中,平面ADE⊥平面CDEF,面ADE∩面CDEF=DE.∴AH⊥平面CDEF. ∴多面体A—CDEF是以AH为高,以矩形CDEF为底面的棱锥,在△ADE中,AH=,
∴棱锥A—CDEF的体积为
17 A
B
C
D
E
F
G
如图,矩形中,,,为上的点,且,AC、BD交于点G.
(1)求证:(6分);
(2)求证;(6分);
(3)求三棱锥的体积(4分).
17 解.(1)证明:,
∴,
AE平面ABE, ∴
A
B
C
D
E
F
G
又,∴
又∵BC∩BF=B,
∴ ………………… 6分
(Ⅱ)证明:依题意可知:是中点
则,而
∴是中点 ,
在中,,且FG平面BFD,AE平面BFD.
∴ …………… 12分
(Ⅲ)解:
∴,而
∴ ∴
是中点
∴是中点 ∴且
∴
∴中,
∴
∴ ………………… 16分
(其它求法一样给分)
16. 如图为正方体ABCD-A1B1C1D1切去一个三棱锥B1—A1BC1后得到的几何体.
(1) 画出该几何体的正视图;
(2) 若点O为底面ABCD的中心,求证:直线D1O∥平面A1BC1;
(3). 求证:平面A1BC1⊥平面BD1D.
解:(1)该几何体的正视图为:------------------3分
(2)将其补成正方体ABCD-A1B1C1D1,设B1D1和A1C1交于点O1,连接O1B,
依题意可知,D1O1∥OB,且D1O1=OB,即四边形D1OB O1为平行四边形,--6分
则D1O∥O1B,因为BO1平面BA1C1,D1O平面BA1C1,
所以有直线D1O∥平面BA1C1;-------------------------------------------------------8分
(3)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,DD1⊥平面A1B1C1D1,
则DD1⊥A1C1,---------------------------------------------------10分
另一方面,B1D1⊥A1C1,---------------------------------------------------------12分
又∵DD1∩B1D1= D1,∴A1C1⊥平面BD1D,
∵A1C1平面A1BC1,则平面A1BC1⊥平面BD1D.-------------------14分
6、如图是利用斜二测画法画出的的直观图,已知=4,
且的面积为16,过作轴,则的
长为 .
17、一个多面体的直观图和三视图如图所示,其中M、N分别是AB、AC的中点,G是DF上的一动点.
(1)求证:(7分)
(2)当FG=GD时,在棱AD上确定一点P,使得GP//平面FMC,并给出证明.(8分)
证明:由三视图可得直观图为直三棱柱且底面ADF中AD⊥DF,DF=AD=DC
(1)连接DB,可知B、N、D共线,且AC⊥DN
又FD⊥AD FD⊥CD,
FD⊥面ABCD
FD⊥AC
AC⊥面FDN
GN⊥AC
(2)点P在A点处
证明:取DC中点S,连接AS、GS、GA
G是DF的中点,GS//FC,AS//CM
面GSA//面FMC
GA//面FMC 即GP//面FMC
17.如图所示,在直四棱柱中,, M
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
,点是棱上一点.
(Ⅰ)求证:面;(5分)
(Ⅱ)求证:;(5分)
(Ⅲ)试确定点的位置,使得平面平面.
(Ⅰ)证明:由直四棱柱,得,
所以是平行四边形,所以 …(3分)
而,,
所以面 …(5分)
M
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
N
N1
O
(Ⅱ)证明:因为, 所以 ………(7分)
又因为,且,所以
而,所以 ……(10分)
(Ⅲ)当点为棱的中点时,平面平面
取DC的中点N,,连结交于,连结.因为N是DC中点,BD=BC,所以;又因为DC是面ABCD与面的交线,而面ABCD⊥面,所以……………(13分)
又可证得,是的中点,所以BM∥ON且BM=ON,即BMON是平行四边形,所以BN∥OM,所以OM平面,因为OM面DMC1,所以平面平面……………(15分)
A
C
B
D
S
A
A
B
D
S
主视图
左视图
俯视图
2已知一几何体的三视图如图,主视图与左视图为全等的等腰直角三角形,直角边长为6,俯视图为正方形,(1)求点A到面SBC的距离;(2)有一个小正四棱柱内接于这个几何体,棱柱底面在面ABCD内,其余顶点在几何体的棱上,当棱柱的底面边长与高取何值时,棱柱的体积最大,并求出这个最大值。
(1)3;
(2)底面边长为4、高为2时体积最大,最大体积为32
17. 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,棱长为a,E为棱CC1上的的动点.
(1)求证:A1E⊥BD;
(2)当E恰为棱CC1的中点时,求证:平面A1BD⊥平面EBD;
(3)在(2)的条件下,求。
证明:(1)连AC,A1C1
正方体AC1中,AA1平面ABCD AA1BD
正方形ABCD, ACBD且ACAA1=A
BD平面ACC1A1 且ECC1
A1E平面ACC1A1 BDA1E 4分
(2)设ACBD=O,则O为BD的中点,连A1O,EO
由(1)得BD平面A1ACC1 BDA1O,BDEO
即为二面角A1-BD-E的平面角 6分
AB=a,E为CC1中点 A1O= A1E= EO=
A1O2+OE2=A1E2 A1OOE
平面A1BD平面BDE 10分
(3)由(2)得A1O平面BDE 且A1O=
V= 14分
16.一个多面体的直观图和三视图如下:
(其中分别是中点) (1)求证:平面;
(2)求多面体的体积.
(1)由三视图知,该多面体是底面为直角三角形的直三棱柱,且,
,∴.
(1)取中点,连,由分别是中点,可设:,
∴面面 ∴面.
(2)作于,由于三棱柱为直三棱柱
∴面,且 ∴,
17.(本题满分14分)如图,在四棱锥中,底面为正方形,底面,,,为的中点.
(1)求证:PB||平面EAC;
(2)求证:平面PBD 平面PAC ;
(3)在侧面上找一点,使面。
21. 如图,在棱长为2的正方体中,
、分别为、的中点.
(1)求证://平面;
(2)求证:;
(3)求三棱锥的体积.
解:(1)连接,已知、分别为、的中点.
EF是三角形BD1D的中位线,EF//BD1;…(3分)
又,,EF//面BD1C1…(5分)
(2)连接、BC1,
正方体中,D1C1^面BCC1B1,BC1Ì面BCC1B1,所以D1C1^ B1C……………………………6分
在正方形BCCB中,两对角线互相垂直,即BC1^B1C,………………7分
D1C1 、BC1Ì面BC1D1,所以B1C^面BC1D1…(8分)
BD1Ì面BC1D1,所以有B1C^ BD1,…(9分)
在(1)已证:EF//BD1,所以EF^B1C.………………………10分
(3)连接B1D1,在各直角三角形中,计算得:
EB1=3,EF=,FB1=,FC=,B1C=, …………………………………12分
………………………………14分