新课标版高考题库考点 曲线与方程圆锥曲线的综合应用 14页

温馨提示：‎ ‎ 此题库为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观 看比例，关闭Word文档返回原板块。‎ 考点42 曲线与方程、圆锥曲线的综合应用 一、选择题 ‎1.（2011·山东高考理科·Ｔ8）已知双曲线（a>0,b>0）的两条渐近线均和圆C：x2+y2-6x+5=0相切，且双曲线的右焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为( )‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【思路点拨】先求出圆C的圆心坐标（3,0），半径r=2，再求出渐近线方程，由圆心到渐近线的距离等于半径即可得到a,b的关系，再由双曲线的右焦点为圆C的圆心知c=3，即可求出结果.‎ ‎【精讲精析】选A.双曲线的渐近线方程为bx+ay=0和bx-ay=0，圆心为（3,0），半径r=2.由圆心到直线的距离为，得4a2=5b2，又因为双曲线的右焦点为圆C的圆心，所以c=3，即9=a2+b2， 所以，a2=5，b2=4所以该双曲线的方程为.‎ ‎2．（2011·福建卷理科·Ｔ7）设圆锥曲线的两个焦点分别为F1，F2，若曲线上存在点P满足=4:3:2，则曲线的离心率等于( )‎ ‎（A） （B）或2 （C）2 （D）‎ ‎【思路点拨】根据=4:3:2，设出，然后按曲线为椭圆或者双曲线，在中分别利用定义求离心率.‎ ‎【精讲精析】 选A. =4:3:2，‎ 其中，.若圆锥曲线为椭圆，则，，若圆锥曲线为双曲线，则 - 14 -‎ ‎3. （2011·福建卷文科·Ｔ11）设圆锥曲线C的两个焦点分别为F1， F2，若曲线C上存在点P满足：：= 4:3:2，则曲线C的离心率等于（ ）‎ ‎（A） （B）‎ ‎（C） （D）‎ ‎【思路点拨】根据=4:3:2，设出的值，然后按曲线C为椭圆或者双曲线，在中分别利用定义求离心率.‎ ‎【精讲精析】选A. =4:3:2，‎ 其中，.若圆锥曲线C为椭圆，则，，若圆锥曲线C为双曲线，则 二、填空题 ‎4.（2011·山东高考文科·Ｔ15）已知双曲线和椭圆有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为 .‎ ‎【思路点拨】先求椭圆焦点，即双曲线的焦点，再由双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍求出b，然后写出双曲线的方程.‎ ‎【精讲精析】由题意知双曲线的焦点为（-，0），（，0），即c=，又因为双曲线的离心率为，所以a=2,故b2=3，所以双曲线的方程为.‎ ‎【答案】‎ ‎5.（2011·北京高考理科·T14）曲线C是平面内与两个定点和的距离的积等于常数的点的轨迹.给出下列三个结论：‎ - 14 -‎ ‎①曲线C过坐标原点；‎ ‎②曲线C关于坐标原点对称；‎ ‎③若点P在曲线C上，则的面积不大于.‎ 其中所有正确的结论的序号是 .‎ ‎【思路点拨】写出曲线C的方程，再逐个验证三个结论.‎ ‎【精讲精析】设P(x,y)为曲线C上任意一点，则由，得 C: ，把（0，0）代入方程可得，与矛盾，故①不正确；‎ 当M(x,y)在曲线C上时，点M关于原点的对称点，也满足方程，故曲线C关于原点对称，故②正确；，故③正确.‎ ‎【答案】②③‎ 三、解答题 ‎6．（2011·安徽高考理科·Ｔ21）若，点A的坐标为（1,1），点B在抛物线上运动，点Q满足，经过点Q与x轴垂直的直线交抛物线于点M，点P满足,求点P的轨迹方程.‎ ‎【思路点拨】设出Ｐ点坐标，通过Ｑ，Ｂ等中间量建立方程，消去中间量，求出点Ｐ的轨迹方程．‎ ‎【精讲精析】由知Q,M,P三点在同一条垂直于x轴的直线上，故可设P(x,y),Q(x,),M(x,x),则即 ‎ ①‎ 再设由，即解得 ‎ ②‎ 将①式代入②式，消去，得 - 14 -‎ ‎ ③‎ 又点B在抛物线上，所以，再将③式代入，得 因为，两边同时除以得 故所求点P的轨迹方程为.‎ ‎7. （2011·新课标全国高考理科·Ｔ20）在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0,-1)，B点在直线y = -3上，M点满足， ，M点的轨迹为曲线C.‎ ‎（1）求C的方程；‎ ‎（2）P为C上的动点，l为C在P点处的切线，求O点到l距离的最小值.‎ ‎ 【思路点拨】第（1）问，求点的轨迹，可设点坐标为，然后利用条件得到点B的坐标，最后将条件转化为坐标关系，得到满足的关系式，化简整理即得的方程；‎ 第（2）问，设出点的坐标，利用导数求出切线的斜率，表示出的方程，再利用点到直线的距离公式求得点到距离的函数，然后利用函数的知识求出最值即可.‎ ‎【精讲精析】(1)设M(x,y),由已知得B(x,-3),A(0,-1).‎ 所以=（-x,-1-y）, =(0,-3-y), =(x,-2).‎ 再由题意可知（+）• =0, 即（-x,-4-2y）• (x,-2)=0.‎ 所以曲线C的方程式为y=x-2.‎ ‎(2)设P(x,y)为曲线C：y=x -2上一点，因为y=x,所以的斜率为x,‎ 因此直线的方程为，即.‎ 则O点到的距离.又，所以 - 14 -‎ 当=0时取等号，所以O点到距离的最小值为2.‎ ‎8.（2011·山东高考理科·Ｔ22）‎ 已知直线l与椭圆C: 交于P（x1,y1），Q(x2,y2)两不同点，且△OPQ的面积,其中O为坐标原点.‎ ‎（1）证明x12+x22和y12+y22均为定值；‎ ‎（2）设线段PQ的中点为M，求的最大值；‎ ‎（3）椭圆C上是否存在点D,E,G，使得若存在，判断△DEG的形状；若不存在，请说明理由.‎ ‎【思路点拨】本题重点考查学生的计算能力，相比较去年的圆锥曲线题目，今年的题目难度要大一些，是一道较好的选拔优秀学生的题目.（1）分斜率存在和不存在两种情况讨论.（2）利用第一问的结论，再应用基本不等式容易得出结论.（3）利用反证法，假设存在这样的点，经推理得出矛盾，从而证明原结论成立.‎ ‎【精讲精析】（1）当直线的斜率不存在时，两点关于轴对称，则，由在椭圆上，则，而，则.于是，.当直线的斜率存在，设直线为，代入可得，即，由得，，化简得 ‎.‎ ‎，‎ - 14 -‎ ‎，，‎ 整理得，满足，‎ ‎，‎ ‎，‎ 综上可知，.‎ ‎（2）当直线的斜率不存在时，由（1）知 当直线的斜率存在时，由（1）知，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，当且仅当，即时等号成立，综上可知的最大值为.‎ ‎（3）假设椭圆上存在三点，使得，‎ 由（1）知，‎ ‎.‎ 解得,，‎ 因此只能从中选取，只能从中选取，‎ 因此只能从中选取三个不同点，而这三点的两两连线必有一个过原点，这与 - 14 -‎ 相矛盾，‎ 故椭圆上不存在三点，使得.‎ ‎9.（2011·山东高考文科·Ｔ22）‎ 在平面直角坐标系中，已知椭圆.如图所示，斜率为且不过原点的直线交椭圆于，两点，线段的中点为，射线交椭圆于点，交直线于点.‎ ‎（Ⅰ）求的最小值；‎ ‎（Ⅱ）若∙，（i）求证：直线过定点；‎ ‎（ii）试问点，能否关于轴对称？若能，求出此时的外接圆方程；若不能，请说明理由.‎ ‎【思路点拨】本题重点考查学生的计算能力，相比较去年的圆锥曲线题目，今年的题目难度要大一些，是一道较好的选拔优秀学生的题目.（I）设直线，联立方程，再由韦达定理得出中点E的坐标，由三点共线，可知解得，由基本不等式得出最小值.（II）（i）注意先求出k和n的关系，再由交点直线系方程得出l过定点. （ii）可先假设对称，然后通过运算验证这样的圆是否存在.‎ ‎【精讲精析】（Ⅰ）由题意:设直线,‎ 由消y得:,‎ ‎，‎ 设A，B,AB的中点E,则由韦达定理得: ‎ - 14 -‎ ‎=,即,,‎ 所以中点E的坐标为,‎ 因为O，E，D三点在同一直线上，‎ 所以即，‎ 解得，‎ 所以=,当且仅当时取等号,‎ 即的最小值为2.‎ ‎（Ⅱ）（i）证明:由题意知:n>0,因为直线OD的方程为,‎ 所以由得交点G的纵坐标为,‎ 又因为,,且∙，所以,‎ 又由（Ⅰ）知: ,所以解得,所以直线的方程为,‎ 即有,‎ 令得y=0,与实数k无关,‎ 所以直线过定点(-1,0).‎ ‎（ii）假设点，关于轴对称,则有△的外接圆的圆心在x轴上,‎ 又在线段AB的中垂线上,‎ 由（i）知点G,所以点B,‎ 又因为直线过定点(-1,0),所以直线的斜率为，‎ 又因为，所以解得或，‎ 又因为,所以舍去,即，‎ - 14 -‎ 此时k=1，m=1，E（），.‎ AB的中垂线为2x+2y+1=0，‎ 圆心坐标为，圆半径为，圆的方程为.‎ 综上所述, 点，关于轴对称,此时△的外接圆的方程为: .‎ ‎10.（2011·辽宁高考理科·Ｔ20）如图，已知椭圆C1的中心在原点O，长轴左、右端点M，N在x轴上，椭圆C2的短轴为MN，且C1，C2的离心率都为e，直线l⊥MN，l与C1交于两点，与C2交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为A，B，C，D．‎ ‎（I）设，求与的比值；‎ ‎（II）当e变化时，是否存在直线l，使得BO∥AN，并说明理由．‎ ‎【思路点拨】（I）先利用离心率相同设出的方程和直线的方程，再求出的坐标，然后计算与的长度就可求出比值；（II）先考虑直线过原点的情况，再考虑直线不过原点的情况，此时利用斜率相等（即＝）建立等式关系，再考虑的因素，可得到关于的不等式，求解说明即可．‎ ‎【精讲精析】(Ⅰ)因为的离心率相同，故依题意可设 ‎ ：，：，（，‎ ‎ 设直线：，分别与，的方程联立，求得 - 14 -‎ ‎ ‎ 当时，，分别用表示A，B的纵坐标，可知 ‎ :=.‎ ‎（Ⅱ）时，不符合题意．时，∥当且仅当的斜率 与的斜率相等，即，‎ 解得 ，‎ 因为，又，所以，解得，‎ 所以当时，不存在直线，使得∥；当时，存在直线，‎ 使得∥.‎ ‎11．（2011·湖南高考理科·T21）‎ 如图所示，椭圆x轴被曲线：-b截得的线段长等于的长半轴长.‎ ‎（Ⅰ）求的方程；‎ ‎（Ⅱ）设与y轴的交点为M，过坐标原点O的直线l与相交于点A，B，直线MA，MB分别与相交于点D，E.‎ ‎（i）证明：MD；‎ ‎（ii）记的面积分别为.问：是否存在直线l，使得 ‎？请说明理由.‎ - 14 -‎ ‎【思路点拨】本题以椭圆和抛物线为载体，考查两曲线的基本知识.题中第一问通过求曲线的方程考查两曲线的基本知识点的关系.第二问通过证明考查逻辑思维能力和探索参数的存在.解决本题需要较强的综合运用知识的能力.考查了数形结合思想、等价转化思想和方程思想.‎ ‎【精讲精析】（I）由题意知，从而，又，解得.‎ 故，的方程分别为.‎ ‎（II）（i）由题意知，直线的斜率存在，设为，则直线的方程为.‎ 由得，‎ 设，则是上述方程的两个实根，于是.‎ 又A，B在直线上，∴y1=kx1,y2=kx2,‎ 又点的坐标为，所以 故，即.‎ ‎（ii）设直线的斜率为，则直线的方程为，由解得或则点A的坐标为,点M的坐标为（0，-1）.‎ 又直线的斜率为 ，同理可得点B的坐标为.‎ - 14 -‎ 于是 由得，‎ 解得或则点的坐标为；‎ 又直线的斜率为，同理可得点的坐标 于是.‎ 因此.‎ 由题意知，,解得 或.‎ 又由点的坐标可知，，所以 故满足条件的直线存在，且有两条，其方程分别为和.‎ ‎12．（2011·湖南高考文科T21）已知平面内一动点P到点F(1,0)的距离与点P到y轴的距离的差等于1.‎ ‎（Ⅰ）求动点P的轨迹C的方程；‎ ‎（Ⅱ）过点F作两条斜率存在且互相垂直的直线l，设l1与轨迹C相交于点A，B，l2与轨迹C相交于点D，E，求的最小值.‎ ‎【思路点拨】本题考查求曲线的方程，考查利用代数方法研究几何问题的基本方法，考查数形结合思想.考查运算能力，考查分析问题、解决问题的能力.‎ ‎【精讲精析】‎ ‎（I）设动点的坐标为，由题意知 化简得 - 14 -‎ 当 所以动点P的轨迹C的方程为 ‎（II）由题意知，直线的斜率存在且不为0，设为，则的方程为．‎ 由得 ‎∴‎ 设则是上述方程的两个实根，于是 ‎．‎ 因为，所以的斜率为．‎ 设则同理可得，‎ 当且仅当时，即时，取最小值16．‎ ‎13．（2011·陕西高考理科·T17）‎ 如图，设P是圆上的动点，点D是P在轴上投影，‎ M为PD上一点，且．‎ ‎（Ⅰ）当P在圆上运动时，求点M的轨迹C的方程；‎ ‎（Ⅱ）求过点（3，0）且斜率为的直线被C所截线段的长度．‎ - 14 -‎ ‎【思路点拨】（Ⅰ）动点M通过点P与已知圆相联系，所以把点P的坐标用点M的坐标表示，然后代入已知圆的方程即可；（Ⅱ）直线方程和椭圆方程组成方程组，可以求解，也可以利用根与系数的关系，结合两点的距离公式计算．‎ ‎【精讲精析】（Ⅰ）设点M的坐标是，点P的坐标是，‎ 因为点D是P在轴上投影，‎ M为PD上一点，且，所以，且，‎ ‎∵P在圆上，∴，整理得，‎ 即C的方程是．‎ ‎（Ⅱ）过点（3，0）且斜率为的直线方程是，‎ 设此直线与C的交点为，，‎ 将直线方程代入C的方程得：‎ ‎，化简得，∴，，‎ 所以线段AB的长度是 ‎，即所截线段的长度是． ‎ 关闭Word文档返回原板块。‎ - 14 -‎