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- 2021-05-13 发布
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第十章 圆锥曲线
第63课 椭圆及其标准方程
1.(2019哈尔滨质检)设、分别是椭圆的左、右焦点,是第一象限内该椭圆上的一点,且,求点的横坐标为( )
A.1 B. C. D.
【答案】D
【解析】∵ ,∴ ,,
设,∵,∴ ,
即 , ∴ .
又 ∵ ,∴,
解得 ,∵,∴.
2.(2019莱芜质检)若点和点分别为椭圆的中心和左焦点,点为椭圆上任意一点,则最小值为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由已知可得,设,则
∴时,取得最小值.
3.(2019上海闸北质检)椭圆的左、右焦点分别是,,过的直线与椭圆相交于,两点,且,,成等差数列.
(1)求证:;
(2)若直线的斜率为1,且点在椭圆上,求椭圆的方程.
【解析】(1)由题设,得,
由椭圆定义,
(2)由点在椭圆上,
可设椭圆的方程为,
设,,,
由,得,(*)
则
∴, 解得,
∴椭圆的方程为.
4.已知、分别是椭圆的左右两个焦点,为坐标原点,点在椭圆上,线段与轴的交点为线段的中点.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)点是椭圆上异于长轴端点的任意一点,对于,求的值.
【解析】(1)∵点为线段的中点,
∴是的中位线,
又,∴,
∴,解得,
∴椭圆的标准方程为.
(2)∵点在椭圆上,、是椭圆的两个焦点,
在,由正弦定理,,
5.(2019北京石景山一模)已知椭圆()右顶点到右焦点的距离为,短轴长为.
(1)求椭圆的方程;
(2)过左焦点的直线与椭圆分别交于、两点,若线段的长为,求直线的方程.
【解析】(1)由题意得 ,解得.
∴椭圆方程为.
(2)当直线与轴垂直时,,
此时不符合题意故舍掉;
当直线与轴不垂直时,
设直线的方程为:,
由,得 .
设 ,则 ,
由,
∴直线,或.
6. (2019揭阳联考) 如图,在中,,,以、为焦点的椭圆恰好过的中点.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)过椭圆的右顶点作直线与圆相交于、两点,试探究点、能将圆分割成弧长比值为的两段弧吗?若能,求出直线的方程;若不能,请说明理由.
【解析】(1)∵,∴
又,∴,
∴椭圆的标准方程为
(2)椭圆的右顶点,圆圆心为,半径.
假设点、能将圆分割成弧长比值为的两段弧,则,
圆心到直线的距离.
当直线斜率不存在时,的方程为,
此时圆心到直线的距离(符合),
当直线斜率存在时,
设的方程为,即,
∴圆心到直线的距离
,无解.
综上:点M、N能将圆分割成弧长比值为
的两段弧,此时方程为.