高考圆锥曲线真题汇编——文科数学解析版 30页

‎2012高考试题分类汇编：8：圆锥曲线 一、选择题 ‎1.【2012高考新课标文4】设是椭圆的左、右焦点，为直线上一点，是底角为的等腰三角形，则的离心率为（ ）‎ ‎ ‎ ‎【答案】C ‎【解析】因为是底角为的等腰三角形，则有,，因为，所以,，所以，即，所以，即，所以椭圆的离心率为，选C.‎ ‎2.【2012高考新课标文10】等轴双曲线的中心在原点，焦点在轴上，与抛物线的准线交于两点，；则的实轴长为（ ）‎ ‎ ‎ ‎【答案】C ‎【解析】设等轴双曲线方程为，抛物线的准线为，由,则,把坐标代入双曲线方程得，所以双曲线方程为，即，所以，所以实轴长，选C.‎ ‎3.【2012高考山东文11】已知双曲线：的离心率为2.若抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为2，则抛物线的方程为 ‎ (A) 　(B) 　　(C)　　(D)‎ ‎【答案】D ‎ ‎【解析】抛物线的焦点 ，双曲线的渐近线为，不妨取，即，焦点到渐近线的距离为，即，所以双曲线的离心率为，所以，所以，所以抛物线方程为，选D.‎ ‎4.【2012高考全国文5】椭圆的中心在原点，焦距为，一条准线为，则该椭圆的方程为 ‎（A） （B） ‎ ‎（C） （D）‎ ‎ 【答案】C ‎【解析】椭圆的焦距为4，所以因为准线为，所以椭圆的焦点在轴上，且，所以，，所以椭圆的方程为，选C.‎ ‎5.【2012高考全国文10】已知、为双曲线的左、右焦点，点在上，，则 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎ 【答案】C ‎【解析】双曲线的方程为，所以，因为|PF1|=|2PF2|，所以点P在双曲线的右支上，则有|PF1|-|PF2|=‎2a=,所以解得|PF2|=，|PF1|=，所以根据余弦定理得,选C.‎ ‎6.【2012高考浙江文8】 如图，中心均为原点O的双曲线与椭圆有公共焦点，M，N是双曲线的两顶点。若M，O，N将椭圆长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是 A.3 B‎.2 C. D. ‎ ‎【答案】B ‎ ‎ 【解析】设椭圆的长轴为‎2a，双曲线的长轴为，由M，O，N将椭圆长轴四等分，则，即，又因为双曲线与椭圆有公共焦点，设焦距均为c，则双曲线的离心率为，，.‎ ‎7.【2012高考四川文9】已知抛物线关于轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点。若点到该抛物线焦点的距离为，则（ ）‎ A、 B、 C、 D、‎ ‎【答案】B ‎ 【解析】根据题意可设设抛物线方程为，则点焦点，点到该抛物线焦点的距离为，‎ ‎ ， 解得，所以.‎ ‎8.【2012高考四川文11】方程中的，且互不相同，在所有这些方程所表示的曲线中，不同的抛物线共有（ ）‎ A、28条 B、32条 C、36条 D、48条 ‎ 【答案】B ‎【解析】本题可用排除法，，5选3全排列为60，这些方程所表示的曲线要是抛物线，则且,，要减去，又时，方程出现重复，重复次数为4，所以不同的抛物线共有60-24-4=32条.故选B.‎ ‎9.【2012高考上海文16】对于常数、，“”是“方程的曲线是椭圆”的（ ）‎ A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件 ‎【答案】B.‎ ‎【解析】∵＞0，∴或。‎ 方程=1表示的曲线是椭圆，则一定有故“＞0”是“方程=1表示的是椭圆”的必要不充分条件。‎ ‎10.【2012高考江西文8】椭圆的左、右顶点分别是A，B，左、右焦点分别是F1，F2。若|AF1|,|F‎1F2|,|F1B|成等比数列，则此椭圆的离心率为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎ 【解析】椭圆的顶点,焦点坐标为，所以，,又因为，，成等比数列，所以有，即，所以，离心率为，选B.‎ ‎11.【2012高考湖南文6】已知双曲线C ：-=1的焦距为10 ，点P （2,1）在C 的渐近线上，则C的方程为 A．-=1 B.-=‎1 ‎‎ C.-=1 D.-=1[w~#ww.zz&st^ep.com@]‎ ‎【答案】A ‎【解析】设双曲线C ：-=1的半焦距为，则.‎ 又C 的渐近线为，点P （2,1）在C 的渐近线上，，即.‎ 又，，C的方程为-=1.‎ ‎【点评】本题考查双曲线的方程、双曲线的渐近线方程等基础知识，考查了数形结合的思想和基本运算能力，是近年来常考题型.‎ ‎12.【2102高考福建文5】已知双曲线-=1的右焦点为（3,0），则该双曲线的离心率等于 A B C D ‎ ‎【答案】C.‎ ‎【解析】根据焦点坐标知，由双曲线的简单几何性质知，所以，因此.故选C.‎ 二 、填空题 ‎13.【2012高考四川文15】椭圆为定值，且的的左焦点为，直线与椭圆相交于点、，的周长的最大值是12，则该椭圆的离心率是______。‎ ‎ 【答案】，‎ ‎【解析】当直线过右焦点时的周长最大，最大周长为；‎ ‎，即，‎ ‎14.【2012高考辽宁文15】已知双曲线x2 y2 =1,点F1,F2为其两个焦点，点P为双曲线上一点，若P F1⊥P F2,则∣P F1∣+∣P F2∣的值为___________________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由双曲线的方程可知 ‎【点评】本题主要考查双曲线的定义、标准方程以及转化思想和运算求解能力，难度适中。解题时要充分利用双曲线的定义和勾股定理，实现差—积—和的转化。‎ ‎15.【2012高考江苏8】（5分）在平面直角坐标系中，若双曲线的离心率为，则的值为 ▲ ． ‎ ‎【答案】2。‎ ‎【考点】双曲线的性质。‎ ‎【解析】由得。‎ ‎ ∴，即，解得。‎ ‎16.【2012高考陕西文14】右图是抛物线形拱桥，当水面在时，拱顶离水面‎2米，水面宽‎4米，水位下降‎1米后，水面宽 米.‎ ‎【答案】.‎ ‎ 【解析】设水面与桥的一个交点为A，如图建立直角坐标系则，A的坐标为（2，-2）.设抛物线方程为，带入点A得，设水位下降‎1米后水面与桥的交点坐标为，则，所以水面宽度为.‎ ‎17.【2012高考重庆文14】设为直线与双曲线 左支的交点，是左焦点，垂直于轴，则双曲线的离心率 ‎ ‎ 【答案】‎ ‎【解析】由得，又垂直于轴，所以，即离心率为。‎ ‎18.【2012高考安徽文14】过抛物线的焦点的直线交该抛物线于两点，若，则=______。‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设及；则点到准线的距离为，‎ 得： 又。‎ ‎19.【2012高考天津文科11】已知双曲线与双曲线有相同的渐近线，且的右焦点为,则 ‎ ‎【答案】1，2‎ ‎【解析】双曲线的渐近线为，而的渐近线为，所以有，，又双曲线的右焦点为，所以，又，即，所以。‎ 三、解答题 ‎20.（本小题满分14分）‎ 已知椭圆（a>b>0）,点P（,）在椭圆上。‎ ‎（I）求椭圆的离心率。‎ ‎（II）设A为椭圆的右顶点，O为坐标原点，若Q在椭圆上且满足|AQ|=|AO|求直线的斜率的值。‎ ‎【答案】‎ ‎21.【2012高考江苏19】（16分）如图，在平面直角坐标系中，椭圆的左、右焦点分别为，．已知和都在椭圆上，其中为椭圆的离心率．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）设是椭圆上位于轴上方的两点，且直线与直线平行，与交于点P．‎ ‎（i）若，求直线的斜率；‎ ‎（ii）求证：是定值．‎ ‎【答案】解：（1）由题设知，，由点在椭圆上，得 ‎，∴。‎ 由点在椭圆上，得 ‎∴椭圆的方程为。‎ ‎（2）由（1）得，，又∵∥，‎ ‎ ∴设、的方程分别为，。‎ ‎ ∴。‎ ‎ ∴。①‎ ‎ 同理，。②‎ ‎ （i）由①②得，。解得=2。‎ ‎ ∵注意到，∴。‎ ‎ ∴直线的斜率为。‎ ‎ （ii）证明：∵∥，∴，即。‎ ‎ ∴。‎ ‎ 由点在椭圆上知，，∴。‎ ‎ 同理。。‎ ‎ ∴‎ ‎ 由①②得，，，‎ ‎ ∴。‎ ‎ ∴是定值。‎ ‎【考点】椭圆的性质，直线方程，两点间的距离公式。‎ ‎【解析】（1）根据椭圆的性质和已知和都在椭圆上列式求解。‎ ‎ （2）根据已知条件，用待定系数法求解。‎ ‎22.【2012高考安徽文20】（本小题满分13分）‎ 如图，分别是椭圆：+=1（）的左、右焦点，是椭圆的顶点，是直线与椭圆的另一个交点，=60°.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的离心率；‎ ‎（Ⅱ）已知△的面积为40，求a, b 的值. ‎ ‎【解析】‎ ‎23.【2012高考广东文20】（本小题满分14分）‎ 在平面直角坐标系中，已知椭圆：（）的左焦点为，且点在上.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）设直线同时与椭圆和抛物线：相切，求直线的方程.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】（1）因为椭圆的左焦点为，所以，‎ 点代入椭圆，得，即，‎ 所以，‎ 所以椭圆的方程为.‎ ‎（2）直线的斜率显然存在，设直线的方程为，‎ ‎，消去并整理得，‎ 因为直线与椭圆相切，所以，‎ 整理得 ①‎ ‎，消去并整理得。‎ 因为直线与抛物线相切，所以，‎ 整理得 ②‎ 综合①②，解得或。‎ 所以直线的方程为或。‎ ‎24.【2102高考北京文19】(本小题共14分)‎ 已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的一个顶点为A （2,0），离心率为， 直线y=k(x-1)与椭圆C交与不同的两点M,N ‎（Ⅰ）求椭圆C的方程 ‎（Ⅱ）当△AMN的面积为时，求k的值 ‎ ‎【答案】‎ ‎25.【2012高考山东文21】 (本小题满分13分)‎ 如图，椭圆的离心率为，直线和所围成的矩形ABCD的面积为8.‎ ‎ ‎ ‎(Ⅰ)求椭圆M的标准方程；‎ ‎(Ⅱ) 设直线与椭圆M有两个不同的交点与矩形ABCD有两个不同的交点.求的最大值及取得最大值时m的值.‎ ‎【答案】(21)(I)……①‎ 矩形ABCD面积为8，即……②‎ 由①②解得：，‎ ‎∴椭圆M的标准方程是.‎ ‎(II)，‎ 设，则，‎ 由得.‎ ‎.‎ 当过点时，，当过点时，.‎ ‎①当时，有，‎ ‎，‎ 其中，由此知当，即时，取得最大值.‎ ‎②由对称性，可知若，则当时，取得最大值.‎ ‎③当时，，，‎ 由此知，当时，取得最大值.‎ 综上可知，当和0时，取得最大值.‎ ‎26.【2102高考福建文21】（本小题满分12分）‎ 如图，等边三角形OAB的边长为，且其三个顶点均在抛物线E：x2=2py（p＞0）上。‎ （1） 求抛物线E的方程；‎ （1） 设动直线l与抛物线E相切于点P，与直线y=-1相较于点Q。证明以PQ为直径的圆恒过y轴上某定点。‎ ‎【答案】‎ ‎27.【2012高考上海文22】（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分5分，第2小题满分5分，第3小题满分6分 在平面直角坐标系中，已知双曲线 ‎（1）设是的左焦点，是右支上一点，若，求点的坐标；‎ ‎（2）过的左焦点作的两条渐近线的平行线，求这两组平行线围成的平行四边形的面积；‎ ‎（3）设斜率为（）的直线交于、两点，若与圆相切，求证：⊥‎ ‎【答案】‎ ‎28．【2012高考新课标文20】（本小题满分12分）‎ 设抛物线C：x2=2py(p>0)的焦点为F，准线为l，A为C上一点，已知以F为圆心，FA为半径的圆F交l于B，D两点.‎ ‎（I）若∠BFD=90°,△ABD的面积为4，求p的值及圆F的方程；‎ ‎（II）若A，B，F三点在同一直线m上，直线n与m平行，且n与C只有一个公共点，求坐标原点到m，n距离的比值.‎ ‎【答案】‎ ‎29.【2012高考浙江文22】本题满分14分）如图，在直角坐标系xOy中，点P（1，）到抛物线C：=2px（P＞0）的准线的距离为。点M（t，1）是C上的定点，A，B是C上的两动点，且线段AB被直线OM平分。‎ ‎（1）求p,t的值。‎ ‎（2）求△ABP面积的最大值。‎ ‎ 【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎（1）由题意得，得.‎ ‎（2）设，线段AB的中点坐标为 由题意得，设直线AB的斜率为k（k）.‎ 由，得，得 所以直线的方程为，即.‎ 由，整理得，‎ 所以，，.从而得 ‎，‎ 设点P到直线AB的距离为d，则 ‎，设ABP的面积为S，则.‎ 由，得.‎ 令，，则.‎ 设，，则.‎ 由，得，所以，故ABP的面积的最大值为.‎ ‎30.【2012高考湖南文21】（本小题满分13分）‎ 在直角坐标系xOy中，已知中心在原点，离心率为的椭圆E的一个焦点为圆C：x2+y2-4x+2=0的圆心.[中国教育出%版网^@*&]‎ ‎（Ⅰ）求椭圆E的方程；‎ ‎（Ⅱ）设P是椭圆E上一点，过P作两条斜率之积为的直线l1，l2.当直线l1，l2都与圆C相切时，求P的坐标.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】（Ⅰ）由，得.故圆Ｃ的圆心为点 从而可设椭圆Ｅ的方程为其焦距为，由题设知 故椭圆Ｅ的方程为：‎ ‎（Ⅱ）设点的坐标为，的斜分率分别为则的方程分别为且由与圆相切，得 ‎　　，‎ 即　　　　　‎ 同理可得　　.‎ 从而是方程的两个实根，于是 ‎　　　　　　　　　　　　　　①‎ 且 由得解得或 由得由得它们满足①式，故点Ｐ的坐标为 ‎，或，或，或.‎ ‎【点评】本题考查曲线与方程、直线与曲线的位置关系，考查运算能力，考查数形结合思想、函数与方程思想等数学思想方法.第一问根据条件设出椭圆方程，求出即得椭圆E的方程，第二问设出点P坐标，利用过P点的两条直线斜率之积为，得出关于点P坐标的一个方程，利用点P在椭圆上得出另一方程，联立两个方程得点P坐标.‎ ‎31.【2012高考湖北文21】（本小题满分14分）‎ 设A是单位圆x2+y2=1上任意一点，l是过点A与x轴垂直的直线，D是直线l与x轴的交点，点M在直线l上，且满足当点A在圆上运动时，记点M的轨迹为曲线C。‎ ‎（1）求曲线C的方程，判断曲线C为何种圆锥曲线，并求其焦点坐标。‎ ‎（2）过原点斜率为K的直线交曲线C于P，Q两点，其中P在第一象限，且它在y轴上的射影为点N，直线QN交曲线C于另一点H，是否存在m,使得对任意的K>0，都有PQ⊥PH？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由。‎ ‎21. 【答案】‎ ‎ ‎ ‎【解析】本题考查椭圆的标准方程，直线与圆锥曲线的位置关系；考查分类讨论的数学思想以及运算求解的能力.本题是一个椭圆模型，求解标准方程时注意对焦点的位置分类讨论，不要漏解；对于探讨性问题一直是高考考查的热点，一般先假设结论成立，再逆推所需要求解的条件，对运算求解能力和逻辑推理能力有较高的要求.‎ ‎32.【2012高考全国文22】（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）‎ 已知抛物线与圆有一个公共点，且在点处两曲线的切线为同一直线.‎ ‎（Ⅰ）求；‎ ‎（Ⅱ）设、是异于且与及都相切的两条直线，、的交点为，求到的距离。‎ ‎ ‎ ‎【答案】‎ ‎33.【2012高考辽宁文20】(本小题满分12分)‎ 如图，动圆,1