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- 2021-05-13 发布
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2012年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)
数 学(文史类)
本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共150分,考试用时120分钟。第Ⅰ卷1至2页,第Ⅱ卷3至5页。
答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上,并在规定位置粘贴考试用条形码。答卷时,考生务必将答案涂写在答题卡上,答在试卷上的无效。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
祝各位考生考试顺利!
第Ⅰ卷
注意事项:
1. 每小题选出答案后,用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。
2. 本卷共8小题,每小题5分,共40分。
参考公式:
﹒如果事件A,B胡斥,那么P(AUB)=P(A)+P(B).
﹒棱柱的体积公式V=Sh.
其中S表示棱柱的底面面积,h表示棱柱的高。
﹒圆锥的体积公式V=Sh
其中S表示圆锥的底面面积,
H表示圆锥的高。
一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
(1) i是虚数单位,复数=
(A)1-i (B)-1+I
(C)1+I (D)-1-i
【考点】复数及其计算
【内容结构】高二下学期“选修1-2第三章 数系的扩充与复数的引入”。
【目标水平】应用
【难度】简单
【解析】复数,选C.
【答案】C
(2) 设变量x,y满足约束条件,则目标函数z=3x-2y的最小值为
(A)-5 (B)-4 (C)-2 (D)3
【考点】线性规划
【内容结构】高一下学期“必修5第三章 不等式”。
【目标水平】应用
【难度】简单
【解析】做出不等式对应的可行域如图,由得,由图象可知当直线经过点时,直线的截距最大,而此时最小为,选B.
【答案】B
(1) 阅读右边的程序框图,运行相应的程序,则输出S的值为
(A)8 (B)18 (C)26 (D)80
【考点】本试题主要考查了算法框图的读取,并能根据已给的算法程序进行运算.
【内容结构】高一上学期“必修3第一章 算法初步”。
【目标水平】应用
【难度】简单
【解析】第一次循环,第二次循环,第三次循环,第四次循环满足条件输出,选C.
【答案】C
(2) 已知a=21.2,b=-0.2,c=2log52,则a,b,c的大小关系为
(A)c”是“2x2+x-1>0”的
(A) 充分而不必要条件
(B) 必要而不充分条件
(C) 充分必要条件
(D) 既不充分也不必要条件
【考点】常用逻辑用语 一元二次不等式的解法
【内容结构】高一下学期“选修1-1第一章 常用逻辑用语”; 高一下学期“必修5第三章 不等式”。
【目标水平】综合应用
【难度】简单
【解析】不等式的解集为或,所以“”是“”成立的充分不必要条件,选A.
【答案】A
(2) 下列函数中,既是偶函数,又在区间(1,2)内是增函数的为
(A) y=cos2x,xR
(B) y=log2|x|,xR且x≠0
(C) y=,xR
(D) y=x3+1,xR
【考点】函数的应用 基本初等函数
【内容结构】高一上学期“必修1第三章 函数的应用”;高一上学期“必修1第二章 基本初等函数”。
【目标水平】综合应用
【难度】中等
【解析】函数为偶函数,且当时,函数为增函数,所以在
上也为增函数,选B.
【答案】B
(1) 将函数f(x)=sin(其中>0)的图像向右平移个单位长度,所得图像经过点(,0),则的最小值是
(A) (B)1 C) (D)2
【考点】三角函数 三角函数恒等变换
【内容结构】高一下学期“必修4第一章 三角函数”;高一下学期“必修4第三章 三角函数恒等变化”。
【目标水平】综合应用
【难度】中等
【解析】函数向右平移得到函数,因为此时函数过点,所以,即所以,所以的最小值为2,选D.
【答案】D
(2) 在△ABC中, A=90°,AB=1,设点P,Q满足=, =(1-), R。若=-2,则=
(A) (B) C) (D)2
【考点】解三角形 向量及其计算
【内容结构】高一下学期“必修5第一章 解三角形”;高一上学期“必修4第二章 平面向量”
【目标水平】综合应用
【难度】困难
【解析】如图,设 ,则,又,,由得
,即,选B.
【答案】B
第Ⅱ卷
注意事项:
1.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。
2.本卷共12小题,共110分。
二.填空题:本答题共6小题,每小题5分,共30分。
(9)集合中最小整数位 .
【考点】集合 不等式及其解法
【内容结构】高一上学期“必修1第三章 集合与函数概念”;高二下学期“选修4-5第一讲 不等式和绝对值不等式”。
【目标水平】综合应用
【难度】简单
【解析】不等式,即,,所以集合,所以最小的整数为。
【答案】
(10)一个几何体的三视图如图所示(单位:m),则该几何体的体积 .
【考点】三视图
【内容结构】高二上学期“必修2第一章 空间几何体”。
【目标水平】应用
【难度】中等
【解析】由三视图可知这是一个下面是个长方体,上面是个平躺着的五棱柱构成的组合体。长方体的体积为,五棱柱的体积是,所以几何体的总体积为。
【答案】
(11)已知双曲线与双曲线有相同的渐近线,且的右焦点为,则
【考点】圆锥曲线中双曲线的应用
【内容结构】高二上学期“选修1-1第二章 圆锥曲线与方程”。
【目标水平】应用
【难度】中等
【解析】双曲线的渐近线为,而的渐近线为,所以有,,又双曲线的右焦点为,所以,又,即,所以。
【答案】1,2
(12)设,若直线与轴相交于点A,与y轴相交于B,且l与圆相交所得弦的长为2,O为坐标原点,则面积的最小值为 。
【考点】直线的方程 圆的方程 直线与圆的位置关系
【内容结构】高二上学期“必修2第三章 直线的方程”; 高二上学期“必修2 第四章 圆的方程”。
【目标水平】综合应用
【难度】困难
【解析】直线与两坐标轴的交点坐标为,直线与圆相交所得的弦长为2,圆心到直线的距离满足,所以,即圆心到直线的距离,所以。三角形的面积为,又
,当且仅当时取等号,所以最小值为。
【答案】3
(13)如图,已知和是圆的两条弦,过点作圆的切线与的延长线相交于.过点作的平行线与圆交于点,与相交于点,,,,则线段的长为 .
【考点】直线与圆的位置关系
【内容结构】高二上学期“必修4-1 第二讲 直线与圆的位置关系”。
【目标水平】应用
【难度】中等
【解析】如图连结BC,BE,则∠1=∠2,∠2=∠A
,又∠B=∠B,∽,,代入数值得BC=2,AC=4,又由平行线等分线段定理得,解得CD=.
【答案】
(14)已知函数的图像与函数的图像恰有两个交点,则实数的取值范围是 .
【考点】绝对值的分类讨论 直线与曲线的位置关系
【内容结构】高二下学期“选修4-5第一讲 不等式和绝对值不等式”;高二上学期“必修2”。
【目标水平】应用
【难度】中等
【解析】函数,当时,,当时,,综上函数,做出函数的图象,要使函数与有两个不同的交点,则直线必须在蓝色或黄色区域内,如图,则此时当直线经过黄色区域时,满足,当经过蓝色区域时,满足,综上实数的取值范围是或。
【答案】或。
三.解答题:本大题共6小题,共80分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
(15题)(本小题满分13分)
某地区有小学21所,中学14所,大学7所,现采取分层抽样的方法从这些学校中抽取6所学校对学生进行视力调查。
(I)求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目。
(II)若从抽取的6所学校中随机抽取2所学校做进一步数据分析,
(1)列出所有可能的抽取结果;
(2)求抽取的2所学校均为小学的概率。
【考点】概率离散型随机变量的分布
【内容结构】高一上学期“必修3第二章 统计”; 高一上学期“必修3 第三章 概率”。
【目标水平】应用
【难度】简单
【解析】
、
(16)(本小题满分13分)
在中,内角A,B,C所对的分别是a,b,c。已知a=2.c=,cosA=.
(I)求sinC和b的值;
(II)求cos(2A+)的值。
【考点】三角函数 三角函数恒等变换 解三角形
【内容结构】高一下学期“必修4第一章 三角函数 ,第三章 三角恒等变”; 高一下学期“必修5 第一章 解三角形”。
【目标水平】综合应用
【难度】简单
【解析】
17.(本小题满分13分)
如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,AD⊥PD,BC=1,PC=2,PD=CD=2.
(I)求异面直线PA与BC所成角的正切值;
(II)证明平面PDC⊥平面ABCD;
(III)求直线PB与平面ABCD所成角的正弦值。
【考点】立体几何中异面直线成角 平面与平面之间的关系 直线与平面关系
【内容结构】高二上学期“必修2第一章 空间几何体;第二章 点、直线、平面之间的关系”。
【目标水平】综合应用
【难度】中等
(18)(本题满分13分)
已知{}是等差数列,其前项和为,{}是等比数列,且==2,,-=10
(I)求数列{}与{}的通项公式;
(II)记=+,(n,n>2)。
【考点】等差数列等比数列的通项,前n项和 错位相减法
【内容结构】高一下学期“必修5第二章 数列”。
【目标水平】综合应用
【难度】困难
【解析】
(19)(本小题满分14分)
已知椭圆(a>b>0),点P(,)在椭圆上。
(I)求椭圆的离心率。
(II)设A为椭圆的右顶点,O为坐标原点,若Q在椭圆上且满足|AQ|=|AO|求直线的斜率的值。
【考点】圆锥曲线中的椭圆 直线与曲线的关系
【内容结构】高二下学期“选修1-1第二章 圆锥曲线与方程”。
【目标水平】综合应用
【难度】困难
【解析】
(20)(本小题满分14分)
已知函数,x其中a>0.
(I)求函数的单调区间;
(II)若函数在区间(-2,0)内恰有两个零点,求a的取值范围;
(III)当a=1时,设函数在区间上的最大值为M(t),最小值为m(t),记g(t)=M(t)-m(t),求函数g(t)在区间上的最小值。
【考点】函数求导 函数的单调性 分类讨论
【内容结构】高二下学期“选修1-1第三章 导数及其应用”。
【目标水平】综合应用
【难度】困难
【解析】
题号
知识点
目标水平
分值
占总分比例
1
复数及其计算
理解和掌握
5
3.33%
2
线性规划.
理解和掌握
5
3.33%
3
算法初步
理解和掌握
5
3.33%
4
不等式比较大小;指数函数;对数函数
综合应用
5
3.33%
5
常用逻辑用语 一元二次不等式的解法
理解和掌握
5
3.33%
6
函数的应用 基本初等函数
综合应用
5
3.33%
7
三角函数 三角函数恒等变换
理解和掌握
5
3.33%
8
解三角形 向量及其计算
综合应用
5
3.33%
9
集合 不等式及其解法
理解和掌握
5
3.33%
10
三视图
理解和掌握
5
3.33%
11
圆锥曲线中双曲线的应用
综合应用
5
3.33%
12
直线的方程 圆的方程 直线与圆的位置关系
综合应用
5
3.33%
13
直线与圆的位置关系,相交弦定理,切割线定理,相似三角形的概念、判定与性质
综合应用
5
3.33%
14
绝对值的分类讨论 直线与曲线的位置关系
理解和掌握
5
3.33%
15
概率离散型随机变量的分布
综合应用
13
8.67%
16
三角函数 三角函数恒等变换 解三角形
综合应用
13
8.67%
17
空间两条直线的位置关系,二面角、异面直线所成的角,直线与平面垂直
综合应用
13
8.67%
18
等差数列与等比数列的概念、通项公式、前n项和公式,数列求和
综合应用
13
8.67%
19
椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、平面内两点间的距离公式
综合应用
14
9.33%
20
导数的运算,利用导数研究函数的单调性,不等式
综合应用
14
9.33%