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- 2021-05-13 发布
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2017年高考数学空间几何高考真题
一.选择题(共9小题)
1.如图,在下列四个正方体中,A,B为正方体的两个顶点,M,N,Q为所在棱的中点,则在这四个正方体中,直线AB与平面MNQ不平行的是( )
A. B. C. D.
2.已知圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上,则该圆柱的体积为( )
A.π B. C. D.
3.在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,E为棱CD的中点,则( )
A.A1E⊥DC1 B.A1E⊥BD C.A1E⊥BC1 D.A1E⊥AC
4.某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积为( )
A.60 B.30 C.20 D.10
5.某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的体积(单位:cm2)是( )
A.+1 B.+3 C.+1 D.+3
6.如图,已知正四面体D﹣ABC(所有棱长均相等的三棱锥),P、Q、R分别为AB、BC、CA上的点,AP=PB,==2,分别记二面角D﹣PR﹣Q,D﹣PQ﹣R,D﹣QR﹣P的平面角为α、β、γ,则( )
A.γ<α<β B.α<γ<β C.α<β<γ D.β<γ<α
7.如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某几何体的三视图,该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得,则该几何体的体积为( )
A.90π B.63π C.42π D.36π
1.某多面体的三视图如图所示,其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成,正方形的边长为2,俯视图为等腰直角三角形,该多面体的各个面中有若干个是梯形,这些梯形的面积之和为( )
A.10 B.12 C.14 D.16
2.已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,∠ABC=120°,AB=2,BC=CC1=1,则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
二.填空题(共5小题)
8.已知三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上,SC是球O的直径.若平面SCA⊥平面SCB,SA=AC,SB=BC,三棱锥S﹣ABC的体积为9,则球O的表面积为 .
9.长方体的长、宽、高分别为3,2,1,其顶点都在球O的球面上,则球O的表面积为 .
10.已知一个正方体的所有顶点在一个球面上,若这个正方体的表面积为18,则这个球的体积为 .
11.由一个长方体和两个 圆柱体构成的几何体的三视图如图,则该几何体的体积为 .
12.如图,在圆柱O1O2内有一个球O,该球与圆柱的上、下底面及母线均相切,记圆柱O1O2的体积为V1,球O的体积为V2,则的值是 .
三.解答题(共9小题)
13.如图,在四棱锥P﹣ABCD中,AB∥CD,且∠BAP=∠CDP=90°.
(1)证明:平面PAB⊥平面PAD;
(2)若PA=PD=AB=DC,∠APD=90°,且四棱锥P﹣ABCD的体积为,求该四棱锥的侧面积.
14.如图,四棱锥P﹣ABCD中,侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD,AB=BC=AD,∠BAD=∠ABC=90°.
(1)证明:直线BC∥平面PAD;
(2)若△PCD面积为2,求四棱锥P﹣ABCD的体积.
15.如图四面体ABCD中,△ABC是正三角形,AD=CD.
(1)证明:AC⊥BD;
(2)已知△ACD是直角三角形,AB=BD,若E为棱BD上与D不重合的点,且AE⊥EC,求四面体ABCE与四面体ACDE的体积比.
16.如图,直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面为直角三角形,两直角边AB和AC的长分别为4和2,侧棱AA1的长为5.
(1)求三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积;
(2)设M是BC中点,求直线A1M与平面ABC所成角的大小.
17.如图,在三棱锥P﹣ABC中,PA⊥AB,PA⊥BC,AB⊥BC,PA=AB=BC=2,D为线段AC的中点,E为线段PC上一点.
(1)求证:PA⊥BD;
(2)求证:平面BDE⊥平面PAC;
(3)当PA∥平面BDE时,求三棱锥E﹣BCD的体积.
18.如图,在四棱锥P﹣ABCD中,AD⊥平面PDC,AD∥BC,PD⊥PB,AD=1,BC=3,CD=4,PD=2.
(Ⅰ)求异面直线AP与BC所成角的余弦值;
(Ⅱ)求证:PD⊥平面PBC;
(Ⅲ)求直线AB与平面PBC所成角的正弦值.
19.如图,已知四棱锥P﹣ABCD,△PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形,BC∥AD,CD⊥AD,PC=AD=2DC=2CB,E为PD的中点.
(Ⅰ)证明:CE∥平面PAB;
(Ⅱ)求直线CE与平面PBC所成角的正弦值.
20.由四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1截去三棱锥C1﹣B1CD1后得到的几何体如图所示,四边形ABCD为正方形,O为AC与BD 的交点,E为AD的中点,A1E⊥平面ABCD,
(Ⅰ)证明:A1O∥平面B1CD1;
(Ⅱ)设M是OD的中点,证明:平面A1EM⊥平面B1CD1.
21.如图,在三棱锥A﹣BCD中,AB⊥AD,BC⊥BD,平面ABD⊥平面BCD,点E、F(E与A、D不重合)分别在棱AD,BD上,且EF⊥AD.
求证:(1)EF∥平面ABC;
(2)AD⊥AC.
3.如图,在四棱锥P﹣ABCD中,AB∥CD,且∠BAP=∠CDP=90°.
(1)证明:平面PAB⊥平面PAD;
(2)若PA=PD=AB=DC,∠APD=90°,求二面角A﹣PB﹣C的余弦值.
4.如图,四棱锥P﹣ABCD中,侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD,AB=BC=AD,∠BAD=∠ABC=90°,E是PD的中点.
(1)证明:直线CE∥平面PAB;
(2)点M在棱PC 上,且直线BM与底面ABCD所成角为45°,求二面角M﹣AB﹣D的余弦值.
5.如图,四面体ABCD中,△ABC是正三角形,△ACD是直角三角形,∠ABD=∠CBD,AB=BD.
(1)证明:平面ACD⊥平面ABC;
(2)过AC的平面交BD于点E,若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分,求二面角D﹣AE﹣C的余弦值.
6.如图,在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD为正方形,平面PAD⊥平面ABCD,点M在线段PB上,PD∥平面MAC,PA=PD=,AB=4.
(1)求证:M为PB的中点;
(2)求二面角B﹣PD﹣A的大小;
(3)求直线MC与平面BDP所成角的正弦值.
7.如图,在三棱锥P﹣ABC中,PA⊥底面ABC,∠BAC=90°.点D,E,N分别为棱PA,PC,BC的中点,M是线段AD的中点,PA=AC=4,AB=2.
(Ⅰ)求证:MN∥平面BDE;
(Ⅱ)求二面角C﹣EM﹣N的正弦值;
(Ⅲ)已知点H在棱PA上,且直线NH与直线BE所成角的余弦值为,求线段AH的长.
8.如图,几何体是圆柱的一部分,它是由矩形ABCD(及其内部)以AB边所在直线为旋转轴旋转120°得到的,G是的中点.
(Ⅰ)设P是上的一点,且AP⊥BE,求∠CBP的大小;
(Ⅱ)当AB=3,AD=2时,求二面角E﹣AG﹣C的大小.
2017年高考数学空间几何高考真题
参考答案与试题解析
一.选择题(共7小题)
1.如图,在下列四个正方体中,A,B为正方体的两个顶点,M,N,Q为所在棱的中点,则在这四个正方体中,直线AB与平面MNQ不平行的是( )
A. B. C. D.
【解答】解:对于选项B,由于AB∥MQ,结合线面平行判定定理可知B不满足题意;
对于选项C,由于AB∥MQ,结合线面平行判定定理可知C不满足题意;
对于选项D,由于AB∥NQ,结合线面平行判定定理可知D不满足题意;
所以选项A满足题意,
故选:A.
2.已知圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上,则该圆柱的体积为( )
A.π B. C. D.
【解答】解:∵圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上,
∴该圆柱底面圆周半径r==,
∴该圆柱的体积:V=Sh==.
故选:B.
3.在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,E为棱CD的中点,则( )
A.A1E⊥DC1 B.A1E⊥BD C.A1E⊥BC1 D.A1E⊥AC
【解答】解:法一:连B1C,由题意得BC1⊥B1C,
∵A1B1⊥平面B1BCC1,且BC1⊂平面B1BCC1,
∴A1B1⊥BC1,
∵A1B1∩B1C=B1,
∴BC1⊥平面A1ECB1,
∵A1E⊂平面A1ECB1,
∴A1E⊥BC1.
故选:C.
法二:以D为原点,DA为x轴,DC为y轴,DD1为z轴,建立空间直角坐标系,
设正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱长为2,
则A1(2,0,2),E(0,1,0),B(2,2,0),D(0,0,0),C1(0,2,2),A(2,0,0),C(0,2,0),
=(﹣2,1,﹣2),=(0,2,2),=(﹣2,﹣2,0),
=(﹣2,0,2),=(﹣2,2,0),
∵•=﹣2,=2,=0,=6,
∴A1E⊥BC1.
故选:C.
4.某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积为( )
A.60 B.30 C.20 D.10
【解答】解:由三视图可知:该几何体为三棱锥,
该三棱锥的体积==10.
故选:D.
5.某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的体积(单位:cm2)是( )
A.+1 B.+3 C.+1 D.+3
【解答】解:由几何的三视图可知,该几何体是圆锥的一半和一个三棱锥组成,
圆锥的底面圆的半径为1,三棱锥的底面是底边长2的等腰直角三角形,圆锥的高和棱锥的高相等均为3,
故该几何体的体积为××π×12×3+××××3=+1,
故选:A
6.如图,已知正四面体D﹣ABC(所有棱长均相等的三棱锥),P、Q、R分别为AB、BC、CA上的点,AP=PB,==2,分别记二面角D﹣PR﹣Q,D﹣PQ﹣R,D﹣QR﹣P的平面角为α、β、γ,则( )
A.γ<α<β B.α<γ<β C.α<β<γ D.β<γ<α
【解答】解法一:如图所示,建立空间直角坐标系.设底面△ABC的中心为O.
不妨设OP=3.则O(0,0,0),P(0,﹣3,0),C(0,﹣6,0),D(0,0,6),
Q,R,
=,=(0,3,6),=(,5,0),=,
=.
设平面PDR的法向量为=(x,y,z),则,可得,
可得=,取平面ABC的法向量=(0,0,1).
则cos==,取α=arccos.
同理可得:β=arccos.γ=arccos.
∵>>.
∴α<γ<β.
解法二:如图所示,连接OP,OQ,OR,过点O分别作垂线:OE⊥PR,OF⊥PQ,OG⊥QR,垂足分别为E,F,G,连接DE,DF,DG.
设OD=h.
则tanα=.
同理可得:tanβ=,tanγ=.
由已知可得:OE>OG>OF.
∴tanα<tanγ<tanβ,α,β,γ为锐角.
∴α<γ<β.
故选:B.
7.如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某几何体的三视图,该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得,则该几何体的体积为( )
A.90π B.63π C.42π D.36π
【解答】
解:由三视图可得,直观图为一个完整的圆柱减去一个高为6的圆柱的一半,
V=π•32×10﹣•π•32×6=63π,
故选:B.
1.某多面体的三视图如图所示,其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成,正方形的边长为2,俯视图为等腰直角三角形,该多面体的各个面中有若干个是梯形,这些梯形的面积之和为( )
A.10 B.12 C.14 D.16
【解答】解:由三视图可画出直观图,
该立体图中只有两个相同的梯形的面,
S梯形=×2×(2+4)=6,
∴这些梯形的面积之和为6×2=12,
故选:B
2.已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,∠ABC=120°,AB=2,BC=CC1=1,则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
【解答】解:【解法一】如图所示,设M、N、P分别为AB,BB1和B1C1的中点,
则AB1、BC1夹角为MN和NP夹角或其补角
(因异面直线所成角为(0,]),
可知MN=AB1=,
NP=BC1=;
作BC中点Q,则△PQM为直角三角形;
∵PQ=1,MQ=AC,
△ABC中,由余弦定理得
AC2=AB2+BC2﹣2AB•BC•cos∠ABC
=4+1﹣2×2×1×(﹣)
=7,
∴AC=,
∴MQ=;
在△MQP中,MP==;
在△PMN中,由余弦定理得
cos∠MNP===﹣;
又异面直线所成角的范围是(0,],
∴AB1与BC1所成角的余弦值为.
【解法二】如图所示,
补成四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1,求∠BC1D即可;
BC1=,BD==,
C1D=,
∴+BD2=,
∴∠DBC1=90°,
∴cos∠BC1D==.
二.填空题(共5小题)
8.已知三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上,SC是球O的直径.若平面SCA⊥平面SCB,SA=AC,SB=BC,三棱锥S﹣ABC的体积为9,则球O的表面积为 36π .
【解答】解:三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上,SC是球O的直径,若平面SCA⊥平面SCB,SA=AC,SB=BC,三棱锥S﹣ABC的体积为9,
可知三角形SBC与三角形SAC都是等腰直角三角形,设球的半径为r,
可得,解得r=3.
球O的表面积为:4πr2=36π.
故答案为:36π.
9.长方体的长、宽、高分别为3,2,1,其顶点都在球O的球面上,则球O的表面积为 14π .
【解答】解:长方体的长、宽、高分别为3,2,1,其顶点都在球O的球面上,可知长方体的对角线的长就是球的直径,
所以球的半径为:=.
则球O的表面积为:4×=14π.
故答案为:14π.
10.已知一个正方体的所有顶点在一个球面上,若这个正方体的表面积为18,则这个球的体积为 .
【解答】解:设正方体的棱长为a,
∵这个正方体的表面积为18,
∴6a2=18,
则a2=3,即a=,
∵一个正方体的所有顶点在一个球面上,
∴正方体的体对角线等于球的直径,
即a=2R,
即R=,
则球的体积V=π•()3=;
故答案为:.
11.由一个长方体和两个
圆柱体构成的几何体的三视图如图,则该几何体的体积为 2+ .
【解答】解:由长方体长为2,宽为1,高为1,则长方体的体积V1=2×1×1=2,
圆柱的底面半径为1,高为1,则圆柱的体积V2=×π×12×1=,
则该几何体的体积V=V1+2V1=2+,
故答案为:2+.
12.如图,在圆柱O1O2内有一个球O,该球与圆柱的上、下底面及母线均相切,记圆柱O1O2的体积为V1,球O的体积为V2,则的值是 .
【解答】解:设球的半径为R,则球的体积为:R3,
圆柱的体积为:πR2•2R=2πR3.
则==.
故答案为:.
三.解答题(共9小题)
13.如图,在四棱锥P﹣ABCD中,AB∥CD,且∠BAP=∠CDP=90°.
(1)证明:平面PAB⊥平面PAD;
(2)若PA=PD=AB=DC,∠APD=90°,且四棱锥P﹣ABCD的体积为,求该四棱锥的侧面积.
【解答】证明:(1)∵在四棱锥P﹣ABCD中,∠BAP=∠CDP=90°,
∴AB⊥PA,CD⊥PD,
又AB∥CD,∴AB⊥PD,
∵PA∩PD=P,∴AB⊥平面PAD,
∵AB⊂平面PAB,∴平面PAB⊥平面PAD.
解:(2)设PA=PD=AB=DC=a,取AD中点O,连结PO,
∵PA=PD=AB=DC,∠APD=90°,平面PAB⊥平面PAD,
∴PO⊥底面ABCD,且AD==,PO=,
∵四棱锥P﹣ABCD的体积为,
∴VP﹣ABCD=
====,
解得a=2,∴PA=PD=AB=DC=2,AD=BC=2,PO=,
∴PB=PC==2,
∴该四棱锥的侧面积:
S侧=S△PAD+S△PAB+S△PDC+S△PBC
=+++
=
=6+2.
14.如图,四棱锥P﹣ABCD中,侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD,AB=BC=AD,∠BAD=∠ABC=90°.
(1)证明:直线BC∥平面PAD;
(2)若△PCD面积为2,求四棱锥P﹣ABCD的体积.
【解答】(1)证明:四棱锥P﹣ABCD中,∵∠BAD=∠ABC=90°.∴BC∥AD,∵AD⊂平面PAD,BC⊄平面PAD,
∴直线BC∥平面PAD;
(2)解:四棱锥P﹣ABCD中,侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD,AB=BC=AD,∠BAD=∠ABC=90°.设AD=2x,
则AB=BC=x,CD=,O是AD的中点,
连接PO,OC,CD的中点为:E,连接OE,
则OE=,PO=,PE==,
△PCD面积为2,可得:=2,
即:,解得x=2,PE=2.
则V P﹣ABCD=×(BC+AD)×AB×PO==4.
15.如图四面体ABCD中,△ABC是正三角形,AD=CD.
(1)证明:AC⊥BD;
(2)已知△ACD是直角三角形,AB=BD,若E为棱BD上与D不重合的点,且AE⊥EC,求四面体ABCE与四面体ACDE的体积比.
【解答】证明:(1)取AC中点O,连结DO、BO,
∵△ABC是正三角形,AD=CD,
∴DO⊥AC,BO⊥AC,
∵DO∩BO=O,∴AC⊥平面BDO,
∵BD⊂平面BDO,∴AC⊥BD.
解:(2)法一:连结OE,由(1)知AC⊥平面OBD,
∵OE⊂平面OBD,∴OE⊥AC,
设AD=CD=,则OC=OA=1,
∴E是线段AC垂直平分线上的点,∴EC=EA=CD=,
由余弦定理得:
cos∠CBD==,
即,解得BE=1或BE=2,
∵BE<<BD=2,∴BE=1,∴BE=ED,
∵四面体ABCE与四面体ACDE的高都是点A到平面BCD的高h,
∵BE=ED,∴S△DCE=S△BCE,
∴四面体ABCE与四面体ACDE的体积比为1.
法二:设AD=CD=,则AC=AB=BC=BD=2,AO=CO=DO=1,
∴BO==,∴BO2+DO2=BD2,∴BO⊥DO,
以O为原点,OA为x轴,OB为y轴,OD为z轴,建立空间直角坐标系,
则C(﹣1,0,0),D(0,0,1),B(0,,0),A(1,0,0),
设E(a,b,c),,(0≤λ≤1),则(a,b,c﹣1)=λ(0,,﹣1),解得E(0,,1﹣λ),
∴=(1,),=(﹣1,),
∵AE⊥EC,∴=﹣1+3λ2+(1﹣λ)2=0,
由λ∈[0,1],解得,∴DE=BE,
∵四面体ABCE与四面体ACDE的高都是点A到平面BCD的高h,
∵DE=BE,∴S△DCE=S△BCE,
∴四面体ABCE与四面体ACDE的体积比为1.
16.如图,直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面为直角三角形,两直角边AB和AC的长分别为4和2,侧棱AA1的长为5.
(1)求三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积;
(2)设M是BC中点,求直线A1M与平面ABC所成角的大小.
【解答】解:(1)∵直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面为直角三角形,
两直角边AB和AC的长分别为4和2,侧棱AA1的长为5.
∴三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积:
V=S△ABC×AA1
=
==20.
(2)连结AM,
∵直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面为直角三角形,
两直角边AB和AC的长分别为4和2,侧棱AA1的长为5,M是BC中点,
∴AA1⊥底面ABC,AM==,
∴∠A1MA是直线A1M与平面ABC所成角,
tan∠A1MA===,
∴直线A1M与平面ABC所成角的大小为arctan.
17.如图,在三棱锥P﹣ABC中,PA⊥AB,PA⊥BC,AB⊥BC,PA=AB=BC=2,D为线段AC的中点,E为线段PC上一点.
(1)求证:PA⊥BD;
(2)求证:平面BDE⊥平面PAC;
(3)当PA∥平面BDE时,求三棱锥E﹣BCD的体积.
【解答】解:(1)证明:由PA⊥AB,PA⊥BC,
AB⊂平面ABC,BC⊂平面ABC,且AB∩BC=B,
可得PA⊥平面ABC,
由BD⊂平面ABC,
可得PA⊥BD;
(2)证明:由AB=BC,D为线段AC的中点,
可得BD⊥AC,
由PA⊥平面ABC,PA⊂平面PAC,
可得平面PAC⊥平面ABC,
又平面ABC∩平面ABC=AC,
BD⊂平面ABC,且BD⊥AC,
即有BD⊥平面PAC,
BD⊂平面BDE,
可得平面BDE⊥平面PAC;
(3)PA∥平面BDE,PA⊂平面PAC,
且平面PAC∩平面BDE=DE,
可得PA∥DE,
又D为AC的中点,
可得E为PC的中点,且DE=PA=1,
由PA⊥平面ABC,
可得DE⊥平面ABC,
可得S△BDC=S△ABC=××2×2=1,
则三棱锥E﹣BCD的体积为DE•S△BDC=×1×1=.
18.如图,在四棱锥P﹣ABCD中,AD⊥平面PDC,AD∥BC,PD⊥PB,AD=1,BC=3,CD=4,PD=2.
(Ⅰ)求异面直线AP与BC所成角的余弦值;
(Ⅱ)求证:PD⊥平面PBC;
(Ⅲ)求直线AB与平面PBC所成角的正弦值.
【解答】解:(Ⅰ)如图,由已知AD∥BC,
故∠DAP或其补角即为异面直线AP与BC所成的角.
因为AD⊥平面PDC,所以AD⊥PD.
在Rt△PDA中,由已知,得,
故.
所以,异面直线AP与BC所成角的余弦值为.
证明:(Ⅱ)因为AD⊥平面PDC,直线PD⊂平面PDC,
所以AD⊥PD.
又因为BC∥AD,所以PD⊥BC,
又PD⊥PB,所以PD⊥平面PBC.
解:(Ⅲ)过点D作AB的平行线交BC于点F,连结PF,
则DF与平面PBC所成的角等于AB与平面PBC所成的角.
因为PD⊥平面PBC,故PF为DF在平面PBC上的射影,
所以∠DFP为直线DF和平面PBC所成的角.
由于AD∥BC,DF∥AB,故BF=AD=1,
由已知,得CF=BC﹣BF=2.又AD⊥DC,故BC⊥DC,
在Rt△DCF中,可得.
所以,直线AB与平面PBC所成角的正弦值为.
19.如图,已知四棱锥P﹣ABCD,△PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形,BC∥AD,CD⊥AD,PC=AD=2DC=2CB,E为PD的中点.
(Ⅰ)证明:CE∥平面PAB;
(Ⅱ)求直线CE与平面PBC所成角的正弦值.
【解答】证明:(Ⅰ)取AD的中点F,连结EF,CF,
∵E为PD的中点,∴EF∥PA,
在四边形ABCD中,BC∥AD,AD=2DC=2CB,F为中点,
∴CF∥AB,∴平面EFC∥平面ABP,
∵EC⊂平面EFC,
∴EC∥平面PAB.
解:(Ⅱ)连结BF,过F作FM⊥PB于M,连结PF,
∵PA=PD,∴PF⊥AD,
推导出四边形BCDF为矩形,∴BF⊥AD,
∴AD⊥平面PBF,又AD∥BC,
∴BC⊥平面PBF,∴BC⊥PB,
设DC=CB=1,则AD=PC=2,∴PB=,
BF=PF=1,∴MF=,
又BC⊥平面PBF,∴BC⊥MF,
∴MF⊥平面PBC,即点F到平面PBC的距离为,
∵MF=,D到平面PBC的距离应该和MF平行且相等,为,
E为PD中点,E到平面PBC的垂足也为垂足所在线段的中点,即中位线,
∴E到平面PBC的距离为,
在,
由余弦定理得CE=,
设直线CE与平面PBC所成角为θ,则sinθ==.
20.由四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1截去三棱锥C1﹣B1CD1
后得到的几何体如图所示,四边形ABCD为正方形,O为AC与BD 的交点,E为AD的中点,A1E⊥平面ABCD,
(Ⅰ)证明:A1O∥平面B1CD1;
(Ⅱ)设M是OD的中点,证明:平面A1EM⊥平面B1CD1.
【解答】证明:(Ⅰ)取B1D1中点G,连结A1G、CG,
∵四边形ABCD为正方形,O为AC与BD 的交点,
∴四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1截去三棱锥C1﹣B1CD1后,A1GOC,
∴四边形OCGA1是平行四边形,∴A1O∥CG,
∵A1O⊄平面B1CD1,CG⊂平面B1CD1,
∴A1O∥平面B1CD1.
(Ⅱ)四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1截去三棱锥C1﹣B1CD1后,BDB1D1,
∵M是OD的中点,O为AC与BD 的交点,E为AD的中点,A1E⊥平面ABCD,
又BD⊂平面ABCD,∴BD⊥A1E,
∵四边形ABCD为正方形,O为AC与BD 的交点,
∴AO⊥BD,
∵M是OD的中点,E为AD的中点,∴EM⊥BD,
∵A1E∩EM=E,∴BD⊥平面A1EM,
∵BD∥B1D1,∴B1D1⊥平面A1EM,
∵B1D1⊂平面B1CD1,
∴平面A1EM⊥平面B1CD1.
21.如图,在三棱锥A﹣BCD中,AB⊥AD,BC⊥BD,平面ABD⊥平面BCD,点E、F(E与A、D不重合)分别在棱AD,BD上,且EF⊥AD.
求证:(1)EF∥平面ABC;
(2)AD⊥AC.
【解答】证明:(1)因为AB⊥AD,EF⊥AD,且A、B、E、F四点共面,
所以AB∥EF,
又因为EF⊊平面ABC,AB⊆平面ABC,
所以由线面平行判定定理可知:EF∥平面ABC;
(2)在线段CD上取点G,连结FG、EG使得FG∥BC,则EG∥AC,
因为BC⊥BD,FG∥BC,
所以FG⊥BD,
又因为平面ABD⊥平面BCD,
所以FG⊥平面ABD,所以FG⊥AD,
又因为AD⊥EF,且EF∩FG=F,
所以AD⊥平面EFG,所以AD⊥EG,
故AD⊥AC.
3.如图,在四棱锥P﹣ABCD中,AB∥CD,且∠BAP=∠CDP=90°.
(1)证明:平面PAB⊥平面PAD;
(2)若PA=PD=AB=DC,∠APD=90°,求二面角A﹣PB﹣C的余弦值.
【解答】(1)证明:∵∠BAP=∠CDP=90°,∴PA⊥AB,PD⊥CD,
∵AB∥CD,∴AB⊥PD,
又∵PA∩PD=P,且PA⊂平面PAD,PD⊂平面PAD,
∴AB⊥平面PAD,又AB⊂平面PAB,
∴平面PAB⊥平面PAD;
(2)解:∵AB∥CD,AB=CD,∴四边形ABCD为平行四边形,
由(1)知AB⊥平面PAD,∴AB⊥AD,则四边形ABCD为矩形,
在△APD中,由PA=PD,∠APD=90°,可得△PAD为等腰直角三角形,
设PA=AB=2a,则AD=.
取AD中点O,BC中点E,连接PO、OE,
以O为坐标原点,分别以OA、OE、OP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系,
则:D(),B(),P(0,0,),C().
,,.
设平面PBC的一个法向量为,
由,得,取y=1,得.
∵AB⊥平面PAD,AD⊂平面PAD,∴AB⊥PD,
又PD⊥PA,PA∩AB=A,
∴PD⊥平面PAB,则为平面PAB的一个法向量,.
∴cos<>==.
由图可知,二面角A﹣PB﹣C为钝角,
∴二面角A﹣PB﹣C的余弦值为.
4.如图,四棱锥P﹣ABCD中,侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD,AB=BC=AD,∠BAD=∠ABC=90°,E是PD的中点.
(1)证明:直线CE∥平面PAB;
(2)点M在棱PC 上,且直线BM与底面ABCD所成角为45°,求二面角M﹣AB﹣D的余弦值.
【解答】(1)证明:取PA的中点F,连接EF,BF,因为E是PD的中点,
所以EFAD,AB=BC=AD,∠BAD=∠ABC=90°,∴BC∥AD,
∴BCEF是平行四边形,可得CE∥BF,BF⊂平面PAB,CE⊄平面PAB,
∴直线CE∥平面PAB;
(2)解:四棱锥P﹣ABCD中,
侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD,AB=BC=AD,
∠BAD=∠ABC=90°,E是PD的中点.
取AD的中点O,M在底面ABCD上的射影N在OC上,设AD=2,则AB=BC=1,OP=,
∴∠PCO=60°,直线BM与底面ABCD所成角为45°,
可得:BN=MN,CN=MN,BC=1,
可得:1+BN2=BN2,BN=,MN=,
作NQ⊥AB于Q,连接MQ,
所以∠MQN就是二面角M﹣AB﹣D的平面角,MQ=
=,
二面角M﹣AB﹣D的余弦值为:=.
5.如图,四面体ABCD中,△ABC是正三角形,△ACD是直角三角形,∠ABD=∠CBD,AB=BD.
(1)证明:平面ACD⊥平面ABC;
(2)过AC的平面交BD于点E,若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分,求二面角D﹣AE﹣C的余弦值.
【解答】(1)证明:如图所示,取AC的中点O,连接BO,OD.
∵△ABC是等边三角形,∴OB⊥AC.
△ABD与△CBD中,AB=BD=BC,∠ABD=∠CBD,
∴△ABD≌△CBD,∴AD=CD.
∵△ACD是直角三角形,
∴AC是斜边,∴∠ADC=90°.
∴DO=AC.
∴DO2+BO2=AB2=BD2.
∴∠BOD=90°.
∴OB⊥OD.
又DO∩AC=O,∴OB⊥平面ACD.
又OB⊂平面ABC,
∴平面ACD⊥平面ABC.
(2)解:设点D,B到平面ACE的距离分别为hD,hE.则=.
∵平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分,
∴===1.
∴点E是BD的中点.
建立如图所示的空间直角坐标系.不妨取AB=2.
则O(0,0,0),A(1,0,0),C(﹣1,0,0),D(0,0,1),B(0,,0),E.
=(﹣1,0,1),=,=(﹣2,0,0).
设平面ADE的法向量为=(x,y,z),则,即,取=.
同理可得:平面ACE的法向量为=(0,1,).
∴cos===﹣.
∴二面角D﹣AE﹣C的余弦值为.
6.如图,在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD为正方形,平面PAD⊥平面ABCD,点M在线段PB上,PD∥平面MAC,PA=PD=,AB=4.
(1)求证:M为PB的中点;
(2)求二面角B﹣PD﹣A的大小;
(3)求直线MC与平面BDP所成角的正弦值.
【解答】(1)证明:如图,设AC∩BD=O,
∵ABCD为正方形,∴O为BD的中点,连接OM,
∵PD∥平面MAC,PD⊂平面PBD,平面PBD∩平面AMC=OM,
∴PD∥OM,则,即M为PB的中点;
(2)解:取AD中点G,
∵PA=PD,∴PG⊥AD,
∵平面PAD⊥平面ABCD,且平面PAD∩平面ABCD=AD,
∴PG⊥平面ABCD,则PG⊥AD,连接OG,则PG⊥OG,
由G是AD的中点,O是AC的中点,可得OG∥DC,则OG⊥AD.
以G为坐标原点,分别以GD、GO、GP所在直线为x、y、z轴距离空间直角坐标系,
由PA=PD=,AB=4,得D(2,0,0),A(﹣2,0,0),P(0,0,),C(2,4,0),B(﹣2,4,0),M(﹣1,2,),
,.
设平面PBD的一个法向量为,
则由,得,取z=,得.
取平面PAD的一个法向量为.
∴cos<>==.
∴二面角B﹣PD﹣A的大小为60°;
(3)解:,平面BDP的一个法向量为.
∴直线MC与平面BDP所成角的正弦值为|cos<>|=||=||=.
7.如图,在三棱锥P﹣ABC中,PA⊥底面ABC,∠BAC=90°.点D,E,N分别为棱PA,PC,BC的中点,M是线段AD的中点,PA=AC=4,AB=2.
(Ⅰ)求证:MN∥平面BDE;
(Ⅱ)求二面角C﹣EM﹣N的正弦值;
(Ⅲ)已知点H在棱PA上,且直线NH与直线BE所成角的余弦值为,求线段AH的长.
【解答】(Ⅰ)证明:取AB中点F,连接MF、NF,
∵M为AD中点,∴MF∥BD,
∵BD⊂平面BDE,MF⊄平面BDE,∴MF∥平面BDE.
∵N为BC中点,∴NF∥AC,
又D、E分别为AP、PC的中点,∴DE∥AC,则NF∥DE.
∵DE⊂平面BDE,NF⊄平面BDE,∴NF∥平面BDE.
又MF∩NF=F.
∴平面MFN∥平面BDE,则MN∥平面BDE;
(Ⅱ)解:∵PA⊥底面ABC,∠BAC=90°.
∴以A为原点,分别以AB、AC、AP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系.
∵PA=AC=4,AB=2,
∴A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,4,0),M(0,0,1),N(1,2,0),E(0,2,2),
则,,
设平面MEN的一个法向量为,
由,得,取z=2,得.
由图可得平面CME的一个法向量为.
∴cos<>=.
∴二面角C﹣EM﹣N的余弦值为,则正弦值为;
(Ⅲ)解:设AH=t,则H(0,0,t),,.
∵直线NH与直线BE所成角的余弦值为,
∴|cos<>|=||=||=.
解得:t=或t=.
∴当H与P重合时直线NH与直线BE所成角的余弦值为,此时线段AH的长为或.
8.如图,几何体是圆柱的一部分,它是由矩形ABCD(及其内部)以AB边所在直线为旋转轴旋转120°得到的,G是的中点.
(Ⅰ)设P是上的一点,且AP⊥BE,求∠CBP的大小;
(Ⅱ)当AB=3,AD=2时,求二面角E﹣AG﹣C的大小.
【解答】解:(Ⅰ)∵AP⊥BE,AB⊥BE,且AB,AP⊂平面ABP,AB∩AP=A,
∴BE⊥平面ABP,又BP⊂平面ABP,
∴BE⊥BP,又∠EBC=120°,
因此∠CBP=30°;
(Ⅱ)解法一、
取的中点H,连接EH,GH,CH,
∵∠EBC=120°,∴四边形BECH为菱形,
∴AE=GE=AC=GC=.
取AG中点M,连接EM,CM,EC,
则EM⊥AG,CM⊥AG,
∴∠EMC为所求二面角的平面角.
又AM=1,∴EM=CM=.
在△BEC中,由于∠EBC=120°,
由余弦定理得:EC2=22+22﹣2×2×2×cos120°=12,
∴,因此△EMC为等边三角形,
故所求的角为60°.
解法二、以B为坐标原点,分别以BE,BP,BA所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系.
由题意得:A(0,0,3),E(2,0,0),G(1,,3),C(﹣1,,0),
故,,.
设为平面AEG的一个法向量,
由,得,取z1=2,得;
设为平面ACG的一个法向量,
由,可得,取z2=﹣2,得.
∴cos<>=.
∴二面角E﹣AG﹣C的大小为60°.
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