三年高考20162018高考数学习题分项版解析专题06导数的几何意义文含解析 12页

专题06 导数的几何意义 文 考纲解读明方向 考点 内容解读 要求 常考题型 预测热度 ‎1.导数的概念与几何意义 ‎1.了解导数概念的实际背景 ‎2.理解导数的几何意义 Ⅱ 选择题、‎ 填空题 ‎★★★‎ ‎2.导数的运算 ‎1.能根据导数定义求函数y=C(C为常数),y=x,y=,y=x2,y=x3,y=的导数 ‎2.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数 Ⅲ 选择题、‎ 解答题 本部分主要是对导数概念及其运算的考查,以导数的运算公式和运算法则为基础,以导数的几何意义为重点.‎ ‎1.导数的几何意义最常见的是求过曲线上某点的切线的斜率、方程、斜率与倾斜角的关系、切点的坐标,或以平行、垂直直线的斜率间的关系为载体求字母的取值等.‎ ‎2.导数的运算是每年必考的内容,一般不单独考查,而在考查导数的应用时与单调性、极值与最值结合出题考查.‎ ‎3.本节内容在高考中分值为5分左右,属于容易题.‎ ‎2018年高考全景展示 ‎1.【2018年新课标I卷文】设函数．若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：利用奇函数偶此项系数为零求得，进而得到的解析式，再对求导得出切线的斜率，进而求得切线方程.‎ 点睛：该题考查的是有关曲线在某个点 处的切线方程的问题，在求解的过程中，首先需要确定函数解析式，此时利用到结论多项式函数中，奇函数不存在偶次项，偶函数不存在奇次项，从而求得相应的参数值，之后利用求导公式求得，借助于导数的几何意义，结合直线方程的点斜式求得结果.‎ ‎2．【2018年天津卷文】已知函数f(x)=exlnx，为f(x)的导函数，则的值为__________．‎ ‎【答案】e ‎【解析】分析：首先求导函数，然后结合导函数的运算法则整理计算即可求得最终结果.‎ 详解：由函数的解析式可得：，‎ 则：.即的值为e.‎ 点睛：本题主要考查导数的运算法则，基本初等函数的导数公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎3．【2018年全国卷II文】曲线在点处的切线方程为__________．‎ ‎【答案】y=2x–2‎ 点睛：求曲线在某点处的切线方程的步骤：①求出函数在该点处的导数值即为切线斜率；②写出切线的点斜式方程；③化简整理.‎ ‎4．【2018年天津卷文】设函数，其中,且是公差为的等差数列.‎ ‎（I）若 求曲线在点处的切线方程；‎ ‎（II）若，求的极值；‎ ‎（III）若曲线 与直线 有三个互异的公共点，求d的取值范围.‎ ‎【答案】(Ⅰ)x+y=0；(Ⅱ)极大值为6；极小值为−6；(Ⅲ) ‎ ‎【解析】分析：（Ⅰ）由题意可得f(x)=x3−x，=3x2−1，结合f(0)=0，=−1，可得切线方程为x+y=0.‎ ‎（Ⅱ）由已知可得：f(x)=x3−3t2x2+(3t22−9)x− t23+9t2.则= 3x2−6t2x+3t22−9.令=0，解得x= t2−，或x= t2+.据此可得函数f(x)的极大值为f(t2−)=6；函数极小值为f(t2+)=−6.‎ ‎（III）原问题等价于关于x的方程(x−t2+d) (x−t2) (x−t2−d)+ (x−t2)+ 6=0有三个互异的实数解，令u= x−t2，可得u3+(1−d2)u+6=0.设函数g(x)= x3+(1−d2)x+6，则y=g(x)有三个零点.利用导函数研究g(x)的性质可得的取值范围是 ‎ 详解：（Ⅰ）由已知，可得f(x)=x(x−1)(x+1)=x3−x，故=3x2−1，因此f(0)=0，=−1，又因为曲线y=f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y−f(0)=(x−0)，故所求切线方程为x+y=0． ‎ ‎（Ⅱ）由已知可得 f(x)=(x−t2+3)(x−t2)(x−t2−3)=(x−t2)3−9(x−t2)=x3−3t2x2+(3t22−9)x−t23+9t2．‎ 故=3x2−6t2x+3t22−9．令=0，解得x=t2−，或x=t2+．‎ 当x变化时，，f(x)的变化如下表：‎ x ‎(−∞，t2−)‎ t2−‎ ‎(t2−，t2+)‎ t2+‎ ‎(t2+，+∞)‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎−‎ ‎0‎ ‎+‎ f(x)‎ ‎↗‎ 极大值 ‎↘‎ 极小值 ‎↗‎ 所以函数f(x)的极大值为f(t2−)=(−)3−9×(−)=6；函数f(x)的极小值为f(t2+)=()3−9×()=−6．‎ 若即，也就是，此时，且 ‎，从而由的单调性，可知函数在区间内各有一个零点，符合题意．‎ 所以，的取值范围是．‎ 点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出 ，本专题在高考中的命题方向及命题角度 从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．‎ ‎5.【2018年文北京卷】设函数.‎ ‎（Ⅰ）若曲线在点处的切线斜率为0，求a；‎ ‎（Ⅱ）若在处取得极小值，求a的取值范围.‎ ‎【答案】（Ⅰ） （Ⅱ）‎ ‎【解析】分析：（1）求导，构建等量关系，解方程可得参数的值；（2）对分及两种情况进行分类讨论，通过研究的变化情况可得取得极值的可能，进而可求参数的取值范围.‎ 详解：‎ ‎（1）当a=0时，令得x=1.随x的变化情况如下表：‎ x ‎1‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎−‎ ‎↗‎ 极大值 ‎↘‎ ‎∴在x=1处取得极大值，不合题意.‎ ‎（2）当a>0时，令得.①当，即a=1时，，‎ ‎∴在上单调递增，∴无极值，不合题意.‎ ‎②当，即01时，随x的变化情况如下表：‎ x ‎+‎ ‎0‎ ‎−‎ ‎0‎ ‎+‎ ‎↗‎ 极大值 ‎↘‎ 极小值 ‎↗‎ ‎∴在x=1处取得极小值，即a>1满足题意.‎ ‎（3）当a<0时，令得.随x的变化情况如下表：‎ x ‎−‎ ‎0‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎−‎ ‎↘‎ 极小值 ‎↗‎ 极大值 ‎↘‎ ‎∴在x=1处取得极大值，不合题意.综上所述，a的取值范围为.‎ 点睛：导数类问题是高考数学中的必考题，也是压轴题，主要考查的形式有以下四个：①考查导数的几何意义，涉及求曲线切线方程的问题；②利用导数证明函数单调性或求单调区间问题；③利用导数求函数的极值最值问题；④关于不等式的恒成立问题.‎ 解题时需要注意的有以下两个方面：①在求切线方程问题时，注意区别在某一点和过某一点解题步骤的不同；②在研究单调性及极值最值问题时常常会涉及到分类讨论的思想，要做到不重不漏；③不等式的恒成立问题属于高考中的难点，要注意问题转换的等价性.‎ ‎2017年高考全景展示 ‎1.【2017课标1，文14】曲线在点（1，2）处的切线方程为______________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：设 则，所以 所以在处的切线方程为，即 ‎【考点】导数几何意义 ‎【名师点睛】求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出切点及斜率，其求法为：设是曲线上的一点，则以的切点的切线方程为：．若曲线在点的切线平行于轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为． ‎ ‎2.【2017天津，文10】已知，设函数的图象在点（1，）处的切线为l，则l在y轴上的截距为 .‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】‎ ‎【考点】导数的几何意义 ‎【名师点睛】本题考查了导数的几何意义，属于基础题型，函数在点处的导数的几何意义是曲线在点处的切线的斜率．相应地，切线方程为．注意：求曲线切线时，要分清在点处的切线与过点的切线的不同,谨记，有切点直接带入切点，没切点设切点，建立方程组求切点.‎ ‎3.【2017山东，文20】（本小题满分13分）已知函数.,‎ ‎(I)当a=2时,求曲线在点处的切线方程；‎ ‎(II)设函数,讨论的单调性并判断有无极值,有极值时求出极值.‎ ‎【答案】(I),（2）(II)⑴无极值；⑵极大值为,极小值为；‎ ‎⑶极大值为,极小值为.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：(I)根据求出切线斜率,再用点斜式写出切线方程；(II)由,通过讨论确定单调性,再由单调性确定极值.‎ 试题解析：（I）由题意，‎ 所以，当时，，，‎ 所以，‎ 因此，曲线在点处的切线方程是，‎ 即.‎ ‎（1）当时，，‎ 当时，，，单调递增；‎ 当时，，，单调递减；‎ 当时，，，单调递增.‎ 所以，当时，取到极大值，极大值是，‎ 当时，取到极小值，极小值是.‎ ‎（2）当时，，‎ 当时，，单调递增；‎ 所以，在上单调递增，无极大值也无极小值.‎ ‎【考点】导数的几何意义及导数的应用 ‎4.【2017北京，文20】已知函数．‎ ‎（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；‎ ‎（Ⅱ）求函数在区间上的最大值和最小值．‎ ‎【答案】(Ⅰ)；（Ⅱ）最大值1；最小值.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ）根据导数的几何意义，求斜率再代入切线方程公式；（Ⅱ）设，求，根据确定函数的单调性，根据单调减求函数的最大值，可以知道恒成立，所以函数是单调递减函数，根据单调性求最值.‎ 试题解析：（Ⅰ）因为，所以.‎ 又因为，所以曲线在点处的切线方程为.‎ ‎【考点】1.导数的几何意义；2.利用导数求函数的最值.‎ ‎【名师点睛】这道导数题并不难，比一般意义上的压轴题要简单很多，第二问比较有特点是需要求二阶导数，因为不能判断函数的单调性，所以需要再求一次导数，设 ，再求，一般这时就可求得函数的零点，或是恒成立，这样就能知道函数的单调性，根据单调性求最值，从而判断的单调性，求得最值.‎ ‎2016年高考全景展示 ‎1.【2016高考四川文科】设直线l1，l2分别是函数f(x)= 图象上点P1，P2处的切线，l1与l2垂直相交于点P，且l1，l2分别与y轴相交于点A，B，则△PAB的面积的取值范围是( )‎ ‎(A)(0,1) (B) (0,2) (C) (0,+∞) (D) (1,+ ∞)‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：设（不妨设），则由导数的几何意义易得切线的斜率分别为由已知得切线的方程分别为，切线的方程为，即.分别令得又与的交点为，故选A.‎ 考点：1.导数的几何意义；2.两直线垂直关系；3.直线方程的应用；4.三角形面积取值范围.‎ ‎【名师点睛】本题首先考查导数的几何意义，其次考查最值问题，解题时可设出切点坐标，利用切线垂直求出这两点的关系，同时得出切线方程，从而得点坐标，由两直线相交得出点坐标，从而求得面积，题中把面积用表示后，可得它的取值范围．解决本题可以是根据题意按部就班一步一步解得结论．这也是我们解决问题的一种基本方法，朴实而基础，简单而实用．‎ ‎2.[2016高考新课标Ⅲ文数]已知为偶函数，当 时，，则曲线在 处的切线方程式_____________________________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 考点：1、函数的奇偶性；2、解析式；3、导数的几何意义．‎ ‎【知识拓展】本题题型可归纳为“已知当时，函数，则当时，求函数的解析式”．有如下结论：若函数为偶函数，则当时，函数的解析式为；若为奇函数，则函数的解析式为．‎ ‎3.【2016高考新课标2文数】已知函数.‎ ‎（I）当时，求曲线在处的切线方程；‎ ‎（Ⅱ）若当时，，求的取值范围.‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ）先求函数的定义域，再求，，，由直线方程得点斜式可求曲线在处的切线方程为（Ⅱ）构造新函数，对实数分类讨论，用导数法求解. ‎ ‎（i）当，时， ，‎ 故在上单调递增，因此；‎ ‎（ii）当时，令得，‎ 由和得，‎ 故当时，，在单调递减，因此.‎ 综上，的取值范围是 考点： 导数的几何意义，函数的单调性.‎ ‎【名师点睛】求函数的单调区间的方法：‎ ‎(1)确定函数y＝f(x)的定义域；‎ ‎(2)求导数y′＝f′(x)；‎ ‎(3)解不等式f′(x)>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间；‎ ‎(4)解不等式f′(x)<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间．‎