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- 2021-05-13 发布
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1.已知a<,则化简的结果是( )
A. B.-
C. D.-
解析:选C.==(1-4a)=.
2.设指数函数f(x)=ax(a>0且a≠1),则下列等式不正确的是( )
A.f(x+y)=f(x)·f(y) B.f[(xy)n]=[f(x)]n·[f(y)]n
C.f(x-y)= D.f(nx)=[f(x)]n
解析:选B.由幂的运算性质可知ax+y=ax·ay,故A正确;
a(xy)n=axnyn≠axn·ayn,故B错误;
ax-y=,故C正确;
anx=(ax)n,故D正确.
3.设函数f(x)=a-|x|(a>0,且a≠1),f(2)=4,则( )
A.f(-2)>f(-1) B.f(-1)>f(-2)
C.f(1)>f(2) D.f(-2)>f(2)
解析:选A.∵f(x)=a-|x|(a>0,且a≠1),f(2)=4,
∴a-2=4,∴a=,
∴f(x)=()-|x|=2|x|,
∴f(-2)>f(-1),故选A.
4.(2009年高考山东卷)函数y=的图象大致为( )
解析:选A.∵f(-x)==-f(x),
∴f(x)=在其定义域{x|x≠0}上是奇函数,图象关于原点对称,排除D.
又因为y===1+,所以当x>0时函数为减函数,排除B、C.
5.给出下列结论:
①当a<0时,(a2)=a3;
②=|a|(n>1,n∈N*,n为偶数);
③函数f(x)=(x-2)-(3x-7)0的定义域是{x|x≥2且x≠};
④若2x=16,3y=,则x+y=7.
其中正确的是( )
A.①② B.②③
C.③④ D.②④
解析:选B.∵a<0时,(a2)>0,a3<0,∴①错;②显然正确;解,得x≥2且x≠,∴③正确,∵2x=16,∴x=4,∵3y==3-3,∴y=-3,∴x+y=4+(-3)=1,∴④错.故②③正确.
6.设f(x)定义域为R,对任意的x都有f(x)=f(2-x),且当x≥
1时,f(x)=2x-1,则有( )
A.f()<f()<f() B.f()<f()<f()
C.f()<f()<f() D.f()<f()<f()
解析:选B.由条件f(x)=f(2-x)可得函数图象关于直线x=1对称,则f()=f(),f()=f(),由于当x≥1时,
f(x)=2x-1,即函数在[1,+∞)上为增函数,由于>>,故有f()=f()>f()>f()=f().
7.(2010年襄樊调研)已知集合P={(x,y)|y=m},Q={(x,y)|y=ax+1,a>0,a≠1},如果P∩Q有且只有一个元素,那么实数m的取值范围是________.
解析:如果P∩Q有且只有一个元素,即函数y=m与y=ax+1(a>0,且a≠1)图象只有一个公共点.
∵y=ax+1>1,∴m>1.
∴m的取值范围是(1,+∞).
答案:(1,+∞)
8.(2008年高考重庆卷)若x>0,则(2x+3)(2x-3)-4x-(x-x)=________.
解析:(2x+3)(2x-3)-4x-(x-x)
=4x-33-4x+4
=-23.
答案:-23
9.若函数f(x)=的定义域为R,则a的取值范围为________.
解析:由f(x)=的定义域为R.
可知2x2-2ax-a≥1恒成立.
即x2-2ax-a≥0恒成立.
解得-1≤a≤0.
答案:[-1,0]
10.要使函数y=1+2x+4xa在x∈(-∞,1]上y>0恒成立,求a的取值范围.
解:由题意,得1+2x+4xa>0,在x∈(-∞,1]上恒成立,
即a>-在x∈(-∞,1]上恒成立.
又∵-=-()2x-()x=-[()x+]2+,
当x∈(-∞,1]时值域为(-∞,-],∴a>-.
11.(2008年高考上海卷)已知函数f(x)=2x-.
(1)若f(x)=2,求x的值;
(2)若2tf(2t)+mf(t)≥0对于t∈[1,2]恒成立,求实数m的取值范围.
解:(1)当x<0时,f(x)=0;
当x≥0时,f(x)=2x-.
由条件可知2x-=2,
即22x-2·2x-1=0,又2x>0,
解得2x=1+.
∴x=log2(1+).
(2)当t∈[1,2]时,
2t(22t-)+m(2t-)≥0,
即m(22t-1)≥-(24t-1).
∵22t-1>0,∴m≥-(22t+1).
∵t∈[1,2],∴-(1+22t)∈[-17,-5],
故m的取值范围是[-5,+∞).
12.设f(x)=+(a>0)是定义在R上的函数,
(1)f(x)可能是奇函数吗?
(2)若f(x)是偶函数,试研究其单调性.
解:(1)假设f(x)是奇函数,由于定义域为R,
∴f(-x)=-f(x),即+=-(+),
整理得(a+)(ex+e-x)=0,
即a+=0,即a2+1=0,显然无解.
∴f(x)不可能是奇函数.
(2)因为f(x)是偶函数,所以f(-x)=f(x),
即+=+,整理得(a-)(ex+e-x)=0,
∴有a-=0,得a=1.
∴f(x)=e-x+ex,以下讨论其单调性,
取x1,x2∈R且x1<x2,则f(x1)-f(x2)=ex1+e-x1-ex2-e-x2=,
其中ex1·ex2>0,ex1-ex2<0,
当ex1+x2-1>0时,f(x1)<f(x2),f(x)为增函数,
此时需要x1+x2>0,即增区间为[0,+∞),
反之(-∞,0]为减区间.