等差数列与等比数列的判断与证明以及构造数列高考数学备考之百强校大题狂练 8页

‎2018届高考数学大题狂练 第一篇 数列 专题02 等差数列与等比数列的判断与证明（以及构造数列）‎ 一、解答题 ‎1．已知数列是等差数列，其首项为，且公差为，若．‎ ‎（）求证：数列是等比数列．‎ ‎（）设，求数列的前项和．‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ 又，‎ ‎∴数列是首项为4，公比为4的等比数列．‎ ‎（）解：由（1）知，‎ ‎∴ ‎ ‎．‎ ‎2．设数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，且对任意正整数n，点(an＋1，Sn)在直线2x＋y－2＝0上.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)是否存在实数λ，使得数列为等差数列？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由.‎ ‎【答案】（1） （2）λ＝2‎ 求出λ＝2,经检验λ＝2时,此数列的通项公式是关于n的一次函数,故满足数列为等差数列,从而得出结论.‎ 试题解析：　(1)由题意，可得2an＋1＋Sn－2＝0.①‎ 当n≥2时，2an＋Sn－1－2＝0.②‎ ‎①－②，得2an＋1－2an＋an＝0，所以＝ (n≥2).‎ 因为a1＝1，2a2＋a1＝2，所以a2＝.‎ 所以{an}是首项为1，公比为的等比数列.‎ 所以数列{an}的通项公式为an＝.‎ ‎(2)由(1)知，Sn＝＝2－.‎ 若为等差数列，则S1＋λ＋，S2＋2λ＋，S3＋3λ＋成等差数列，则2＝S1＋＋S3＋，即2＝1＋＋＋，‎ 解得λ＝2.又λ＝2时，Sn＋2n＋＝2n＋2，‎ 显然{2n＋2}成等差数列，故存在实数λ＝2，‎ 使得数列{Sn＋λn＋}成等差数列.‎ ‎3．已知数列的前项和（为正整数）．‎ ‎（1）求证：为等差数列；‎ ‎（2）求数列的前项和公式．‎ ‎【答案】(1)见解析(2) ‎ ‎【解析】【试题分析】(I)利用,可求得,即证明了数列为等差数列.(II)由(I)求得的表达式,并利用错位相减求和法求其前项和.‎ 所以是以为首项，为公差的等差数列 ‎（方法二）当时，解得 ‎ ‎，设，则， ‎ 当时，有 ‎ 代入得 整理得 ‎ 所以即是以为首项，为公差的等差数列 ‎（2）由（1）得，‎ 依题意①‎ 上式两边同乘以，得②‎ ‎①-②得，‎ 所以 ‎4．设为数列的前项和，已知，.‎ ‎（1）证明：为等比数列；‎ ‎（2）求.‎ ‎【答案】(1)见解析；（2）.‎ ‎（1）证明：∵，，∴，‎ ‎∴，∴，‎ 则，‎ ‎∴是首项为2，公比为2的等比数列.‎ ‎（2）解：由（1）知，，则.‎ ‎∴ .‎ ‎5．已知数列的前项和为,满足 (),数列满足 (),且 ‎（1）证明数列为等差数列,并求数列和的通项公式;‎ ‎（2）若,求数列的前项和;‎ ‎（3）若,数列的前项和为,对任意的,都有,求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）， ；（2）；（3）‎ 代入可求。‎ 试题解析：（1）由两边同除以，‎ 得， ‎ 从而数列为首项，公差的等差数列，所以， ‎ 数列的通项公式为． ‎ 当时， ，所以． ‎ 当时， ， ，‎ 两式相减得，又，所以，‎ 从而数列为首项，公比的等比数列，‎ 从而数列的通项公式为． ‎ ‎ (2) ‎ ‎=‎ ‎（3）由（1）得， ‎ ‎ ，‎ 所以，两式相减得 因为 ，从而数列为递增数列 所以当时， 取最小值，于是．‎ ‎6．已知等差数列{an}中，公差d>0，其前n项和为Sn，且满足：a2a3＝45，a1＋a4＝14.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)通过公式bn＝构造一个新的数列{bn}．若{bn}也是等差数列，求非零常数c；‎ ‎(3)对于(2)中得到的数列{bn}，求f(n)＝ (n∈N*)的最大值．‎ ‎【答案】(1)an＝4n－3．(2) ．‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎，故可根据基本不等式求最值．‎ 试题解析：‎ ‎(1)∵数列{an}是等差数列．‎ ‎∴a2＋a3＝a1＋a4＝14，‎ 由，解得或．‎ ‎∵公差d>0，‎ ‎∴a2＝5，a3＝9．‎ ‎∴d＝a3－a2＝4，a1＝a2－d＝1．‎ ‎∴．‎ ‎(2)∵Sn＝na1＋n(n－1)d＝n＋2n(n－1)＝2n2－n，‎ ‎∴．‎ ‎∵数列{bn}是等差数列，‎ ‎∴2b2＝b1＋b3，‎ ‎∴2·＝＋，‎ 解得 (c＝0舍去)．‎ ‎∴．‎ 显然{bn}成等差数列，符合题意，‎ ‎∴．‎ ‎(3)由（2）可得 ‎，当且仅当，即时等号成立．‎ ‎∴f(n)的最大值为．‎