高考数学二轮复习专题教案人教版 86页

高考数学二轮复习专题教案（人教版）‎ 集合与简易逻辑 一、考点回顾 ‎1、集合的含义及其表示法，子集，全集与补集，子集与并集的定义；‎ ‎2、集合与其它知识的联系，如一元二次不等式、函数的定义域、值域等；‎ ‎3、逻辑联结词的含义，四种命题之间的转化，了解反证法；‎ ‎4、含全称量词与存在量词的命题的转化，并会判断真假，能写出一个命题的否定；‎ ‎5、充分条件，必要条件及充要条件的意义，能判断两个命题的充要关系；‎ ‎6、学会用定义解题，理解数形结合，分类讨论及等价变换等思想方法。‎ 二、经典例题剖析 考点1、集合的概念 ‎1、集合的概念：‎ ‎（1） 集合中元素特征，确定性，互异性，无序性；‎ ‎（2） 集合的分类：‎ ‎① 按元素个数分：有限集，无限集；‎ ‎②按元素特征分；数集，点集。如数集{y|y=x2}，表示非负实数集，点集{(x，y)|y=x2}表示开口向上，以y轴为对称轴的抛物线；‎ ‎（3） 集合的表示法：‎ ‎①列举法：用来表示有限集或具有显著规律的无限集，如N+={0，1，2，3，...}；②描述法。‎ ‎2、两类关系：‎ ‎（1） 元素与集合的关系，用或表示；‎ ‎（2）集合与集合的关系，用，，=表示，当AB时，称A是B的子集；当AB时，称A是B的真子集。‎ ‎3、解答集合问题，首先要正确理解集合有关概念，特别是集合中元素的三要素；对于用描述法给出的集合{x|x∈P},要紧紧抓住竖线前面的代表元素x以及它所具有的性质P；要重视发挥图示法的作用，通过数形结合直观地解决问题 ‎4、注意空集的特殊性，在解题中，若未能指明集合非空时，要考虑到空集的可能性，如AB,则有A=或A≠两种可能，此时应分类讨论 例1、下面四个命题正确的是 ‎（A）10以内的质数集合是{1，3，5，7}　　（B）方程x2－4x＋4＝0的解集是{2，2}‎ ‎（C）0与{0}表示同一个集合　（D）由1，2，3组成的集合可表示为{1，2，3}或{3，2，1}‎ 解：选（D），最小的质数是2，不是1，故（A）错；由集合的定义可知（B）（C）都错。‎ 例2、已知集合A＝－1，3，2－1，集合B＝3，．若BA，则实数＝ ．‎ 解：由BA，且不可能等于－1，可知＝2－1，解得：＝1。‎ 考点2、集合的运算 ‎1、交，并，补，定义：A∩B={x|x∈A且x∈B}，A∪B={x|x∈A，或x∈B}，CUA=｛x|x∈U，且xA｝，集合U表示全集；‎ ‎2、运算律，如A∩（B∪C）=（A∩B）∪（A∩C），CU（A∩B）=（CUA）∪（CUB），‎ CU（A∪B）=（CUA）∩（CUB）等。‎ ‎3、学会画Venn图，并会用Venn图来解决问题。‎ 例3、设集合A＝{x|2x＋1＜3}，B＝{x|－3＜x＜2}，则AB等于（ ）‎ ‎　　(A) {x|－3＜x＜1} (B) {x|1＜x＜2} (C)｛x|x?－3｝ (D) ｛x|x?1｝‎ 解：集合A＝{x|2x＋1＜3}＝｛x|x?1｝，集合A和集合B在数轴上表示如图1所示，AB是指集合A和集合B的公共部分，故选（A）。‎ 例4、经统计知，某村有电话的家庭有35家,有农用三轮车的家庭有65家,既有电话又有农用三轮车的家庭有20家，则电话和农用三轮车至少有一种的家庭数为 ( )‎ A. 60 B. 70 C. 80 D. 90‎ 解：画出Venn图，如图2，画图可得到有一种物品的家庭数为：15+20+45=80.故选（C）。‎ 例5、（2008广东卷）第二十九届夏季奥林匹克运动会将于2008年8月8日在北京举行，若集合A={参加北京奥运会比赛的运动员}，集合B={参加北京奥运会比赛的男运动员}。集合C={参加北京奥运会比赛的女运动员}，则下列关系正确的是（　　）‎ ‎　A.AB B.BC C.A∩B=C D.B∪C=A 解：由题意可知，应选（D）。‎ 考点3、逻辑联结词与四种命题 ‎1、命题分类：真命题与假命题，简单命题与复合命题；‎ ‎2、复合命题的形式：p且q，p或q，非p；‎ ‎3、复合命题的真假：对p且q而言，当q、p为真时，其为真；当p、q中有一个为假时，其为假。对p或q而言，当p、q均为假时，其为假；当p、q中有一个为真时，其为真；当p为真时，非p为假；当p为假时，非p为真。‎ ‎4、四种命题：记"若q则p"为原命题，则否命题为"若非p则非q"，逆命题为"若q则p"，逆否命题为"若非q则非p"。其中互为逆否的两个命题同真假，即等价。因此，四种命题为真的个数只能是偶数个。‎ 例6、（2008广东高考）命题"若函数在其定义域内是减函数，则"的逆否命题是（ ）‎ A、若，则函数在其定义域内不是减函数 B、若，则函数在其定义域内不是减函数 C、若，则函数在其定义域内是减函数 D、若，则函数在其定义域内是减函数 解：逆否命题是将原命题的结论的否定作为条件，原命题的条件的否定作为结论，故应选（A）。‎ 例7、已知命题方程有两个不相等的负数根；方程无实根．若"或"为真，"且"为假，求实数的取值范围．‎ 解：． ，．‎ 或为真，且为假，真，假或假，真．‎ 或，故或．‎ 考点4、全称量词与存在量词 ‎1．全称量词与存在量词 ‎　（1）全称量词：对应日常语言中的"一切"、"任意的"、"所有的"、"凡是"、"任给"、"对每一个"等词，用符号""表示。‎ ‎　（2）存在量词：对应日常语言中的"存在一个"、"至少有一个"、"有个"、"某个"、"有些"、"有的"等词，用符号""表示。‎ ‎2．全称命题与特称命题 ‎（1）全称命题：含有全称量词的命题。"对xM，有p（x）成立"简记成"xM，p（x）"。‎ ‎（2）特称命题：含有存在量词的命题。"xM，有p（x）成立" 简记成"xM，p（x）"。3． 同一个全称命题、特称命题，由于自然语言的不同，可以有不同的表述方法，现列表如下，供参考。‎ 命题 全称命题xM，p（x）‎ 特称命题xM，p（x）‎ 表述 方法 ‎①所有的xM，使p（x）成立 ‎①存在xM，使p（x）成立 ‎②对一切xM，使p（x）成立 ‎②至少有一个xM，使p（x）成立 ‎③对每一个xM，使p（x）成立 ‎③对有些xM，使p（x）成立 ‎④任给一个xM，使p（x）成立 ‎④对某个xM，使p（x）成立 ‎⑤若xM，则p（x）成立 ‎⑤有一个xM，使p（x）成立 ‎4．常见词语的否定如下表所示：‎ 词语 是 一定是 都是 大于 小于 词语的否定 不是 一定不是 不都是 小于或等于 大于或等于 词语 且 必有一个 至少有n个 至多有一个 所有x成立 词语的否定 或 一个也没有 至多有n-1个 至少有两个 存在一个x不成立 例8、（2007山东）命题"对任意的"的否定是（ ）‎ A.不存在 B.存在 C.存在 D. 对任意的 解：命题的否定与否命题不同，命题的否定是将全称量词改为特称量词，或将特称量词改为全称量词，再否定结论即可，故选（C）。‎ 例9、命题"，有"的否定是 ．‎ 解：将"存在"改为"任意"，再否定结论，注意存在与任意的数学符号表示法，答案：‎ 考点5、充分条件与必要条件 ‎1、在判断充分条件及必要条件时，首先要分清哪个命题是条件，哪个命题是结论，其次，结论要分四种情况说明：充分不必要条件，必要不充分条件，充分且必要条件，既不充分又不必要条件。从集合角度看，理解"越小越充分"的含义。‎ 例10、（2008安徽卷）是方程至少有一个负数根的（ ）‎ A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 解：当，得a<1时方程有根。a<0时，，方程有负根，又a=1时，方程根为，所以选（B）。‎ 例11、（2008湖北卷）若集合,则：（　　）‎ A. 是的充分条件，不是的必要条件 B. 不是的充分条件，是的必要条件 C是的充分条件，又是的必要条件.‎ D.既不是的充分条件，又不是的必要条件 解：反之不然故选A 三、方法总结与高考预测 ‎（一）思想方法总结 ‎　　1. 数形结合 2. 分类讨论 ‎（二）高考预测 ‎　　1．集合是每年高考必考的知识点之一。题型一般是选择和填空的形式，主要考查集合的运算和求有限集合的子集及其个数．‎ ‎　　2．简易逻辑是在高考中应一般在选择题、填空题中出现，如果在解答题中出现，则只会是中低档题．‎ ‎　　3．集合、简易逻辑知识，作为一种数学工具，在函数、方程、不等式、排列组合及曲线与方程等方面都有广泛的运用，高考题中常以上面内容为载体，以集合的语言为表现形式，结合简易逻辑知识考查学生的数学思想、数学方法和数学能力，题型常以解答题的形式出现．‎ 四、复习建议 ‎1．在复习中首先把握基础性知识，深刻理解本单元的基本知识点、基本数学思想和基本数学方法．重点掌握集合、充分条件与必要条件的概念和运算方法．要真正掌握数形结合思想--用文氏图解题．‎ ‎2．涉及本单元知识点的高考题，综合性大题不多．所以在复习中不宜做过多过高的要求，只要灵活掌握小型综合题型(如集合与映射，集合与自然数集，集合与不等式，集合与方程等，充分条件与必要条件与三角、立几、解几中的知识点的结合等) 映射的概念以选择题型出现，难度不大。就可以了 ‎　　3．活用"定义法"解题。定义是一切法则与性质的基础，是解题的基本出发点。利用定义，可直接判断所给的对应是否满足映射或函数的条件，证明或判断函数的单调性与奇偶性并写出函数的单调区间等。‎ ‎4．重视"数形结合"渗透。"数缺形时少直观，形缺数时难入微"。当你所研究的问题较为抽象时，当你的思维陷入困境时，当你对杂乱无章的条件感到头绪混乱时，一个很好的建议便是：画个图!利用图形的直观性，可迅速地破解问题，乃至最终解决问题。‎ ‎5．实施"定义域优先"原则。函数的定义域是函数最基本的组成部分，任何对函数性质的研究都离不开函数的定义域。例如，求函数的单调区间，必须在定义域范围内；通过求出反函数的定义域，可得到原函数的值域；定义域关于原点对称，是函数为奇函数或偶函数的必要条件。为此，应熟练掌握求函数定义域的原则与方法，并贯彻到解题中去。‎ ‎6．强化"分类思想"应用。指数函数与对数函数的性质均与其底数是否大于1有关；对于根式的意义及其性质的讨论要分清n是奇数还是偶数等。‎ 不等式 一、考点知识回顾 不等式的性质是证明不等式和解不等式的基础。‎ 不等式的基本性质有：‎ 对称性：a>bbb，b>c，则a>c；可加性：a>ba+c>b+c；‎ 可乘性：a>b，当c>0时，ac>bc；当c<0时，ac‎ 不等式运算性质：‎ ‎（1）同向相加：若a>b，c>d，则a+c>b+d；（2）异向相减：，.‎ ‎（3）正数同向相乘：若a>b>0，c>d>0，则ac>bd。 （4）乘方法则：若a>b>0，n∈N+，则；‎ ‎（5）开方法则：若a>b>0，n∈N+，则 ； （6）倒数法则：若ab>0，a>b，则 。‎ ‎2、基本不等式（或均值不等式）；利用完全平方式的性质，可得a2+b2≥2ab（a，b∈R），该不等式可推广为a2+b2≥2|ab|；或变形为|ab|≤ ； 当a，b≥0时，a+b≥或ab≤.‎ ‎3、不等式的证明：‎ 不等式证明的常用方法：比较法，公式法，分析法，反证法，换元法，放缩法；‎ 在不等式证明过程中，应注重与不等式的运算性质联合使用；‎ 证明不等式的过程中，放大或缩小应适度。‎ 不等式的解法：‎ 解不等式是寻找使不等式成立的充要条件，因此在解不等式过程中应使每一步的变形都要恒等。‎ 一元二次不等式（组）是解不等式的基础，一元二次不等式是解不等式的基本题型。一元二次不等式与相应的函数，方程的联系 求一般的一元二次不等式或的解集，要结合的根及二次函数图象确定解集．‎ 对于一元二次方程，设，它的解按照可分为三种情况．相应地，二次函数的图象与轴的位置关系也分为三种情况．因此，我们分三种情况讨论对应的一元二次不等式的解集，注意三个"二次"的联系。‎ 含参数的不等式应适当分类讨论。‎ ‎5、不等式的应用相当广泛，如求函数的定义域，值域，研究函数单调性等。在解决问题过程中，应当善于发现具体问题背景下的不等式模型。‎ 用基本不等式求分式函数及多元函数最值是求函数最值的初等数学方法之一。‎ 研究不等式结合函数思想，数形结合思想，等价变换思想等。‎ ‎6、线性规划问题的解题方法和步骤 解决简单线性规划问题的方法是图解法，即借助直线（线性目标函数看作斜率确定的一族平行直线）与平面区域（可行域）有交点时，直线在y轴上的截距的最大值或最小值求解。它的步骤如下：‎ ‎（1）设出未知数，确定目标函数。‎ ‎（2）确定线性约束条件，并在直角坐标系中画出对应的平面区域，即可行域。‎ ‎（3）由目标函数z＝ax＋by变形为y＝－ x＋ ，所以，求z的最值可看成是求直线y＝－ x＋ 在y轴上截距的最值（其中a、b是常数，z随x，y的变化而变化）。‎ ‎（4）作平行线：将直线ax＋by＝0平移（即作ax＋by＝0的平行线），使直线与可行域有交点，且观察在可行域中使 最大（或最小）时所经过的点，求出该点的坐标。‎ ‎（5）求出最优解：将（4）中求出的坐标代入目标函数，从而求出z的最大（或最小）值。‎ ‎7、绝对值不等式 ‎（1）｜x｜＜a（a＞0）的解集为：{x｜－a＜x＜a}；‎ ‎｜x｜＞a（a＞0）的解集为：{x｜x＞a或x＜－a}。‎ ‎（2）‎ 二、考点剖析 考点一：不等关系与不等式 ‎【命题规律】高考中，对本节内容的考查，主要放在不等式的性质上，题型多为选择题或填空题，属容易题。‎ 例１、(2008广东文)设 ，若 ，则下列不等式中正确的是（ ）‎ A． B. C. D.‎ 解：由 知 , ,所以 ,故选C.‎ 点评：本题考查绝对值的概念和绝对值的性质，如果用特殊值法也能求解。‎ 例2、(2007上海理科)已知为非零实数，且，则下列命题成立的是( )‎ A、 B、 C、 D、‎ 解：取a＝－3，b＝２，由（Ａ）（Ｂ）（Ｄ）都错，故（C）。‎ 点评：特殊值法是解选择题的一种技巧，在应试时要时刻牢记有这么一种方法。这晨a，b没有说明符号，注意不要错用性质。‎ 考点二：一元二次不等式及其解法 ‎【命题规律】高考命题中，对一元二次不等式解法的考查，若以选择题、填空题出现，则会对不等式直接求解，或经常地与集合、充要条件相结合，难度不大。若以解答题出现，一般会与参数有关，或对参数分类讨论，或求参数范围，难度以中档题为主。‎ 例３、（2007湖南）不等式 的解集是（ ）‎ A． B． C． D．‎ 解：原不等式可化为x2－x＞０，即x（x－１）＞０，所以x＜０或x＞１，选（Ｄ）．‎ 例４、（2007福建）""是""的什么条件......（　 ）‎ A．充分而不必要 B．必要而不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 解：由|x｜＜2，得：－2＜x＜2，由得：－2＜x＜3，‎ ‎－2＜x＜2成立，则－2＜x＜3一定成立，反之则不一定成立，所以，选（Ａ）。‎ 点评：本题是不等式与充要条件结合的考题，先解出不等式的解集来，再由充分必要条件的判断方法可得。‎ 例５、(2008江西文)不等式 的解集为 ．‎ 解：原不等式变为 ，由指数函数的增减性，得：‎ ‎，所以填：。‎ 点评：不等式与指数函数交汇、不等式与对数函数交汇、不等式与数列交汇是经常考查的内容，应加强训练。‎ 例6、已知集合，，若，求实数的取值范围．‎ 解：．‎ 设，它的图象是一条开口向上的抛物线．‎ ‎（1）若，满足条件，此时，即，解得；‎ ‎（2）若，设抛物线与轴交点的横坐标为，且，欲使，应有 ，‎ 结合二次函数的图象，得 即　 　　解得．‎ 综上，的取值范围是 ．‎ 点评：本题是一元二次不等式与集合结合的综合题，考查含参数一元二次不等式的解法，注意分类讨论思想的应用，分类时做到不遗漏。‎ 考点三：简单的线性规划 ‎【命题规律】线性规划问题时多以选择、填空题的形式出现，题型以容易题、中档题为主，考查平面区域的面积、最优解的问题；随着课改的深入，近年来，以解答题的形式来考查的试题也时有出现，考查学生解决实际问题的能力。‎ 例7、（2008安徽文）若为不等式组 表示的平面区域，则当从－2连续变化到1时，动直线 扫过中的那部分区域的面积为 ( )‎ A． B．1 C． D．5‎ 解：如图知区域的面积是△OAB去掉一个小直角三角形。‎ ‎（阴影部分面积比1大，比小,故选C,不需要算出来）‎ 点评：给出不等式组，画出平面区域，求平面区域的面积的问题是经常考查的试题之一，如果区域是不规节图形，将它分割成规节图形分别求它的面积即可。‎ 例8、(2008广东理)若变量x,y满足 ，则z=3x+2y的最大值是 ( )‎ A．90 B. 80‎ C. 70 D. 40‎ 解:做出可行域如图所示.目标函数化为：y＝－ ，令z＝０，画y＝－ ，及其平行线，如右图，当它经过两直线的交点时，取得取大值。‎ 解方程组,得. 所以,故答C.‎ 点评：求最优解，画出可行域，将目标函数化为斜截式，再令z＝０，画它的平行线，看y轴上的截距的最值，就是最优解。‎ 例9、（2007山东）本公司计划2008年在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告，广告总费用不超过9万元，甲、乙电视台的广告收费标准分别为元/分钟和200元/分钟，规定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告，能给公司事来的收益分别为0.3万元和0.2万元．问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大，最大收益是多少万元？‎ 解：设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为分钟和分钟，总收益为元，由题意得 ‎　　　　　　　　　　　　目标函数为．‎ 二元一次不等式组等价于 作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域．‎ 如图：‎ 作直线， 即．‎ 平移直线，从图中可知，当直线过点时，目标函数取得最大值．‎ 联立解得． 点的坐标为．‎ ‎（元）‎ 答：该公司在甲电视台做100分钟广告，在乙电视台做200分钟广告，公司的收益最大，收益是70万元．‎ 点评：用线性规划的方法解决实际问题能提高学生分析问题、解决问题的能力，随着课改的深入，这类试题应该是高考的热点题型之一。‎ 考点四：基本不等关系 ‎【内容解读】了解基本不等式的证明过程，会用基本不等式解决简单的最值问题，理解用综合法、分析法、比较法证明不等式。‎ 利用基本不等式可以求函数或代数式的最值问题：‎ 合理拆分项或配凑因式是经常用的解题技巧，而拆与凑的过程中，一要考虑定理使用的条件（两数都为正）；二要考虑必须使和或积为定值；三要考虑等号成立的条件（当且仅当a=b时，等号成立），它具有一定的灵活性和变形技巧，高考中常被设计为一个难点．‎ ‎【命题规律】高考命题重点考查均值不等式和证明不等式的常用方法，单纯不等式的命题，主要出现在选择题或填空题，一般难度不太大。‎ 例10、（２００７上海理）已知，且，则的最大值是 ．‎ 解： ，当且仅当x=4y= 时取等号.‎ ‎　　‎ 点评：本题考查基本不等式求最值的问题，注意变形后使用基本不等式。‎ 例１1、（2008浙江文）已知 （ 　 ）‎ ‎(A) (B) (C) (D)‎ 解：由,且，∴，∴ 。‎ 点评：本小题主要考查不等式的重要不等式知识的运用。‎ 例１2、(2008江苏)已知，，则 的最小值 ．‎ 解：由得 代入得，当且仅当＝3 时取"＝"．‎ 点评：本小题考查二元基本不等式的运用．题目有有三个未知数，通过已知代数式，对所求式子消去一个未知数，用基本不等式求解。‎ 考点五：绝对值不等式 ‎【内容解读】掌握绝对值不等式｜x｜＜a，｜x｜＞a（a＞0）的解法，了解绝对值不等式与其它内容的综合。‎ ‎【命题规律】本节内容多以选择、填空题为主，有时与充分必要条件相结合来考查，难度不大。‎ 例１3、（2008湖南文）"|x－1|＜2"是"x＜3"的（　　）‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.即不充分也不必要条件 解：由|x－1|＜2得－１＜x＜３，在－１＜x＜３的数都有x＜３，但当x＜３时，不一定有－１＜x＜３，如x＝－５，所以选（Ａ）．‎ 点评：本题考查绝对值不等式的解法和充分条件必要条件，可以用特殊值法来验证，充分性与必要性的成立。‎ 例１4、(2008四川文)不等式 的解集为( 　 )‎ ‎　（Ａ）　　（Ｂ）　　（Ｃ）　　（Ｄ）‎ 解：∵ ∴ 即 即 ∴ 故选A；‎ 点评：此题重点考察绝对值不等式的解法；准确进行不等式的转化去掉绝对值符号为解题的关键，可用公式法，平方法，特值验证淘汰法；‎ 考点六：不等式的综合应用 ‎【命题规律】不等式的综合应用多以应用题为主，属解答题，有一定的难度。‎ 例１5、（２００８江苏模拟）如图，某单位用木料制作如图所示的框架,框架的下部是边长分别为(单位:米)的矩形,上部是斜边长为的等腰直角三角形，要求框架围成的总面积为8平方米.‎ ‎（Ⅰ）求的关系式，并求的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）问分别为多少时用料最省?‎ 解：（Ⅰ）由题意得：‎ ‎（Ⅱ）设框架用料长度为，则 当且仅当满足 答：当 米，米时，用料最少.‎ 点评：本题考查利用基本不等式解决实际问题，是面积固定，求周长最省料的模型，解题时，列出一个面积的等式，代入周长所表示的代数式中，消去一个未知数，这是常用的解题方法。‎ 例１6、（２００８江苏模拟）某化工企业2007年底投入100万元，购入一套污水处理设备．该设备每年的运转费用是0.5万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万元．‎ ‎（1）求该企业使用该设备年的年平均污水处理费用（万元）；‎ ‎（2）问为使该企业的年平均污水处理费用最低，该企业几年后需要重新更换新的污水 处理设备？‎ 解：（1） 即 （）；‎ ‎（2）由均值不等式得：‎ ‎（万元）， 当且仅当 ，即时取到等号．‎ 答：该企业10年后需要重新更换新设备．‎ 点评：本题又是基本不等式的一个应用，第一问求出函数关系式是关键，第二问难度不大。‎ 考点七：不等式的证明 ‎【内容解读】证明不等式的方法灵活多样，但比较法、综合法、分析法仍是证明不等式的最基本方法．要依据题设、题断的结构特点、内在联系，选择适当的证明方法，要熟悉各种证法中的推理思维，并掌握相应的步骤，技巧和语言特点．比较法的一般步骤是：作差(商)→变形→判断符号(值)．‎ ‎【命题规律】不等式的证明多以解答题的形式出现，属中等偏难的试题。文科考查的可能性不大。‎ 例17、已知 ，求证 证明：只需证：‎ 即证： 成立 原不等式成立.‎ 点评：用分析法证明不等式也是常用的证明方法，通过分析法，能够找到证明的思路。‎ 三、方法总结与高考预测 ‎（一）方法总结 ‎1．熟练掌握不等式的基本性质，常见不等式(如一元二次不等式，绝对值不等式等 )的解法，不等式在实际问题中的应，不等式的常用证明方法 ‎2．数学中有许多相似性，如数式相似，图形相似，命题结论的相似等，利用这些相似性，通过构造辅助模型，促进转化，以期不等式得到证明。可以构造函数、方程、数列、向量、复数和图形等数学模型，针对欲证不等式的构特点，选择恰当的模型，将不等式问题转化为上述数学模型问题，顺利解决不等式的有关问题。‎ ‎（二）高考预测 在近年的高考中，不等式的考查有选择题、填空题、解答题都有，不仅考查不等式的基础知识，基本技能，基本方法，而且还考查了分析问题、解决问题的能力。解答题以函数、不等式、数列导数相交汇处命题，函数与不等式相结合的题多以导数的处理方式解答，函数不等式相结合的题目，多是先以直觉思维方式定方向，以递推、数学归纳法等方法解决，具有一定的灵活性。‎ 由上述分析，预计不等式的性质，不等式的解法及重要不等知识将以选择题或填空的形式出现；解答题可能出现解不等与证不等式。如果是解不等式含参数的不等式可能性比较大，如果是证明题将是不等式与数列、函数、导数、向量等相结合的综合问题，用导数解答这类问题仍然值得重视。‎ 五、复习建议 ‎1．在复习中应掌握证明不等式的常用思想方法：比较思想；综合思想；分析思想；放缩思想；反证思想；函数思想；换元思想；导数思想.‎ ‎２、在复习解不等式过程中，注意培养、强化与提高函数与方程、等价转化、分类讨论、数形结合的数学思想和方法，逐步提升数学素养，提高分析解决综合问题的能力. 能根椐各类不等式的特点，变形的特殊性，归纳出各类不等式的解法和思路以及具体解法。‎ 函数 一、考点回顾 ‎1.理解函数的概念，了解映射的概念.‎ ‎2. 了解函数的单调性和奇偶性的概念，掌握判断一些简单函数的单调性和奇偶性的方法，并能利用函数的性质简化函数图像的绘制过程．‎ ‎3.了解反函数的概念及互为反函数的函数图象间的关系.‎ ‎4.理解分数指数幂的概念，掌握有理指数幂的运算性质，掌握指数函数的概念、图象和性质.‎ ‎5.理解对数的概念，掌握对数的运算性质，掌握对数函数的概念、图象和性质.‎ ‎6.能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题.‎ ‎7、掌握函数零点的概念，用二分法求函数的近似解，会应用函数知识解决一些实际问题。‎ 二、经典例题剖析 考点一：函数的性质与图象 函数的性质是研究初等函数的基石，也是高考考查的重点内容．在复习中要对定义深入理解．‎ 复习函数的性质，可以从"数"和"形"两个方面，从理解函数的单调性和奇偶性的定义入手，在判断和证明函数的性质的问题中得以巩固，在求复合函数的单调区间、函数的最值及应用问题的过程中得以深化．具体要求是：‎ ‎1．正确理解函数单调性和奇偶性的定义，能准确判断函数的奇偶性，以及函数在某一区间的单调性，能熟练运用定义证明函数的单调性和奇偶性．‎ ‎2．从数形结合的角度认识函数的单调性和奇偶性，深化对函数性质几何特征的理解和运用，归纳总结求函数最大值和最小值的常用方法．‎ ‎3．培养学生用变化的观点分析问题，提高学生用换元、转化、数形结合等数学思想方法解决问题的能力．‎ 函数的图象是函数性质的直观载体，函数的性质可以通过函数的图像直观地表现出来。‎ 因此，掌握函数的图像是学好函数性质的关键，这也正是"数形结合思想"的体现。复习函数图像要注意以下方面。‎ ‎1．掌握描绘函数图象的两种基本方法--描点法和图象变换法．‎ ‎2．会利用函数图象，进一步研究函数的性质，解决方程、不等式中的问题．‎ ‎3．用数形结合的思想、分类讨论的思想和转化变换的思想分析解决数学问题．‎ ‎4．掌握知识之间的联系，进一步培养观察、分析、归纳、概括和综合分析能力．‎ 例1、（2008广东汕头二模）设集合A={x|x<-1或x>1}，B={x|log2x>0}，则A∩B=( )‎ A．{x| x>1} B．{x|x>0} C．{x|x<-1} D．{x|x<-1或x>1}‎ ‎【解析】:由集合B得x>1 , A∩B={x| x>1}，故选（A） 。‎ ‎［点评］本题主要考查对数函数图象的性质，是函数与集合结合的试题，难度不大，属基础题。‎ 例2、（2008广东惠州一模） "龟兔赛跑"讲述了这样的故事：领先的兔子看着慢慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉，当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点...用S1、S2分别表示乌龟和兔子所行的路程，t为时间，则下图与故事情节相吻合的是 （ ）‎ ‎【解析】：选（B），在（B）中，乌龟到达终点时，兔子在同一时间的路程比乌龟短。‎ ‎［点评］函数图象是近年高考的热点的试题，考查函数图象的实际应用，考查学生解决问题、分析问题的能力，在复习时应引起重视。‎ 例3、（2008全国一）汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程看作时间的函数，其图像可能是（ ）‎ ‎【解析】根据汽车加速行驶，匀速行驶，减速行驶结合函数图象可知选A.‎ 例4、（2008福建文）函数 ，若,则的值为（ ）‎ A.3 B.0 C.-1 D.-2‎ ‎【解析】：为奇函数，又故即.‎ ‎［点评］本题考查函数的奇偶性，考查学生观察问题的能力，通过观察能够发现如何通过变换式子与学过的知识相联系，使问题迎刃而解。‎ 例5、（2008广东高考试题）设，函数，‎ ‎，，试讨论函数的单调性．‎ ‎【解析】‎ 对于， 当时，函数在上是增函数；‎ 当时，函数在上是减函数，在上是增函数；‎ 对于， 当时，函数在上是减函数；‎ 当时，函数在上是减函数，在上是增函数。‎ ‎［点评］在处理函数单调性的证明时，可以充分利用基本函数的性质直接处理，但学习了导数后，函数的单调性就经常与函数的导数联系在一起，利用导数的性质来处理函数的单调进性，显得更加简单、方便。‎ 考点二：二次函数 二次函数是中学代数的基本内容之一，它既简单又具有丰富的内涵和外延. 作为最基本的初等函数，可以以它为素材来研究函数的单调性、奇偶性、最值等性质，还可建立起函数、方程、不等式之间的有机联系；作为抛物线，可以联系其它平面曲线讨论相互之间关系.‎ ‎ 这些纵横联系，使得围绕二次函数可以编制出层出不穷、灵活多变的数学问题.　同时，有关二次函数的内容又与近、现代数学发展紧密联系，是学生进入高校继续深造的重要知识基础. 因此，从这个意义上说，有关二次函数的问题在高考中频繁出现，也就不足为奇了. 学习二次函数，可以从两个方面入手：一是解析式，二是图像特征. 从解析式出发，可以进行纯粹的代数推理，这种代数推理、论证的能力反映出一个人的基本数学素养；从图像特征出发，可以实现数与形的自然结合，这正是中学数学中一种非常重要的思想方法.‎ 例6．若函数（常数）是偶函数，且它的值域为，‎ 则该函数的解析式 ．‎ ‎【解析】 是偶函数，则其图象关于轴对称, （不合题意）或 ‎　　　　　且值域为，‎ 考点三：指数函数与对数函数 指数函数,对数函数是两类重要的基本初等函数, 高考中既考查双基, 又考查对蕴含其中的函数思想、等价转化、分类讨论等思想方法的理解与运用. 因此应做到能熟练掌握它们的图象与性质并能进行一定的综合运用.‎ 例8、（2008山东文科高考试题）已知函数的图象如图所示，则满足的关系是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【解析】：由图易得取特殊点 ‎.选A.‎ ‎［点评］：本小题主要考查正确利用对数函数的图象来比较大小。‎ 例9、（2007全国Ⅰ）设 ，函数 在区间 上的最大值与最小值之差为，则 （　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【解析】：设 ，函数 在区间 上的最大值与最小值分别为 它们的差为 ， ∴ ，4，选D。‎ 例10、（2008全国Ⅱ高考试题）若，则（ ）‎ A．<< B．<< C． << D． <<‎ ‎【解析】：由 ，令 且取 知<<‎ 考点四：反函数 反函数在高考试卷中一般为选择题或填空题，难度不大。通常是求反函数或考察互为反函数的两个函数的性质应用和图象关系。主要利用方法为：‎ 互为反函数的两个函数性质之间的关系：注意：在定义域内严格单调的函数必有反函数，但存在反函数的函数在定义域内不一定严格单调，如y= 。‎ 例11、（2007北京高考试题）函数的反函数的定义域为（　　）‎ Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．‎ ‎【解析】：函数的反函数的定义域为原函数的值域，原函数的值域为，∴ 选B。‎ ‎［点评］：本题考查互为反函数的两个函数性质之间的关系，即：反函数的定义域为原函数的值域。‎ 例12、（2008湖南高考试题）设函数存在反函数,且函数的图象过点(1,2),则函数的图象一定过点 .‎ ‎【解析】由函数的图象过点(1,2)得: 即函数过点则其反函数过点所以函数的图象一定过点 ‎［点评］：本题考查互为反函数的两个函数的图象之间的关系以及图象的平移。‎ 考点五：抽象函数 抽象函数是指没有给出具体的函数解析式或图像，只给出一些函数符号及其满足的条件的函数，如函数的定义域，解析递推式，特定点的函数值，特定的运算性质等，它是高中函数部分的难点，也是大学高等数学函数部分的一个衔接点，由于抽象函数没有具体的解析表达式作为载体，因此理解研究起来比较困难.但由于此类试题即能考查函数的概念和性质，又能考查学生的思维能力，所以备受命题者的青睐，那么，怎样求解抽象函数问题呢，我们可以利用特殊模型法，函数性质法，特殊化方法，联想类比转化法，等多种方法从多角度，多层面去分析研究抽象函数问题，‎ ‎（一） 函数性质法 函数的特征是通过其性质(如奇偶性，单调性周期性，特殊点等)反应出来的，抽象函数也是如此，只有充分挖掘和利用题设条件和隐含的性质，灵活进行等价转化，抽象函数问题才能转化，化难为易，常用的解题方法有:1，利用奇偶性整体思考;2，利用单调性等价转化;3，利用周期性回归已知4;利用对称性数形结合;5，借助特殊点，布列方程等.‎ ‎（二 ）特殊化方法 ‎1、在求解函数解析式或研究函数性质时，一般用代换的方法，将x换成－x等 ‎2、在求函数值时，可用特殊值代入 ‎3、研究抽象函数的具体模型，用具体模型解选择题，填空题，或由具体模型函数对综合题，的解答提供思路和方法.‎ 总之，抽象函数问题求解，用常规方法一般很难凑效，但我们如果能通过对题目的信息分析与研究，采用特殊的方法和手段求解，往往会收到事半功倍之功效，真有些山穷水复疑无路，柳暗花明又一村的快感.‎ 例13、(2008陕西文) 定义在上的函数满足（），，则等于（ ）‎ A．2 B．3 C．6 D．9‎ 解：令，令；‎ 令得 考点六：函数的综合应用（导数的应用）‎ 函数的综合运用主要是指运用函数的知识、思想和方法综合解决问题．函数描述了自然界中量的依存关系，是对问题本身的数量本质特征和制约关系的一种刻画，用联系和变化的观点提出数学对象，抽象其数学特征，建立函数关系．因此，运动变化、相互联系、相互制约是函数思想的精髓，掌握有关函数知识是运用函数思想的前提，提高用初等数学思想方法研究函数的能力，树立运用函数思想解决有关数学问题的意识是运用函数思想的关键．‎ ‎　　例14、（2008广东高考试题）某单位用2160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层、每层2000平方米的楼房。经测算，如果将楼房建为x（x10）层，则每平方米的 平均建筑费用为560+48x（单位：元）。为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？‎ ‎（注：平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用，平均购地费用= ）‎ ‎【解析】：设楼房每平方米的平均综合费为元，依题意得 则，令，即，解得 当时，；当时，，因此，当时，取得最小值，元.‎ 答：为了使楼房每平方米的平均综合费最少，该楼房应建为15层。‎ ‎［点评］：这是一题应用题，利用函数与导数的知识来解决问题。利用导数，求函数的单调性、求函数值域或最值是一种常用的方法.‎ ‎　例15、（2007湖北文科高考试题）某商品每件成本9元，售价为30元，每星期卖出432件. 如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值（单位：元，）的平方成正比.‎ 已知商品单价降低2元时，一星期多卖出24件．‎ ‎（I）将一个星期的商品销售利润表示成的函数；‎ ‎（II）如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？‎ ‎【解析】：（Ⅰ）设商品降价元，则多卖的商品数为，若记商品在一个星期的获利为，‎ 则依题意有，‎ 又由已知条件，，于是有，‎ 所以．‎ ‎（Ⅱ）根据（Ⅰ），我们有．‎ ‎2‎ ‎12‎ ‎0‎ ‎0‎ 极小 极大 故时，达到极大值．因为，，‎ 所以定价为元能使一个星期的商品销售利润最大．‎ ‎［点评］：本小题主要考查根据实际问题建立数学模型，以及运用函数、导数的知识解决实际问题的能力．‎ 考点七、函数的零点 四、方法总结与高考预测 ‎（一）思想方法总结 ‎1. 数形结合 2. 分类讨论 3. 函数与方程 ‎（二）高考预测 ‎1.考查有关函数单调性和奇偶性的试题，从试题上看，抽象函数和具体函数都有，有向抽象函数发展的趋势，另外试题注重对转化思想的考查，且都综合地考查单调性与奇偶性.‎ ‎2.考查与函数图象有关的试题，要从图中（或列表中）读取各种信息，注意利用平移变换、伸缩变换、对称变换，注意函数的对称性、函数值的变化趋势，培养运用数形结合思想来解题的能力.‎ ‎3.考查与指数函数和对数函数有关的试题.对指数函数与对数函数的考查，大多以基本函数的性质为依托，结合运算推理来解决.‎ ‎4加强函数思想、转化思想的考查是高考的一个重点.善于转化命题，引进变量建立函数，运用变化的方法、观点解决数学试题以提高数学意识，发展能力.‎ ‎5、注意与导数结合考查函数的性质.‎ ‎6、函数的应用，是与实际生活结合的试题，应加强重视。‎ 数 列 一、重点知识回顾 ‎１．数列的概念及表示方法 ‎　　（１）定义：按照一定顺序排列着的一列数．‎ ‎　　（２）表示方法：列表法、解析法（通项公式法和递推公式法）、图象法．‎ ‎　　（３）分类：按项数有限还是无限分为有穷数列和无穷数列；按项与项之间的大小关系可分为单调数列、摆动数列和常数列．‎ ‎　　（４）与的关系：．‎ ‎　　2．等差数列和等比数列的比较 等差数列 等比数列 定义 递推公式 ‎；‎ ‎；‎ 通项公式 ‎（）‎ 中项 ‎（）‎ ‎（）‎ 前项和 重要性质 成等差数列 ‎，...，（）成等比数列．‎ ‎（１）定义：从第2项起每一项与它前一项的差等于同一常数的数列叫等差数列；从第2项起每一项与它前 一项的比等于同一常数（不为0）的数列叫做等比数列．‎ ‎　　‎ ‎　　‎ ‎⑵证明等差数列的三种方法：‎ ‎①②2()‎ ‎③(为常数). ④‎ ‎⑶证明等比数列的常用方法：‎ ‎① ②(，)‎ 二、考点剖析 考点一：等差、等比数列的概念与性质 例1. （2008深圳模拟）已知数列 ‎（1）求数列的通项公式； （2）求数列 解：（1）当；、‎ 当，‎ ‎、‎ ‎（2）令 当；‎ 当 综上，‎ 点评：本题考查了数列的前n项与数列的通项公式之间的关系，特别要注意n＝１时情况，在解题时经常会忘记。第二问要分情况讨论，体现了分类讨论的数学思想．‎ 例２、（2008广东双合中学）已知等差数列的前n项和为，且，. 数列是等比数列，（其中）.‎ ‎（I）求数列和的通项公式；（II）记.‎ 解：（I）公差为d，‎ 则 .‎ 设等比数列的公比为，‎ ‎.‎ ‎（II）‎ 作差：‎ ‎.‎ 点评：本题考查了等差数列与等比数列的基本知识，第二问，求前n项和的解法，要抓住它的结特征，一个等差数列与一个等比数列之积，乘以２后变成另外的一个式子，体现了数学的转化思想。‎ 考点二：求数列的通项与求和 例3．已知等比数列满足，则（ A ）‎ A．64 B．81 C．128 D．243‎ ‎【解析】A　因为，所以．，所以．‎ 例4．已知等差数列中，，，若，则数列的前5项和等于（ C ）‎ A．30 B．45 C．90 D．186‎ ‎【解析】由,‎ 所以 例5．设等比数列的公比，前n项和为，则（ ）‎ ‎　A. 2 B. 4 C. D.‎ ‎【试题解析】： 由于 ∴；选Ｃ；‎ 例6： 在数列中，，，，其中为常数，则 。‎ ‎　解： ∵ ∴从而。‎ ‎　　　　∴ ，，则 例3.（2008江苏）将全体正整数排成一个三角形数阵：‎ 按照以上排列的规律，第行（）从左向右的第3个数为 解：前n－1 行共有正整数1＋2＋...＋（n－1）个，即 个，因此第n 行第3 个数是全体正整数中第 ＋3个，即为 ．‎ 点评：本小题考查归纳推理和等差数列求和公式，难点在于求出数列的通项，解决此题需要一定的观察能力和逻辑推理能力。‎ 例4.（2008深圳模拟）图（1）、（2）、（3）、（4）分别包含1个、5个、13个、25个第二十九届北京奥运会吉祥物"福娃迎迎"，按同样的方式构造图形，设第个图形包含个"福娃迎迎"，则　　　　；＿＿＿＿‎ 解：第1个图个数：1‎ 第2个图个数：1+3+1‎ 第3个图个数：1+3+5+3+1‎ 第4个图个数：1+3+5+7+5+3+1‎ 第5个图个数：1+3+5+7+9+7+5+3+1=，‎ 所以，f（５）＝４１‎ f(2)-f(1)=４ ，f(３)-f(２)=８，f(４)-f(３)=１２，f(５)-f(４)=１６‎ 点评：由特殊到一般，考查逻辑归纳能力，分析问题和解决问题的能力，本题的第二问是一个递推关系式，有时候求数列的通项公式，可以转化递推公式来求解，体现了转化与化归的数学思想。‎ 考点三：数列与不等式的联系 例5.（２００９届高三湖南益阳）已知等比数列的首项为 ，公比满足。又已知，，成等差数列。‎ ‎（1）求数列 的通项 ‎（2）令，求证：对于任意，都有 ‎（1）解：∵ ∴ ∴‎ ‎∵ ∴ ∴‎ ‎（2）证明：∵ ，‎ ‎∴‎ 点评：把复杂的问题转化成清晰的问题是数学中的重要思想，本题中的第（２）问，采用裂项相消法法，求出数列之和，由n的范围证出不等式。‎ 例６、(2008辽宁理) 在数列，中，a1=2，b1=4，且成等差数列，成等比数列（）‎ ‎（Ⅰ）求a2，a3，a4及b2，b3，b4，由此猜测，的通项公式，并证明你的结论；‎ ‎（Ⅱ）证明：．‎ 解：（Ⅰ）由条件得由此可得 ‎．‎ 猜测．‎ 用数学归纳法证明：（略）‎ 点评：本小题主要考查等差数列，等比数列，数学归纳法，不等式等基础知识，考查综合运用数学知识进行归纳、总结、推理、论证等能力．‎ ‎　例９ 、（２００７江西理）将一骰子连续抛掷三次，它落地时向上的点数依次成等差数列的概率为（　　）‎ ‎　　Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．‎ ‎　　解：一骰子连续抛掷三次得到的数列共有个，其中为等差数列有三类：（1）公差为0的有6个；（2）公差为1或-1的有8个；（3）公差为2或-2的有4个，共有18个，‎ 成等差数列的概率为 ，选B 点评：本题是以数列和概率的背景出现，题型新颖而别开生面，采取分类讨论，分类时做到不遗漏，不重复。‎ 四、方法总结与高考预测 ‎（一）方法总结 ‎1. 求数列的通项通常有两种题型：一是根据所给的一列数，通过观察求通项；一是根据递推关系式求通项。‎ ‎2. 数列中的不等式问题是高考的难点热点问题，对不等式的证明有比较法、放缩，放缩通常有化归等比数列和可裂项的形式。‎ ‎3. 数列是特殊的函数，而函数又是高中数学的一条主线，所以数列这一部分是容易命制多个知识点交融的题，这应是命题的一个方向。‎ ‎（二）高考预测 ‎1. 数列中与的关系一直是高考的热点，求数列的通项公式是最为常见的题目，要切实注意与的关系.关于递推公式，在《考试说明》中的考试要求是："了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项"。但实际上，从近两年各地高考试题来看，是加大了对"递推公式"的考查。‎ ‎2. 探索性问题在数列中考查较多，试题没有给出结论，需要考生猜出或自己找出结论，然后给以证明.探索性问题对分析问题解决问题的能力有较高的要求.‎ ‎3. 等差、等比数列的基本知识必考.这类考题既有选择题，填空题，又有解答题；有容易题、中等题，也有难题。‎ ‎4. 求和问题也是常见的试题，等差数列、等比数列及可以转化为等差、等比数列求和问题应掌握，还应该掌握一些特殊数列的求和.‎ ‎5. 将数列应用题转化为等差、等比数列问题也是高考中的重点和热点，‎ ‎6. 有关数列与函数、数列与不等式、数列与概率等问题既是考查的重点，也是考查的难点。今后在这方面还会体现的更突出。‎ 五、复习建议 在进行数列二轮复习时，建议可以具体从以下几个方面着手:‎ ‎1．运用基本量思想(方程思想)解决有关问题；‎ ‎2．注意等差、等比数列的性质的灵活运用；‎ ‎3．注意等差、等比数列的前n项和的特征在解题中的应用；‎ ‎4．注意深刻理解等差数列与等比数列的定义及其等价形式；‎ ‎5．根据递推公式，通过寻找规律，运用归纳思想，写出数列中的某一项或通项，主要需注意从等差、等比、周期等方面进行归纳；‎ ‎6．掌握数列通项an与前n项和Sn 之间的关系；‎ ‎7．根据递推关系，运用化归思想，将其转化为常见数列；‎ ‎8．掌握一些数列求和的方法 ‎(1)分解成特殊数列的和(2)裂项求和(3)"错位相减"法求和 ‎9．以等差、等比数列的基本问题为主，突出数列与函数、数列与方程、数列与不等式、数列与几何等的综合应用．‎ 三角函数 一、考点知识回顾 ‎1、终边相同的角的表示方法，在已知三角函数值的大小求角的大小时，通常先确定角的终边位置，然后再确定大小，理解弧度的意义，并能正确进行弧度和角度的换算；‎ ‎⑴角度制与弧度制的互化⑵弧长公式：；扇形面积公式：。‎ ‎2、任意角的三角函数的定义、符号规律、特殊角的三角函数值、同角三角函数的关系式、诱导公式：‎ ‎3、两角和与差的三角函数 ‎（1）和（差）角公式 ‎（2）二倍角公式 二倍角公式：①；‎ ‎②；③‎ ‎（3）经常使用的公式 ‎①升（降）幂公式：、 、 ；‎ ‎②辅助角公式：（由具体的值确定）；‎ ‎③正切公式的变形：.‎ ‎4、三角函数的图象与性质 ‎（一）列表综合三个三角函数，，的图象与性质，并挖掘：‎ ‎⑴最值的情况；⑵了解周期函数和最小正周期的意义．⑶会从图象归纳对称轴和对称中心；‎ 的对称轴是 ，对称中心是；‎ 的对称轴是，对称中心是 的对称中心是 注意加了绝对值后的情况变化.‎ ‎⑷写单调区间注意.‎ ‎（二）（1）了解正弦、余弦、正切函数的图象的画法，会用"五点法"画正弦、余弦函数和函数的简图，并能由图象写出解析式．‎ ‎⑵求解析式时处相的确定方法：代（最高、低）点法、公式.‎ ‎（三）正弦型函数的图象变换：（注意先周期后平移与先平移后周期的差别）‎ ‎5、解三角形 Ⅰ．正、余弦定理⑴正弦定理 （是外接圆直径）‎ ‎⑵余弦定理：等三个；注： 等三个。‎ Ⅱ。几个公式:‎ ‎⑴三角形面积公式：；‎ ‎⑶在使用正弦定理时判断一解或二解的方法：⊿ABC中，‎ 三、考点剖析 考点一：三角函数的概念 ‎【命题规律】在高考中，主要考查象限角，终边相同的角，三角函数的定义，一般以选择题和填空题为主。‎ 例1、（2008北京文）若角α的终边经过点P(1,-2),则tan 2α的值为　　　　　.‎ 解：‎ 考点二：同角三角函数的关系 ‎【内容解读】同角三角函数的关系有平方关系和商数关系，用同角三角函数定义反复证明强化记忆，在解题时要注意，这是一个隐含条件，在解题时要经常能想到它。利用同角的三角函数关系求解时，注意角所在象限，看是否需要分类讨论。‎ ‎【命题规律】在高考中，同角的三角函数的关系，一般以选择题和填空题为主，结合坐标系分类讨论是关键。‎ 例２、（２００８浙江理）若则=( )‎ ‎（A） （B）2 （C） （D）‎ 解：由可得：由，又由，可得：‎ ‎＋（）2＝1可得＝－ ，＝－ ，‎ 所以，＝ ＝2。‎ 点评：对于给出正弦与余弦的关系式的试题，要能想到隐含条件：，与它联系成方程组，解方程组来求解。‎ 例3、（2007全国卷1理1）是第四象限角， ，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ 解：由 ，所以，有 ，是第四象限角，解得：‎ 点评：由正切值求正弦值或余弦值，用到同角三角函数公式： ，同样要能想到隐含条件：。‎ 考点三： 诱导公式 ‎【命题规律】诱导公式的考查，一般是填空题或选择题，有时会计算特殊角的三角函数值，也有些大题用到诱导公式。‎ 例4、(2008陕西文) 等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ 解：＝‎ 点评：本题是对诱导公式和特殊角三角函数值的考查，熟练掌握诱导公式即可。‎ 例5、（2008浙江文）若 .‎ 解：由可知，；而。‎ 考点四：三角函数的图象和性质 ‎【内容解读】理解正、余弦函数在]0，2π]，正切函数在（- ， ）的性质，如单调性、最大值与最小值、周期性，图象与x轴的交点，会用五点法画函数的图象，并理解它的性质：‎ ‎（１）函数图象在其对称轴处取得最大值或最小值，且相邻的最大值与最小值间的距离为其函数的半个周期；‎ ‎（２）函数图象与x轴的交点是其对称中心，相邻两对称中心间的距离也是其函数的半个周期；‎ ‎（３）函数取最值的点与相邻的与x轴的交点间的距离为其函数的 个周期。‎ 注意函数图象平移的规律，是先平移再伸缩，还是先伸缩再平移。‎ ‎【命题规律】主要考查三角函数的周期性、单调性、有界性、图象的平移等 ，以选择题、解答题为主，难度以容易题、中档题为主。‎ 例6、(2008天津文)设 ， ， ，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ 解： ，因为 ，所以 ，选D．‎ 点评：掌握正弦函数与余弦函数在［0， ］，［ ， ］的大小的比较，画出它们的图象，从图象上能比较它们的大小，另外正余弦函数的值域：［0,1］，也要掌握。‎ 例7、(2008山东文、理)函数 的图象是（ ）‎ 解： 是偶函数，可排除B、D，由的值域可以确定.因此本题应选A.‎ 点评：本小题主要考查复合函数的图像识别，充分掌握偶函数的性质，余弦函数的图象及性质，另外，排除法，在复习时应引起重视，解选择题时，经常采用排除法。‎ 例8、(2008天津文)把函数的图象上所有的点向左平行移动 个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的 倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是（ C ）‎ A． B．‎ C． D．‎ 例9、（２００８浙江理）在同一平面直角坐标系中，函数 的图象和直线 的交点个数是( 　 )‎ ‎（A）0 （B）1 （C）2 （D）4‎ 解：原函数可化为：‎ ‎= 作出原函数图像，‎ 截取部分，其与直线 的交点个数是2个.‎ 点评：本小题主要考查三角函数图像的性质问题，学会五点法画图，取特殊角的三角函数值画图。‎ 考点五：三角恒等变换 ‎【内容解读】能从两角和差的余弦公式，导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系，公式之间的规律，能用上述的公式进行简单的恒等变换；注意三角恒等变换与其它知识的联系，如函数的周期性，三角函数与向量等内容。‎ ‎【命题规律】主要考查三角函数的化简、求值、恒等变换。题型主、客观题均有，近几年常有一道解答题，难度不大，属中档题。‎ 例10、（2008惠州三模）已知函数 ‎（I）求函数的最小正周期； （II）求函数 的值域.‎ 解：‎ ‎　　　　　　　 　（I）‎ ‎　　　（II）∴　　　∴　　∴　‎ ‎　　　　所以的值域为：　‎ 点评：本题考查三角恒等变换，三角函数图象的性质，注意掌握在给定范围内，三角函数值域的求法。‎ 例11、（2008广东六校联考）已知向量＝(cos x，sin x)，＝( )，且x∈[0， ]．‎ ‎（1）求 （2）设函数 +，求函数的最值及相应的的值。‎ 解：（I）由已知条件： ， 得：‎ ‎（2）‎ ‎，因为： ，所以：‎ 所以，只有当： 时， ， ，或时，‎ ‎　　点评：本题是三角函数与向量结合的综合题，考查向量的知识，三角恒等变换、函数图象等知识。‎ 例12、（2008北京文、理）已知函数 的最小正周期为π.‎ ‎（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）求函数f(x)在区间[0， ]上的取值范围.‎ 解：（Ⅰ）‎ ‎　　　　 = =‎ 因为函数f(x)的最小正周期为π,且ω＞0，所以 解得ω=1.‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）得 因为0≤x≤ ，所以 ≤ ≤‎ 所以 ≤ ≤1. 因此0≤ ≤ ，即f(x)的取值范围为[0 ， ]‎ 考点六：解三角形 ‎【内容解读】掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题，能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的问题。‎ 解三角形时，要灵活运用已知条件，根据正、余弦定理，列出方程，进而求解，最后还要检验是否符合题意。‎ ‎【命题规律】本节是高考必考内容，重点为正余弦定理及三角形面积公式，考题灵活多样，近几年经常以解答题的形式来考查，若以解决实际问题为背景的试题，有一定的难度。‎ 例13、（2008广东五校联考）在⊿ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c,且 ‎（1）求tanC的值; （2）若⊿ABC最长的边为1，求b。‎ 解：（1） B锐角,且 , ,‎ ‎(2)由(1)知C为钝角, C是最大角,最大边为c=1,‎ ‎, 由正弦定理 : 得 。‎ 点评：本题考查同角三角函数公式，两角和的正切，正弦定理等内容，综合考查了三角函数的知识。在做练习，训练时要注意加强知识间的联系。‎ 例14、(2008海南、宁夏文)如图，△ACD是等边三角形，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，BD交AC于E，AB=2。（1）求cos∠CBE的值；（2）求AE。‎ 解：（Ⅰ）因为，，‎ 所以．所以 ．‎ ‎（Ⅱ）在中，，‎ 由正弦定理 ．故 例15、(2008湖南理)在一个特定时段内，以点E为中心的7海里以内海域被设为警戒水域.点E正北55海里处有一个雷达观测站A.某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A北偏东且与点A相距40海里的位置B，经过40分钟又测得该船已行驶到点A北偏东+(其中sin= ，)且与点A相距10 海里的位置C.‎ ‎（I）求该船的行驶速度（单位：海里/小时）;‎ ‎（II）若该船不改变航行方向继续行驶.判断它是否会进入警戒水域，并说明理由.‎ 解: （I）如图，AB=40，AC=10，‎ 由于,所以cos=‎ 由余弦定理得BC=‎ 所以船的行驶速度为 （海里/小时）.‎ ‎（II） 如图所示，以A为原点建立平面直角坐标系，设点B、C的坐标分别是B（x1，y2）, C（x1，y2）,‎ BC与x轴的交点为D.‎ 由题设有，x1=y1= AB=40, x2=ACcos,‎ y2=ACsin 所以过点B、C的直线l的斜率k= ,‎ 直线l的方程为y=2x-40.又点E（0，-55）到直线l的距离d=‎ 所以船会进入警戒水域.‎ 四、方法总结与高考预测 ‎1.三角函数恒等变形的基本策略。‎ ‎（1）注意隐含条件的应用：1＝cos2x＋sin2x。‎ ‎（2）角的配凑。α＝（α＋β）－β，β＝－等。‎ ‎（3）升幂与降幂。主要用2倍角的余弦。‎ ‎（4）化弦（切）法，用正弦定理或余弦定理。‎ ‎（5）引入辅助角。asinθ＋bcosθ＝sin(θ＋)，这里辅助角所在象限由a、b的符号确定，角的值由tan＝确定。‎ ‎2.证明三角等式的思路和方法。‎ ‎（1）思路：利用三角公式进行化名，化角，改变运算结构，使等式两边化为同一形式。‎ ‎（2）证明方法：综合法、分析法、比较法、代换法、相消法、数学归纳法。‎ ‎3.证明三角不等式的方法：比较法、配方法、反证法、分析法，利用函数的单调性，利用正、余弦函数的有界性，利用单位圆三角函数线及判别法等。‎ ‎4.解答三角高考题的策略。‎ ‎（1）发现差异：观察角、函数运算间的差异，即进行所谓的"差异分析"。‎ ‎（2）寻找联系：运用相关公式，找出差异之间的内在联系。‎ ‎（3）合理转化：选择恰当的公式，促使差异的转化。‎ ‎5．高考考点分析 近几年高考中，三角函数主要以选择题和解答题的形式出现。主要考察内容按综合难度分，我认为有以下几个层次：‎ 第一层次：通过诱导公式和倍角公式的简单运用，解决有关三角函数基本性质的问题。如判断符号、求值、求周期、判断奇偶性等。‎ 第二层次：三角函数公式变形中的某些常用技巧的运用。如辅助角公式、平方公式逆用、切弦互化等。‎ 第三层次：充分利用三角函数作为一种特殊函数的图象及周期性、奇偶性、单调性、有界性等特殊性质，解决较复杂的函数问题。如分段函数值，求复合函数值域等。‎ 五、复习建议 ‎1、本节公式较多，但都是有规律的，认真总结规律，记住公式是解答三角函数的关键。‎ ‎2、注意知识之间的横向联系，三角函数知识之间的联系，三角函数与其它知识的联系，‎ ‎3、注意解三角形中的应用题，应用题是数学的一个难点，平时应加强训练。‎ 平面向量 一、考点知识回顾 ‎1.向量的概念： 2.向量的表示方法：‎ ‎3.；若，，则，‎ ‎3.零向量、单位向量： 4.平行向量：①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我们规定与任一向量 平行.向量、、平行，记作∥∥.共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量.‎ ‎5.相等向量：长度相等且方向相同的向量叫相等向量.‎ ‎6.向量的加法、减法：‎ 向量和：作平移，首尾连，连首尾； 向量差：作平移，共起点，指被减；‎ ‎③平面向量的坐标运算：若，，则，，。‎ ‎④向量加法的交换律：+=+；向量加法的结合律：(+) +=+ (+)‎ ‎7．实数与向量的积：（向量的加减法运算、实数与向量的乘积仍是向量，向量与向量的乘积是实数）‎ ‎8．平面向量基本定理：如果，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1，λ2使=λ1+λ2。‎ ‎9. 向量和的数量积：①·=| |·||cos，其中∈[0，π]为和的夹角。②||cos称为在的方向上的投影。③·的几何意义是：的长度||在的方向上的投影的乘积，是一个实数（可正、可负、也可是零），而不是向量。‎ ‎④若 =（，）, =（x2，）, 则 ‎⑤运算律：a· b=b·a, (λa)· b=a·(λb)=λ（a·b）， （a+b）·c=a·c+b·c。‎ ‎⑥和的夹角公式：cos= ＝‎ ‎⑦||2=x2+y2，或||=⑧| a·b |≤| a |·| b |。‎ ‎11．两向量平行、垂直的充要条件 设 =（，）, =（，）‎ ‎①a⊥ba·b=0 ，=+=0；‎ ‎②（≠）有且只有一个非零实数λ，使=λ。‎ 向量的平行与垂直的坐标运算注意区别，在解题时容易混淆。‎ ‎12.点P分有向线段所成的比的： ，P内分线段时, ; P外分线段时, . 定比分点坐标公式、中点坐标公式、三角形重心公式：‎ ‎、、‎ 三、考点剖析 考点一：向量的概念、向量的基本定理 ‎【命题规律】有关向量概念和向量的基本定理的命题，主要以选择题或填空题为主，考查的难度属中档类型。‎ 例1、（2007上海）直角坐标系中，分别是与轴正方向同向的单位向量．在直角三角形中，若，则的可能值个数是（　　）‎ Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．4‎ 解：如图，将A放在坐标原点，则B点坐标为(2,1)，C点坐标为(3,k)，所以C点在直线x=3上，由图知，只可能A、B为直角，C不可能为直角．所以 k 的可能值个数是2，选B 点评：本题主要考查向量的坐标表示，采用数形结合法，巧妙求解，体现平面向量中的数形结合思想。‎ 例2、（2007陕西）如图，平面内有三个向量、、,其中与与的夹角为120°，与的夹角为30°,且||＝||＝1，|| ＝，若＝λ+μ（λ，μ∈R）,则λ+μ的值为 解：过C作与的平行线与它们的延长线相交，可得平行四边形，由角BOC=90°‎ 角AOC=30°，=得平行四边形的边长为2和4，2+4=6‎ 点评：本题考查平面向量的基本定理，向量OC用向量OA与向量OB作为基底表示出来后，求相应的系数，也考查了平行四边形法则。‎ 考点二：向量的运算 ‎【内容解读】向量的运算要求掌握向量的加减法运算，会用平行四边形法则、三角形法则进行向量的加减运算；掌握实数与向量的积运算，理解两个向量共线的含义，会判断两个向量的平行关系；掌握向量的数量积的运算，体会平面向量的数量积与向量投影的关系，并理解其几何意义，掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量积的运算，能运用数量积表示两个向量的夹角，会用向量积判断两个平面向量的垂直关系。‎ ‎【命题规律】命题形式主要以选择、填空题型出现，难度不大，考查重点为模和向量夹角的定义、夹角公式、向量的坐标运算，有时也会与其它内容相结合。‎ 例3、(2008湖北文、理)设a=(1,-2),b=(-3,4),c=(3,2),则(a+2b)·c=（　 ）‎ A.(－15,12)　　　B.0 C.－3 D.－11‎ 解：(a+2b)=，(a+2b)·c ，选C 点评：本题考查向量与实数的积，注意积的结果还是一个向量，向量的加法运算，结果也是一个向量，还考查了向量的数量积，结果是一个数字。‎ 例4、(2008广东文)已知平面向量，且∥，则=（　 ）‎ A．（-2，-4） B. （-3，-6） C. （-4，-8） D. （-5，-10）‎ 解：由∥，得m＝－4，所以，＝（2，4）＋（－6，－12）＝（－4，－8），故选（C）。‎ 例5、(2008海南、宁夏文)已知平面向量=（1，－3），=（4，－2），与垂直，则是（ ）‎ A. －1 B. 1 C. －2 D. 2‎ 解：由于 ‎∴，即，选Ａ 例6、(2008广东理)在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F. 若, ,则（ 　 ）‎ A． B. C. D.‎ 解:,,‎ ‎, 由A、E、F三点共线,知 而满足此条件的选择支只有B，故选B.‎ 点评：用三角形法则或平行四边形法则进行向量的加减法运算是向量运算的一个难点，体现数形结合的数学思想。‎ 例7、（2008江苏）已知向量和的夹角为，，则　　　　．‎ 解： = ， 7‎ 点评：向量的模、向量的数量积的运算是经常考查的内容，难度不大，只要细心，运算不要出现错误即可。‎ 考点三：定比分点 ‎【内容解读】掌握线段的定比分点和中点坐标公式，并能熟练应用，求点分有向线段所成比时，可借助图形来帮助理解。‎ ‎【命题规律】重点考查定义和公式，主要以选择题或填空题型出现，难度一般。由于向量应用的广泛性，经常也会与三角函数，解析几何一并考查，若出现在解答题中，难度以中档题为主，偶尔也以难度略高的题目。‎ 例8、(2008湖南理)设D、E、F分别是△ABC的三边BC、CA、AB上的点，且则与( 　 )‎ A.反向平行 B.同向平行 C.互相垂直 D.既不平行也不垂直 解：由定比分点的向量式得: 同理，有：‎ 以上三式相加得所以选A.‎ 考点四：向量与三角函数的综合问题 ‎【内容解读】向量与三角函数的综合问题是高考经常出现的问题，考查了向量的知识，三角函数的知识，达到了高考中试题的覆盖面的要求。‎ ‎【命题规律】命题以三角函数作为坐标，以向量的坐标运算或向量与解三角形的内容相结合，也有向量与三角函数图象平移结合的问题，属中档偏易题。‎ 例9、（2008深圳福田等）已知向量 ,函数 ‎(1)求的最小正周期; (2)当 时, 若求的值．‎ 解：(1) . 所以，T＝.‎ ‎(2) 由得 ∵，∴　∴ ∴‎ 点评：向量与三角函数的综合问题是当前的一个热点，但通常难度不大，一般就是以向量的坐标形式给出与三角函数有关的条件，并结合简单的向量运算，而考查的主体部分则是三角函数的恒等变换，以及解三角形等知识点.‎ 例10、（2007山东文）在中，角的对边分别为．‎ ‎（1）求； （2）若， 且，求．‎ 解：（1） 又 解得 ．‎ ‎，是锐角． ．‎ ‎（2）由， ，‎ 又 ． ．‎ ‎． ．‎ ‎　　点评：本题向量与解三角形的内容相结合，考查向量的数量积，余弦定理等内容。‎ 例11、（2007湖北）将 的图象按向量 平移，则平移后图象的解析式为（　　）‎ Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．‎ 解： 由向量平移的定义，在平移前、后的图像上任意取一对对应点，，则，代入到已知解析式中可得选Ａ 点评：本题主要考察向量与三角函数图像的平移的基本知识，以平移公式切入，为中档题。注意不要将向量与对应点的顺序搞反，或死记硬背以为是先向右平移 个单位，再向下平移2个单位，误选Ｃ 考点五：平面向量与函数问题的交汇 ‎【内容解读】平面向量与函数交汇的问题，主要是向量与二次函数结合的问题，要注意自变量的取值范围。‎ ‎【命题规律】命题多以解答题为主，属中档题。‎ 例12、（2008广东六校联考）已知向量＝(cos x，sin x)，＝( )，且x∈[0， ]．‎ ‎（1）求 （2）设函数 +，求函数的最值及相应的的值。‎ 解：（I）由已知条件： ， 得：‎ ‎（2）‎ ‎，因为： ，所以：‎ 所以，只有当： 时， ， ，或时，‎ 点评：本题考查向量、三角函数、二次函数的知识，经过配方后，变成开口向下的二次函数图象，要注意sinx的取值范围，否则容易搞错。‎ 考点六：平面向量在平面几何中的应用（略讲）‎ ‎【内容解读】向量的坐标表示实际上就是向量的代数表示．在引入向量的坐标表示后，使向量之间的运算代数化，这样就可以将"形"和"数"紧密地结合在一起．因此，许多平面几何问题中较难解决的问题，都可以转化为大家熟悉的代数运算的论证．也就是把平面几何图形放到适当的坐标系中，赋予几何图形有关点与平面向量具体的坐标，这样将有关平面几何问题转化为相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决．‎ ‎【命题规律】命题多以解答题为主，属中等偏难的试题。‎ 例13、如图在RtABC中，已知BC=a，若长为2a的线段PQ以A为中点，‎ 问与的夹角取何值时， 的值最大？并求出这个最大值。‎ 解：以直角顶点A为坐标原点，两直角边所在直线为坐标轴建立 如图所示的平面直角坐标系。设|AB|=c，|AC|=b，则A（0，0），B（c，0），‎ C（0，b）.且|PQ|=2a，|BC|=a.设点P的坐标为（x，y），则Q（-x，-y），‎ ‎∴cx-by=a2cos.∴=- a2+ a2cos.故当cos=1，即=0（方向相同）时，的值最大，其最大值为0.‎ 点评：本题主要考查向量的概念，运算法则及函数的有关知识，平面向量与几何问题的融合。考查学生运用向量知识解决综合问题的能力。‎ 四、方法总结与高考预测 ‎(一)方法总结 ‎1.以"基底"形式出现的向量问题通常将题中的化为以某一点为统一起点，再进行向量运算会非常方便；‎ ‎2.以坐标形式出现的向量问题可以尽可能利用解析思想，转化为函数或方程方法求解；‎ ‎(二)高考预测 预计向量基本概念、向量基本运算等基础问题，通常为选择题或填空题出现；而用向量与三角函数、解三角形等综合的问题，通常为解答题，难度以中档题为主。‎ 五、复习建议 ‎1、平面向量部分的复习应该注重向量的工具作用，紧紧围绕数形结合思想，扬长避短，解决问题；‎ ‎2、平面向量与三角函数的交汇是近年来的考查热点，一般服出现在解答题的前三大题里，在复习中，应加强这种类型试题的训练。‎ 平面解析几何 一、考点知识回顾 ‎1．直线 ‎(1).直线的倾斜角和斜率 (2) .直线的方程最重要的3种形式 a.点斜式：； b.斜截式：；c. 一般式：，‎ ‎(3).两直线的位置关系 若直线、的斜率分别为、，则∥＝，⊥·＝－１。‎ ‎（4）点、直线之间的距离 点A（x0，y0）到直线的距离为：d= 。‎ 两点之间的距离公式：‎ ‎2. 圆 ‎　（1）圆方程的三种形式 ‎　　标准式：，其中点（a，b）为圆心，r>0，r为半径，圆的标准方程中有三个待定系数，使用该方程的最大优点是可以方便地看出圆的圆心坐标与半径的大小．‎ ‎　　一般式：，其中为圆心为半径，，圆的一般方程中也有三个待定系数，即D、E、F．若已知条件中没有直接给出圆心的坐标（如题目为：已知一个圆经过三个点，求圆的方程），则往往使用圆的一般方程求圆方程．‎ ‎　　参数式：以原点为圆心、r为半径的圆的参数方程是 （其中θ为参数）．‎ ‎（2）．二元二次方程是圆方程的充要条件 ‎　　"A=C≠0且B=0"是一个一般的二元二次方程表示圆的必要条件．‎ ‎　　二元二次方程表示圆的充要条件为"A=C≠0、B=0且"，它可根据圆的一般方程推导而得．‎ ‎　　（3）．参数方程与普通方程的转化 ‎3.圆锥曲线 ‎(1).椭圆的标准方程及其性质 ‎(2)双曲线的标准方程及其性质 ‎(3).抛物线的标准方程及其性质 平面内，到一个定点F和一条直线的距离相等的点的轨迹，叫做抛物线。定点F叫做抛物线的焦点，直线叫做抛物线的准线。抛物线标准方程的四种形式为：，，其中：‎ ‎① 参数的几何意义：焦参数是焦点到准线的距离，所以恒为正值；值越大，张口越大； 等于焦点到抛物线顶点的距离。‎ ‎②标准方程的特点：一次项系数的符号决定抛物线的开口方向，即对称轴为轴时，方程中的一次项变量就是， 若的一次项前符号为正，则开口向右，若的一次项前符号为负，则开口向左；若对称轴为轴时，方程中的一次项变量就是， 当的一次项前符号为正，则开口向上，若的一次项前符号为负，则开口向下。‎ 抛物线的简单几何性质 方程 设抛物线 性质 焦点 范围 对称性 顶点 离心率 准线 通径 关于轴对称 原点 ‎(4).圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线统称圆锥曲线)的统一定义 与一定点的距离和一条定直线的距离的比等于常数的点的轨迹叫做圆锥曲线，定点叫做焦点，定直线叫做准线、常数叫做离心率，用e表示，当0＜e＜1时，是椭圆，当e＞1时，是双曲线，当e＝1时，是抛物线．‎ ‎4. 直线与圆锥曲线的位置关系：（在这里我们把圆包括进来）‎ ‎(1).首先会判断直线与圆锥曲线是相交、相切、还是相离的 a.直线与圆：一般用点到直线的距离跟圆的半径相比(几何法)，也可以利用方程实根的个数来判断(解析法).‎ b.直线与椭圆、双曲线、抛物线一般联立方程，判断相交、相切、相离 c.直线与双曲线、抛物线有自己的特殊性 ‎(2).a.求弦所在的直线方程;;b.根据其它条件求圆锥曲线方程 ‎(3).已知一点A坐标，一直线与圆锥曲线交于两点P、Q，且中点为A，求P、Q所在的直线方程 ‎(4).已知一直线方程，某圆锥曲线上存在两点关于直线对称，求某个值的取值范围（或者是圆锥曲线上否存在两点关于直线对称）‎ 二、考点剖析 考点一 点、直线、圆的位置关系问题 ‎【内容解读】点与直线的位置关系有：点在直线上、直线外两种位置关系，点在直线外时，经常考查点到直线的距离问题；点与圆的位置关系有：点在圆外、圆上、圆外三种；直线与圆的位置关系有：直线与圆相离、相切、相交三点，经常用圆心到直线之间的距离与圆的半径比较来确定位置位置关系；圆与圆的位置关系有：两圆外离、外切、相交、内切、内含五种，一般用两点之间的距离公式求两圆之间的距离，再与两圆的半径之和或差比较。‎ ‎【命题规律】本节内容一般以选择题或填空题为主，难度不大，属容易题。‎ 例１、(2008全国Ⅱ卷文)原点到直线的距离为（ ）‎ A．1 B． C．2 D．‎ 解：原点为(0，0)，由公式，得： ，故选（Ｄ）。‎ 例２、（２００７湖南理）圆心为且与直线相切的圆的方程是 ．‎ 解：圆与直线相切，圆心到直线的距离为半径，所以，Ｒ＝ ＝，所以，所求方程为：‎ 点评：直线与圆的位置关系问题是经常考查的内容，对于相切问题，经常采用点到直线的距离公式求解。‎ 例３、 (2008重庆理)圆O1：x2＋y2－2x＝0和圆O2：x2＋y2－4y＝0的位置关系是 ( 　 )‎ ‎(A)相离 (B)相交 (C)外切 (D)内切 解：配方，得：圆O1：（x－１）2＋y2＝１和圆O2：x2＋（y－２）2＝４，‎ 圆心为（１，０），（０，２），半径为r＝１，Ｒ＝２，‎ 圆心之间距离为：＝，因为２－１＜＜２＋１，所以，两圆相交．选（Ｂ）．‎ 点评：两圆的位置关系有五种，通常是求两圆心之间的距离，再与两圆的半径之和或之差来比较，确定位置关系．‎ 考点二 直线、圆的方程问题 ‎【命题规律】直线与圆的方程问题多以选择题与填空题形式出现，属容易题。‎ 例４、(2008广东文)经过圆的圆心C，且与直线x+y＝0垂直的直线方程是（　 ）‎ A． B. C. D.‎ 解：易知点C为，而直线与垂直，我们设待求的直线的方程为，将点C的坐标代入马上就能求出参数的值为，故待求的直线的方程为,因此，选（Ａ.）。‎ 例５、(2008山东文)若圆的半径为1，圆心在第一象限，且与直线和轴相切，则该圆的标准方程是（ 　 ）‎ A． B．‎ C． D．‎ 解：设圆心为由已知得 故选B.‎ 点评：圆与x轴相切，则圆心的纵坐标与半径的值相等，注意用数形结合，画出草图来帮助理解。‎ 考点三 曲线（轨迹）方程的求法 ‎【命题规律】轨迹问题在高考中多以解答题出现，属中档题。‎ 例６、（2008深圳福田模拟）已知动圆过定点 ，且与直线相切.‎ ‎(1) 求动圆的圆心轨迹的方程；‎ ‎(2) 是否存在直线，使过点（0，1），并与轨迹交于两点，且满足？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由.‎ 解：（1）如图，设为动圆圆心， ，过点作直线的垂线，垂足为，由题意知： 即动点到定点与到定直线的距离相等，‎ 由抛物线的定义知，点的轨迹为抛物线，其中 为焦点，‎ 为准线， ∴动圆圆心的轨迹方程为 ‎（2）由题可设直线的方程为 由得 △，‎ 设，，则，‎ 由，即 ，，于是，‎ 即，，‎ ‎，解得或（舍去），‎ 又， ∴ 直线存在，其方程为 点评：本题的轨迹问题采用抛物线的定义来求解，用圆锥曲线的定义求轨迹问题是经常采用的方法，要求充分掌握圆锥曲线的定义，灵活应用。‎ 例７、（2008广州模拟）已知曲线上任意一点到两个定点和的距离之和为4．‎ ‎（1）求曲线的方程；‎ ‎（2）设过的直线与曲线交于、两点，且（为坐标原点），求直线的方程．‎ 解：（1）根据椭圆的定义，可知动点的轨迹为椭圆，‎ 其中，，则． 所以动点M的轨迹方程为．‎ ‎（2）当直线的斜率不存在时，不满足题意．‎ 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，设，，‎ ‎∵，∴． 　　 ∵，，‎ ‎∴．　∴ ．............ ①‎ 由方程组得．‎ 则，，代入①，得．‎ 即，解得，或．所以，直线的方程是或 ‎　　点评：本题考查椭圆的定义，椭圆与向量结合的综合题的解法。‎ 例８、（2008广东吴川模拟）已知点和圆C：，（1）求经过点P被圆C截得的线段最长的直线的方程；‎ ‎（2）过P点向圆C引割线，求被此圆截得的弦的中点的轨迹。‎ 解：（1）化圆的方程为： 圆心坐标：‎ 由题意可得直线经过圆C的圆心，由两点式方程得：‎ 化简得： 直线 的方程是：‎ ‎（2）解：设中点 ‎∵CM⊥PM ∴是 有：‎ 即：‎ 化简得： 故中点M的轨迹是圆在圆C内部的一段弧。‎ 点评：合理应用平面几何知识，这是快速解答本题的关键所在。要求掌握好平面几何的知识，如勾股定理，垂径定理等初中学过的知识要能充分应用。‎ 考点四 有关圆锥曲线的定义的问题 ‎【内容解读】圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义是经常考查的内容，除了在大题中考查轨迹时用到外，经常在选择题、填空题中也有出现。‎ ‎【命题规律】填空题、选择题中出现，属中等偏易题。‎ 例9、(2008上海文)设是椭圆 上的点．若是椭圆的两个焦点，则等于（　）‎ A．4 B．5 C．8 D．10‎ 解：由椭圆的定义知： 故选（D）。‎ 例１0、（2008北京理）若点到直线的距离比它到点的距离小1，则点的轨迹为（ 　 ）‎ A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 解: 把到直线向左平移一个单位，两个距离就相等了，它就是抛物线的定义。故选（D）。‎ 点评： 本题考查抛物线的定义，将点P到x=-1的距离，转化为点P到x＝－2的距离，体现了数学上的转化与化归的思想。‎ 例12、(2008海南、宁夏理)已知点P在抛物线y2 = 4x上，那么点P到点Q（2，－1）的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P的坐标为（ 　 ）‎ A. （，－1） B. （，1） C. （1，2） D. （1，－2）‎ 解：点P到抛物线焦点距离等于点P到抛物线准线距离，如图 ‎,故最小值在三点共线时取得，‎ 此时的纵坐标都是，点坐标为 ，所以选A。‎ 点评：点P到焦点的距离，利用抛物线的定义，转化为点P到准线之间的距离，体现数学上的转化与化归的思想，在数学问题中，经常考查这种数学思想方法。‎ 考点五 圆锥曲线的几何性质 ‎【内容解读】圆锥曲线的几何性质包括椭圆的对称性、顶点坐标、离心率，双曲线的对称性、顶点坐标、离心率和近近线，抛物线的对称性、顶点坐标、离心率和准线方程等内容，‎ 离心率公式一样：e＝ ，范围不一样，椭圆的离心率在（0,1）之间，双曲线的离心率在（1，＋∞）之间，抛物线的离心率为1，‎ ‎【命题规律】‎ 例13、(2008海南、宁夏文)双曲线 的焦距为（ 　 ）‎ A. 3 B. 4 C. 3 D. 4‎ 解：因为a＝ ，b＝ ，所以c＝ ＝2 ，2c＝4 ，故选（D）。‎ 点评：本题考查双曲线中a、b、c之间的关系，焦距的定义，属容易题。‎ 例14、(2008福建文、理)双曲线 的两个焦点为，若P为其上的一点，且，则双曲线离心率的取值范围为（　　　）‎ Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．‎ 解：如图，设，，当P在右顶点处，∵，∴‎ 点评：本题考查离心率的公式及其意义，另外也可用三角形的两边和大于第三边,及两边差小于第三边来求解,但要注意前者可以取到等号成立,因为可以三点一线.‎ 例15、(2008辽宁文) 已知双曲线 的一个顶点到它的一条渐近线的距离为 ，则( 　 )‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ 解： 取顶点 ,‎ 一条渐近线为故选（D）。‎ 点评：本题主要考查双曲线的渐近线方程，点到直线的距离公式问题。‎ 考点六 直线与圆锥曲线位置关系问题 ‎【命题规律】直线与圆锥曲线位置关系涉及函数与方程，数形结合，分类讨论、化归等数学思想方法，因此这部分经常作为高考试题的压轴题，命题主要意图是考查运算能力，逻辑揄能力。‎ 例１6、(2007年重庆)已知以 ， 为焦点的椭圆与直线 有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ 解：设椭圆方程为 ，联立方程组：‎ 消x得：－1＝0，‎ ‎△＝192m2－4(16m－1)（3m＋n)＝0，整理，得 ：即：‎ 又c＝2，由焦点在x轴上，所以，＝4，联立解得： ，故长轴长为 点评：直线与圆锥曲线只有一个交点时，经常采用联立方程组，消去一个未知数后，变成一元二次方程，由判别式来求解，但要注意，有时要考虑二次项的系数为0的特殊情况。‎ 例１7、(2007年浙江)如图，直线与椭圆 交于两点，记的面积为．‎ ‎（I）求在，的条件下，的最大值；‎ ‎（II）当，时，求直线的方程．‎ 解：设点的坐标为，点的坐标为．由 ，解得，‎ 所以 ，当且仅当 时，取到最大值1．‎ ‎（Ⅱ）解：由 ，得 ，‎ ‎＝＝＋1，　　 　　　　　　　　　　　　①‎ ‎｜AB｜＝＝ ＝2　　②‎ 设到的距离为，则 ，又因为 ，‎ 所以，代入②式并整理，得 ，解得， ， ，代入①式检验，．‎ 故直线的方程是，或，或，或．‎ 点评:求圆锥曲线的弦长时，可利用弦长公式：｜AB｜＝＝来求解。‎ 例１8、(2006上海卷)已知在平面直角坐标系中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为,右顶点为,设点 .‎ ‎（1）求该椭圆的标准方程；‎ ‎（2）若是椭圆上的动点，求线段中点的轨迹方程；‎ 解：(1)由已知得椭圆的半长轴a=2,半焦距c=,则半短轴b=1.‎ 又椭圆的焦点在x轴上, ∴椭圆的标准方程为 ‎(2)设线段PA的中点为M(x,y) ,点P的坐标是(x0,y0)，‎ 由 ，得 由,点P在椭圆上,得 ,‎ ‎∴线段PA中点M的轨迹方程是 .‎ 点评:涉及弦的中点问题，除用上述方法外，有时也联立方程组，转化为一元二次方程，利用韦达定理，或运用平方差法求解，但必须是以直线与圆锥曲线相交为前提。‎ 三、方法总结与高考预测 ‎（一）方法总结 ‎1．求曲线方程常利用待定系数法，求出相应的a，b，p等.要充分认识椭圆中参数a，b，c，e的意义及相互关系，在求标准方程时，已知条件常与这些参数有关.‎ ‎2．涉及椭圆、双曲线上的点到两个焦点的距离问题，常常要注意运用定义.‎ ‎3．直线与圆锥曲线的位置关系问题，利用数形结合法或将它们的方程组成的方程组转化为一元二次方程，利用判别式、韦达定理来求解或证明.‎ ‎4．对于轨迹问题，要根据已知条件求出轨迹方程，再由方程说明轨迹的位置、形状、大小等特征.求轨迹的常用方法有直接法、定义法、参数法、代入法、交轨法等.‎ ‎5．与圆锥曲线有关的对称问题，利用中心对称以及轴对称的概念和性质来求解或证明.‎ ‎（二）高考预测 ‎1．求曲线（轨迹）方程的常用方法（定义法、待定系数法、动点转移法、参数法等）。‎ ‎2．掌握综合运用直线的基础知识和圆的性质，解答直线与圆的位置关系的思想方法。‎ ‎3．直线与圆锥曲线是解析几何的重要内容，因而成为高考考查的重点。综观近几年的全国和部分省高考数学试题，本专题列出高考考查的热点内容有：‎ ‎（1）直线方程、圆方程；‎ ‎（2）圆锥曲线的标准方程；‎ ‎（3）圆锥曲线的几何性质；‎ ‎（4）直线与圆锥曲线的位置关系；‎ ‎（5）求曲线（轨迹）方程。特别是求曲线（轨迹）方程和直线与圆锥曲线的位置关系问题是高考解析几何问题的热中之热。‎ 五、复习建议 ‎1.加强直线和圆锥曲线的基础知识，初步掌握了解决直线与圆锥曲线有关问题的基本技能和基本方法。‎ ‎2．由于直线与圆锥曲线是高考考查的重点内容，选择、填空题灵活多变，思维能力要求较高，解答题背景新颖、综合性强，代数推理能力要求高，因此有必要对直线与圆锥曲线的重点内容、高考的 热点问题作深入的研究。‎ ‎3．在第一轮复习的基础上，再通过纵向深入，横向联系，进一步掌握解决直线与圆锥曲线问题的思想和方法，提高我们分析问题和解决问题的能力。‎ 立体几何 一、考点知识回顾 ‎【1】、判定两线平行的方法 ‎1、 平行于同一直线的两条直线互相平行 ‎2、 垂直于同一平面的两条直线互相平行 ‎3、 如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行 ‎4、 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行 ‎【2】判定线面平行的方法 a) 据定义：‎ b) 如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，则这条直线和这个平面平行 c) 两面平行，则其中一个平面内的直线必平行于另一个平面 d) 平面外的两条平行直线中的一条平行于平面，则另一条也平行于该平面 e) 平面外的一条直线和两个平行平面中的一个平面平行，则也平行于另一个平面 ‎【3】、判定面面平行的方法 ‎　　⑴由定义知：‎ ‎⑵由定义推得："两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平面。‎ ‎⑶两个平面平行的性质定理："如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行"。‎ ‎⑷一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面。‎ ‎⑸夹在两个平行平面间的平行线段相等。‎ ‎⑹经过平面外一点只有一个平面和已知平面平行。‎ ‎【4】、面面平行的性质 ‎1、两平行平面没有公共点 ‎2、两平面平行，则一个平面上的任一直线平行于另一平面 ‎3、两平行平面被第三个平面所截，则两交线平行 ‎4、 垂直于两平行平面中一个平面的直线，必垂直于另一个平面 ‎【5】、判定线面垂直的方法 ‎1、 定义：‎ ‎2、 如果一条直线和一个平面内的两条相交线垂直，则线面垂直 ‎3、如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于该平面 ‎4、一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面 ‎5、如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直它们交线的直线垂直于另一个平面 ‎5、 果两个相交平面都垂直于另一个平面，那么它们的交线垂直于另一个平面 ‎【6】、判定两线垂直的方法 ‎1、 定义：成角 ‎2、 直线和平面垂直，则该线与平面内任一直线垂直 ‎3、 在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直 ‎4、 在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直 ‎5、 一条直线如果和两条平行直线中的一条垂直，它也和另一条垂直 ‎【7】、判定面面垂直的方法 ‎1、 定义：两面成直二面角,则两面垂直 ‎2、 一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这个平面垂直于另一平面 ‎【8】、面面垂直的性质 ‎1、 二面角的平面角为 ‎2、 在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面 ‎3、 相交平面同垂直于第三个平面，则交线垂直于第三个平面 ‎【9】、各种角的范围 ‎　　1、异面直线所成的角的取值范围是：‎ ‎2、直线与平面所成的角的取值范围是：‎ ‎3、斜线与平面所成的角的取值范围是：‎ ‎　　4、二面角的大小用它的平面角来度量；取值范围是：.‎ 三、考点剖析 考点一：空间几何体的结构、三视图、直观图 ‎【命题规律】柱、锥及其简单组合体的结构特征在旧教材中出现过，而三视图为新增内容，一般情况下，新增内容会重点考查，从2007年、2008年广东、山东、海南的高考题来看，三视图是出题的热点，题型多以选择题、填空题为主，也有出现在解答题里，如2007年广东高考就出现在解答题里，属中等偏易题。‎ 例１、（2008广东）将正三棱柱截去三个角（如图1所示分别是三边的中点）得到几何体如图2，则该几何体按图2所示方向的侧视图（或称左视图）为（ ）‎ 解：在图2的右边放扇墙(心中有墙),可得答案A 点评：本题主要考查三视图中的左视图，要有一定的空间想象能力。‎ 例2、（2008江苏模拟）由大小相同的正方体木块堆成的几何体的三视图如图所示，则该几何体中正方体木块的个数是 ．‎ 解：以俯视图为主，因为主视图左边有两层，表示俯视图中左边最多有两个木块，再看左视图，可得木块数如右图所示，因此这个几何体的正方体木块数的个数为5个。‎ 考点二：空间几何体的表面积和体积 ‎【命题规律】柱、锥、球的表面积和体积以公式为主，按照新课标的要求，体积公式不要求记忆，只要掌握表面积的计算方法和体积的计算方法即可。因此，题目从难度上讲属于中档偏易题。‎ 例3、（2007广东）已知某几何体的俯视图是如图5所示的矩形，正视图(或称主视图)‎ 是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，侧视图(或称左视图)是一个底边长为6、‎ 高为4的等腰三角形．‎ ‎(1)求该几何体的体积V；‎ ‎(2)求该几何体的侧面积S 解: 由已知可得该几何体是一个底面为矩形,高为4,顶点在底面的射影是矩形中心的四棱锥V-ABCD。‎ ‎(1)‎ ‎(2) 该四棱锥有两个侧面VAD. VBC是全等的等腰三角形,且BC边上的高为 另两个侧面VAB. VCD也是全等的等腰三角形,AB边上的高为 因此 例4、（2008山东）右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是（ ）‎ A． B． C． D．‎ 解：从三视图可以看出该几何体是由一个球和一个圆柱组合而成的 简单几何体，其表面积为：‎ ‎，故选D。‎ 点评：本小题主要考查三视图与几何体的表面积。既要能识别简单几何体的结构特征，又要掌握基本几何体的表面积的计算方法。‎ 例5、（湖北卷3）用与球心距离为的平面去截球，所得的截面面积为，则球的体积为（　　）‎ A. B. C. D.‎ 解：截面面积为截面圆半径为1，又与球心距离为球的半径是，‎ 所以根据球的体积公式知 ，故B为正确答案．‎ 考点三：点、线、面的位置关系 ‎【内容解读】理解空间中点、线、面的位置关系，了解四个公理及其推论；空间两直线的三种位置关系及其判定；异面直线的定义及其所成角的求法。‎ 通过大量图形的观察、实验，实现平面图形到立体图形的飞跃，培养空间想象能力。会用平面的基本性质证明共点、共线、共面的问题。‎ ‎【命题规律】主要考查平面的基本性质、空间两条直线的位置关系，多以选择题、填空题为主，难度不大。‎ 例6、如图1，在空间四边形ABCD中，点E、H分别是边AB、AD的中点，‎ F、G分别是边BC、CD上的点，且 ＝ ＝ ，则（　D　）‎ ‎（A）EF与GH互相平行 （B）EF与GH异面 ‎（C）EF与GH的交点M可能在直线AC上，也可能不在直线AC上 ‎（D）EF与GH的交点M一定在直线AC上 解：依题意，可得EH∥BD，FG∥BD，故EH∥FG，由公理2可知，E、F、G、H共面，因为EH＝ BD，‎ ‎＝ ，故EH≠FG，所以，EFGH是梯形，EF与GH必相交，设交点为M，因为点M在EF上，‎ 故点M在平面ACB上，同理，点M在平面ACD上，即点M是平面ACB与平面ACD的交点，而AC是这两个平面的交线，由公理3可知，点M一定在平面ACB与平面ACD的交线AC上。选（D）。‎ 点评：本题主要考查公理2和公理3的应用，证明共线问题。利用四个公理来证明共点、共线的问题是立体几何中的一个难点。‎ 例7、（2008全国二10）已知正四棱锥的侧棱长与底面边长都相等，是的中点，则所成的角的余弦值为（ 　 ）‎ A． B． C． D．‎ 解：连接AC、BD交于O，连接OE，因OE∥SD.所以∠AEO为异面直线SD与AE所成的角。设侧棱长与底面边长都等于2，则在⊿AEO中，OE＝1,AO＝，AE=，‎ 于是，故选C。‎ 点评：求异面直线所成的角，一般是平移异面直线中的一条与另一条相交构成三角形，再用三角函数的方法或正、余弦定理求解。‎ 考点四：直线与平面、平面与平面平行的判定与性质 ‎【内容解读】掌握直线与平面平行、平面与平面平行的判定与性质定理，能用判定定理证明线面平行、面面平行，会用性质定理解决线面平行、面面平行的问题。‎ 通过线面平行、面面平行的证明，培养学生空间观念及及观察、操作、实验、探索、合情推理的能力。‎ ‎【命题规律】主要考查线线、面面平行的判定与性质，多以选择题和解答题形式出现，解答题中多以证明线面平行、面面平行为主，属中档题。‎ 例8、（2008安徽）如图，在四棱锥中，底面是边长为1的菱形，‎ ‎, , ,为的中点，为的中点 ‎（Ⅰ）证明：直线 ；‎ ‎（Ⅱ）求异面直线AB与MD所成角的大小；‎ ‎（Ⅲ）求点B到平面OCD的距离。‎ ‎（1）证明：取OB中点E，连接ME，NE 又 ‎（2） 为异面直线与所成的角（或其补角）‎ 作连接 ‎，‎ 所以 与所成角的大小为 ‎（3） 点A和点B到平面OCD的距离相等，连接OP,过点A作 于点Q，‎ 又 ,线段AQ的长就是点A到平面OCD的距离 ‎，‎ ‎，所以点B到平面OCD的距离为 例9、（2008江苏模拟）一个多面体的直观图和三视图如图所示，其中M、N分别是AB、AC的中点，G是DF上的一动点.‎ ‎（1）求证：‎ ‎（2）当FG=GD时，在棱AD上确定一点P，使得GP//平面FMC,并给出证明.‎ 证明：由三视图可得直观图为直三棱柱且底面ADF中AD⊥DF,DF=AD=DC ‎(1)连接DB，可知B、N、D共线，且AC⊥DN 又FD⊥AD FD⊥CD，‎ FD⊥面ABCD FD⊥AC AC⊥面FDN GN⊥AC ‎（2）点P在A点处 证明：取DC中点S，连接AS、GS、GA G是DF的中点，GS//FC,AS//CM 面GSA//面FMC GA//面FMC 即GP//面FMC 点评：证明线面平行，在平面内找一条直线与平面外的直线平行，是证明线面平行的关键。‎ 考点五：直线与平面、平面与平面垂直的判定与性质 ‎【命题规律】主要考查线线、面面垂直的判定与性质，多以选择题和解答题形式出现，解答题中多以证明线线垂直、线面垂直、面面垂直为主，属中档题。‎ 例10、（2008广东五校联考）正方体ABCD-A1B1C1D1中O为正方形ABCD的中心，M为BB1的中点，求证：‎ ‎（1）D1O//平面A1BC1;（2）D1O⊥平面MAC.‎ 证明: (1)连结分别交于 在正方体中,对角面为矩形 分别是的中点 四边形为平行四边形 平面,平面平面 ‎（2）连结,设正方体的棱长为,‎ 在正方体中,对角面为矩形且 分别是的中点 在中， ，即 在正方体中 平面 又， 平面 平面 又 平面 点评：证明线面垂直，关键是在平面内找到两条相交直线与已知直线垂直，由线线垂直推出线面垂直，证明线线垂直有时要用勾股定理的逆定理．‎ 例11、（2008广东中山模拟）如图，四棱锥P-ABCD中， PA平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AB⊥AD，CD⊥AD，CD=2AB，E为PC中点．‎ ‎(I) 求证：平面PDC平面PAD；‎ ‎(II) 求证：BE//平面PAD．‎ 证明：（1）由PA平面ABCD 平面PDC平面PAD；‎ ‎（2）取PD中点为F，连结EF、AF，由E为PC中点，‎ 得EF为△PDC的中位线，则EF//CD，CD=2EF．‎ 又CD=2AB，则EF=AB．由AB//CD，则EF∥AB．‎ 所以四边形ABEF为平行四边形，则EF//AF．‎ 由AF面PAD，则EF//面PAD．‎ 点评：证明面面垂直，先证明线面垂直，要证线面垂直，先证明线线垂直．‎ 例12、（2008广东模拟）如图，四棱锥的底面是正方形，底面，是上一点．‎ ‎（1）求证：平面平面；‎ ‎（2）设，，求点到平面的距离；‎ ‎(1)证明：底面 且 平面平面 ‎(2)解：因为 ，且 ， 可求得点到平面的距离为 点评：求点到面的距离，经常采用等体积法，利用同一个几何体，体积相等，体现了转化思想．‎ 四、方法总结与高考预测 ‎（一）方法总结 ‎1．位置关系：‎ ‎2．求距离：‎ 求距离的重点在点到平面的距离，直线到平面的距离和两个平面的距离可以转化成点到平面的距离，一个点到平面的距离也可以转化成另外一个点到这个平面的距离。‎ ‎（1）两条异面直线的距离的求法：利用公式法。‎ ‎（2）点到平面的距离 求法：①"一找二证三求"，三步都必须要清楚地写出来。②等体积法。③向量法。‎ ‎3．求角 ‎（1）两条异面直线所成的角 求法：①先通过其中一条直线或者两条直线的平移，找出这两条异面直线所成的角，然后通过解三角形去求得；②通过两条异面直线的方向量所成的角来求得，但是注意到异面直线所成角得范围是 ，向量所成的角范围是 ，如果求出的是钝角，要注意转化成相应的锐角。‎ ‎（2）直线和平面所成的角 求法：①"一找二证三求"，三步都必须要清楚地写出来。②向量法，先求直线的方向量于平面的法向量所成的角α，那么所要求的角为 或 ‎（3）平面与平面所成的角 求法：①"一找二证三求"，找出这个二面角的平面角，然后再来证明我们找出来的这个角是我们要求的二面角的平面角，最后就通过解三角形来求。②向量法，先求两个平面的法向量所成的角为α，那么这两个平面所成的二面角的平面角为α或π－α。‎ ‎（二）高考预测 从近几年各地高考试题分析，立体几何题型一般是一个解答题，1至3个填空或选择题．解答题一般与棱柱和棱锥相关，主要考查线线关系、线面关系和面面关系，其重点是考查空间想象能力和推理运算能力。 高考试题中，立体几何侧重考查学生的空间概念、逻辑思维能力、空间想象能力及运算能力 . 近几年凡涉及空间向量应用于立体几何的高考试题，都着重考查应用空间向量求异面直线所成的角、二面角，证明线线平行、线面平行和证明异面直线垂直和线面垂直等基本问题。‎ 高考对立体几何的考查侧重以下几个方面：‎ ‎1．从命题形式来看，涉及立体几何内容的命题形式最为多变 . 除保留传统的"四选一"的选择题型外，还尝试开发了"多选填空"、"完型填空"、"构造填空"等题型，并且这种命题形式正在不断完善和翻新；解答题则设计成几个小问题，此类考题往往以多面体为依托，第一小问考查线线、线面、面面的位置关系，后面几问考查空间角、空间距离、面积、体积等度量关系，其解题思路也都是"作--证--求"，强调作图、证明和计算相结合。‎ ‎2．从内容上来看，主要是：①考查直线和平面的各种位置关系的判定和性质，这类试题一般难度不大，多为选择题和填空题；②计算角的问题，试题中常见的是异面直线所成的角，直线与平面所成的角，平面与平面所成的二面角，这类试题有一定的难度和需要一定的解题技巧，通常要把它们转化为相交直线所成的角；③求距离，试题中常见的是点与点之间的距离，点到直线的距离，点到平面的距离，直线与直线的距离，直线到平面的距离，要特别注意解决此类问题的转化方法；④简单的几何体的侧面积和表面积问题，解此类问题除特殊几何体的现成的公式外，还可将侧面展开，转化为求平面图形的面积问题；⑤体积问题，要注意解题技巧，如等积变换、割补思想的应用。‎ 排列组合二项式定理概率统计 一、考点知识回顾 ‎1.排列与组合 ‎⑴ 分类计数原理与分步计数原理是关于计数的两个基本原理，两者的区别在于分步计数原理和分步有关，分类计数原理与分类有关.‎ ‎⑵ 排列与组合主要研究从一些不同元素中，任取部分或全部元素进行排列或组合，求共有多少种方法的问题.区别排列问题与组合问题要看是否与顺序有关，与顺序有关的属于排列问题，与顺序无关的属于组合问题.‎ ‎⑶ 排列与组合的主要公式 ‎①排列数公式：②组合数公式：③组合数性质：‎ ‎2.二项式定理 ‎⑴ 二项式定理（2）二项展开式的通项公式。⑶二项式系数的性质 ‎3.概率 ‎（1）随机事件与基本事件：‎ ‎（2）互斥事件与对立事件：‎ ‎（3）独立事件与独立重复试验 ‎（4）概率基本性质与公式 ‎①事件的概率的范围为：．‎ ‎②互斥事件与的概率加法公式：．‎ ‎③对立事件与的概率加法公式：．‎ ‎（5） 如果事件A在一次试验中发生的概率是p，则它在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率是pn(k) = Cpk(1―p)n―k.　实际上，它就是二项式[(1―p)+p]n的展开式的第k+1项.‎ ‎4、统计 ‎　　（1）三种抽样方法 ‎　　①简单随机抽样　②系统抽样　　③分层抽样 ‎　　（2）用样本估计总体 ‎　　样本分布反映了样本在各个范围内取值的概率，我们常常使用频率分布直方图来表示相应样本的频率分布，有时也利用茎叶图来描述其分布，然后用样本的频率分布去估计总体分布，总体一定时，样本容量越大，这种估计也就越精确．‎ ‎　　①用样本频率分布估计总体频率分布时，通常要对给定一组数据进行列表、作图处理．作频率分布表与频率分布直方图时要注意方法步骤．画样本频率分布直方图的步骤：求全距→决定组距与组数→分组→列频率分布表→画频率分布直方图．‎ ‎　　②平均数反映了样本数据的平均水平，而标准差反映了样本数据相对平均数的波动程度，其计算公式为． 有时也用标准差的平方---方差来代替标准差，两者实质上是一样的．‎ 三、考点剖析 考点一：排列组合 ‎【方法解读】‎ ‎1、解排列组合题的基本思路：‎ 将具体问题抽象为排列组合问题，是解排列组合应用题的关键一步 对"组合数"恰当的分类计算是解组合题的常用方法；‎ 是用"直接法"还是用"间接法"解组合题，其前提是"正难则反"；‎ ‎2、解排列组合题的基本方法：‎ 优限法：元素分析法：先考虑有限制条件的元素的要求，再考虑其他元素；‎ 位置优先法：先考虑有限制条件的位置的要求，再考虑其他位置；‎ 排异法：对有限制条件的问题，先从总体考虑，再把不符合条件的所有情况去掉。‎ 分类处理：某些问题总体不好解决时，常常分成若干类，再由分类计数原理得出结论；注意：分类不重复不遗漏。‎ 分步处理：对某些问题总体不好解决时，常常分成若干步，再由分步计数原理解决；在解题过程中，常常要既要分类，以要分步，其原则是先分类，再分步。‎ 插空法：某些元素不能相邻或某些元素要在某特殊位置时可采用插空法，即先安排好没有限制元条件的元素，然后再把有限制条件的元素按要求插入排好的元素之间。‎ 捆绑法：把相邻的若干个特殊元素"捆绑"为一个大元素，然后再与其余"普通元素"全排列，最后再"松绑"，将特殊元素在这些位置上全排列。‎ 穷举法：将所有满足题设条件的排列与组合逐一列举出来；这种方法常用于方法数比较少的问题。‎ ‎【命题规律】排列组合的知识在高考中经常以选择题或填空题的形式出现，难度属中等。‎ 例1、(2008安徽理) 12名同学合影，站成前排4人后排8人，现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的总数是( )‎ A． B． C． D．‎ 解：从后排8人中选2人共种选法，这2人插入前排4人中且保证前排人的顺序不变，则先从4人中的5个空挡插入一人，有5种插法；余下的一人则要插入前排5人的空挡，有6种插法，故为；综上知选C。‎ 例2、(2008全国II理)12．如图，一环形花坛分成A、B、C、D四块，现有4种不同的花供选种，要求在每块里种一种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法种数为 ‎(A)96 (B) 84 (C) 60 (D) 48‎ 解：分三类：种两种花有种种法；种三种花有种种法；种四种花有种种法.共有.‎ 例3、(2008陕西省理)16．某地奥运火炬接力传递路线共分6段，传递活动分别由6名火炬手完成．如果第一棒火炬手只能从甲、乙、丙三人中产生，最后一棒火炬手只能从甲、乙两人中产生，则不同的传递方案共有 种．（用数字作答）‎ 解：分两类：第一棒是丙有,第一棒是甲、乙中一人有共种 考点二：二项式定理 ‎【内容解读】掌握二项式定理和二项式系数的性质，并能用它们计算和论证一些简单问题。对二项式定理的考查主要有以下两种题型：‎ ‎1、求二项展开式中的指定项问题：方法主要是运用二项式展开的通项公式；‎ ‎2、求二项展开式中的多个系数的和：此类问题多用赋值法；要注意二项式系数与项的系数的区别；‎ ‎【命题规律】‎ 历年高考二项式定理的试题以客观题的形式出现，多为课本例题、习题迁移的改编题，难度不大，重点考查运用二项式定理去解决问题的能力和逻辑划分、化归转化等思想方法。为此，只要我们把握住二项式定理及其系数性质，会把实际问题化归为数学模型问题或方程问题去解决，就可顺利获解。‎ 例4、（2008安徽理）设则中奇数的个数为（ ）‎ A．2 B．3 C．4 D．5‎ 解：由题知，逐个验证知，其它为偶数，选A。‎ 例5、(2008上海理)12.组合数C（n＞r≥1，n、r∈Z）恒等于（ ）‎ A．C B．(n+1)(r+1)C C．nr C D．C 解：由.‎ 例6、(2008浙江文)（6）在的展开式中，含的项的系数是 ‎（A）-15 （B）85 （C）-120 （D）274‎ 解：本题可通过选括号（即5个括号中4个提供，其余1个提供常数）的思路来完成。故含的项的系数为 例7、(2008重庆文) (10)若(x+ )n的展开式中前三项的系数成等差数，则展开式中x4项的系数为 ‎(A)6 (B)7 (C)8 (D)9‎ 解：因为的展开式中前三项的系数、、成等差数列，所以，即，解得：或（舍）。。令可得，，所以的系数为，故选B。‎ 考点三：概率 ‎【内容解读】概率试题主要考查基本概念和基本公式，对等可能性事件的概率、互斥事件的概率、独立事件的概率、事件在n次独立重复试验中恰发生k次的概率、离散型随机变量分布列和数学期望等内容都进行了考查。‎ ‎【命题规律】（1）概率统计试题的题量大致为2道，占全卷总分的6％-10％，试题的难度为中等或中等偏易。（2）概率统计试题通常是通过对课本原题进行改编，通过对基础知识的重新组合、变式和拓展，从而加工为立意高、情境新、设问巧、并赋予时代气息、贴近学生实际的问题。这样的试题体现了数学试卷新的设计理念，尊重不同考生群体思维的差异，贴近考生的实际，体现了人文教育的精神。‎ 例8、(2008江苏)在平面直角坐标系中，设D是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域，E是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向D中随意投一点，则落入E中的概率为 。‎ 解：如图：区域D表示边长为4的正方形ABCD的内部（含边界），区域E 表示单位圆及其内部，因此 。 答案 点评：本题考查几何概型，利用面积相比求概率。‎ 例9、(2008重庆文)(9)从编号为1,2,...,10的10个大小相同的球中任取4个，则所取4个球的最大号码是6的概率为（ ）‎ ‎(A) (B) (C) (D)‎ 解： ，故选B。‎ 点评：本小题主要考查组合的基本知识及等可能事件的概率。‎ 例10、(2008山东理)在某地的奥运火炬传递活动中，有编号为1，2，3，...，18的18名火炬手.若从中任选3人，则选出的火炬手的编号能组成3为公差的等差数列的概率为 （ ）‎ ‎（A）　　　（B） （C）　　　　　（D）‎ 解：基本事件总数为。‎ 选出火炬手编号为，时，由可得4种选法；‎ 时，由可得4种选法；时，由可得4种选法。‎ 点评：本题考查古典概型及排列组合问题。‎ 例11、(2008福建理)某一批花生种子，如果每1粒发牙的概率为, 那么播下4粒种子恰有2粒发芽的概率是（　B　）‎ A. B. C. D.‎ 解：独立重复实验，‎ 例12、(2008陕西省理)某射击测试规则为：每人最多射击3次，击中目标即终止射击，第次击中目标得分，3次均未击中目标得0分．已知某射手每次击中目标的概率为0.8，其各次射击结果互不影响．‎ ‎（Ⅰ）求该射手恰好射击两次的概率；‎ ‎（Ⅱ）该射手的得分记为，求随机变量的分布列及数学期望．（文科不要求）‎ 解： （Ⅰ）设该射手第次击中目标的事件为，则，‎ ‎．‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎0.008‎ ‎0.032‎ ‎0.16‎ ‎0.8‎ ‎（Ⅱ）可能取的值为0，1，2，3． 的分布列为 ‎.‎ 例13、（2008广东卷17）．随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件．已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而1件次品亏损2万元．设1件产品的利润（单位：万元）为．‎ ‎（1）求的分布列；（2）求1件产品的平均利润（即的数学期望）；（文科不要求）‎ ‎（3）经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为，一等品率提高为．如果此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元，则三等品率最多是多少？‎ 解：的所有可能取值有6，2，1，-2；，‎ ‎，‎ ‎6‎ ‎2‎ ‎1‎ ‎-2‎ ‎0.63‎ ‎0.25‎ ‎0.1‎ ‎0.02‎ 故的分布列为：‎ ‎（2）‎ ‎（3）设技术革新后的三等品率为，则此时1件产品的平均利润为 依题意，，即，解得 所以三等品率最多为 考点四：统计 ‎【内容解读】理解简单随机抽样、系统抽样、分层抽样的概念，了解它们各自的特点及步骤．会用三种抽样方法从总体中抽取样本．会用样本频率分布估计总体分布．会用样本数字特征估计总体数字特征．‎ ‎【命题规律】（1）概率统计试题的题量大致为2道，占全卷总分的6％，试题的难度为中等或中等偏易。‎ 四、方法总结与高考预测 ‎1.排列组合应用题的处理方法和策略 ‎⑴ 使用分类计数原理还是分步计数原理要根据我们完成某件事情时采取的方式而定，分类来完成这件事情时用分类计数原理，分步骤来完成这件事情时用分步计数原理.怎样确定是分类，还是分步骤？"分类"表现为其中任何一类均可独立完成所给事件，而"分步骤"必须把各步骤均完成才能完成所给事情.所以准确理解两个原理的关键在于明确：分类计数原理强调完成一件事情的几类办法互不干扰，彼此之间交集为空集，并集为全集，不论哪一类办法中的哪一种方法都能单独完成事件；分步计数原理强调各步骤缺一不可，需要依次完成所有步骤才能完成事件，步与步之间互不影响，即前一步用什么方法不影响后一步采取什么方法.‎ ‎⑵ 排列与组合定义相近，它们的区别在于是否与顺序有关.‎ ‎⑶ 复杂的排列问题常常通过试验、画简图、小数字简化等手段使问题直观化，从而寻求解题途径，由于结果的正确性难以直接检验，因而常需要用不同的方法求解来获得检验.‎ ‎⑷ 按元素的性质进行分类、按事件发生的连续过程分步，是处理组合问题的基本思想方法，要注意题设中"至少""至多"等限制词的意义.‎ ‎⑸ 处理排列组合的综合性问题，一般思想方法是先选元素(组合)，后排列，按元素的性质"分类"和按事件发生的连续过程"分步"，始终是处理排列、组合问题的基本方法和原理，通过解题训练要注意积累分类和分步的基本技能.‎ ‎⑹ 在解决排列组合综合性问题时，必须深刻理解排列与组合的概念，能够熟练确定--问题是排列问题还是组合问题，牢记排列数、组合数计算公式与组合数性质.容易产生的错误是重复和遗漏计数.‎ 常见的解题策略有以下几种：‎ ‎①特殊元素优先安排的策略； ②合理分类与准确分步的策略；‎ ‎③排列、组合混合问题先选后排的策略； ④正难则反、等价转化的策略；‎ ‎⑤相邻问题捆绑处理的策略； ⑥不相邻问题插空处理的策略；‎ ‎⑦定序问题除法处理的策略； ⑧分排问题直排处理的策略；‎ ‎⑨"小集团"排列问题中先整体后局部的策略；‎ ‎⑩构造模型的策略.‎ ‎2.二项定理问题的处理方法和技巧 ‎⑴ 运用二项式定理一定要牢记通项Tr+1 =Can-rbr，注意(a +b)n与(b+a)n虽然相同，但具体到它们展开式的某一项时是不相同的，我们一定要注意顺序问题.另外二项展开式的二项式系数与该项的(字母)系数是两个不同的概念，前者只指C，而后者是字母外的部分.‎ ‎⑵ 对于二项式系数问题，应注意以下几点：‎ ‎①求二项式所有项的系数和，可采用"特殊值取代法"，通常令字母变量的值为1；‎ ‎②关于组合恒等式的证明，常采用"构造法"--构造函数或构造同一问题的两种算法；‎ ‎⑶ 求二项展开式中指定的项，通常是先根据已知条件求r，再求Tr+1，有时还需先求n，再求r，才能求出Tr+1.‎ ‎⑷ 有些三项展开式问题可以变形为二项式问题加以解决；有时也可以通过组合解决，但要注意分类清楚，不重不漏.‎ ‎⑸ 对于二项式系数问题，首先要熟记二项式系数的性质，其次要掌握赋值法，赋值法是解决二项式系数问题的一个重要手段.‎ ‎⑹ 近似计算要首先观察精确度，然后选取展开式中若干项.‎ ‎⑺ 用二项式定理证明整除问题，一般将被除式变为有关除式的二项式的形式再展开，常采用"配凑法""消去法"配合整除的有关知识来解决.‎ ‎3.求事件发生的概率的处理方法和技巧 ‎⑴ 解决等可能性事件的概率问题的关键是：正确求出基本事件总数和事件A包含的基本事件数，这就需要有较好的排列、组合知识.‎ ‎⑵ 要注意恰有k次发生和指定的k次发生的关系，对独立重复试验来说，前者的概率为Cpk(1―p)n―k，后者的概率为pk(1―p)n―k.‎ ‎（3）计算古典概型问题的关键是怎样把一个事件划分为基本事件的和的形式，以便准确计算事件A所包含的基本事件的个数和总的基本事件个数；计算几何概型问题的关键是怎样把具体问题（如时间问题等）转化为相应类型的几何概型问题，及准确计算事件A所包含的基本事件对应的区域的长度、面积或体积．‎ ‎（4）在古典概型问题中，有时需要注意区分试验过程是有序还是无序；在几何概型问题中需注意先判断基本事件是否是"等可能"的．‎ ‎（5）几何概型中，线段的端点、图形的边框是否包含在事件之内不影响所求结果．‎ ‎4、关于统计 ‎（1）对简单随机抽样公平性的理解，即每一次抽取时每个个体被抽到的可能性相等．‎ ‎　　（2）随机数表产生的随机性．计算器和许多计算机数学软件都能很方便地生成随机数表．‎ ‎　　（3）系统抽样中当总体个数Ｎ不能被样本容量整除时，应注意如何从总体中剔除一些个体．‎ ‎　　（4）用系统抽样法在第一段抽样时，采用的是简单随机抽样，因此第一段内每个个体被抽到的可能性相同，而总体中个体编号也是随机的，所以保证了整个系统抽样的公平性．‎ ‎　　（5）分层抽样适用于总体由差异明显的几部分组成的情况．每一层抽样时，采用简单随机抽样或系统抽样．分层抽样中，每个个体被抽到的可能性也是相同的．‎ ‎　　（6）分层抽样充分利用了已知信息，使样本具有较好的代表性，在各层抽样时，根据具体情况可采用不同的抽样方法，因此分层抽样在实践中有着广泛的应用．‎ ‎　　高考预测 ‎　　本节的内容还是一个重点考查的内容，因为这部分内容与实际生活联系比较大，随着新课改的深入，高考将越来越重视这部分的内容，排列、组合、概率、统计都将是重点考查内容，至少会考查其中的两种类型。‎ 五、复习建议 ‎1. 对于一些容易混淆的概念，如排列与排列数、组合与组合数、排列与组合、二项式系数与二项展开式中各项的系数等，应注意弄清它们之间的联系与区别.‎ ‎2. 复习中，对于排列组合应用题，注意从不同的角度去进行求解，以开阔思维，提高解题能力.‎ ‎3. 注意体会解决概率应用题的思考方法，正向思考时要善于将较复杂的问题进行分解，解决有些问题时还要学会运用逆向思考的方法.‎ ‎4、注意复习求线性回归方程的方法，回归分析方法，独立性检验的方法及其应用问题。‎