新课标高考二轮备考抓分点透析文专题九算法与推理 10页

河南省卫辉一中2012届高三二轮备考抓分点透析之数学（文）（升级版）专题九 算法与推理 ‎【重点知识回顾】‎ 答案：顺序结构 分支结构 循环结构 合情推理 归纳推理 类比推理 演绎推理 ‎ 综合法 分析法 反证法 数学归纳法 ‎ ‎【典例例题】‎ 题型1算法框图例1    (1)定义函数CONRND(a,b)是产生区间(a,b)内的任何一个实数的 随机数函数.如图所示的算法框图可用来估计π的值.现在N输入的值为10 0,结果m的输出值为21,则由此可估计π的近似值为　　.　    .‎ ‎(2)(2011年·江西)下图是某算法的程序框图,则程序运行后输出的结果是 　　　    .‎ ‎【分析】(1)读懂算法框图的循环结构和随机数函数,用几何概型求之.‎ ‎(2)先考虑循环变量s和计数变量n的初始值,再确定循环体及循环次数并计算每次的运算结果,最后确定输出变量s的值.‎ ‎【解析】(1)点(A,B)应在矩形区域{(A,B)|-11时,输出m=21,表示点(A,B)在矩形区域内部和单位圆的外部有21个点,根据几何概率得 = ,∴π=4× =3.16.‎ ‎(2)第一次,s1=0+(-1)1+1=0,n=2;第二次,s2=0+(-1)2+2=3,n=3;第三次,s3=3+(-1)3+3=5,n=4;第四次,s4=5+(-1)4+4=10>9,故填10.‎ ‎【答案】(1)3.16    (2)10‎ 总结：(1)算法用来解决实际问题会是高考的一个命题亮点.本题 借助框图,考查了几何概型,又验证了圆周率的近似值,是一道好题.(2)算 法框图命题背景常常是数列、统计、函数等等.在知识的交汇处命题是 高考的一大特色.本题就是用框图解决数列的一道好题.‎ 题型2 直接证明与间接证明 综合法是“由因导果”,而分析法则是“执果索因”,它们是截然相 反的两种证明方法,分析法便于我们去寻找思路,而综合法便于过程的叙 述,两种方法各有所长,在解决具体的问题中,综合应用,效果会更好.‎ 一般 直接证明中的综合法会在解答题中重点考查.而反证法一般作为客观题 的判断方法,很少单独命题,但可能会在大题中用到.‎ 例3    如图,四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,PC⊥AD,底面ABCD为 梯形,AB∥DC,AB⊥BC,AB=BC,点E在棱PB上,且PE=2EB.‎ ‎(1)求证:平面PAB⊥平面PCB; ‎ ‎(2)求证:PD∥平面EAC.‎ ‎【分析】本题以立体几何中的四棱锥为载体,重点考查平行与垂直这两大位置关系的推理论证,其中第(1)问,要证面面垂直,即要证两平面中的一个平面经过另一平面的一条垂线,从而问题的关键在于寻找平面PAB或平面PCB的垂线,根据图形的特征,可证CB与平面PAB垂直,这可由条件AB⊥BC,PA⊥CB即得;第(2)问要使得线面平行,只需保证线线平行,即使PD与平面AEC内的一条直线平行,连结BD交AC于M,从而问题转化为探究PD与EM能否平行的问题.‎ ‎【解析】(1)∵PA⊥底面ABCD,∴PA⊥BC,‎ 又AB⊥BC,PA∩AB=A,‎ ‎∴BC⊥平面PAB.‎ 又BC⊂平面PCB,∴平面PAB⊥平面PCB.‎ ‎(2)∵PA⊥底面ABCD,∴AC为PC在平面ABCD内的射影.‎ 又∵PC⊥AD,∴AC⊥AD.‎ 在梯形ABCD中,由AB⊥BC,AB=BC,得∠BAC= ,‎ 又∵AB∥DC,∴∠DCA=∠BAC= ,又AC⊥AD,故△DAC为等腰直角三角形.‎ ‎∴DC= AC= × AB=2AB.‎ 连结BD交AC于点M,连结EM,则 = =2.‎ 在△BPD中, = =2,∴PD∥EM.‎ 又PD⊄平面EAC,EM⊂平面EAC,∴PD∥平面EAC.‎ 立体几何是高中数学的重要组成部分,在高考中的试题多以中档题形式出现,综合考查线面平行及垂直问题等基础知识,在备考复习时,要依据课本知识,构建空间思维网络,熟练掌握线面平行、垂直的性质、判定定理.‎ 题型3：合情推理 例3．（1）观察圆周上n个点之间所连的弦，发现两个点可以连一条弦，3个点可以连3条弦，4个点可以连6条弦，5个点可以连10条弦，你由此可以归纳出什么规律？‎ ‎（2）把下面在平面内成立的结论类比推广到空间，并判断类比的结论是否成立：‎ ‎1）如果一条直线与两条平行直线中的一条相交，则必于另一条相交。‎ ‎2）如果两条直线同时垂直与第三条直线，则这两条直线平行。‎ 解析：（1）设为个点可连的弦的条数，则 ‎（2）‎ ‎1）一个平面如和两个平行平面中的一个相交，则必然和另一个也相交，次结论成立；‎ ‎2）若两个平面同时垂直第三个骗马，则这两个平面也相互平行，此结论不成立。‎ 点评：当前提为真，结论可能为真的推理。一定要理解合情推理的必要性。‎ 题型4：演绎推理 例4．（07年天津）如图，在五面体中，点是矩形的对角线的交点，面是等边三角形，棱。‎ ‎（1）证明//平面；‎ ‎（2）设，证明平面。‎ 解析：（Ⅰ）证明：取CD中点M，连结OM.‎ 在矩形ABCD中，，又，‎ 则，连结EM，于是四边形EFOM为平行四边形.‎ 又平面CDE，切EM平面CDE，∵FO∥平面CDE ‎（Ⅱ）证明：连结FM，由（Ⅰ）和已知条件，在等边△CDE中，‎ 且。‎ 因此平行四边形EFOM为菱形，从而EO⊥FM而FM∩CD=M，∴CD⊥平面EOM，从而CD⊥EO.而，所以EO⊥平面CDF。‎ 点评：本小题考查直线与平面平行、直线与平面垂直等基础知识，考查空间想象能力和推理论证能力.‎ 题型5：特殊证法（如：数学归纳法）‎ 例5．（1）用反证法证明：如果a>b>0，那么；‎ ‎（2）（全国II）设数列｛an｝的前n项和为Sn，且方程x2－anx－an＝0有一根为Sn－1，n＝1，2，3，…。‎ ‎（Ⅰ）求a1，a2；（Ⅱ）｛an｝的通项公式。‎ 解析：（1）假设不大于，则或者<,或者=。‎ ‎∵a>0，b>0，∴<<，<‎ ‎，ab>0矛盾，∴.‎ 证法二（直接证法），‎ ‎∵a>b>0,∴a - b>0即，‎ ‎∴，∴。‎ ‎（2）(Ⅰ)当n＝1时，x2－a1x－a1＝0有一根为S1－1＝a1－1，‎ 于是(a1－1)2－a1(a1－1)－a1＝0，解得a1＝。‎ 当n＝2时，x2－a2x－a2＝0有一根为S2－1＝a2－，‎ 于是(a2－)2－a2(a2－)－a2＝0，解得a1＝。‎ ‎(Ⅱ)由题设(Sn－1)2－an(Sn－1)－an＝0，Sn2－2Sn＋1－anSn＝0。‎ 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1，代入上式得Sn－1Sn－2Sn＋1＝0　　　①‎ 由(Ⅰ)知S1＝a1＝，S2＝a1＋a2＝＋＝。‎ 由①可得S3＝，由此猜想Sn＝，n＝1，2，3，…‎ 下面用数学归纳法证明这个结论 ‎(i)n＝1时已知结论成立；‎ ‎(ii)假设n＝k时结论成立，即Sk＝，‎ 当n＝k＋1时，由①得Sk＋1＝，即Sk＋1＝，‎ 故n＝k＋1时结论也成立．‎ 综上，由(i)、(ii)可知Sn＝对所有正整数n都成立，‎ 于是当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－＝，‎ 又n＝1时，a1＝＝，所以｛an｝的通项公式an＝，n＝1，2，3，…‎ 点评：要应用好反证法、数学归纳法证明一些涉及代数、不等式、几何的结论。‎ 题型10：框图 例10．（1）方案1：派出调研人员赴北京、上海、广州调研，待调研人员回来后决定生产数量；‎ 方案2：商家如战场！抓紧时间搞好调研，然后进行生产，调研为此项目的的瓶颈，因此需要添加力量，齐头并进搞调研，以便提前结束调研，尽早投产使产品占领市场.‎ ‎（2）公司人事结构图 解析：（1）方案1：派出调研人员赴北京、上海、广州调研，待调研人员回来后决定生产数量。‎ ‎  ‎ 方案2： 商家如战场！抓紧时间搞好调研，然后进行生产，调研为此项目的的瓶颈，因此需要添加力量，齐头并进搞调研，以便提前结束调研，尽早投产使产品占领市场。‎ 于是：‎ ‎（2）‎ 点评：建立合理的结构图和流程图解决实际问题，要形成良好的书写习惯遵循从上到下、从左到右的规则。‎ ‎【模拟演练】‎ ‎1.如果执行右面的程序框图，那么输出的（　　）‎ Ａ．2450 Ｂ．2500 ‎ Ｃ．2550 Ｄ．2652‎ ‎2.如右图所示的程序框图的输出结果是 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ 开始 ‎？‎ 是 否 输出 结束 k≤n 开始 S←1,k←1‎ 结束 是 否 S←S×2‎ 输出S k←k+1‎ 输入n=3‎ 第2题 k≥-50‎ 开始 k=1‎ S=0‎ 结束 是 否 S=S-2k 输出S k=k-1‎ 第1题 ‎3.如果执行右面的程序框图，那么输出的是 ( )‎ A． B． C． D．‎ 是 否 开始 输入a,b,c x=a b>x 输出x 结束 x=b x=c 否 是 ‎4.右面的程序框图，如果输入三个实数a、b、c，要 求输出这三个数中最大的数，那么在空白的判断 框中，应该填入下面四个选项中的（ ）‎ A. c > x B. x > c C. c > b D. b > c 二.填空题 ‎1如果执行下面 的程序框图，那么输出的=_________ ．‎ 第4题 开始 k←1‎ S←0‎ k≤100?‎ S←S+2k-1‎ k←k+1‎ 结束 输出S 否 是 ‎2.阅读图4的程序框图，若输入m=4,n=3,则输出a=_______,i=________。‎ ‎ （注：框图中的赋值符号“＝”，也可以写成“←”或“：＝”）‎ ‎3.运行下图所示的程序流程图，则输出的值 P←P×I I←I+2‎ P←1，I←1‎ 开始 输出I 是 否 结束 ‎（第3题图）‎ 为_________________． ‎ ‎4 .执行下图的程序框图，如果输入的，那么输出的________________. ‎ ‎5.根据下面的框图，打印的最后一个数据是 . ‎ n≤k 开始 输入正整数k n←-1,S←0‎ S←S+2n 输出S 结束 是 否 n←n+1‎ 第4题 答案：‎ 一.选择题 ‎1. 解答过程：由程序知 答案C ‎2.答案：C ‎3.答案：C ‎4. 解答过程：易知选A 二.填空题 ‎1.答案：10000‎ ‎2. 解答过程：要结束程序的运算，就必须通过整除的条件运算，‎ 而同时也整除，那么的最小值应为和的最小公倍 数12，即此时有。‎ ‎3. 答案：‎ ‎4. 答案：2548 ‎ ‎5. 答案：63‎