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- 2021-05-13 发布
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2016 年山东省高考数学试卷(文科)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,每小题给出四个选项
中,只有一个是项符合题目要求的.
1.(5 分)设集合 U={1,2,3,4,5,6},A={1,3,5},B={3,4,5},则
∁
U
(A∪B)=( )
A.{2,6} B.{3,6} C.{1,3,4,5} D.{1,2,4,6}
2.(5 分)若复数 z= ,其中 i 为虚数单位,则 =( )
A.1+i B.1﹣i C.﹣1+i D.﹣1﹣i
3.(5 分)某高校调查了 200 名学生每周的自习时间(单位:小时),制成了如
图所示的频率分布直方图,其中自习时间的范围是[17.5,30],样本数据分组为
[17.5,20),[20,22.5),[22.5,25),[25,27.5),[27.5,30].根据直方图,
这 200 名学生中每周的自习时间不少于 22.5 小时的人数是( )
A.56 B.60 C.120 D.140
4.(5 分)若变量 x,y 满足 ,则 x2+y2 的最大值是( )
A.4 B.9 C.10 D.12
5.(5 分)一个由半球和四棱锥组成的几何体,其三视图如图所示.则该几何体
的体积为( )
A. + π B. + π C. + π D.1+ π
6.(5 分)已知直线 a,b 分别在两个不同的平面α,β内.则“直线 a 和直线 b 相
交”是“平面α和平面β相交”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
7.(5 分)已知圆 M:x2+y2﹣2ay=0(a>0)截直线 x+y=0 所得线段的长度是 2 ,
则圆 M 与圆 N:(x﹣1)2+(y﹣1)2=1 的位置关系是( )
A.内切 B.相交 C.外切 D.相离
8.(5 分)△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,已知 b=c,a2=2b2(1
﹣sinA),则 A=( )
A. B. C. D.
9.(5 分)已知函数 f(x)的定义域为 R.当 x<0 时,f(x)=x3﹣1;当﹣1≤x
≤1 时,f(﹣x)=﹣f(x);当 x> 时,f(x+ )=f(x﹣ ).则 f(6)=( )
A.﹣2 B.1 C.0 D.2
10.(5 分)若函数 y=f(x)的图象上存在两点,使得函数的图象在这两点处的
切线互相垂直,则称 y=f(x)具有 T 性质.下列函数中具有 T 性质的是( )
A.y=sinx B.y=lnx C.y=ex D.y=x3
二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.
11.(5 分)执行如图的程序框图,若输入 n 的值为 3,则输出的 S 的值为 .
12.(5 分)观察下列等式:
(sin )﹣2+(sin )﹣2= ×1×2;
(sin )﹣2+(sin )﹣2+(sin )﹣2+sin( )﹣2= ×2×3;
(sin )﹣2+(sin )﹣2+(sin )﹣2+…+sin( )﹣2= ×3×4;
(sin )﹣2+(sin )﹣2+(sin )﹣2+…+sin( )﹣2= ×4×5;
…
照此规律,
(sin )﹣2+(sin )﹣2+(sin )﹣2+…+(sin )﹣2= .
13.(5 分)已知向量 =(1,﹣1), =(6,﹣4),若 ⊥(t + ),则实数 t 的
值为 .
14.(5 分)已知双曲线 E: ﹣ =1(a>0,b>0),若矩形 ABCD 的四个顶点
在 E 上,AB,CD 的中点为 E 的两个焦点,且 2|AB|=3|BC|,则 E 的离心率是 .
15.(5 分)已知函数 f(x)= ,其中 m>0,若存在实数 b,
使得关于 x 的方程 f(x)=b 有三个不同的根,则 m 的取值范围是 .
三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分
16.(12 分)某儿童节在“六一”儿童节推出了一项趣味活动.参加活动的儿童需
转动如图所示的转盘两次,每次转动后,待转盘停止转动时,记录指针所指区域
中的数.记两次记录的数分别为 x,y.奖励规则如下:
①若 xy≤3,则奖励玩具一个;
②若 xy≥8,则奖励水杯一个;
③其余情况奖励饮料一瓶.
假设转盘质地均匀,四个区域划分均匀,小亮准备参加此项活动.
(Ⅰ)求小亮获得玩具的概率;
(Ⅱ)请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小,并说明理由.
17.(12 分)设 f(x)=2 sin(π﹣x)sinx﹣(sinx﹣cosx)2.
(Ⅰ)求 f(x)的单调递增区间;
(Ⅱ)把 y=f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变),
再把得到的图象向左平移 个单位,得到函数 y=g(x)的图象,求 g( )的
值.
18.(12 分)在如图所示的几何体中,D 是 AC 的中点,EF∥DB.
(Ⅰ)已知 AB=BC,AE=EC,求证:AC⊥FB;
(Ⅱ)已知 G,H 分别是 EC 和 FB 的中点,求证:GH∥平面 ABC.
19.(12 分)已知数列{an}的前 n 项和 Sn=3n2+8n,{bn}是等差数列,且 an=bn+bn+1.
(Ⅰ)求数列{bn}的通项公式;
(Ⅱ)令 cn= ,求数列{cn}的前 n 项和 Tn.
20.(13 分)设 f(x)=xlnx﹣ax2+(2a﹣1)x,a
∈
R.
(Ⅰ)令 g(x)=f′(x),求 g(x)的单调区间;
(Ⅱ)已知 f(x)在 x=1 处取得极大值,求实数 a 的取值范围.
21.(14 分)已知椭圆 C: + =1(a>b>0)的长轴长为 4,焦距为 2 .
(Ⅰ)求椭圆 C 的方程;
(Ⅱ)过动点 M(0,m)(m>0)的直线交 x 轴于点 N,交 C 于点 A,P(P 在
第一象限),且 M 是线段 PN 的中点,过点 P 作 x 轴的垂线交 C 于另一点 Q,延
长 QM 交 C 于点 B.
(ⅰ)设直线 PM,QM 的斜率分别为 k,k′,证明 为定值;
(ⅱ)求直线 AB 的斜率的最小值.
2016 年山东省高考数学试卷(文科)
参考答案与试题解析
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,每小题给出四个选项
中,只有一个是项符合题目要求的.
1.(5 分)(2016•山东)设集合 U={1,2,3,4,5,6},A={1,3,5},B={3,
4,5},则
∁
U(A∪B)=( )
A.{2,6} B.{3,6} C.{1,3,4,5} D.{1,2,4,6}
【分析】求出 A 与 B 的并集,然后求解补集即可.
【解答】解:集合 U={1,2,3,4,5,6},A={1,3,5},B={3,4,5},
则 A∪B={1,3,4,5}.
∁
U(A∪B)={2,6}.
故选:A.
2.(5 分)(2016•山东)若复数 z= ,其中 i 为虚数单位,则 =( )
A.1+i B.1﹣i C.﹣1+i D.﹣1﹣i
【分析】根据复数的四则运算先求出 z,然后根据共轭复数的定义进行求解即可.
【解答】解:∵z= = =1+i,
∴ =1﹣i,
故选:B
3.(5 分)(2016•山东)某高校调查了 200 名学生每周的自习时间(单位:小时),
制成了如图所示的频率分布直方图,其中自习时间的范围是[17.5,30],样本数
据分组为[17.5,20),[20,22.5),[22.5,25),[25,27.5),[27.5,30].根据
直方图,这 200 名学生中每周的自习时间不少于 22.5 小时的人数是( )
A.56 B.60 C.120 D.140
【分析】根据已知中的频率分布直方图,先计算出自习时间不少于 22.5 小时的
频率,进而可得自习时间不少于 22.5 小时的频数.
【解答】解:自习时间不少于 22.5 小时的频率为:(0.16+0.08+0.04)×2.5=0.7,
故自习时间不少于 22.5 小时的频率为:0.7×200=140,
故选:D
4.(5 分)(2016•山东)若变量 x,y 满足 ,则 x2+y2 的最大值是( )
A.4 B.9 C.10 D.12
【分析】由约束条件作出可行域,然后结合 x2+y2 的几何意义,即可行域内的动
点与原点距离的平方求得 x2+y2 的最大值.
【解答】解:由约束条件 作出可行域如图,
∵A(0,﹣3),C(0,2),
∴|OA|>|OC|,
联立 ,解得 B(3,﹣1).
∵ ,
∴x2+y2 的最大值是 10.
故选:C.
5.(5 分)(2016•山东)一个由半球和四棱锥组成的几何体,其三视图如图所示.则
该几何体的体积为( )
A. + π B. + π C. + π D.1+ π
【分析】由已知中的三视图可得:该几何体上部是一个半球,下部是一个四棱锥,
进而可得答案.
【解答】解:由已知中的三视图可得:该几何体上部是一个半球,下部是一个四
棱锥,
半球的直径为棱锥的底面对角线,
由棱锥的底底面棱长为 1,可得 2R= .
故 R= ,故半球的体积为: = π,
棱锥的底面面积为:1,高为 1,
故棱锥的体积 V= ,
故组合体的体积为: + π,
故选:C
6.(5 分)(2016•山东)已知直线 a,b 分别在两个不同的平面α,β内.则“直线
a 和直线 b 相交”是“平面α和平面β相交”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【分析】根据空间直线与直线,平面与平面位置关系的几何特征,结合充要条件
的定义,可得答案.
【解答】解:当“直线 a 和直线 b 相交”时,“平面α和平面β相交”成立,
当“平面α和平面β相交”时,“直线 a 和直线 b 相交”不一定成立,
故“直线 a 和直线 b 相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要条件,
故选:A
7.(5 分)(2016•山东)已知圆 M:x2+y2﹣2ay=0(a>0)截直线 x+y=0 所得线
段的长度是 2 ,则圆 M 与圆 N:(x﹣1)2+(y﹣1)2=1 的位置关系是( )
A.内切 B.相交 C.外切 D.相离
【分析】根据直线与圆相交的弦长公式,求出 a 的值,结合两圆的位置关系进行
判断即可.
【解答】解:圆的标准方程为 M:x2+(y﹣a)2=a2 (a>0),
则圆心为(0,a),半径 R=a,
圆心到直线 x+y=0 的距离 d= ,
∵圆 M:x2+y2﹣2ay=0(a>0)截直线 x+y=0 所得线段的长度是 2 ,
∴2 =2 =2 =2 ,
即 = ,即 a2=4,a=2,
则圆心为 M(0,2),半径 R=2,
圆 N:(x﹣1)2+(y﹣1)2=1 的圆心为 N(1,1),半径 r=1,
则 MN= = ,
∵R+r=3,R﹣r=1,
∴R﹣r<MN<R+r,
即两个圆相交.
故选:B
8.(5 分)(2016•山东)△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,已知 b=c,
a2=2b2(1﹣sinA),则 A=( )
A. B. C. D.
【分析】利用余弦定理,建立方程关系得到 1﹣cosA=1﹣sinA,即 sinA=cosA,进
行求解即可.
【解答】解:∵b=c,
∴a2=b2+c2﹣2bccosA=2b2﹣2b2cosA=2b2(1﹣cosA),
∵a2=2b2(1﹣sinA),
∴1﹣cosA=1﹣sinA,
则 sinA=cosA,即 tanA=1,
即 A= ,
故选:C
9.(5 分)(2016•山东)已知函数 f(x)的定义域为 R.当 x<0 时,f(x)=x3
﹣1;当﹣1≤x≤1 时,f(﹣x)=﹣f(x);当 x> 时,f(x+ )=f(x﹣ ).则
f(6)=( )
A.﹣2 B.1 C.0 D.2
【分析】求得函数的周期为 1,再利用当﹣1≤x≤1 时,f(﹣x)=﹣f(x),得到
f(1)=﹣f(﹣1),当 x<0 时,f(x)=x3﹣1,得到 f(﹣1)=﹣2,即可得出结
论.
【解答】解:∵当 x> 时,f(x+ )=f(x﹣ ),
∴当 x> 时,f(x+1)=f(x),即周期为 1.
∴f(6)=f(1),
∵当﹣1≤x≤1 时,f(﹣x)=﹣f(x),
∴f(1)=﹣f(﹣1),
∵当 x<0 时,f(x)=x3﹣1,
∴f(﹣1)=﹣2,
∴f(1)=﹣f(﹣1)=2,
∴f(6)=2.
故选:D.
10.(5 分)(2016•山东)若函数 y=f(x)的图象上存在两点,使得函数的图象
在这两点处的切线互相垂直,则称 y=f(x)具有 T 性质.下列函数中具有 T 性质
的是( )
A.y=sinx B.y=lnx C.y=ex D.y=x3
【分析】若函数 y=f(x)的图象上存在两点,使得函数的图象在这两点处的切线
互相垂直,则函数 y=f(x)的导函数上存在两点,使这点的导函数值乘积为﹣1,
进而可得答案.
【解答】解:函数 y=f(x)的图象上存在两点,使得函数的图象在这两点处的切
线互相垂直,
则函数 y=f(x)的导函数上存在两点,使这点的导函数值乘积为﹣1,
当 y=sinx 时,y′=cosx,满足条件;
当 y=lnx 时,y′= >0 恒成立,不满足条件;
当 y=ex 时,y′=ex>0 恒成立,不满足条件;
当 y=x3 时,y′=3x2>0 恒成立,不满足条件;
故选:A
二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.
11.(5 分)(2016•山东)执行如图的程序框图,若输入 n 的值为 3,则输出的 S
的值为 1 .
【分析】根据程序框图进行模拟计算即可.
【解答】解:若输入 n 的值为 3,
则第一次循环,S=0+ ﹣1= ﹣1,1≥3 不成立,
第二次循环,S= ﹣1+ = ﹣1,2≥3 不成立,
第三次循环,S= ﹣1+ ﹣ = ﹣1=2﹣1=1,3≥3 成立,
程序终止,输出 S=1,
故答案为:1
12.(5 分)(2016•山东)观察下列等式:
(sin )﹣2+(sin )﹣2= ×1×2;
(sin )﹣2+(sin )﹣2+(sin )﹣2+sin( )﹣2= ×2×3;
(sin )﹣2+(sin )﹣2+(sin )﹣2+…+sin( )﹣2= ×3×4;
(sin )﹣2+(sin )﹣2+(sin )﹣2+…+sin( )﹣2= ×4×5;
…
照此规律,
( sin ) ﹣ 2+ ( sin ) ﹣ 2+ ( sin ) ﹣ 2+…+ ( sin ) ﹣ 2= n
(n+1) .
【分析】由题意可以直接得到答案.
【解答】解:观察下列等式:
(sin )﹣2+(sin )﹣2= ×1×2;
(sin )﹣2+(sin )﹣2+(sin )﹣2+sin( )﹣2= ×2×3;
(sin )﹣2+(sin )﹣2+(sin )﹣2+…+sin( )﹣2= ×3×4;
(sin )﹣2+(sin )﹣2+(sin )﹣2+…+sin( )﹣2= ×4×5;
…
照此规律(sin )﹣2+(sin )﹣2+(sin )﹣2+…+(sin )﹣2= ×n
(n+1),
故答案为: n(n+1)
13.(5 分)(2016•山东)已知向量 =(1,﹣1), =(6,﹣4),若 ⊥(t + ),
则实数 t 的值为 ﹣5 .
【分析】根据向量的坐标运算和向量的数量积计算即可.
【解答】解:∵向量 =(1,﹣1), =(6,﹣4),
∴t + =(t+6,﹣t﹣4),
∵ ⊥(t + ),
∴ •(t + )=t+6+t+4=0,
解得 t=﹣5,
故答案为:﹣5.
14.(5 分)(2016•山东)已知双曲线 E: ﹣ =1(a>0,b>0),若矩形 ABCD
的四个顶点在 E 上,AB,CD 的中点为 E 的两个焦点,且 2|AB|=3|BC|,则 E 的
离心率是 2 .
【分析】可令 x=c,代入双曲线的方程,求得 y=± ,再由题意设出 A,B,C,
D 的坐标,由 2|AB|=3|BC|,可得 a,b,c 的方程,运用离心率公式计算即可得
到所求值.
【解答】解:令 x=c,代入双曲线的方程可得 y=±b =± ,
由题意可设 A(﹣c, ),B(﹣c,﹣ ),C(c,﹣ ),D(c, ),
由 2|AB|=3|BC|,可得
2• =3•2c,即为 2b2=3ac,
由 b2=c2﹣a2,e= ,可得 2e2﹣3e﹣2=0,
解得 e=2(负的舍去).
故答案为:2.
15.(5 分)(2016•山东)已知函数 f(x)= ,其中 m>0,
若存在实数 b,使得关于 x 的方程 f(x)=b 有三个不同的根,则 m 的取值范围
是 (3,+∞) .
【分析】作出函数 f(x)= 的图象,依题意,可得 4m﹣m2
<m(m>0),解之即可.
【解答】解:当 m>0 时,函数 f(x)= 的图象如下:
∵x>m 时,f(x)=x2﹣2mx+4m=(x﹣m)2+4m﹣m2>4m﹣m2,
∴y 要使得关于 x 的方程 f(x)=b 有三个不同的根,
必须 4m﹣m2<m(m>0),
即 m2>3m(m>0),
解得 m>3,
∴m 的取值范围是(3,+∞),
故答案为:(3,+∞).
三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分
16.(12 分)(2016•山东)某儿童节在“六一”儿童节推出了一项趣味活动.参加
活动的儿童需转动如图所示的转盘两次,每次转动后,待转盘停止转动时,记录
指针所指区域中的数.记两次记录的数分别为 x,y.奖励规则如下:
①若 xy≤3,则奖励玩具一个;
②若 xy≥8,则奖励水杯一个;
③其余情况奖励饮料一瓶.
假设转盘质地均匀,四个区域划分均匀,小亮准备参加此项活动.
(Ⅰ)求小亮获得玩具的概率;
(Ⅱ)请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小,并说明理由.
【分析】(Ⅰ)确定基本事件的概率,利用古典概型的概率公式求小亮获得玩具
的概率;
(Ⅱ)求出小亮获得水杯与获得饮料的概率,即可得出结论.
【解答】解:(Ⅰ)两次记录的数为(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,2),
(2,3),(2,4),(3,4),(2,1),(3,1),(4,1),(3,2),(3,3),(4,
2),(4,3),(4,4),共 16 个,
满足 xy≤3,有(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(3,1),共 5 个,
∴小亮获得玩具的概率为 ;
(Ⅱ)满足 xy≥8,(2,4),(3,4),(4,2),(4,3),(3,3),(4,4)共 6
个,∴小亮获得水杯的概率为 ;
小亮获得饮料的概率为 1﹣ ﹣ = ,
∴小亮获得水杯大于获得饮料的概率.
17.(12 分)(2016•山东)设 f(x)=2 sin(π﹣x)sinx﹣(sinx﹣cosx)2.
(Ⅰ)求 f(x)的单调递增区间;
(Ⅱ)把 y=f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变),
再把得到的图象向左平移 个单位,得到函数 y=g(x)的图象,求 g( )的
值.
【分析】(Ⅰ)利用三角恒等变换化简 f(x)的解析式,再利用正弦函数的单调
性,求得函数的增区间.
(Ⅱ)利用函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,求得 g(x)的解析式,从而
求得 g( )的值.
【解答】解:(Ⅰ)∵f(x)=2 sin(π﹣x)sinx﹣(sinx﹣cosx)2 =2 sin2x﹣
1+sin2x=2 • ﹣1+sin2x
=sin2x﹣ cos2x+ ﹣1=2sin(2x﹣ )+ ﹣1,
令 2kπ﹣ ≤2x﹣ ≤2kπ+ ,求得 kπ﹣ ≤x≤kπ+ ,
可得函数的增区间为[kπ﹣ ,kπ+ ],k
∈
Z.
(Ⅱ)把 y=f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变),
可得 y=2sin(x﹣ )+ ﹣1 的图象;
再把得到的图象向左平移 个单位,得到函数 y=g(x)=2sinx+ ﹣1 的图象,
∴g( )=2sin + ﹣1= .
18.(12 分)(2016•山东)在如图所示的几何体中,D 是 AC 的中点,EF∥DB.
(Ⅰ)已知 AB=BC,AE=EC,求证:AC⊥FB;
(Ⅱ)已知 G,H 分别是 EC 和 FB 的中点,求证:GH∥平面 ABC.
【分析】(Ⅰ)由条件利用等腰三角形的性质,证得 BD⊥AC,ED⊥AC,再利用
直线和平面垂直的判定定理证得 AC⊥平面 EFBD,从而证得 AC⊥FB.
(Ⅱ)再取 CF 的中点 O,利用直线和平面平行的判定定理证明 OG∥平面 ABC,
OH∥平面 ABC,可得平面 OGH∥平面 ABC,从而证得 GH∥平面 ABC.
【解答】(Ⅰ)证明:如图所示,∵D 是 AC 的中点,AB=BC,AE=EC,
∴△BAC、△EAC 都是等腰三角形,
∴BD⊥AC,ED⊥AC.
∵EF∥DB,∴E、F、B、D 四点共面,这样,
AC 垂直于平面 EFBD 内的两条相交直线 ED、BD,
∴AC⊥平面 EFBD.
显然,FB
⊂
平面 EFBD,∴AC⊥FB.
(Ⅱ)已知 G,H 分别是 EC 和 FB 的中点,再取 CF 的中点 O,
则 OG∥EF,∵OG∥BD,
∴OG∥BD,而 BD
⊂
平面 ABC,∴OG∥平面 ABC.
同理,OH∥BC,而 BC
⊂
平面 ABC,∴OH∥平面 ABC.
∵OG∩OH=O,∴平面 OGH∥平面 ABC,∴GH∥平面 ABC.
19.(12 分)(2016•山东)已知数列{an}的前 n 项和 Sn=3n2+8n,{bn}是等差数列,
且 an=bn+bn+1.
(Ⅰ)求数列{bn}的通项公式;
(Ⅱ)令 cn= ,求数列{cn}的前 n 项和 Tn.
【分析】(Ⅰ)求出数列{an}的通项公式,再求数列{bn}的通项公式;
(Ⅱ)求出数列{cn}的通项,利用错位相减法求数列{cn}的前 n 项和 Tn.
【解答】解:(Ⅰ)Sn=3n2+8n,
∴n≥2 时,an=Sn﹣Sn﹣1=6n+5,
n=1 时,a1=S1=11,∴an=6n+5;
∵an=bn+bn+1,
∴an﹣1=bn﹣1+bn,
∴an﹣an﹣1=bn+1﹣bn﹣1.
∴2d=6,
∴d=3,
∵a1=b1+b2,
∴11=2b1+3,
∴b1=4,
∴bn=4+3(n﹣1)=3n+1;
(Ⅱ)cn= = =6(n+1)•2n,
∴Tn=6[2•2+3•22+…+(n+1)•2n]①,
∴2Tn=6[2•22+3•23+…+n•2n+(n+1)•2n+1]②,
① ﹣ ② 可 得 ﹣ Tn=6[2•2+22+23+…+2n ﹣ ( n+1 ) •2n+1]=12+6 × ﹣ 6
(n+1)•2n+1=(﹣6n)•2n+1=﹣3n•2n+2,
∴Tn=3n•2n+2.
20.(13 分)(2016•山东)设 f(x)=xlnx﹣ax2+(2a﹣1)x,a
∈
R.
(Ⅰ)令 g(x)=f′(x),求 g(x)的单调区间;
(Ⅱ)已知 f(x)在 x=1 处取得极大值,求实数 a 的取值范围.
【分析】(Ⅰ)先求出 g(x)=f′(x)的解析式,然后求函数的导数 g′(x),利用
函数单调性和导数之间的关系即可求 g(x)的单调区间;
(Ⅱ)分别讨论 a 的取值范围,根据函数极值的定义,进行验证即可得到结论.
【解答】解:(Ⅰ)∵f(x)=xlnx﹣ax2+(2a﹣1)x,
∴g(x)=f′(x)=lnx﹣2ax+2a,x>0,
g′(x)= ﹣2a= ,
当 a≤0,g′(x)>0 恒成立,即可 g(x)的单调增区间是(0,+∞);
当 a>0,当 x> 时,g′(x)<0,函数为减函数,
当 0<x< ,g′(x)>0,函数为增函数,
∴当 a≤0 时,g(x)的单调增区间是(0,+∞);
当 a>0 时,g(x)的单调增区间是(0, ),单调减区间是( ,+∞);
(Ⅱ)∵f(x)在 x=1 处取得极大值,∴f′(1)=0,
①当 a≤0 时,f′(x)单调递增,
则当 0<x<1 时,f′(x)<0,f(x)单调递减,
当 x>1 时,f′(x)>0,f(x)单调递增,∴f(x)在 x=1 处取得极小值,不合
题意,
②当 0<a< 时, >1,由(1)知,f′(x)在(0, )内单调递增,
当 0<x<1 时,f′(x)<0,当 1<x< 时,f′(x)>0,
∴f(x)在(0,1)内单调递减,在(1, )内单调递增,即 f(x)在 x=1 处
取得极小值,不合题意.
③当 a= 时, =1,f′(x)在(0,1)内单调递增,在(1,+∞)上单调递减,
则当 x>0 时,f′(x)≤0,f(x)单调递减,不合题意.
④当 a> 时,0< <1,
当 <x<1 时,f′(x)>0,f(x)单调递增,当 x>1 时,f′(x)<0,f(x)
单调递减,
∴当 x=1 时,f(x)取得极大值,满足条件.
综上实数 a 的取值范围是 a> .
21.(14 分)(2016•山东)已知椭圆 C: + =1(a>b>0)的长轴长为 4,焦
距为 2 .
(Ⅰ)求椭圆 C 的方程;
(Ⅱ)过动点 M(0,m)(m>0)的直线交 x 轴于点 N,交 C 于点 A,P(P 在
第一象限),且 M 是线段 PN 的中点,过点 P 作 x 轴的垂线交 C 于另一点 Q,延
长 QM 交 C 于点 B.
(ⅰ)设直线 PM,QM 的斜率分别为 k,k′,证明 为定值;
(ⅱ)求直线 AB 的斜率的最小值.
【分析】(Ⅰ)利用已知条件求出椭圆的几何量,即可求解椭圆 C 的方程;
(Ⅱ)(ⅰ)设出 N 的坐标,求出 PQ 坐标,求出直线的斜率,即可推出结果
(ⅱ)求出直线 PM,QM 的方程,然后求解 B,A 坐标,利用 AB 的斜率求解最
小值.
【解答】解:(Ⅰ)椭圆 C: + =1(a>b>0)的长轴长为 4,焦距为 2 .可
得 a=2,c= ,b= ,
可得椭圆 C 的方程: ;
(Ⅱ)过动点 M(0,m)(m>0)的直线交 x 轴于点 N,交 C 于点 A,P(P 在
第一象限),设 N(﹣t,0)t>0,M 是线段 PN 的中点,则 P(t,2m),过点 P
作 x 轴的垂线交 C 于另一点 Q,Q(t,﹣2m),
(ⅰ)证明:设直线 PM,QM 的斜率分别为 k,k′,
k= = ,k′= =﹣ ,
= =﹣3.为定值;
(ⅱ)由题意可得 ,m2=4﹣ t2,QM 的方程为:y=﹣3kx+m,
PN 的方程为:y=kx+m,
联立 ,可得:x2+2(kx+m)2=4,
即:(1+2k2)x2+4mkx+2m2﹣4=0
可得 xA= ,yA= +m,
同理解得 xB= ,
yB= ,
xA﹣xB= k﹣ = ,
yA﹣yB= k+m﹣( )= ,
kAB= = = ,由 m>0,x0>0,可知 k>0,
所以 6k+ ,当且仅当 k= 时取等号.
此时 ,即 m= ,符合题意.
所以,直线 AB 的斜率的最小值为: .