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  • 2021-05-13 发布

高考文科立体几何证明专题

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立体几何专题 ‎1.如图4,在边长为1的等边三角形中,分别是边上的点,,是的中点,与交于点,将沿折起,得到如图5所示的三棱锥,其中.‎ ‎(1) 证明://平面;‎ ‎(2) 证明:平面;‎ ‎(3) 当时,求三棱锥的体积.‎ ‎【解析】(1)在等边三角形中, ‎ ‎,在折叠后的三棱锥中 也成立, ,平面,‎ 平面,平面;‎ ‎(2)在等边三角形中,是的中点,所以①,.‎ ‎ 在三棱锥中,,②‎ ‎;‎ ‎(3)由(1)可知,结合(2)可得.‎ ‎【解析】这个题是入门级的题,除了立体几何的内容,还考查了平行线分线段成比例这个平面几何的内容.‎ ‎2.如图5所示,在四棱锥P-ABCD中,AB平面PAD,ABCD,PD=AD,E是PB的中点,F是DC上的点且DF=AB,PH为PAD中AD边上的高.‎ (1) 证明:PH平面ABCD;‎ (2) 若PH=1,AD=,FC=1,求三棱锥E-BCF的体积;‎ (3) 证明:EF平面PAB. ‎ 解:(1)‎ ‎ ‎ ‎(2):过B点做BG ;‎ 连接HB,取HB 中点M,连接EM,则EM是的中位线 即EM为三棱锥底面上的高 ‎ ‎ ‎=‎ ‎ ‎ ‎(3):取AB中点N,PA中点Q,连接EN,FN,EQ,DQ ‎ 3、如图,已知三棱锥A—BPC中,AP⊥PC, AC⊥BC,‎ M为AB中点,D为PB中点,且△PMB为正三角形。‎ ‎(Ⅰ)求证:DM∥平面APC; ‎ ‎(Ⅱ)求证:平面ABC⊥平面APC;‎ ‎(Ⅲ)若BC=4,AB=20,求三棱锥D—BCM的体积.‎ ‎ ‎ ‎4、已知正方体ABCD—A1B1C1D1,其棱长为2,O是底ABCD对角线的交点。‎ 求证:(1)C1O∥面AB1D1;‎ ‎(2)A1C⊥面AB1D1。 ‎ ‎(3)若M是CC1的中点,求证:平面AB1D1⊥平面MB1D1‎ M ‎5.如图,PA垂直于矩形ABCD所在的平面,AD=PA=2,CD=2,E、F分别是AB、PD的中点.‎ ‎ (1)求证:AF∥平面PCE;‎ ‎ (2)求证:平面PCE⊥平面PCD;‎ ‎ (3)求四面体PEFC的体积.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎6.如图,已知在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥平面ABC,AC=BC,M、N、P、Q分别是AA1、BB1、AB、B1C1的中点.‎ ‎(1)求证:平面PCC1⊥平面MNQ;‎ ‎(2)求证:PC1∥平面MNQ.‎ ‎7.如图,在棱长为2的正方体中,‎ ‎、分别为、 的中点.‎ ‎(1)求证://平面;‎ ‎(2)求证:‎ ‎8.右图为一简单集合体,其底面ABCD为正方形,平面,‎ ‎,且=2 .‎ ‎(1)画出该几何体的三视图;‎ ‎(2)求四棱锥B-CEPD的体积;‎ ‎(3)求证:平面. ‎ ‎9.如图所示,四棱锥中,底面为正方形,平面,,,,分别为、、的中点.‎ ‎(1)求证:;‎ ‎(2)求证:;;‎ ‎(3)求三棱锥的体积.‎ ‎3、解:(Ⅰ)由已知得,是ABP的中位线 ‎ ……………2分 ‎ ……………4分 ‎(Ⅱ)为正三角形,D为PB的中点,‎ ‎, …………………5分 ‎ …………………6分 又 ……………………7分 ‎ ‎ 又 ………………9分 平面ABC⊥平面APC ………………10分 ‎(Ⅲ)∵,是三棱锥M—DBC的高,且MD=…11分 ‎ 又在直角三角形PCB中,由PB=10,BC=4,可得PC= ………12分 于是=, ………………………………………………13分 ‎ = …………………………14分 ‎4、证明:(1)连结,设 连结, 是正方体 ‎ 是平行四边形 且 ‎ 又分别是的中点,且 是平行四边形 ‎ 面,面 面 ……………………………………… 5分 ‎(2)面 ‎ 又, ‎ ‎ ‎ 同理可证, ‎ 又 面 ……………………………………… 9分 ‎(3)设B1D1的中点为N,则AN⊥B1D1,MN⊥B1D1,则 ‎(也可以通过定义证明二面角是直二面角) ……… 14分 ‎5、.解:(1)证明:设G为PC的中点,连结FG,EG,‎ ‎∵F为PD的中点,E为AB的中点,‎ ‎∴FG CD,AECD ‎∴FG AE,∴AF∥GE ‎∵GE⊂平面PEC,‎ ‎∴AF∥平面PCE;‎ ‎(2)证明:∵PA=AD=2,∴AF⊥PD 又∵PA⊥平面ABCD,CD⊂平面ABCD,‎ ‎∴PA⊥CD,∵AD⊥CD,PA∩AD=A,‎ ‎∴CD⊥平面PAD,‎ ‎∵AF⊂平面PAD,∴AF⊥CD.‎ ‎∵PD∩CD=D,∴AF⊥平面PCD,‎ ‎∴GE⊥平面PCD,‎ ‎∵GE⊂平面PEC,‎ ‎∴平面PCE⊥平面PCD;‎ ‎(3)由(2)知,GE⊥平面PCD,‎ 所以EG为四面体PEFC的高,‎ 又GF∥CD,所以GF⊥PD,‎ EG=AF=,GF=CD=,‎ S△PCF=PD·GF=2.‎ 得四面体PEFC的体积V=S△PCF·EG=.‎ ‎6、证明:(1)∵AC=BC,P为AB的中点,∴AB⊥PC,‎ 又CC1∥AA1,‎ AA1⊥平面ABC,‎ ‎∴CC1⊥平面ABC,‎ ‎∴CC1⊥AB,‎ 又∵CC1∩PC=C,‎ ‎∴AB⊥平面PCC1,‎ 由题意知MN∥AB,故MN⊥平面PCC1,‎ MN在平面MNQ内,‎ ‎∴平面PCC1⊥平面MNQ.‎ ‎(2)连接AC1、BC1,∵BC1∥NQ,AB∥MN,‎ 又BC1∩AB=B,‎ ‎∴平面ABC1∥平面MNQ,‎ ‎∵PC1在平面ABC1内,‎ ‎∴PC1∥平面MNQ.‎ 解:(1)证明:连接AF,则AF=2,DF=2,‎ 又AD=4,∴DF2+AF2=AD2,‎ ‎∴DF⊥AF.又PA⊥平面ABCD,‎ ‎∴DF⊥PA,又PA∩AF=A,‎ ‎(2)过点E作EH∥FD交AD于点H,则EH∥平面PFD且AH=AD.‎ 再过点H作HG∥DP交PA于点G,则HG∥平面PFD且AG=AP,‎ ‎∴平面EHG∥平面PFD.‎ ‎∴EG∥平面PFD.‎ 从而满足AG=AP的点G为所求.‎ ‎7、证明: (1)连接 ‎、分别为、的中点,则//,‎ 又平面,平面,‎ ‎∴//平面 ‎ (2)正方体中,平面,则 正方形中,,又=B,AB、平面,‎ 则平面,‎ 平面,所以 又//,所以EF.‎ ‎8、解:(1)该组合体的主视图和侧视图如右图示:-----3分 ‎(2)∵平面,平面 ‎∴平面平面ABCD ‎∵ ∴BC平面----------5分 ‎∵--6分 ‎∴四棱锥B-CEPD的体积 ‎.----8分 ‎(3) 证明:∵,平面,‎ 平面 ‎∴EC//平面,------------------------------------10分 同理可得BC//平面----------------------------11分 ‎∵EC平面EBC,BC平面EBC且 ‎ ‎∴平面//平面-----------------------------13分 又∵BE平面EBC ∴BE//平面PDA------------------------------------------14分 面 ∴三棱锥以为高,三角形为底………10分 ‎∵,,‎ ‎∴. ………12分 ‎∵,‎ ‎∴………14分