2015高考数学（理）（第六章 数　列）一轮过关测试题 7页

第六章　章末检测 ‎(时间：120分钟　满分：150分)‎ 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)‎ ‎1．(2011·茂名月考)已知等差数列{an}中，a7＋a9＝16，a4＝1，则a12的值是 (　　)‎ A．15 B．‎30 ‎ C．31 D．64‎ ‎2．各项均不为零的等差数列{an}中，若a－an－1－an＋1＝0 (n∈N*，n≥2)，则S2 010等(　　)‎ A．0 B．‎2 ‎ C．2 009 D．4 020‎ ‎3．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－4n＋2，则|a1|＋|a2|＋…＋|a10|等于 (　　)‎ A．66 B．‎65 ‎ C．61 D．56‎ ‎4．(2011·南阳模拟)等比数列{an}中，Tn表示前n项的积，若T5＝1，则 (　　)‎ A．a1＝1 B．a3＝‎1 ‎ C．a4＝1 D．a5＝1‎ ‎5．(2010·东北师大附中高三月考)由a1＝1，an＋1＝给出的数列{an}的第34项(　　)‎ A. B．‎100 ‎ C. D. ‎6．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－9n，第k项满足5S7>S5，有下列四个命题：①d<0；②S11>0；③S12<0；④数列{Sn}中的最大项为S11.‎ 其中正确的命题是________．(将所有正确的命题序号填在横线上)‎ 三、解答题(本大题共6小题，共70分)‎ ‎17．(10分)(2011·德州模拟)设等差数列{an}的前n项和为Sn，且a4－a2＝8，S10＝190.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式an；‎ ‎(2)设p，q∈N*，试判断ap·aq是否仍为数列{an}中的项并说明理由．‎ ‎18．(12分)在等差数列{an}中，若a3＋a8＋a13＝12，a‎3a8a13＝28，求数列{an}的通项公式．‎ ‎19．(12分)(2011·武汉月考)已知数列{an}的前n项和为Sn，且向量a＝(n，Sn)，b＝(4，n＋3)共线．‎ ‎(1)求证：数列{an}是等差数列；‎ ‎(2)求数列的前n项和Tn.‎ ‎20．(12分)(2011·唐山月考)已知f(x)＝logax(a>0且a≠1)，设f(a1)，f(a2)，…，f(an) (n∈N*)是首项为4，公差为2的等差数列．‎ ‎(1)设a为常数，求证：{an}成等比数列；‎ ‎(2)若bn＝anf(an)，{bn}的前n项和是Sn，当a＝时，求Sn.‎ ‎21．(12分)(2011·周口月考)已知数列{an}的前三项与数列{bn}的前三项相同，且a1＋‎2a2＋‎22a3＋…＋2n－1an＝8n对任意n∈N*都成立，数列{bn＋1－bn}是等差数列．‎ ‎(1)求数列{an}与{bn}的通项公式；‎ ‎(2)是否存在k∈N*，使得(bk－ak)∈(0,1)？请说明理由．‎ ‎22．(12分)为了治理“沙尘暴”，西部某地区政府经过多年努力，到2006年底，将当地沙漠绿化了40%，从2007年开始，每年将出现这种现象：原有沙漠面积的12%被绿化，即改造为绿洲(被绿化的部分叫绿洲)，同时原有绿洲面积的8%又被侵蚀为沙漠，问至少经过几年的绿化，才能使该地区的绿洲面积超过50%？(可参考数据lg 2＝0.3，最后结果精确到整数)‎ 答案 1．A　[由{an}是等差数列知a7＋a9＝‎2a8＝16，∴a8＝8.又a4＝1，∴a12＝‎2a8－a4＝15.]‎ ‎2．D　[a＝an－1＋an＋1＝2an，an≠0，∴an＝2.‎ ‎∴Sn＝2n，S2 010＝2×2 010＝4 020.]‎ ‎3．A　[当n＝1时，a1＝S1＝－1；‎ 当n≥2时，‎ an＝Sn－Sn－1＝n2－4n＋2－[(n－1)2－4(n－1)＋2]＝2n－5，‎ ‎∴a2＝－1，a3＝1，a4＝3，…，a10＝15，‎ ‎∴|a1|＋|a2|＋…＋|a10|‎ ‎＝1＋1＋＝2＋64＝66.]‎ ‎4．B　[因为{an}是等比数列，所以a1·a5＝a2·a4＝a，代入已知式T5＝1，得a＝1，所以a3＝1.]‎ ‎5．C　[由an＋1＝知，＝＋3，‎ ‎∴是以1为首项，公差为3的等差数列．‎ ‎∴＝1＋(n－1)×3＝3n－2.‎ ‎∴an＝，a34＝＝.]‎ ‎6．B　[∵Sn＝n2－9n，‎ ‎∴n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－10，‎ a1＝S1＝－8适合上式，‎ ‎∴an＝2n－10 (n∈N*)，‎ ‎∴5<2k－10<8，得7.50(显然tan B≠0，若tan B<0，因为tan A>0且tan C>0，tan A＋tan C>0，这与tan B<0矛盾)，‎ 又tan B＝－tan(A＋C)＝－ ‎＝－≠0，所以tan Atan C＝3.‎ 又∵tan A＋tan C≥2＝2，‎ ‎∴tan B≥，∵B∈(0，π)‎ ‎∴B的取值范围是.]‎ ‎12．D　[由题意知Sn＝X，S2n＝Y，S3n＝Z.‎ 又∵{an}是等比数列，‎ ‎∴Sn，S2n－Sn，S3n－S2n为等比数列，‎ 即X，Y－X，Z－Y为等比数列，‎ ‎∴(Y－X)2＝X·(Z－Y)，‎ 即Y2－2XY＋X2＝ZX－XY，‎ ‎∴Y2－XY＝ZX－X2，‎ 即Y(Y－X)＝X(Z－X)．]‎ ‎13．624‎ 解析　an＝＝－.‎ ‎∴(－1)＋(－)＋…＋(－)＝24，‎ ‎∴＝25，∴n＝624.‎ ‎14．52‎ 解析　∵log2(a5＋a9)＝3，∴a5＋a9＝23＝8.‎ ‎∴S13＝＝＝＝52.‎ ‎15．34 950‎ 解析　由“第n组有n个数”的规则分组中，各组数的个数构成一个以1为首项，1为公差的等差数列，前99组数的个数共有＝4 950个，故第100组中的第1个数是34 950.‎ ‎16．①②‎ 解析　由S6>S7得a7<0，‎ 由S6>S5得a6>0，‎ 由S7>S5得a6＋a7>0.‎ 因为d＝a7－a6，∴d<0；‎ S11＝a1＋a2＋…＋a11＝(a1＋a11)＋(a2＋a10)＋…＋a6＝‎11a6>0，S12＝a1＋a2＋…＋a12＝(a1＋a12)＋(a2＋a11)＋…＋(a6＋a7)＝6(a6＋a7)>0；‎ ‎∵a6>0，a7<0，∴{Sn}中S6最大．‎ 故正确的命题为①②.‎ ‎17．解　(1)设数列{an}的首项为a1，公差为d，则 ，………………………………………………………………(4分)‎ 解得a1＝1，d＝4，∴an＝4n－3.………………………………………………………(6分)‎ ‎(2)apaq＝(4p－3)(4q－3)＝16pq－12(p＋q)＋9‎ ‎＝4[4pq－3(p＋q)＋3]－3，‎ ‎∵4pq－3(p＋q)＋3∈N*，………………………………………………………………(8分)‎ ‎∴ap·aq为数列{an}中的项．……………………………………………………………(10分)‎ ‎18．解　∵a3＋a13＝‎2a8，a3＋a8＋a13＝12，‎ ‎∴a8＝4，…………………………………………………………………………………(2分)‎ 则由已知得 解得或…………………………………………………………(7分)‎ 由a3＝1，a13＝7，‎ 可知d＝＝＝.‎ 故an＝a3＋(n－3)·＝n－；……………………………………………………………(9分)‎ 由a3＝7，a13＝1，‎ 可知d＝＝＝－.‎ 故an＝a3＋(n－3)· ‎＝－n＋.……………………………………………………………………………(11分)‎ 综上可得，an＝n－，或an＝－n＋.……………………………………………(12分)‎ ‎19．(1)证明　∵a＝(n，Sn)，b＝(4，n＋3)共线，‎ ‎∴n(n＋3)－4Sn＝0，∴Sn＝.……………………………………………………(3分)‎ ‎∴a1＝S1＝1，‎ 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝，……………………………………………………(5分)‎ 又a1＝1满足此式，∴an＝.………………………………………………………(6分)‎ ‎∴an＋1－an＝为常数，‎ ‎∴数列{an}为首项为1，公差为的等差数列．………………………………………(7分)‎ ‎(2)解　∵＝＝2，…………………………………………………(9分)‎ ‎∴Tn＝＋＋…＋.‎ ‎＝2＋2＋…＋2＝.……………………………………(12分)‎ ‎20．(1)证明　f(an)＝4＋(n－1)×2＝2n＋2，…………………………………………(2分)‎ 即logaan＝2n＋2，可得an＝a2n＋2.‎ ‎∴＝＝ ‎＝a2 (n≥2)为定值．………………………………………………………………………(4分)‎ ‎∴{an}为以a2为公比的等比数列．……………………………………………………(5分)‎ ‎(2)解　bn＝anf(an)＝a2n＋2logaa2n＋2‎ ‎＝(2n＋2)a2n＋2.…………………………………………………………………………(7分)‎ 当a＝时，bn＝(2n＋2)()2n＋2‎ ‎＝(n＋1)2n＋2.‎ Sn＝2·23＋3·24＋4·25＋…＋(n＋1)·2n＋2，①‎ ‎2Sn＝2·24＋3·25＋4·26＋…＋n·2n＋2＋(n＋1)·2n＋3，②‎ ‎①－②，得 ‎－Sn＝2·23＋24＋25＋…＋2n＋2－(n＋1)·2n＋3 …………………………………………(9分)‎ ‎＝16＋－(n＋1)·2n＋3‎ ‎＝16＋2n＋3－24－n·2n＋3－2n＋3＝－n·2n＋3.‎ ‎∴Sn＝n·2n＋3.……………………………………………………………………………(12分)‎ ‎21．解　(1)已知得a1＋‎2a2＋‎22a3＋…＋2n－1an ‎＝8n(n∈N*)，①‎ 当n≥2时，a1＋‎2a2＋‎22a3＋…＋2n－2an－1＝8(n－1)．②‎ 由①－②，得2n－1an＝8.∴an＝24－n.……………………………………………………(3分)‎ 在①中，令n＝1，得a1＝8＝24－1，‎ ‎∴an＝24－n(n∈N*)．‎ 由题意知b1＝8，b2＝4，b3＝2，‎ ‎∴b2－b1＝－4，b3－b2＝－2，‎ ‎∴数列{bn＋1－bn}的公差为－2－(－4)＝2.‎ ‎∴bn＋1－bn＝－4＋(n－1)×2＝2n－6.…………………………………………………(5分)‎ ‎∴bn＝b1＋(b2－b1)＋(b3－b2)＋…＋(bn－bn－1)‎ ‎＝8＋(－4)＋(－2)＋…＋(2n－8)‎ ‎＝n2－7n＋14(n∈N*)．…………………………………………………………………(7分)‎ ‎(2)∵bk－ak＝k2－7k＋14－24－k，‎ 设f(k)＝k2－7k＋14－24－k，‎ 当k≥4时，f(k)＝(k－)2＋－24－k，单调递增，‎ 且f(4)＝1.‎ ‎∴k≥4时，f(k)＝k2－7k＋4－24－k≥1.…………………………………………………(10分)‎ 又f(1)＝f(2)＝f(3)＝0，…………………………………………………………………(11分)‎ ‎∴不存在k∈N*，使得(bk－ak)∈(0,1)．………………………………………………(12分)‎ ‎22．解　设该地区总面积为1,2006年底绿化面积为a1＝，经过n年后绿洲面积为an＋1，设2006年底沙漠面积为b1，经过n年后沙漠面积为bn＋1，则a1＋b1＝1，an＋bn＝1.…(3分)‎ 依题意an＋1由两部分组成：一部分是原有绿洲an减去被侵蚀的部分8%·an的剩余面积92%·an，另一部分是新绿化的12%·bn，‎ ‎∴an＋1＝92%·an＋12%(1－an)‎ ‎＝an＋，………………………………………………………………………………(6分)‎ 即an＋1－＝(an－)．‎ ‎∴{an－}是以－为首项，为公比的等比数列，‎ 则an＋1＝－·()n.………………………………………………………………………(9分)‎ ‎∵an＋1>50%，∴－·()n>.‎ ‎∴()n<，n>＝≈3.……………………………………………………(11分)‎ 则当n≥4时，不等式()n<恒成立．‎ ‎∴至少需要4年才能使绿化面积超过50%.…………………………………………(12分)‎