高考试题——数学理重庆卷解析版 15页

‎2009年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）‎ 数学试题卷（理工农医类）‎ 本试卷满分150分，考试时间120分钟 第Ⅰ卷 考生注意：‎ ‎ 1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号、填写清楚 ，并贴好条形码．请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目．‎ ‎ 2．每小题选出答案后，用2Ｂ铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效．‎ ‎ 3．本卷共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效．‎ ‎5．考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回．‎ 参考公式：‎ ‎ 如果事件互斥，那么 ‎ ‎ 如果事件相互独立，那么 ‎ ‎ 如果事件在一次试验中发生的概率是，那么次独立重复试验中恰好发生次的概率 以为半径的球体积：‎ 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1．直线与圆的位置关系为（ ）‎ A．相切 B．相交但直线不过圆心 C．直线过圆心 D．相离 ‎【答案】B ‎【解析】圆心为到直线，即的距离，而，选B。‎ ‎2．已知复数的实部为，虚部为2，则=（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】因为由条件知，则，所以选A。‎ ‎3．的展开式中的系数是（ ）‎ A．16 B．‎70 ‎ C．560 D．1120‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设含的为第，‎ 所以，故系数为：，选D。‎ ‎4．已知，则向量与向量的夹角是（ ）‎ A． B． C． D． w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎【答案】C ‎【解析】因为由条件得 ‎5．不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围为（ ）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】因为对任意x恒成立，所以 ‎6．锅中煮有芝麻馅汤圆6个，花生馅汤圆5个，豆沙馅汤圆4个，这三种汤圆的外部特征完全相同。从中任意舀取4个汤圆，则每种汤圆都至少取到1个的概率为（ ）‎ A． B． C． D． w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎【答案】C ‎【解析】因为总的滔法而所求事件的取法分为三类，即芝麻馅汤圆、花生馅汤圆。豆沙馅汤圆取得个数分别按‎1.1.2‎；1，2，1；2，1，1三类，故所求概率为 ‎7．设的三个内角，向量，‎ ‎，若，则=（ ）‎ A． B． C． D． w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎8．已知，其中，则的值为（ ）‎ A．6 B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎9．已知二面角的大小为，为空间中任意一点，则过点且与平面和平面所成的角都是的直线的条数为（ ）w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ A．2 B．‎3 ‎ C．4 D．5 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎【答案】B ‎【解析】是度数为的二面角的一个平面角，的平分线，当过P的直线与平行时，满足条件，当过点p的直线与AD平行，也是满足条件直线，与AD直线类似，过点的直线与 BE平行也是满足条件得共有3条。‎ ‎10．已知以为周期的函数，其中。若方程恰有5个实数解，则的取值范围为（ ）w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】因为当时，将函数化为方程，实质上为一个半椭圆，其图像如图所示，同时在坐标系中作出当得图像，再根据周期性作出函数其它部分的图像，由图易知直线与第二个椭圆相交，而与第三个半椭圆无公共点时，方程恰有5个实数解，将代入得 令 由 同样由与第二个椭圆由可计算得 综上知 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案写在答题卡相应位置上．‎ ‎11．若，，则 ．‎ ‎【答案】（0，3）‎ ‎【解析】因为所以 ‎12．若是奇函数，则 ．w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】解法1‎ ‎13．将4名大学生分配到3个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案有 ‎ 种（用数字作答）．‎ ‎【答案】36‎ ‎【解析】分两步完成：第一步将4名大学生按，2，1，1分成三组，其分法有;第二步将分好的三组分配到3个乡镇，其分法有所以满足条件得分配的方案有 ‎14．设，，，，则数列的通项公式= ．w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎【答案】：2n+1‎ ‎【解析】由条件得且所以数列是首项为4，公比为2的等比数列，则 ‎15．已知双曲线的左、右焦点分别为，若双曲线上存在一点使，则该双曲线的离心率的取值范围是 ．‎ 解法1，因为在中，由正弦定理得 则由已知，得，即，且知点P在双曲线的右支上，‎ 设点由焦点半径公式，得则 解得由双曲线的几何性质知，整理得 解得，故椭圆的离心率 解法2 由解析1知由双曲线的定义知w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎，由椭圆的几何性质知所以以下同解析1.‎ 三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎16．（本小题满分13分，（Ⅰ）小问7分，（Ⅱ）小问6分．）‎ 设函数．‎ ‎（Ⅰ）求的最小正周期．w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎（Ⅱ）若函数与的图像关于直线对称，求当时的最大值．‎ ‎(16)（本小题13分）‎ 解：（Ⅰ）=‎ ‎ =‎ ‎ =‎ ‎ 故的最小正周期为T = =8‎ ‎ (Ⅱ)解法一：‎ ‎ 在的图象上任取一点，它关于的对称点 .‎ ‎　　由题设条件，点在的图象上，从而 ‎ ‎ ‎　　　　　　　　　 =‎ ‎ =‎ ‎ 当时，，因此在区间上的最大值为 ‎　　　‎ ‎　　解法二：‎ ‎ 因区间关于x = 1的对称区间为，且与的图象关于 ‎　　x = 1对称，故在上的最大值为在上的最大值 ‎　　由（Ⅰ）知＝‎ ‎ 当时，‎ ‎　　　因此在上的最大值为 ‎　　　　　　　 .‎ ‎17．（本小题满分13分，（Ⅰ）问7分，（Ⅱ）问6分）‎ 某单位为绿化环境，移栽了甲、乙两种大树各2株．设甲、乙两种大树移栽的成活率分别为和，且各株大树是否成活互不影响．求移栽的4株大树中：‎ ‎（Ⅰ）两种大树各成活1株的概率；‎ ‎（Ⅱ）成活的株数的分布列与期望．w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎(17)（本小题13分）‎ 解：设表示甲种大树成活k株，k＝0，1，2‎ ‎　　表示乙种大树成活l株，l＝0，1，2‎ ‎　　则，独立. 由独立重复试验中事件发生的概率公式有 ‎ , .‎ ‎ 据此算得 ‎　　 , , .‎ ‎ , , .‎ ‎ (Ⅰ) 所求概率为 ‎　　　　　.‎ ‎ (Ⅱ) 解法一：‎ ‎　　　　的所有可能值为0，1，2，3，4，且 ‎ ,‎ ‎ ,‎ ‎ ‎ ‎ = ,‎ ‎ .‎ ‎ .‎ 综上知有分布列 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ P ‎1/36‎ ‎1/6‎ ‎13/36‎ ‎1/3‎ ‎1/9‎ 从而，的期望为 ‎（株）‎ 解法二：‎ 分布列的求法同上 令分别表示甲乙两种树成活的株数，则 故有 从而知 ‎18．（本小题满分13分，（Ⅰ）问5分，（Ⅱ）问8分）‎ 设函数在处取得极值，且曲线在点处的切线垂直于直线．‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）若函数，讨论的单调性．w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎18、（本小题13分）‎ 解（Ⅰ）因 又在x=0处取得极限值，故从而 由曲线y=在（1，f（1））处的切线与直线相互垂直可知 该切线斜率为2，即 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，‎ 令 ‎（1）当 ‎（2）当 K=1时，g（x）在R上为增函数 ‎（3）方程有两个不相等实根 当函数 当时，故上为减函数 时，故上为增函数 ‎19．（本小题满分12分，（Ⅰ）问5分，（Ⅱ）问7分）‎ 如题（19）图，在四棱锥中，且；平面平面，；为的中点，．求：‎ ‎（Ⅰ）点到平面的距离；‎ ‎（Ⅱ）二面角的大小．w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎（19）（本小题12分）‎ 解法一：‎ ‎（Ⅰ）因为AD//BC,且所以从而A点到平面 的距离等于D点到平面的距离。‎ 因为平面故,从而，由AD//BC，得,又由知，从而为点A到平面的距离，因此在中 ‎(Ⅱ)如答（19）图1，过E电作交于点G，又过G点作,交AB于H，故为二面角的平面角，记为，过E点作EF//BC,交于点F,连结GF,因平面,故.‎ 由于E为BS边中点，故,在中，‎ ‎,因，又 故由三垂线定理的逆定理得,从而又可得 因此而在中，‎ 在中，可得，故所求二面角的大小为 解法二：‎ ‎（Ⅰ）如答（19）图2，以S(O)为坐标原点，射线OD,OC分别为x轴，y轴正向，建立空间坐标系，设，因平面 即点A在xoz平面上，因此 又 因AD//BC，故BC⊥平面CSD，即BCS与平面 yOx重合，从而点A到平面BCS的距离为.‎ ‎(Ⅱ)易知C(0,2,0)，D(,0,0). 因E为BS的中点.‎ ΔBCS为直角三角形 ,‎ 知 ‎ 设B(0,2, )，＞0，则＝2，故B（0，2，2），所以E（0，1，1） .‎ 在CD上取点G，设G（），使GE⊥CD .‎ 由故 ‎ ①　‎ 又点G在直线CD上，即，由=（），则有　②‎ 联立①、②，解得G＝　,‎ 故=.又由AD⊥CD，所以二面角E－CD－A的平面角为向量与向量所成的角，记此角为 .‎ 因为=，,所以 ‎ ‎ 故所求的二面角的大小为 .‎ ‎20．（本小题满分12分，（Ⅰ）问5分，（Ⅱ）问7分）‎ 已知以原点为中心的椭圆的一条准线方程为，离心率，是椭圆上的动点．‎ ‎（Ⅰ）若的坐标分别是，求的最大值；‎ ‎（Ⅱ）如题（20）图，点的坐标为，是圆上的点，是点在轴上的射影，点满足条件：，．求线段的中点的轨迹方程；‎ ‎(20)（本小题12分）‎ ‎　　解：（Ⅰ）由题设条件知焦点在y轴上，故设椭圆方程为 ‎（a ＞b＞ 0 ）.‎ ‎ 设，由准线方程得.由得，解得 a = 2 ,c = ，从而 b = 1，椭圆方程为 .‎ ‎ 又易知C，D两点是椭圆的焦点，所以,‎ ‎ 从而，当且仅当，即点M的坐标为　时上式取等号，的最大值为4　.‎ ‎（II）如图（20）图，设 ‎ .因为，故 ‎ ①‎ ‎ 因为 ‎ ‎ 所以 . ②‎ 记P点的坐标为，因为P是BQ的中点 所以 ‎ 由因为 ，结合①，②得 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 故动点P的估计方程为 ‎21．（本小题满分12分，（Ⅰ）问5分，（Ⅱ）问7分）‎ 设个不全相等的正数依次围成一个圆圈．‎ ‎（Ⅰ）若，且是公差为的等差数列，而是公比为的等比数列；数列的前项和满足：，求通项；‎ ‎（Ⅱ）若每个数是其左右相邻两数平方的等比中项，求证：；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎（21）（本小题12分）‎ ‎ 解：（I）因是公比为d的等比数列，从而 由 ，故 ‎ 解得或（舍去）。因此 ‎ 又 。解得 ‎ 从而当时，‎ ‎ ‎ ‎ 当时，由是公比为d的等比数列得 因此 ‎ ‎（II）由题意得 有①得 ④‎ 由①，②，③得， ‎ 故. ⑤‎ 又，故有 ‎.⑥‎ 下面反证法证明：‎ 若不然，设 若取即，则由⑥得，而由③得 得由②得而 ‎④及⑥可推得（）与题设矛盾 同理若P=2，3，4，5均可得（）与题设矛盾,因此为6的倍数 由均值不等式得 由上面三组数内必有一组不相等（否则，从而与题设矛盾），故等号不成立，从而 又，由④和⑥得 因此由⑤得