高考江西理科数学试题及答案word解析版 7页

‎2014年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）‎ 数学（理科）‎ 第Ⅰ卷（选择题 共40分）‎ 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．‎ ‎（1）【2014年江西，理1，5分】是的共轭复数，若，（为虚数单位），则（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】D ‎【解析】由于，可得 ① 又 ② 由①②解得，故选D．‎ ‎【点评】本题考查复数的乘除运算，属于基本计算题．‎ ‎（2）【2014年江西，理2，5分】函数的定义域为（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】C ‎【解析】要使函数有意义，则，即或，故函数的定义域为，故选C．‎ ‎【点评】本题主要考查函数定义域的求法，比较基础．‎ ‎（3）【2014年江西，理3，5分】已知函数，，若，则（ ）‎ ‎（A）1 （B）2 （C）3 （D）‎ ‎【答案】A ‎【解析】，若，则，即，则，解得，故选A．‎ ‎【点评】本题主要考查函数值的计算，利用条件直接代入解方程即可，比较基础．‎ ‎（4）【2014年江西，理4，5分】在中，内角所对应的边分别为，若，，则的面积为（ ）‎ ‎（A）3 （B） （C） （D）‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意得，，又由余弦定理可知，，‎ ‎∴，即．∴，故选C．‎ ‎【点评】本题是余弦定理的考查，在高中范围内，正弦定理和余弦定理是应用最为广泛，也是最方便的定理之一，高考中对这部分知识的考查一般不会太难，有时也会和三角函数，向量，不等式等放在一起综合考查．‎ ‎（5）【2014年江西，理5，5分】一几何体的直观图如右图，下列给出的四个俯视图中正确的 ‎ 是（ ）‎ ‎ （A）（B）（C）（D）‎ ‎【答案】B ‎【解析】几何体的俯视图，轮廓是矩形，几何体的上部的棱都是可见线段，所以C、D不正确；几何体的上部的棱与正视图方向垂直，所以A不正确，故选B．‎ ‎【点评】本题考查三视图的画法，几何体的结构特征是解题的关键．‎ ‎（6）【2014年江西，理6，5分】某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这4个变量之间的关系，随机抽查52名中学生，得到统计数据如表1至表4，则与性别有关联的可能性最大的变量是（ ）‎ ‎ （A）成绩 （B）视力 （C）智商 （D）阅读量 ‎【答案】D ‎【解析】表1：； 表2：；‎ 表3：； 表4：，‎ ‎∴阅读量与性别有关联的可能性最大，故选D．‎ ‎【点评】本题考查独立性检验的应用，考查学生的计算能力，属于中档题．‎ ‎（7）【2014年江西，理7，5分】阅读如下程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出的结果为（ ）‎ ‎（A）7 （B）9 （C）10 （D）11‎ ‎【答案】B ‎【解析】由程序框图知：的值，∵，‎ 而，∴跳出循环的值为9，∴输出，故选B．‎ ‎【点评】本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是解题的关键．‎ ‎（8）【2014年江西，理8，5分】若，则（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】B ‎【解析】若，则：，则，显然A不正确；若，则∴，显然B正确；若，则∴，显然C不正确；若，则∴，显然D不正确，故选B．‎ ‎【点评】本题考查定积分以及微积分基本定理的应用，回代验证有时也是解答问题的好方法．‎ ‎（9）【2014年江西，理9，5分】在平面直角坐标系中，分别是轴和轴上的动点，若以为直径的圆与直线相切，则圆面积的最小值为（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】A ‎【解析】∵为直径，，∴点必在圆上，由向直线做垂线，垂足为，则当恰为圆与直线的切点时，此时圆的半径最小，即面积最小此时圆的直径为O到直线的距离为，则圆的面积为：，故选A．‎ ‎【点评】本题主要考查了直线与圆的位置关系．用数形结合的思想，解决问题较为直观．‎ ‎（10）【2014年江西，理10，5分】如右图，在长方体中，，， ‎ ‎，一质点从顶点射向点，遇长方体的面反射（反射服从光的反射原理）， ‎ 将次到第次反射点之间的线段记为，，将线段竖直放置 在同一水平线上，则大致的图形是（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据题意有：的坐标为：，的坐标为，的坐标为，的坐标为；‎ 的坐标为：，的坐标为，的坐标为，的坐标为；‎ 的坐标为．‎ ‎（1）长度计算：．‎ ‎（2）长度计算：将平面沿轴正向平移个单位，得到平面；显然 有：的坐标为：，的坐标为，的坐标为，的坐 标为；显然平面和平面关于平面对称．‎ 设与的延长线与平面相交于：，根据相识三角形易知：‎ ‎，，即：，根据坐标可知，在长方形 内．根据反射原理，在平面上的投影即为反射光与平面的交点．‎ 所以的坐标为．因此：．‎ ‎（3）长度计算：设的坐标为：，如果落在平面；这个时候有：，，，根据反射原理有：，于是：向量与向量共线；即有：，‎ 因为：；即有：，‎ 解得：，；故的坐标为：，因为：，故点不在平面上，‎ 所以：点只能在平面上；因此有：；，‎ 此时：，即有：解得：，；‎ 满足：，，故的坐标为：，．‎ ‎（4）长度计算：设点在平面的投影为，坐标为，因为光线经过反射后，还会在原来的平面内；即：共面，故的反射线只能与平面相交，且交点只能在；易知：．根据以上解析，可知，，，要满足以下关系：‎ ‎；且，对比ABCD选项，可知，只有C选项满足以上条件，故选C．‎ ‎【点评】本题考查定积分以及微积分基本定理的应用，回代验证有时也是解答问题的好方法．‎ 二、选做题：请考生在下列两题中任选一题作答，若两题都做，则按所做的第一题记分，本题共5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎（11（1））【2014年江西，理11（1），5分】（不等式选做题）对任意，的最小值为（ ）‎ ‎（A）1 （B）2 （C）3 （D）4‎ ‎【答案】C ‎【解析】对任意，，‎ ‎ 当且仅当，成立，故选C．‎ ‎【点评】本题考查绝对值三角不等式的应用，考查利用分段函数或特殊值求解不等式的最值的方法．‎ ‎（11（2））【2014年江西，理11（2），5分】（坐标系与参数方程选做题）若以直角坐标系的原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段的极坐标为（ ）‎ ‎（A） （B）‎ ‎（C） （D）‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据直角坐标和极坐标的互化公式，，，可得，即，，故选A．‎ ‎【点评】本题主要考查把直角坐标方程化为极坐标方程的方法，注意极角的范围，属于基础题．‎ 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． ‎ ‎（12）【2014年江西，理12，5分】10件产品中有7件正品，3件次品，从中任取4件，则恰好取到1件次品的概率是 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意知本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是从10件中取4件有种结果，满足条件的事件是恰好有1件次品有种结果，∴恰好有一件次品的概率是．‎ ‎【点评】本题考查等可能事件的概率，本题解题的关键是利用组合数写出试验发生包含的事件数和满足条件的事件数，本题是一个基础题．‎ ‎（13）【2014年江西，理13，5分】若曲线上点处的切线平行于直线，则点的坐标是 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设，则，∵，在点处的切线与直线平行，∴，‎ 解得，∴，故．‎ ‎【点评】本题考查了导数的几何意义，即点P处的切线的斜率是该点出的导数值，以及切点在曲线上和切线上的应用．‎ ‎（14）【2014年江西，理14，5分】已知单位向量与的夹角为，且，向量与的夹角为，则 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】单位向量与的夹角为，且，不妨，，，，∴．‎ ‎【点评】本题考查向量的数量积，两个向量的夹角的求法，考查计算能力．‎ ‎（15）【2014年江西，理15，5分】过点作斜率为的直线与椭圆：相交于，若是线段的中点，则椭圆的离心率为 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设，，则，，∵过点作斜率为的直线与椭圆：相交于，两点，是线段的中点，∴两式相减可得，‎ ‎∴，∴，∴．‎ ‎【点评】本题考查椭圆C的离心率，考查学生的计算能力，正确运用点差法是关键．‎ 三、解答题：本大题共6题，共75分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． ‎ ‎（16）【2014年江西，理16，12分】已知函数，其中，．‎ ‎（1）当，时，求在区间上的最大值与最小值；‎ ‎（2）若，，求的值．‎ 解：（1）因，，故 ‎．又，故，因此，从而，．‎ ‎（2），又，‎ 故，．，‎ 故，得，从而．‎ ‎【点评】本题主要考查两角和差的正弦公式、余弦公式，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．‎ ‎（17）【2014年江西，理17，12分】已知首项都是1的两个数列，（），满足．‎ ‎（1）令，求数列的通项公式；‎ ‎（2）若，求数列的前项和．‎ 解：（1）因，且，故，即，所以是首项为，‎ 公差为2的等差数列，从而．‎ ‎（2）因，，有，．‎ 所以，从而．‎ ‎【点评】本题为等差等比数列的综合应用，用好错位相减法是解决问题的关键，属中档题．‎ ‎（18）【2014年江西，理18，12分】已知函数．‎ ‎（1）当时，求的极值；‎ ‎（2）若在区间上单调递增，求的取值范围．‎ 解：（1）当时，的定义域为，‎ ‎．令，解得，．‎ 当和时，，所以在和上单调递减；‎ 当时，，所以在上单调递增．‎ 所以，当时，取得极小值；当时，取得极大值． ‎ ‎（2）在上单调递增且不恒等于0对恒成立．‎ ‎，‎ 故，因此．因，故． ‎ ‎【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查了利用导数求函数的极值，考查了数学转化思想方法，是中档题．‎ ‎（19）【2014年江西，理19，12分】如图，四棱锥中，为矩形，平面平面．‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）若，，，问为何值时，四棱锥的体 ‎ 积最大？并求此时平面与平面夹角的余弦值．‎ 解：（1）因面面，面面，，故面．又面，故． ‎ ‎（2）过作，由（1）有面，作，连接，作．‎ 设，则，‎ 故即时，．如图建立空间直角坐标系，则，‎ ‎， ，，故， ‎ ‎，，，．‎ 设面、面的法向量分别为，．‎ 由得．设，则，故．同理可得．‎ 故，从而平面与平面夹角的余弦值为．‎ ‎【点评】本题考查线面位置关系、线线位置关系、线面角的度量，考查分析解决问题、空间想象、转化、计算的能力与方程思想．‎ ‎（20）【2014年江西，理20，13分】如图，已知双曲线的右焦点，点分别在的两条渐近线上，轴，，(为坐标原点）．‎ ‎（1）求双曲线的方程；‎ ‎（2）过上一点的直线：与直线相交于点，与 直线相交于点，证明点在上移动时，恒为定值，并求此定值．‎ 解：（1）因，，故且，因此，．‎ 所以所求方程为．‎ ‎（2）由（1）知，，，，．‎ 故．‎ ‎【点评】本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，着重考查直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识，推理论证能力、运算求解能力、函数与方程思想，属于难题．‎ ‎（21）【2014年江西，理21，14分】随机将这个连续正整数分成两组，每组个数，组最小数为，最大数为；组最小数为，最大数为，记，．‎ ‎（1）当时，求的分布列和数学期望；‎ ‎（2）令表示事件与的取值恰好相等，求事件发生的概率．‎ ‎（3）对（2）中的事件，表示的对立事件，判断和的大小关系，并说明理由．‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ 解：（1）的所有可能取值是，，， ‎ ‎，．故的分布列如右表所示，‎ 的数学期望为．‎ ‎（2）事件与的取值恰好相等的基本事件共．‎ 当时，．‎ ‎（3）当时，，此时；即；‎ 当时，，此时；即．‎ ‎【点评】本题考查离散型随机变量的分布列，求离散型随机变量的分布列和期望是近年来理科高考必出的一个问题，题目做起来不难，运算量也不大，只要注意解题格式就问题不大．‎