高考排列组合专题突破 6页

一 排列组合不同问题解法 ‎1．相邻问题并组法 题目中规定相邻的几个元素并为一个组(当作一个元素)参与排列．‎ ‎【例1】A、B、C、D、E五人并排站成一排，如果A、B必须相邻且B在A的右边，那么不同的排法种数有[ ]‎ A．60种　　　 B．48种 C．36种　　　　　D．24种 ‎2．相离问题插空法 元素相离(即不相邻)问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定相离的几个元素插入上述几个元素间的空位和两端．‎ ‎【例2】七个人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同排法的种数是[ ]‎ A．1440 B．3600‎ C．4820 D．4800‎ ‎3．定序问题缩倍法 在排列问题中限制某几个元素必须保持一定顺序，可用缩小倍数的方法．‎ ‎【例3】A、B、C、D、E五个人并排站成一排，如果 B必须站A的右边(A、B可不相邻)，那么不同的排法种数有[ ]‎ A．24种 B．60种 C．90种 D．120种 ‎4．标号排位问题分步法 把元素排到指定号码的位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成．‎ ‎【例4】将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有[ ]‎ A．6种 B．9种 C．11种 D．23种 ‎5．有序分配问题逐分法 有序分配问题是指把元素按要求分成若干组，可用逐步下量分组法．‎ ‎【例5】有甲、乙、丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需1人承担，从10人中选出4人承担这三项任务，不同的选法总数有[ ]‎ A．1260种 B．2025种 C．2520种 D．5040种 四名优等生保送到三所学校去，每所学校至少得一名，则不同的保送方案的总数是_________.‎ ‎6．多元问题分类法 元素多，取出的情况也有多种，可按结果要求，分成不相容的几类情况分别计算，最后总计．‎ ‎【例6】由数字 0，1，2，3，4，5组成且没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有[ ]‎ A．210个 B．300个 C．464个 D．600个 ‎【例7】从1，2，3，…100这100个数中，任取两个数，使它们的乘积能被7整除，这两个数的取法(不计顺序)共有多少种？‎ ‎【例8】从1，2，…100这100个数中，任取两个数，使其和能被4整除的取法(不计顺序)有多少？‎ ‎7．交叉问题集合法 某些排列组合问题几部分之间有交集，可用集合中求元素个数公式n(A∪B)＝n(A)＋n(B)－n(A∩B)‎ ‎【例 9】从6名运动员中选出4个参加4×‎‎100m 接力赛，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有多少种不同参赛方法？‎ ‎8．定位问题优先法 某个(或几个)元素要排在指定位置，可先排这个(几个)元素，再排其他元素．‎ ‎【例10】1名老师和4名获奖同学排成一排照像留念，若老师不在两端，则有不同的排法有________种．‎ ‎9．多排问题单排法 把元素排成几排的问题，可归结为一排考虑，再分段处理．‎ ‎【例11】6个不同的元素排成前后两排，每排3个元素，那么不同的排法种数是[ ]‎ ‎10．“至少”问题间接法 关于“至少”类型组合问题，用间接法较方便．‎ ‎【例13】从4台甲型和5台乙型电视机中任取出3台，其中至少要甲型和乙型电视机各一台，则不同取法共有[ ]‎ A．140种 B．80种 C．70种 D．35种 ‎11．选排问题先取后排法 从几类元素中取出符合题意的几个元素，再安排到一定位置上，可用先取后排法．‎ ‎【例14】四个不同的球放入编号为1，2，3，4的四个盒中，则恰有一个空盒的放法共有________种 ‎12．部分合条件问题排除法 在选取总数中，只有一部分合条件，可从总数中减去不合条件数，即为所求．‎ ‎【例16】以一个正方体顶点为顶点的四面体共有[ ]‎ ‎13 平均分组问题:‎ 例一 6本不同的书，按下列要求各有多少种不同的选法：‎ ‎（1）分给甲、乙、丙三人，每人2本；‎ ‎（2）分为三份，每份2本；‎ ‎（3）分为三份，一份1本，一份2本，一份3本；‎ ‎（4）分给甲、乙、丙三人，一人1本，一人2本，一人3本；‎ ‎（5）分给甲、乙、丙三人，每人至少1本。‎ 例二 有3名男生，4名女生，在下列不同要求下，求不同的排列方法总数.‎ ‎(1)全体排成一行，其中甲只能在中间或者两边位置.‎ ‎(2)全体排成一行，其中甲不在最左边，乙不在最右边.‎ ‎(3)全体排成一行，其中男生必须排在一起.‎ ‎(4)全体排成一行，男、女各不相邻.‎ ‎(5)全体排成一行，男生不能排在一起.‎ ‎(6)全体排成一行，其中甲、乙、丙三人从左至右的顺序不变.‎ ‎(7)排成前后二排，前排3人，后排4人.‎ ‎(8)全体排成一行，甲、乙两人中间必须有3人.‎ ‎14 相同元素分配——档板分隔法 ‎ ‎1 把10本相同的书发给编号为1、2、3的三个学生阅览室，每个阅览室分得的书的本数不小于其编号数，试求不同分法的种数 ‎2 20个不加区别的小球放入编号为1、2、3的三个盒子中，要求每个盒内的球数不小于它的编号数，求不同的放法种数.‎ ‎15 对等法:‎ ‎1.期中安排考试科目9门,语文要在数学之前考,有多少种不同的安排顺序?‎ ‎2.有10个人排在一排照相，问甲在已的右边的方法有几种？‎ ‎16 多面手问题（ 分类法---选定标准）‎ 有11名外语翻译人员，其中5名是英语译员，4名是日语译员，另外两名是英、‎ 日语均精通，从中找出8人，使他们可以组成翻译小组，其中4人翻译英语，另4人翻译日 语，这两个小组能同时工作，问这样的8人名单可以开出几张？ ‎ 二 习题练习 ‎1 二次函数y=ax2+bx+c的系数a、b、c，在集合{－3，－2，－1，0，1，2，3，4}中选取3个不同的值，则可确定坐标原点在抛物线内部的抛物线多少条？‎ ‎2 甲、乙、丙三人值周一至周六的班，每人值两天班，若甲不值周一、乙不值周六，则可排出不同的值班表数为多少？‎ ‎3 七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是 ‎ ‎4 某工程队有6项工程需要单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行，工 程丙必须在工程乙完成后才能进行，有工程丁必须在工程丙完成后立即进行。那么安排这6‎ 项工程的不同排法种数是 ‎ ‎5 马路上有编号为1，2，3…，9九只路灯，现要关掉其中的三盏，但不能关掉相邻的 二盏或三盏，也不能关掉两端的两盏，求满足条件的关灯方案有多少种？‎ ‎6 3个人坐在一排8个椅子上，若每个人左右两边都有空位，则坐法的种数有多少种？‎ ‎7 书架上某层有6本书，新买3本插进去，要保持原有6本书的顺序，有多少种不同的插法？高☆‎ ‎8 已知直线（是非零常数）与圆有公共点，且公共点的横坐标和纵坐标均为整数，那么这样的直线共有 条 ‎ ‎9 用1，2，3，4，5，6，7这七个数字组成没有重复数字的七位数中，‎ ‎（1）若偶数2，4，6次序一定，有多少个？‎ ‎（2）若偶数2，4，6次序一定，奇数1，3，5，7的次序也一定的有多少个？ ‎ 三 难点突破 ‎1 走楼梯问题 例1：欲登上第10级楼梯，如果规定每步只能跨上一级或两级，则不同的走法共有( )‎ ‎（A）34种 （B）55种 （C）89种 （D）144‎ ‎(分类法，递推法) ‎ ‎2 更列问题 ‎ 把个元素排成一列，所有元素各有一个不能占据的指定位置，且不同元素不能占据的指定位置也不同，我们把满足这种条件的一个排列叫做这些元素的一个更列。‎ 例2：五个人排成一列，重新站队时，各人都不站在原来的位置上，那么不同的站队方式共有( )‎ ‎ （A）60种 （B）44种 （C）36种 （D）24种 ‎，显然，，再由递推关系有，‎ 例 同室4人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡，则4张贺年卡不同的分配方式共有( ) (全国高考试题)‎ ‎（A）6种 （B）9种 （C）11种 （D）23种 ‎3 染色问题 ‎ 例4：用4种不同颜色涂四边形的4个顶点，要求每点染一种颜色，相邻的顶点染不同的颜色，则不同的染色方法有( )‎ ‎ （A）84种 （B）72种 （C）48种 （D）24种 我们先把这个题目推广：用种不同颜色给边形的个顶点染色(其中，且为常数)，每点染一种颜色，相邻的顶点染不同的颜色，不同的染色方法有多少种？设不同的染色方法有种，现在我们来通过合理分布，恰当分类找出递推关系：‎ ‎ 第一步：染，有种染法；‎ ‎ 第二步：染，有种染法；‎ ‎ 同理，染均有种染法，最后染，如果仅考虑与不同色，则仍有种染法，相乘得种染法，但要去掉与同色的染法数，此时可将与合并看成一个点，得出需要排除的染法数为，所以有，显然，。‎ 例 1：一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，现有四种颜色可供选择，则不同的着色方法共有 种。 ‎ 例 2：某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分成6个部分(如图2)，现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法共有 种。 (2003年天津理科高考试题)‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ 图2‎ ‎1‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ 图1‎ ‎4 传球问题 例7：甲、乙、丙、丁四人相互传球，第一次甲传给乙、丙、丁中的任一人，第二次由拿球者再传给其他人中任一人，这样共传了四次，则第四次球仍传回到甲的方法共有( )‎ ‎（A）21种 （B）42 （C）24 （D）27‎ ‎1 解法1：分类法：‎ 第一类：没有一步两级，则只有一种走法；‎ 第二类：恰有一步是一步两级，则走完10级要走9步，9步中选一步是一步两级的，有种可能走法；‎ 第三类：恰有两步是一步两级，则走完10级要走8步，8步中选两步是一步两级的，有种可能走法；‎ ‎ 依此类推，共有=89，故选(C)。‎ 解法2：递推法：‎ 设走级有种走法，这些走法可按第一步来分类，‎ 第一类：第一步是一步一级，则余下的级有种走法；‎ 第二类：第一步是一步两级，则余下的级有种走法，‎ 所以，又易得，由递推可得，故选(C)。‎ ‎2 解：首先我们把人数推广到个人，即个人排成一列，重新站队时，各人都不站在原来的位置上。设满足这样的站队方式有种，现在我们来通过合理分步，恰当分类找出递推关系：‎ ‎ 第一步：第一个人不站在原来的第一个位置，有种站法。‎ ‎ 第二步：假设第一个人站在第2个位置，则第二个人的站法又可以分为两类：第一类，第二个人恰好站在第一个位置，则余下的个人有种站队方式；第二类，第二个人不站在第一个位置，则就是第二个人不站在第一个位置，第三个人不站在第三个位置，第四个人不站在第四个位置，……，第个人不站在第个位置，所以有种站队方式。‎ ‎ 由分步计数原理和分类计数原理，我们便得到了数列的递推关系式：‎ ‎ ，显然，，再由递推关系有，‎ ‎，故应选(B)‎ ‎3 解：我们先把这个题目推广：用种不同颜色给边形的个顶点染色(其中，且为常数)，每点染一种颜色，相邻的顶点染不同的颜色，不同的染色方法有多少种？‎ ‎ 设不同的染色方法有种，现在我们来通过合理分布，恰当分类找出递推关系：‎ ‎ 第一步：染，有种染法；‎ ‎ 第二步：染，有种染法；‎ ‎ 同理，染均有种染法，最后染，如果仅考虑与不同色，则仍有种染法，相乘得种染法，但要去掉与同色的染法数，此时可将与合并看成一个点，得出需要排除的染法数为，所以有，显然，。‎ ‎ 又本题中，颜色数，所以递推关系为：，又，所以（种），故选（A）。‎ ‎4 解：先把这个题目进行推广：个人相互进行次传球，由甲先传，第一次甲传给其他个人中的任一人，第二次由拿球者再传给其他人中任一人，这样经过次传球，最后球仍回到甲手中的传球方法有多少种？(这里为常数)‎ 设不同的传球方法共有种，现在我们来通过合理分步，恰当分类找出递推关系：‎ 第一步进行第一次传球：甲传给其他人，有种传球方法；‎ 第二步进行第二次传球：拿球者把球传给其他人，仍有种传球方法；‎ 同理，第三次、第四次、……、第次传球都有种传球方法，最后进行第次传球，由于只能传给甲，故只有一次传球方法，相乘得种传球方法，但要注意第次传球不能传给甲，否则就不存在第次传球，因此要去掉第次传球，球恰好传给甲的传球方法数，这就是由甲先传，经过次传球后球又回到甲手中的传球方法，显然，这里有种传球方法，所以有递推关系：，又易得，。‎ 而在本题中，，所以，所以由递推可得，，‎ ‎，故本题应选（A）‎