高考数学导数 12页

高考数学导数及其应用怎么考 ‎【考点解读】‎ ‎1．导数（选修II）高考考核要求为：①导数的概念及某些实际背景，导数的几何意义，几种常见函数的导数；②两个函数的和、差、积、商的导数，复合函数的导数，基本导数公式；③利用导数研究函数的单调性和极值，函数的最大值和最小值等。‎ ‎2．比例与题型：导数是高中新教材改革后新加进的知识之一，从近几年全国统考试卷及2004年浙江卷看，其分值比例逐年上升到现在基本稳定在一大（12分），一小（5分）的两题格局上（2004年浙江卷是如此），是新教材的一个主要得分点。‎ ‎3．命题热点难点是：①利用导数求函数的极值；②利用导数求函数的单调区间；③利用导数求函数的最值；④利用导数证明函数的单调性；⑤数在实际中的应用；⑥导数与函数、不等式等知识相融合的问题；⑦导数与解析几何相综合的问题。‎ ‎4．体系整合 基本导数公式 导数的几何意义 导数的概念 两函数和、差、积、商的导数 导数的运算 导数的应用 复合函数的导数 导数 函数的单调性 导数的应用 函数的极值 函数的最值 ‎5．复习建议：①学会优先考虑利用导数求函数的极大（小）值、最大最小或解决应用问题，这些问题是函数内容的继续与延伸，这种方法使复杂问题简单化。②导数与解析几何或函数图象的混合问题，尤其是抛物线与三次函数的切线问题，是高考中考查综合能力的一个方向，应引起注意。‎ 热点一：导数的几何意义 函数y=f (x) 在点x0导数的几何意义，就是曲线y=f (x) 在点P(x0, f(x0‎ ‎))处的切线的斜率，也就是说，曲线y=f (x) 在P (x0, f (x0))处的切线的斜率是f′(x0)，于是相应的切线方程为y－y0=f′(x0) (x－x0)，巧借导数几何意义“传接”的各类综合题频频出现。‎ ‎【错题分析】‎ ‎[错例1] （2004天津卷20（2））曲线f(x)=x3－3x，过点A(0，16)作曲线f (x)的切线，求曲线的切线方程。‎ 误解：f (x)=3x3－3，根据导数的几何去何从意义可知，曲线的切线斜率(0)=－3，所以曲线的切线方程为y=－3x＋16。‎ 剖析：本题错在对导数的几何意义理解有误，切线的斜率k是应是在切点处的导数，而点A (0，16) 不在曲线上。故本题应先设切点，再求斜率，写出直线的方程。‎ 正确解法：设切点坐标，则切线的斜率，切线方程，又因为点M在切线上，所以得 ‎【典型题例】‎ 例1:设P0 (x0，y0) 为曲线C : y=x3 (x＞0)上任意一点，过P0作曲线C的切线与x轴交于Q1，过Q1作平行于y轴的直线与曲线C交于P1(x1，y1)，然后再过P1作曲线C的切线交x轴于Q2，过Q2作平行于y轴的直线与曲线C交于P2(x2，y2)，依此类推，作出以下各点：P0，Q1，P1，Q2，P2，Q3，…，Pn，Qn＋1，…，已知x0=9，设Pn (xn，yn) (n∈N)。‎ ‎（1）求出过点P0的切线方程。‎ ‎（2）设xn=f (n) (n∈N)，求f (n)的表达式；‎ ‎（3）求的值。‎ 点拨 本例涉及到求切线方程的问题,其关键在于掌握切线的斜率等于切点的导数 解析 （1）y′=3x2，∵P0 (9，93)，∴切线P0Q1的斜率，‎ ‎∴过P0点的切线即直线P0Q1的方程为y－93=243 (x－9)，即243x－y－1458=0.‎ ‎（2）过Pn (xn，yn)的切线的斜率为kn=3x，切线方程为y－yn=kn(x－xn)，‎ 即y－x=3x (x－xn). 令y=0得 x=xn－=x，即Qn＋1的横坐标为xn，‎ 又∵直线Qn＋1Pn＋1∥y轴，∴P n＋1的横坐标xn＋1=xn，由于x0=9，∴数列是公比为的等比数列∴xn=x0· ()n=9×()n，则f (n) = 9×()n，（n∈N）‎ ‎（3）==27‎ 点评：求切线方程关键在于切点，因为切点不仅是直线上的一个点，而且它给出切线的方向(切点的导数);应熟练地求出曲线在某点处的切线方程。‎ ‎【热点冲刺】‎ ‎1．已知曲线y=sinx,x在P点切线平行于直线x－2y=0，则P点坐标为。‎ ‎2．若a＞0，f (x) =ax2＋bx＋c，曲线y=f (x)在点P (x，f (x0))切线倾角为[0，]，则P到y=f (x)对称轴距离为（ B ）‎ A、[0，] B、[0，] C、[0，||] D、[0，||]‎ ‎3．（预测题） (1990日本高考题)．设抛物线y=x2与直线y=x＋a（a是常数）有两个不同的交点，记抛物线在两交点处切线分别为l1，l2，求值a变化时l1与l2交点的轨迹。‎ 解答：将y=x＋a代入y=x2整数得x2－x－a=0‎ 为使直线与抛物线有两个不同的交点，必须△= (－1)2＋4a＞0，所以a＞－ 设此两交点为(α，α2)，(β, β2)，α＜β，由y=x2知y′=2x，则切线l1，l2的方程为 y=2αx－α2，y=2βx－β2.‎ 两切线交点为(x，y) 则 因为α，β是①的解，由违达定理可知α＋β=1，αβ=－a 由此及②可得x=，y=－a＜ 从而，所求的轨迹为直线x=上的y＜的部分。‎ 热点二：利用导数研究函数性质 运用导数的有关知识，研究函数的性质（单调性、极值和最值）是高考的热点问题。高考试题常以解答题形式出现,主要考查利用导数为工具解决函数、不等式及数列有关的综合问题，题目较难。‎ ‎【错解分析】‎ ‎[错例2] 已知函数f(x) = 在(－2，＋∞)内单调递减，求实数a的取值范围。‎ 误解：f′(x)=，由f (x)在(－2，＋∞)内单调递减，知f′(x)≤0在x∈(－2，＋∞)内恒立，即≤0在x∈(－2，＋∞)内恒立。因此，a≤。‎ 剖析：(1)上题看似正确，实际上却忽视了一个重要问题：未验证f′(x)是否恒为零。因为f (x)在区间D上单调递增（或递减）的充要条件f′(x)≥0 (f′(x))≤0且f′(x)在任一子区间上不恒为零。而当a=时，f(x) =不是单调递减函数，不合题意。‎ ‎(2)在区间D内可导数f(x) ，利用导数判别f(x)单调性法则为：若x∈D时，有f′(x)＞0(＜0＝, 则f(x)在D内是增（减）函数；反之，若f(x)在D内是增(减)函数，则x∈D时，恒有f′(x)≥0（≤0）。（不恒为0）‎ ‎（3）再由函数的单调性过渡到函数的极值，由[错例2] 到 [错例3]‎ ‎[错例3]函数f (x) = (x2－1)3＋2的极值点是（ ）‎ A、x=2 B、x=－‎1 ‎ C、x=1或－1或0 D、x=0‎ 误解: f (x) =x6－3x4＋3x2＋1,则由f′(x)=6x5－12x3＋6x=0得极值点为x=1，‎ x=－1和x=0，故正确答案为C.‎ 正确解法: 事实上，这三点只是驻点(导数等于0的点)，由f′(x) =6x5－12x3＋6x=6x(x＋1)2(x－1)2知，当x∈(－∞，－1)时，f′(x)＜0；当x∈(－1，0)时，f′(x)＜0；当x∈(0，1)，f′(x)＞0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0. f (x)在 (－∞，－1)、(－1，0)单调递增，在(0，1)、(1，＋∞)单调递减。则x=0为极小值点，x=－1或1都不是极值点（称为拐点）。故应选D。‎ 剖析：（1）满足f′(x0)=0的点x=x0（称为驻点）只是它为极大（小）值点的必要而不充分条件，如果一味地把驻点等同于极值点，往往容易导致失误。‎ ‎（2）在求极值点时候，有时还要注意导数不存在的点.如：求f (x) =的极值点。（x=±1，0(易遗漏)）‎ ‎【典型题例】‎ 例2：(2001年北京、内蒙古、安徽春季招生题)在1与2之间插入n个正数，使这n＋2个数成等比数列；又在1与2之间插入n个正数，使这个n＋2个数成等差数列。记An=，Bn= ‎（1）求数列和的通项；‎ ‎（2）当n≥7时，比较和的大小，并证明你的结论。‎ 点拨：在解决第(2)问时，可考虑将比较大小的问题转化为对函数单调性的研究，从而用导数求解。‎ 解析:（1）因为1，，2成等比数列。‎ 所以 所以An2= 所以An= 因为 1，，2成等差数列，所以=1＋2=3‎ 所以Bn=·n=n 所以数列的通项为An=，的通项为Bn=n ‎（2）构造函数f（x）=－x（x≥7），则f (7) = －＞0‎ 又因为f′(x)=(ln2－3) ＞(ln－3)=(－3)＞0‎ 所以 f (x)在 [7，＋∞]上单调递增。于是f (x)≥f (7) ＞0‎ 故有f (n) ＞0，即＞n，也就是An＞Bn（n≥7）‎ 点评：（1）第（2）问也可先考查n=7,8,9时An，Bn的大小，提出猜想，然后用数学归纳法给予证明。‎ ‎（2）由导数研究函数的单调性，再由单调性来证明不等式、数列有关的综合问题必将会成为2005高考的重点内容，在教学中要足够地重视。 ‎ 例3：设＜a＜1，函数f(x)=x3－ax2＋b，(x∈[－1，1])的最大值为1，最小值为－，求常数a，b的值。‎ 点拨：本例需研究f′(x)的情况，求出极大、极小值，与端点函数值比较，以确定a，b的值。‎ 解析: f′(x)=3x2－3ax=3x (x－a)‎ x ‎－1‎ ‎(－1，0)‎ ‎0‎ ‎（0，a）‎ a ‎（a，1）‎ ‎1‎ f′(x)‎ ‎＋‎ ‎0‎ ‎－‎ ‎0‎ ‎+‎ f(x)‎ ‎－1－a＋b b ‎－ ‎1－a＋b 由表可见，当x=0时，f (x)取得极大值f (0) =b；当x=a时，f (x)取得极小值f (a)= －，又f (b)＞f (a)，f (1)＞f (－1)，故需比较f (0)与f (1)，f (a)与f (－1)的大小。f (0)－f (1) = b－(1－a＋b)= a－1由a∈(，1)，故a－1＞0，即f (0)＞f (1)，于是f (x)的最大值为f (0)。因而有b=1.又f (－1)－f (a)=－1－a＋1－（－）= (a3＋3a－2),因为a∈(，1)，故a3－3a－2＜0，即f(－1) ＜f(a)，f(x)的最小值为f(－1)，于是有－a=－，即a=,‎ 综合可知，a=，b=1‎ 点评：（1）可导函数在闭区间上的最值，必定在导数为0的点或端点取得，本例亦可求出导数为0的点，直接将这些点的函数值与端点函数相比较，以确定取得最大值、最小值的点。‎ ‎（2）变：＜a如何？再由此引出使用导数研究函数有关的性质要注意导数为0的点是否落在区间内。（同时为热点三的错例分析打下基础）‎ ‎【热点冲刺】‎ ‎1． （2001年天津高考题（理8））函数y=1＋3x－x3有极小值-1，极大值3‎ ‎2．（2003年连云港二模试题）已知函数f (x)=ax3＋bx2，曲线y=f (x)过点P(－1，2)，且在点P处的切线恰好与直线x－3y=0垂直。若f (x)在区间[m，m＋1]上单调递增，则m的取值范围m≥0或 m≤-3。‎ ‎3．(湖南卷20)(本小题满分12分)已知函数其中a≤0,e为自然对数的底数.‎ ‎ (Ⅰ)讨论函数f(x)的单调性;(Ⅱ)求函数f(x)在区间[0,1]上的最大值.‎ 答案：(Ⅰ) ‎（）当a=0时，令=0, 得x=0.‎ 若x>0. 则>0,从而f(x)在(0,+∞)上单调递增;‎ 若x<0,则<0,从而f(x)在(--∞,0)上单调递减.‎ ‎(当a<0时,令=0,得x(ax+2)=0,故x=0或 若x<0,则<0,从而f(x)在(--∞,0)上单调递减.‎ 若00.从而f(x)在(0, )上单调递增;‎ 若x> 则<0.从而f(x)在(+∞)上单调递减.‎ ‎(Ⅱ) (当a=0时, f(x)在区间[0,1]上的最大值是f(1)=1.‎ ‎(当时, f(x)在区间[0,1]上的最大值是f(1)=.‎ 当a≤-2时, f(x)在区间[0,1]上的最大值是.‎ ‎4.（预测题）证明方程x=sinx在(－∞，＋∞)内只有一个实根。‎ 解答：设f(x)=x－sinx，即证f(x)=0只有一个实数。‎ 因为f′(x)=1－cosx≥0，其中等号只在孤立点x=2kπ(k∈Z)时成都市立。‎ 故f(x)在(－∞，＋∞)上是递增的。‎ 又由于f(0)=0，故当x＞0时，f(x)＞0，当x＜0时，f (x)＜0。‎ 因此f (x)=0只有一个实数根x=0.‎ ‎5（预测题）.已知0≤x≤1，n为大于1的正整数，求证：‎ ≤xn＋(1－x)n≤1‎ 解答：设则，‎ 令，得，由于0≤x≤1，则有x=1－x，解得x= 又经比较知f(x)在[0，1]上的最小值、最大值分别为，1。所以≤xn＋(1－x)n≤1‎ 热点三：运用导数解决实际问题：‎ 学习的目的，就是要会实际应用，学生要有运用导数知识解决实际问题的意识，思想方法以及能力。近几年，高考越来越注重对实际问题的考查，因此要学会应用导数解决有关最优化的问题及即时速度、边际成本等问题。‎ ‎【错解分析】‎ ‎[错例4]从边长为‎2a 的正方形铁片的四个角各截去一小块边 为的正方形（如右图所示），再将四边向上折起，做成一个 无盖的长方体铁盒，要求长方体的高度与底面正方形边 长的比值不超过常数t.‎ 问：取何值时，容积V有最大值。‎ 误解： 因为所以函数的定义域为（0，]‎ 这时V在定义域内有惟一极值点由问题的实际意义可知， 正确解法：①当这时V在定义域内有惟一极值点由问题的实际意义可知， ‎②知V在定义域内为增函数，故当 剖析：求解函数的最值问题，应注意函数的定义域，本例由导数为0的点是否落在定义域内，引出了讨论。有时还要注意对导数为0的情形进行讨论。‎ ‎【典型题例】‎ 例4：甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线河岸的岸边A处，乙厂与甲厂在河的同侧，乙厂位于离河岸40 km的B处，乙厂到河岸的垂足D与A相距50 km，两厂要在此岸边合建一个供水站C，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3a元和5a元，问供水站C建在岸边何处才能使水管费用最省？‎ 点拨：本题难点是如何把实际问题中所涉及的几个变量转化成函数关系式. 技巧与方法主要有：根据题设条件作出图形，分析各已知条件之间的关系，借助图形的特征，合理选择这些条件间的联系方式，适当选定变化，构造相应的函数关系.‎ 解法一：根据题意知，只有点C在线段AD上某一适当位置，才能使总运费最省，设C点距D点x km,则 ‎∵BD=40,AC=50－x,‎ ‎∴BC= 又设总的水管费用为y元，依题意有：‎ y=30(‎5a－x)+‎5a (0＜x＜50)‎ y′=－‎3a+,令y′=0,解得x=30‎ 在(0,50)上，y只有一个极值点，根据实际问题的意义，‎ 函数在x=30(km)处取得最小值，此时AC=50－x=20(km)‎ ‎∴供水站建在A、D之间距甲厂20 km处，可使水管费用最省.‎ 解法二：设∠BCD=,则BC=,CD=, 设总的水管费用为f(θ),依题意，有 f(θ)=‎3a(50－40·cotθ)+‎5a· ‎=‎150a+‎40a· ‎∴f′(θ)=40a· 令f′(θ)=0,得cosθ= 根据问题的实际意义，当cosθ=时，函数取得最小值，此时sinθ=,∴cotθ=,‎ ‎∴AC=50－40cotθ=20(km),即供水站建在A、D之间距甲厂20 km处，可使水管费用最省.‎ 点评：解决实际应用问题关键在于建立数学模型和目标函数.把“问题情景”译为数学语言，找出问题的主要关系，并把问题的主要关系近似化，形式化，抽象成数学问题，再划归为常规问题，选择合适的数学方法求解（尤其要注意使用导数解决最优化的问题）。‎ ‎【热点冲刺】‎ ‎1．、有一架长度为‎5米的梯子贴靠在垂直的墙上，假设其下端沿地板以‎3米/秒的速度离开墙脚而滑动，则 ‎（1）当其下端离开墙脚1.4米时，梯子上端下滑的速度是多少？‎ ‎（2）何时梯子的上、下端能以相同的速度移动？‎ ‎（3）何时其上端下滑的速度为4米/秒？‎ 解答：设在时刻t秒梯子上端开始位置的距离为s米，梯子下端离开墙角距离为x米，则s=3t,s=5-(1) 当x=1.4米时，=0.875（米/秒）（2）当梯子下端离墙角米时，梯子上、下端以相同速度移动。（3）当梯子下端离墙角4米时，梯子上端4米/秒速度移动。‎ ‎2（预测题）．A、B两队进行某项运动的比赛，以胜三次的一方为冠军，设在每次比赛中A胜的概率为，B胜的概率为，又A得冠军的概率为P，冠军的概率为Q，决定冠军队的比赛次数为N.‎ ‎（1）求使P－为最大的值；‎ ‎（2）求使N的期望值为最大的值及期望值。‎ ‎（1）要决定冠军队，至少需要比赛三次，最多需要比赛5次。‎ 解答：如果比赛3次A获冠军，A需连胜三次，其获冠军的概率为3；‎ 如果比赛4次A获冠军，前三次有一次B胜，其余三次A胜，A获冠军的概率为 如果比赛5次A获冠军，前四次有两次B胜，其余三次A胜，A获冠军的概率为 于是 将代入整理得 令 即 当时，又 ‎ （2）随机变量N的概率分布为 N ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ Q 则 ‎ 而 ‎ 这时， ‎【思维能力训练】‎ ‎1. （全国卷10） 函数y=xcosx-sinx在下面哪个区间内是增函数（ ）‎ ‎ A () B (π,2π) C () D (2π,3π)‎ ‎2．（浙江卷11）设f '(x)是函数f(x)的导函数，‎ y=f '(x)的图象如右图所示，则y=f(x)的图象最有可能的是 (A) (B) (C) (D)‎ ‎3. 设点P是曲线 上的任意一点，P点处切线的倾斜角为，则 角的取值范围是（ ）‎ A、 B、 C、 D、 ‎4. 函数。‎ ‎5．若曲线在点P处的切线平行于直线则点P的坐标为。‎ ‎6．两条抛物线在交点处的切线所成的角为。‎ ‎7．已知f(x)=(x∈R)在区间[-1，1]上是增函数。‎ ‎（Ⅰ）求实数a的值组成的集合A；‎ ‎（Ⅱ）设关于x的方程f(x)=的两个非零实根为x1、x2.试问：是否存在实数m，使得不等式m2+tm+1≥|x1-x2|对任意a∈A及t∈[-1，1]恒成立？若存在，求m的取值范围；若不存在，请说明理由。‎ ‎8．设函数，‎ ‎ （1）求导数，并证明有两个不同的极值点 ;‎ ‎ ( 2) 若不等式成立，求a的取值范围。‎ ‎9．某城准备在半径为R的圆形街心花园的中心竖一高杆灯，已知各点亮度与光线的倾角的正弦成正比，与光源距离的平方成反比，向高杆灯距离地面多少时，绕在街心花园周旁的道路亮度最大？‎