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  • 2021-05-13 发布

高考新课标1卷文科数学试题解析版

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‎2018年普通高等学校招生全国统一考试新课标1卷 文科数学 注意事项:‎ ‎1.答卷前,考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。‎ ‎2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。‎ ‎3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。‎ 一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1.已知集合A={0,2},B={-2,-1,0,1,2},则A∩B=‎ A.{0,2} B.{1,2} C.{0} D.{-2,-1,0,1,2}‎ 解析:选A ‎2.设z=+2i,则|z|=‎ A.0 B. C.1 D. 解析:选C z=+2i=-i+2i=i ‎3.某地区经过一年的新农村建设,农村的经济收入增加了一倍,实现翻番,为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况,统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例,得到如下饼图:‎ ‎ ‎ 建设前经济收入构成比例 建设后经济收入构成比例 则下面结论中不正确的是 A.新农村建设后,种植收入减少 B.新农村建设后,其他收入增加了一倍以上 C.新农村建设后,养殖收入增加了一倍 D.新农村建设后,养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半 解析:选A ‎4.已知椭圆C:+=1的一个焦点为(2,0),则C的离心率为 A. B. C. D. 解析:选C ∵ c=2,4=a2-4 ∴a=2 ∴e= ‎5.已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1,O2,过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形,则该圆柱的表面积为 A.12π B.12π C.8π D.10π 解析:选B 设底面半径为R,则(2R)2=8 ∴R=,圆柱表面积=2πR×2R+2πR2=12π 第 7 页 共 7 页 ‎6.设函数f(x)=x3+(a-1)x2+ax,若f(x)为奇函数,则曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为 A.y=-2x B.y=-x C.y=2x D.y=x 解析:选D ∵f(x)为奇函数 ∴a=1 ∴f(x)=x3+x f′(x)=3x2+1 f′(0)=1 故选D ‎7.在ΔABC中,AD为BC边上的中线,E为AD的中点,则=‎ A. - B. - C. + D. + 解析:选A 结合图形,=- (+)=- -=- -(-)= - ‎8.已知函数f(x)=2cos2x-sin2x+2,则 A.f(x)的最小正周期为π,最大值为3‎ B.f(x) 的最小正周期为π,最大值为4‎ C.f(x) 的最小正周期为2π,最大值为3‎ D.f(x)的最小正周期为2π,最大值为4‎ 解析:选B f(x)= cos2x+ 故选B ‎9.某圆柱的高为2,底面周长为16,其三视图如图.圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A,圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B,则在此圆柱侧面上,从M到N的路径中,最短路径的长度为 A.2 B.2 C.3 D.2‎ 解析:选B 所求最短路径即四份之一圆柱侧面展开图对角线的长 ‎10.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=2,AC1与平面BB1C1C所成的角为300,则该长方体的体积为 A.8 B.6 C.8 D.8 解析:选C ∵AC1与平面BB1C1C所成的角为300 ,AB=2 ∴AC1=4 BC1=2 BC=2 ∴CC1=2 ‎ V=2×2×2=8 ‎11.已知角α的顶点为坐标原点,始边与x轴的非负半轴重合,终边上有两点A(1,a),B(2,b),且cos2α=,则|a-b|=‎ A. B. C. D.1‎ 解析:选B ∵cos2α= 2cos2α-1= cos2α= ∴sin2α= ∴tan2α= ‎ 又|tanα|=|a-b| ∴|a-b|= ‎ ‎12.设函数f(x)= ,则满足f(x+1)< f(2x)的x的取值范围是 A.(-∞,-1] B.(0,+ ∞) C.(-1,0) D.(-∞,0) ‎ 解析:选D x≤-1时,不等式等价于2-x-1<2-2x,解得x<1,此时x≤-1满足条件 ‎ -10时,1<1不成立 故选D 二、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)‎ ‎13.已知函数f(x)=log2(x2+a),若f(3)=1,则a=________.‎ 第 7 页 共 7 页 解析:log2(9+a)=1,即9+a=2,故a=-7‎ ‎14.若x,y满足约束条件,则z=3z+2y的最大值为_____________.‎ 解析:答案为6‎ ‎15.直线y=x+1与圆x2+y2+2y-3=0交于A,B两点,则|AB|=________.‎ 解析:圆心为(0,-1),半径R=2,线心距d=,|AB|=2=2 ‎16.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知bsinC+csinB=4asinBsinC,b2+c2-a2=8,则△ABC的面积为________.‎ 解析:由正弦定理及bsinC+csinB=4asinBsinC得2sinBsinC=4sinAsinBsinC ∴sinA= ‎ 由余弦定理及b2+c2-a2=8得2bccosA=8,则A为锐角,cosA=, ∴bc= ‎ ∴S=bcsinA= 三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题,考生根据要求作答。‎ ‎(一)必考题:共60分。‎ ‎17.(12分)‎ 已知数列{an}满足a1=1,nan+1=2(n+1)an,设bn=.‎ ‎(1)求b1,b2,b3;‎ ‎(2)判断数列{bn}是否为等比数列,并说明理由;‎ ‎(3)求{an}的通项公式.‎ 解:(1)由条件可得an+1=an.‎ 将n=1代入得,a2=4a1,而a1=1,所以,a2=4.‎ 将n=2代入得,a3=3a2,所以,a3=12.‎ 从而b1=1,b2=2,b3=4.‎ ‎(2){bn}是首项为1,公比为2的等比数列.‎ 由条件可得=,即bn+1=2bn,又b1=1,所以{bn}是首项为1,公比为2的等比数列.‎ ‎(3)由(2)可得=2n-1,所以an=n·2n-1.‎ ‎18.(12分)‎ 如图,在平行四边形ABCM中,AB=AC=3,∠ACM=900,以AC为折痕将△ACM折起,使点M到达点D的位置,且AB⊥DA.‎ ‎(1)证明:平面ACD⊥平面ABC;‎ ‎(2)Q为线段AD上一点,P为线段BC上一点,且BP=DQ=DA,求三棱锥Q-ABP的体积.‎ 第 7 页 共 7 页 ‎18.解:(1)由已知可得,∠BAC=90°,BA⊥AC.‎ 又BA⊥AD,所以AB⊥平面ACD.‎ 又AB平面ABC, 所以平面ACD⊥平面ABC.‎ ‎(2)由已知可得,DC=CM=AB=3,DA=3.‎ 又BP=DQ=DA,所以BP=2.‎ 作QE⊥AC,垂足为E,则QE//DC,且QE=DC.‎ 由已知及(1)可得DC⊥平面ABC,所以QE⊥平面ABC,QE=1.‎ 因此,三棱锥Q-ABP的体积为V=×QE×SΔABP=×1××3×2×sin450=1‎ ‎19.(12分)‎ 某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量数据(单位:m3)和使用了节水龙头50天的日用水量数据,得到频数分布表如下:‎ 未使用节水龙头50天的日用水量频数分布表 日用水量 ‎[0,0.1)‎ ‎[0.1,0.2)‎ ‎[0.2,0.3)‎ ‎[0.3,0.4)‎ ‎[0.4,0.5)‎ ‎[0.5,0.6)‎ ‎[0.6,0.7)‎ 频数 ‎1‎ ‎3‎ ‎2‎ ‎4‎ ‎9‎ ‎26‎ ‎5‎ 使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表 日用水量 ‎[0,0.1)‎ ‎[0.1,0.2)‎ ‎[0.2,0.3)‎ ‎[0.3,0.4)‎ ‎[0.4,0.5)‎ ‎[0.5,0.6)‎ 频数 ‎1‎ ‎5‎ ‎13‎ ‎10‎ ‎16‎ ‎5‎ ‎(1)在答题卡上作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图:‎ ‎(2)估计该家庭使用节水龙头后,日用水量小于0.35 m3的概率;‎ ‎(3)估计该家庭使用节水龙头后,一年能节省多少水?(一年按365天计算,同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表.)‎ 解:(1)‎ 第 7 页 共 7 页 ‎(2)根据以上数据,该家庭使用节水龙头后50天日用水量小于0.35m3的频率为 ‎0.2×0.1+1×0.1+2.6×0.1+2×0.05=0.48,‎ 因此该家庭使用节水龙头后日用水量小于0.35m3的概率的估计值为0.48.‎ ‎(3)该家庭未使用节水龙头50天日用水量的平均数为 =(0.05×1+0.15×3+0.25×2+0.35×4+0.45×9+0.55×26+0.65×5)=0.48‎ 该家庭使用了节水龙头后50天日用水量的平均数为 =(0.05×1+0.15×5+0.25×13+0.35×10+0.45×16+0.55×5)=0.35‎ 估计使用节水龙头后,一年可节省水(0.48-0.35)×365=47.45(m3).‎ ‎20.(12分)‎ 设抛物线C:y2=2x,点A(2,0),B(-2,0),过点A的直线l与C交于M,N两点.‎ ‎(1)当l与x轴垂直时,求直线BM的方程;‎ ‎(2)证明:∠ABM=∠ABN.‎ 解:(1)当l与x轴垂直时,l的方程为x=2,可得M的坐标为(2,2)或(2,–2).‎ 所以直线BM的方程为y=x+1或y=- x-1.‎ ‎(2)当l与x轴垂直时,AB为MN的垂直平分线,所以∠ABM=∠ABN.‎ 当l与x轴不垂直时,设l的方程为y=k(x-2)( (k≠0)),M(x1,y1),N(x2,y2),则x1>0,x2>0.‎ 代y=k(x-2)入y2=2x消去x得ky2–2y–4k=0,可知y1+y2=,y1y2=–4.‎ 直线BM,BN的斜率之和为kBM+kBN=+=.①‎ 将x1=+2,x2=+2及y1+y2,y1y2的表达式代入①式分子,可得 x2y1+x1y2+2(y1+y2)= = =0‎ 所以kBM+kBN=0,可知BM,BN的倾斜角互补,所以,∠ABM=∠ABN.‎ ‎21.(12分)‎ 已知函数f(x)=aex-lnx-1.‎ ‎(1)设x=2是f(x)的极值点.求a,并求f(x)的单调区间;‎ ‎(2)证明:当a≥时,f(x)≥0.‎ 第 7 页 共 7 页 解:(1)f(x)的定义域为(0,+∞),f ′(x)=aex–.‎ 由题设知,f ′(2)=0,所以a=.‎ 从而f(x)=ex-lnx-1,f ′(x)=ex- .‎ 当02时,f ′(x)>0.‎ 所以f(x)在(0,2)单调递减,在(2,+∞)单调递增.‎ ‎(2)当a≥时,f(x)≥ -lnx-1.‎ 设g(x)= -lnx-1,则g ′(x)= – ‎ 当01时,g′(x)>0.所以x=1是g(x)的最小值点.‎ 故当x>0时,g(x)≥g(1)=0.‎ 因此,当a≥时,f(x)≥0.‎ ‎(二)选考题:共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计分。‎ ‎22.[选修4–4:坐标系与参数方程](10分)‎ 在直角坐标系xoy中,曲线C1的方程为y=k|x|+2.以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρ2+2ρcosθ-3=0.‎ ‎(1)求C2的直角坐标方程;‎ ‎(2)若C1与C2有且仅有三个公共点,求C1的方程.‎ 解:(1)C2的直角坐标方程为(x+1)2+y2=4.‎ ‎(2)由(1)知C2是圆心为A(-1,0),半径为2的圆.‎ 由题设知,C1是过点B(0,2)且关于y轴对称的两条射线.记y轴右边的射线为l1,y轴左边的射线为l2.‎ 由于B在圆C2的外面,故C1与C2有且仅有三个公共点等价于l1与C2只有一个公共点且l2与C2有两个公共点,或l2与C2只有一个公共点且l1与C2有两个公共点. ‎ 当l1与C2只有一个公共点时,A到l1所在直线的距离为2,所以=2,故k= - 或k=0.‎ 经检验,当k=0时,l1与C2没有公共点;当k= - 时,l1与C2只有一个公共点,l2与C2有两个公共点.‎ 当l2与C2只有一个公共点时,A到l2所在直线的距离为2,所以=2,故k=0或k=- .‎ 经检验,当k=0时,l1与C2没有公共点;当k= 时,l2与C2没有公共点.‎ 综上,所求C1的方程为y= - |x|+2.‎ ‎23.[选修4–5:不等式选讲](10分)‎ 已知f(x)=|x+1|-|ax-1|.‎ ‎(1)当a=1时,求不等式f(x)>1的解集;‎ ‎(2)若x∈(0,1)时不等式f(x)>x成立,求a的取值范围.‎ 解:(1)当a=1时,f(x)=|x+1|-|x-1|,即f(x)= 故不等式f(x)>1的解集为(,+∞).‎ ‎(2)当x∈(0,1)时|x+1|-|ax-1|>x成立等价于当x∈(0,1)时|ax-1|<1成立.‎ 若a≤0,则当x∈(0,1)时|ax-1|≥1;‎ 第 7 页 共 7 页 若a>0,|ax-1|<1的解集为(0, ),所以≥1,故(0,2].‎ 综上,a的取值范围为(0,2].‎ 第 7 页 共 7 页