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  • 2021-05-13 发布

广东高考文科数学试题及详细答案

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2014 年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷) 数 学(文科) 参考公式: 锥体的体积公式 1 3V Sh ,其中 S 为锥体的底面积, h 为锥体的高. 一组数据 1 2, , , nx x x 的方差 2 2 2 2 1 2 1 [( ) ( ) ( ) ]ns x x x x x xn        , 其中 x 表示这组数据的平均数. 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. 1.已知集合 {2,3,4}M  , {0,2,3,5}N  ,则 M N  A.{3,5} B.{3,4} C.{2,3} D.{0,2} 2.已知复数 z 满足 (3 4 ) 25i z  ,则 z  A.3 4i B.3 4i C. 3 4i  D. 3 4i  3.已知向量 (1,2)a , (3,1)b ,则  b a A. (4,3) B. (2,0) C. (2, 1) D. ( 2,1) 4.若变量 ,x y 满足约束条件 2 8 0 4 0 3 x y x y    ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ,则 2z x y  的最大值等于 A.11 B.10 C.8 D.7 5.下列函数为奇函数的是 A. 2 2xx  B. 2cos 1x  C. 3 sinx x D. 12 2 x x 6.为了解 1000 名学生的学习情况,采用系统抽样的方法,从中抽取容量为 40 的样本,则分段的 间隔为 A.20 B.25 C.40 D.50 7.在 ABC 中,角 CBA ,, 所对应的边分别为 cba ,, ,则“ a b≤ ”是“sin sinA B≤ ”的 A.充分必要条件 B.充分非必要条件 C.必要非充分条件 D.非充分非必要条件 8.若实数 k 满足 0 5k  ,则曲线 2 2 116 5 x y k   与曲线 2 2 116 5 x y k   的 A.焦距相等 B.离心率相等 C.虚半轴长相等 D.实半轴长相等 9.若空间中四条两两不同的直线 1 2 3 4, , ,l l l l ,满足 1 2l l , 2 3//l l , 3 4l l ,则下列结论一定正确 的是 A. 1 4l l B. 1 4//l l C. 1l 与 4l 既不垂直也不平行 D. 1l 与 4l 的位置关系不确定 10.对任意复数 1 2,  ,定义 1 2 1 2*    ,其中 2 是 2 的共轭复数,对任意复数 1 2 3, ,z z z 有 如下四个命题: 图 1 A F E D C B ① 1 2 3 1 3 2 3( ) ( ) ( )* * *z z z z z z z   ; ② 1 2 3 1 2 1 3( ) ( ) ( )* * *z z z z z z z   ; ③ 1 2 3 1 2 3( ) ( )* * * *z z z z z z ; ④ 1 2 2 1* *z z z z . 则真命题的个数是 A.4 B.3 C.2 D.1 二、填空题:本大题共 5 小题,考生作答 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. (一)必做题(11 ~ 13 题) 11.曲线 5 3xy e   在点 (0, 2) 处的切线方程为______________. 12.从字母 , , , ,a b c d e 中任取两个不同字母,则取到字母 a 的概率为______________. 13.等比数列 na 的各项均为正数,且 1 5 4a a  ,则 2 1 2 2 2 3 2 4 2 5log +log +log +log +log =a a a a a ________. (二)选做题(14 ~ 15 题,考生只能从中选做一题) 14.(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,曲线 1C 与 2C 的方程分别为 22 cos sin   与 cos 1   .以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为 x 轴的正半轴,建立平面直角坐标系, 则曲线 1C 与 2C 交点的直角坐标为 . 15.(几何证明选讲选做题)如图 1,在平行四边形 ABCD 中, 点 E 在 AB 上且 2EB AE , AC 与 DE 交于点 F , 则 CDF AEF   的周长 的周长 = . 三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.(本小题满分 12 分) 已知函数 ( ) sin( )3f x A x   , xR ,且 5 3 2( )12 2f   . (1)求 A 的值; (2)若 ( ) ( ) 3f f    , )2,0(   ,求 ( )6f   . 17.(本小题满分 13 分) 某车间 20 名工人年龄数据如下表: 年龄(岁) 工人数(人) 19 1 28 3 29 3 30 5 31 4 32 3 40 1 合计 20 (1)求这 20 名工人年龄的众数与极差; 图 3 P A B CE D F M P A B CD 图 2 (2)以十位数为茎,个位数为叶,作出这 20 名工人年龄的茎叶图; (3)求这 20 名工人年龄的方差. 18.(本小题满分 13 分) 如图 2,四边形 ABCD 为矩形, PD  平面 ABCD , 1AB  , 2BC PC  .作如图 3 折 叠:折痕 EF ∥ DC ,其中点 E , F 分别在线段 PD , PC 上,沿 EF 折叠后点 P 叠在线段 AD 上 的点记为 M ,并且 MF CF . (1)证明:CF  平面 MDF ; (2)求三棱锥 M CDE 的体 积. 19.(本小题满分 14 分) 设各项均为正数的数列 na 的前 n 项和为 nS ,且 nS 满足 2 2 2( 3) 3( ) 0n nS n n S n n      , *nN . (1)求 1a 的值; (2)求数列 na 的通项公式; (3)证明:对一切正整数 n ,有 1 1 2 2 1 1 1 1 ( 1) ( 1) ( 1) 3n na a a a a a       . 20.(本小题满分 14 分) 已知椭圆 2 2 2 2: 1x yC a b   ( 0)a b  的一个焦点为 ( 5,0) ,离心率为 5 3 . (1)求椭圆C 的标准方程; (2)若动点 0 0( , )P x y 为椭圆C 外一点,且点 P 到椭圆C 的两条切线相互垂直,求点 P 的轨 迹方程. 21.(本小题满分 14 分) 已知函数 3 21( ) 13f x x x ax    ( )aR . (1)求函数 ( )f x 的单调区间; (2)当 0a  时,试讨论是否存在 0 1 1(0, ) ( ,1)2 2x   ,使得 0 1( ) ( )2f x f . 2014 年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷) 数 学(文科)参考答案 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A C B D B A A D C 二、填空题:本大题共 5 小题,考生作答 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. 11.5 2 0x y   12. 2 5 13.5 14. (1,2) 15.3 2.A 解析: 25 25(3 4 ) 25(3 4 )= 3 4 .3 4 (3 4 )(3 4 ) 25 i iz ii i i        4.B 解析:作出可行域(为一个五边形及其内部区域),易知在点(4,2)处目标函数取到最大值 10. 1 1 1( ) 2 , ( ) , ( )5 D 2 2 ( ),2 2 2 ( ) . x x x x x xf x f x R f x f x f x            解析:设 则 的定义域为 且       为奇函数 . 1000 25.4B 06 解析:分段的间隔为. , , ,sin ,sin , sin sin .sin sin7 A a b a b A B a b A BA B     解析:由正弦定理知 都为正数. 0 5, 5 0,16 0, 16 (5 ) 21 (16 ) 5 8 , A k k k k k k               解析: 从而两曲线均为双曲线,   又 故两双曲 . 线的焦距相等. 1 2 3 1 2 3 1 3 2 3 1 3 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 1 3 1 2 1 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 10 C ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ; ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ; ( ) , ( ) ( ) ( ), z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z               . ① * = = = * + * ,故①是真命题      ② * * + * ,②对    ③左边= * = 右边 * 解析: 左 1 2 1 2 2 1 2 1 , ; , , ,z z z z z z z z     边 右边 ③错    ④左边= * 右边= * 左边 右边 故④不是真命题.    综上,只有①②是真命题. 05 , 5, 2 5 , 5 0.1 21 x xy e y y x x y           解析: 所求切线方程为 即. 1 4 2 5 4 2 .1 52 01 CP C   解析:. 2 1 2 2 2 3 2 4 2 5 2 5 2 4 2 3 2 2 2 1 2 1 5 2 log log log log log , log log log log log , 2 5log ( ) 5log 4 10, 13 5. S a a a a a S a a a a a S a a S                 解析:设   则        . 2 2 2 1 2 1 2 2 cos sin 2 cos = sin , 2 , 1, , (1,2). 14 C y x C x C C           解析:由 得( ) 故 的直角坐标方程为:    的直角坐标方程为: 交点的直角坐标为 . ,5 3.1 CDF CD EB AECDF AEF AEF AE AE        的周长解析:显然 的周长. 三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.(12 分)解:(1) 5 5 3 3 2( ) sin( ) sin12 12 3 4 2f A A       ,解得 3.A  (2)由(1)得 ( ) 3sin( )3f x x   , 所以 ( ) ( ) 3sin( ) 3sin( ) 3sin( ) 3sin( )3 3 3 3f f                    3(sin cos cos sin ) 3(sin cos cos sin )3 3 3 3           6sin cos 3sin 33     . 所以 3sin 3   ,又 (0, )2   ,所以 2 6cos 1 sin 3     . 所以 6( ) 3sin( ) 3sin( ) 3cos 3 66 6 3 2 3f                 . 17.(13 分)解:(1)这 20 名工人年龄的众数为 30,极差为 40 19  21 (2)茎叶图如图所示: (3)年龄的平均数为 (19 28 3 29 3 30 5 31 4 32 3 40) 3020x             所以这 20 名工人年龄的方差为 2 2 2 2 2 2 2 21 (19 30) 3 (28 30) 3 (29 30) 5 (30 30) 4 (31 30) 3 (32 30) (40 30)20s                      1 252(121 12 3 0 4 12 100) 12.620 20          18.(13 分)解:(1)证明:因为 PD  平面 ABCD , AD  平面 ABCD ,所以 PD AD . 因为在矩形 ABCD 中CD AD ,又CD PD D ,所以 AD  平面 PCD . 因为CF  平面 PCD ,所以 AD CF . 因为 MF CF , MF AD M ,所以CF  平面 ADF . (2)因为CF  平面 ADF , DF  平面 ADF ,所以CF DF . 1 9 2 8 8 8 9 9 9 3 0 0 0 0 0 1 1 1 1 2 2 2 4 0 因为 1AB CD  , 2BC PC  , 所以 60PCD   , 30CDF   ,所以 1 1 1 2 4 2CF CD PC   , 3PD  . 因为 EF ∥ DC ,所以 1 3 4 4DE PD  , 3 3 3 4 4PE PD  . 所以 3 3 4EM PE  , 2 2 6 2MD ME DE   , 1 3 2 8CDES CD DE    , 因为 MD  平面 CDE ,所以三棱锥 M CDE 的体积 1 1 3 6 2 3 3 8 2 16M CDE CDEV S MD       . 19.( 14 分)解:(1)由 2 2 2( 3) 3( ) 0n nS n n S n n      ,得 2( 3) ( ) 0n nS S n n      . 因为 na 是正项数列,所以 0na  , 0nS  ,所以 2 nS n n  . 当 1n  时, 1 1 2a S  . (2)当 2n≥ 时, 2 2 1 [( 1) ( 1)] 2n n na S S n n n n n         ; 当 1n  时, 1 2a  ,满足上式, 所以数列 na 的通项公式为 2na n , *nN (3)因为 1 1 1 1 1 1( )( 1) 2 (2 1) (2 1)(2 1) 2 2 1 2 1n na a n n n n n n          所以 1 1 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1( ) ( ) ( )( 1) ( 1) ( 1) 2 3 2 3 5 2 5 7 2 2 1 2 1n na a a a a a n n                  1 1 1 1 1 1 1( )6 2 3 2 1 3 4 2 3n n        20.( 14 分)解:(1)依题意得 5c  , 5 3 ce a   ,所以 3a  , 2 2 2 4b a c   , 所以椭圆C 的标准方程为 2 2 19 4 x y  . (2)当过点 P 的两条切线 1 2,l l 的斜率均存在时,设 1 2,l l 的斜率分别为 1 2,k k , 设切线方程为 0 0( )y y k x x   , 联立 2 2 0 0 19 4 ( ) x y y y k x x        ,得 2 2 2 0 0 0 0(4 9 ) 18 ( ) 9( ) 36 0k x k y kx x y kx       , 所以 2 2 2 2 0 0 0 0(18 ) ( ) 4(4 9 )[9( ) 36] 0k y kx k y kx        , 整理得 2 2 0 0( ) 4 9y kx k   ,即 2 2 2 0 0 0 0( 9) 2 4 0x k x y k y     , 因为 1 2l l ,所以 2 0 1 2 2 0 4 19 yk k x    ,整理得 2 2 0 0 13x y  ; 当过点 P 的两条切线 1 2,l l 一条斜率不存在,一条斜率为 0 时, P 为 (3, 2) 或 ( 3, 2)  ,均满 足 2 2 0 0 13x y  . 综上所述,点 P 的轨迹方程为 2 2 13x y  . 21.( 14 分)解:(1) 2( ) 2f x x x a    , xR . 令 2 2 0x x a   , 4 4a   . ① 当 1a≥ 时, 0 ≤ , ( ) 0f x ≥ ,所以 ( )f x 在 ( , )  上是增函数; ② 当 1a  时, 0  ,方程 2 2 0x x a   的两个根为 1 1 1x a    , 2 1 1x a    . 所以 ( ), ( )f x f x 随 x 的变化情况如下表: x 1( ), x 1x 1 2( , )x x 2x 2( , )x  ( )f x  0  0  ( )f x ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 所以 ( )f x 在 1( ), x 和 2( , )x  上是增函数,在 1 2( , )x x 上是减函数. 综上所述,当 1a≥ 时, ( )f x 的单调递增区间为 ( , )  ,没有单调递减区间; 当 1a  时, ( )f x 的单调递增区间为 1( ), x 和 2( , )x  ,单调递减区间为 1 2( , )x x . (2)当 0a  时,假设存在 0 1 1(0, ) ( ,1)2 2x   ,使得 0 1( ) ( )2f x f . 令 3 2 3 21 1 1 1 1 1 1 7( ) ( ) ( ) 1 ( 1)2 3 24 4 2 3 2 24g x f x f x x ax a x x ax a               , 原问题转化为方程 ( ) 0g x  在 1 1(0, ) ( ,1)2 2 上有解. 因为 1( ) ( ) ( ) ( )2g x f x f f x      ,所以函数 ( )y g x 与 ( )y f x 的单调性相同. 由(1)得当 0a  时, ( )g x 在 1( ), x 和 2( , )x  上是增函数,在 1 2( , )x x 上是减函数, 其中 1 1 1 2x a      , 2 1 1 0x a     , 1 7(0) 2 24g a   , 1( ) 02g  , 1 25(1) 2 24g a  . ① 当 2 10 2x  时,即 10 1 1 2a     ,解得 5 04 a   , ( )g x 在 2(0, )x 上是减函数,在 2 1( , )2x 和 1( ,1)2 上是增函数,且 1( ) 02g  , 要使 ( ) 0g x  在 1 1(0, ) ( ,1)2 2 上有解,只需 (0) 0g  ,解得 7 12a   ,所以 5 7 4 12a    ; ② 当 2 1 2x  时,即 5 4a   , ( )g x 在(0, 1)2 上是减函数,在 1( ,1)2 上是增函数,且 1( ) 02g  ,所以 ( ) 0g x  在 1 1(0, ) ( ,1)2 2 上无解; ③ 当 2 1 12 x  时,即 1 1 1 12 a     ,解得 53 4a    , ( )g x 在 (0, 1)2 和 2(1 , )2 x 上是减函数,在 2( ,1)x 上是增函数,且 1( ) 02g  , 要使 ( ) 0g x  在 1 1(0, ) ( ,1)2 2 上有解,只需 (1) 0g  ,解得 25 12a   ,所以 25 5 12 4a    ; ④ 当 2 1x ≥ 时,即 1 1 1a   ≥ ,解得 3a ≤ , ( )g x 在 (0, 1)2 和 (1 ,1)2 上是减函数,且 1( ) 02g  ,所以 ( ) 0g x  在 1 1(0, ) ( ,1)2 2 上无解. 综上所述,当 25 5 5 7( , ) ( , )12 4 4 12a     时,存在 0 1 1(0, ) ( ,1)2 2x   ,使得 0 1( ) ( )2f x f .