2015高考数学人教A版本（数列）一轮过关测试题 13页

阶段性测试题六(数　列)‎ 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。满分150分。考试时间120分钟。‎ 第Ⅰ卷(选择题　共60分)‎ 一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)‎ ‎1．(文)(2014·甘肃省金昌市二中期中)已知等差数列{an}满足a1＋a2＋a3＋…＋a101＝0则有(　　)‎ A．a1＋a101>0　　　 　　 B．a2＋a100<0‎ C．a3＋a99＝0 D．a51＝51‎ ‎[答案]　C ‎[解析]　由条件知，a51＝0，∴a3＋a99＝‎2a51＝0，a1＋a101＝‎2a51＝0，a2＋a100＝‎2a51＝0，故选C.‎ ‎(理)(2014·浙江台州中学期中)公差不为0的等差数列{an}的前21项的和等于前8项的和．若a8＋ak＝0，则k＝(　　)‎ A．20 B．21‎ C．22 D．23‎ ‎[答案]　C ‎[解析]　由条件知S21＝S8，∴a9＋a10＋…＋a21＝0，‎ ‎∴a15＝0，∵a8＋ak＝‎2a15＝0，∴k＝22.‎ ‎2．(2014·浙江杜桥中学期中)已知等比数列{an}中，a3＝16，a4＝8，则a8＝(　　)‎ A．128 B．64‎ C. D. ‎[答案]　D ‎[解析]　∵a4＝a3q，∴q＝，‎ ‎∴a8＝a4q4＝8×()4＝.‎ ‎3．(2014·湖南长沙实验中学、沙城一中联考)已知{an}是等比数列，对任意n∈N*，an>0恒成立，且a‎1a3＋‎2a2a5＋a‎4a6＝36，则a2＋a5等于(　　)‎ A．36 B．±6‎ C．－6 D．6‎ ‎[答案]　D ‎[解析]　∵{an}是等比数列，∴a‎1a3＝a，a‎4a6＝a，‎ ‎∴a＋‎2a2a5＋a＝36，∴(a2＋a5)2＝36，‎ ‎∵an>0，∴a2＋a5＝6.‎ ‎4．(2014·抚顺市六校联合体期中)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若‎2a8＝6＋a11，则S9的值等于(　　)‎ A．54 B．45‎ C．36 D．27‎ ‎[答案]　A ‎[解析]　∵‎2a8＝a5＋a11,‎2a8＝6＋a11，∴a5＝6，‎ ‎∴S9＝‎9a5＝54.‎ ‎5．(2014·哈六中期中)已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn，若S13＝，＋＋＋…＋＝，则log2(a‎6a8)的值为(　　)‎ A．4 B．5‎ C．16 D．32‎ ‎[答案]　B ‎[解析]　∵＋＋＋…＋＝·(1＋＋＋…＋)＝·＝·＝·＝·S13，‎ ‎∴×＝，∴a＝32，∴log2(a‎6a8)＝log‎2a＝5.‎ ‎6．(2014·山东省德州市期中)已知{an}是首项为1的等差数列，Sn是{an}的前n项和，且S5＝a13，则数列{}的前五项和为(　　)‎ A. B. C. D. ‎[答案]　B ‎[解析]　∵a1＝1，S5＝a13＝‎5a3，∴5(1＋2d)＝1＋12d，‎ ‎∴d＝2.‎ ‎∴an＝1＋2(n－1)＝2n－1，‎ ‎∴＝＝(－)，‎ 故所求和为(1－)＋(－)＋(－)＋(－)＋(－)＝(1－)＝.‎ ‎7．(2014·北京海淀期中)已知数列{an}的通项公式an＝2n(3n－13)，则数列的前n项和Sn的最小值是(　　)‎ A．S3 B．S4‎ C．S5 D．S6‎ ‎[答案]　B ‎[解析]　观察an＝2n(3n－13)可知，随n的增大，an＝2n(3n－13)由负数增大为正数，其中，a1，a2，a3，a4为负数，a5开始以后各项均为正数，所以，数列的前n项和Sn的最小值是S4，选B.‎ ‎8．设等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，a2＝1，前6项的方差为，则a3S3的值为(　　)‎ A．－9 B．3‎ C．±9 D．9‎ ‎[答案]　D ‎[解析]　∵数列{an}的前6项为1－d,1,1＋d,1＋2d,1＋3d,1＋4d，∴＝1＋d，‎ 由条件知，S2＝[(1－d－)2＋(1－)2＋(1＋d－)2＋(1＋2d－)2＋(1＋3d－)2＋(1＋4d－)2]‎ ‎＝d2＝，∴d2＝4，∴d＝±2，‎ ‎∵a2＝1，∴当d＝2时，a1＝－1，a3＝3，S3＝3，∴a3S3＝9，‎ 当d＝－2时，a1＝3，a3＝－1，S3＝3，∴a3S3＝9，故选D.‎ ‎9．(2014·浙江台州中学期中)已知数列{an}是1为首项、2为公差的等差数列，{bn}是1为首项、2为公比的等比数列．设cn＝abn，Tn＝c1＋c2＋…＋cn(n∈N*)，则当Tn＞2013时，n的最小值是(　　)‎ A．7 B．9‎ C．10 D．11‎ ‎[答案]　C ‎[解析]　an＝2n－1，bn＝2n－1，cn＝abn＝2bn－1＝2n－1，Tn＝c1＋c2＋…＋cn＝－n＝2n＋1－n－2，当n＝9时，T9＝210－11＝1013，当n＝10时，T10＝211－12＝2036>2013，∴使Tn>2013的最小n值为10.‎ ‎10．(文)(2014·宝鸡市质检)已知一次函数f(x)＝kx＋b的图象经过点P(1,2)和Q(－2，－4)，令an＝f(n)f(n＋1)，n∈N*，记数列{}的前n项和为Sn，当Sn＝时，n的值等于(　　)‎ A．24 B．25‎ C．23 D．26‎ ‎[答案]　A ‎[解析]　∵一次函数f(x)＝kx＋b的图象经过点P(1,2)和Q(－2，－4)，∴解得 所以f(x)＝2x，an＝f(n)f(n＋1)＝2n×2(n＋1)＝4n(n＋1)，‎ ＝＝(－)，Sn＝(1－＋－＋…＋－)＝(1－)＝＝，得n＝24.‎ ‎(理)(2014·成都七中模拟)已知正项等比数列{an}满足a7＝a6＋‎2a5，若存在两项am，an使得＝‎4a1，则＋的最小值为(　　)‎ A. B. C. D. ‎[答案]　A ‎[解析]　由a7＝a6＋‎2a5得：q2＝q＋2，∴q＝－1(舍)或q＝2.‎ 由＝‎4a1得，a1qm－‎1a1qn－1＝‎16a，∴m＋n＝6.‎ 所以＋＝(＋)(m＋n)＝(1＋9＋＋)≥(10＋6)＝.‎ 等号成立时，∴m＝，n＝，故选A.‎ ‎11．(文)(2014·山西曲沃中学期中)已知函数f(x)＝(a>0，a≠1)，数列{an}满足an＝f(n)(n∈N*)且{an}是单调递增数列，则实数a的取值范围是(　　)‎ A．[7,8) B．(1,8)‎ C．(4,8) D．(4,7)‎ ‎[答案]　A ‎[解析]　∵an＝f(n)，且{an}是单调递增数列，‎ ‎∴ ‎∴7≤a<8.‎ ‎(理)(2014·湖南长沙实验中学、沙城一中联考)已知数列{an}，{bn}满足a1＝1，且an，an＋1是函数f(x)＝x2－bnx＋2n的两个零点，则b10等于(　　)‎ A．24 B．32‎ C．48 D．64‎ ‎[答案]　D ‎[解析]　由条件知，an＋an＋1＝bn，anan＋1＝2n，a1＝1，a2＝a3＝2，a4＝a5＝22；a6＝a7＝23；a8＝a9＝24，…，∴b10＝a10＋a11＝25＋25＝64.‎ ‎12．(2014·海南省文昌市检测)已知函数f(x)＝x2＋bx的图象在点A(1，f(1))处的切线l与直线3x－y＋2＝0平行，若数列{}的前n项和为Sn，则S2011的值为(　　)‎ A. B. C. D. ‎[答案]　C ‎[解析]　f ′(x)＝2x＋b，由条件知f ′(1)＝2＋b＝3，‎ ‎∴b＝1，∴f(x)＝x2＋x，∴＝＝－，‎ ‎∴Sn＝＋＋…＋＝(1－)＋(－)＋…＋(－)＝，∴S2011＝.‎ 第Ⅱ卷(非选择题　共90分)‎ 二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上．)‎ ‎13．(2014·北京海淀期中)已知数列{an}为等比数列，若a1＋a3＝5，a2＋a4＝10，则公比q＝________.‎ ‎[答案]　2‎ ‎[解析]　因为数列{an}为等比数列，且a1＋a3＝5，a2＋a4＝10，所以，由等比数列的通项公式可得，‎ a2＋a4＝(a1＋a3)q，即10＝5q，∴q＝2.‎ ‎14．(2014·北京市海淀区期末)已知等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1＝b1＝－2，a2＝b2＝4，则满足an＝bn的n的所有取值构成的集合是________．‎ ‎[答案]　{1,2,4}‎ ‎[解析]　设等差数列{an}公差为d，设等比数列{bn}公比为q，所以d＝a2－a1＝6，q＝＝－2，所以an＝－2＋6(n－1)＝6n－8，bn＝－2(－2)n－1＝(－2)n，因为等差数列{an}首项为负，从第二项起均为正数，等比数列{bn}奇数项为负、偶数项为正，所以除首项外当an＝bn时n为偶数，n＝4时，a4＝16，b4＝(－2)4＝16，n＝6时，a6＝280，S7＝S10，则使Sn取到最大值的n为________．‎ ‎[答案]　8或9‎ ‎[解析]　∵S7＝S10，∴a8＋a9＋a10＝0，∴a9＝0，‎ 又a1>0，∴当n＝8或9时，Sn取到最大值．‎ ‎(理)(2014·鄂南高中、孝感高中联考)已知数列{an}，若点(n，an)(n∈N*)在直线y－3＝k(x－6)上，则数列{an}的前11项和S11＝________.‎ ‎[答案]　33‎ ‎[解析]　∵点(n，an)在直线y－3＝k(x－6)上，∴an＝3＋k(n－6)．‎ ‎∴an＋a12－n＝[3＋k(n－6)]＋[3＋k(6－n)]＝6，n＝1,2,3，…，6，‎ ‎∴S11＝a1＋a2＋…＋a11＝5(a1＋a11)＋a6＝5×6＋3＝33.‎ 三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)‎ ‎17．(本小题满分12分)(文)(2014·三亚市一中月考)等比数列{an}中，已知a1＝2，a4＝16.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)若a3，a5分别为等差数列{bn}的第3项和第5项，求数列{bn}的通项公式及前n项和Sn.‎ ‎[解析]　(1)设{an}的公比为q，‎ 由已知得16＝2q3，解得q＝2.‎ ‎∴an＝2×2n－1＝2n.‎ ‎(2)由(1)得a3＝8，a5＝32，则b3＝8，b5＝32，‎ 设{bn}的公差为d，则有解得 从而bn＝－16＋12(n－1)＝12n－28.‎ 所以数列{bn}的前n项和Sn＝＝6n2－22n.‎ ‎(理)(2014·北京东城区联考)在公差不为0的等差数列{an}中，a4＝10，且a3，a6，a10成等比数列．‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)设bn＝2an(n∈N*)，求数列{bn}的前n项和．‎ ‎[解析]　(1)设数列{an}的公差为d，又a4＝10，‎ 可得a3＝10－d，a6＝10＋2d，a10＝10＋6d.‎ 由a3，a6，a10成等比数列得a‎3a10＝a，‎ 即(10－d)(10＋6d)＝(10＋2d)2，‎ 整理得10d2－10d＝0，解得d＝0或d＝1.‎ 由d≠0，可得d＝1.‎ a1＝a4－3d＝10－3×1＝7，‎ 所以an＝a1＋(n－1)d＝n＋6.‎ ‎(2)由bn＝2an(n∈N*)，an＝n＋6，可得bn＝2n＋6.‎ 所以b1＝21＋6＝128.‎ 因为＝＝2，‎ 所以数列{bn}是首项为128，公比为2的等比数列．‎ 所以{bn}的前n项和为Sn＝＝2n＋7－128.‎ ‎18．(本小题满分12分)(文)(2014·北京朝阳区期中)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，n∈N*，且a3＋a6＝4，S5＝－5.‎ ‎(1)求an；‎ ‎(2)若Tn＝|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|，求T5的值和Tn的表达式．‎ ‎[解析]　(1)设等差数列{an}的公差为d，则 解得 则an＝2n－7，n∈N.‎ ‎(2)当n≥4时，an＝2n－7>0，‎ 当n≤3时，an＝2n－7<0.‎ 则T5＝－(a1＋a2＋a3)＋a4＋a5＝13，Sn＝n2－6n，‎ 当n≤3时，Tn＝－Sn＝6n－n2；‎ 当n≥4时，Tn＝Sn－2S3＝n2－6n＋18.‎ 即Tn＝n∈N*.‎ ‎(理)(2014·安徽程集中学期中)Sn表示等差数列{an}的前n项的和，且S4＝S9，a1＝－12.‎ ‎(1)求数列的通项an及Sn；‎ ‎(2)求和Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|.‎ ‎[解析]　(1)∵S4＝S9，a1＝－12，‎ ‎∴4×(－12)＋6d＝9×(－12)＋36d，∴d＝2，‎ ‎∴an＝－12＋2(n－1)＝2n－14，‎ Sn＝－12n＋n(n－1)＝n2－13n.‎ ‎(2)令an＝2n－14≤0，得n≤7，‎ 当n≤7时，Tn＝－(a1＋a2＋…＋an)＝－Sn＝13n－n2，‎ 当n≥8时an>0，‎ Tn＝－(a1＋a2＋…＋a7)＋(a8＋…＋an)＝Sn－2S7＝n2－13n＋84.‎ ‎19．(本小题满分12分)(文)(2014·山东省德州市期中)已知{an}是等差数列，其前n项和为Sn，{bn}是等比数列(bn>0)，且a1＝b1＝2，a3＋b3＝16，S4＋b3＝34.‎ ‎(1)求数列{an}与{bn}的通项公式；‎ ‎(2)记Tn为数列{anbn}的前n项和，求Tn.‎ ‎[解析]　(1)设数列{an}的公差为d，数列{bn}的公比为q，‎ 由已知可得⇒ 因此an＝a1＋(n－1)d＝2＋3(n－1)＝3n－1，bn＝b1qn－1＝2n.‎ ‎(2)Tn＝2×2＋5×22＋…＋(3n－1)×2n，‎ ‎2Tn＝2×22＋5×23＋…＋(3n－1)×2n＋1，‎ 两式相减得－Tn＝4＋3×22＋…＋3×2n－(3n－1)×2n＋1‎ ‎＝4＋－(3n－1)×2n＋1‎ ‎＝－8－(3n－4)2n＋1，‎ 故Tn＝(3n－4)2n＋1＋8.‎ ‎(理)(2014·辽宁师大附中期中)已知等比数列{an}中，公比q∈(0,1)，a2＋a4＝，a‎1a5＝，设bn＝nan(n∈N*)．‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)求数列{bn}的前n项和Sn.‎ ‎[解析]　(1)由题意知：a2·a4＝a1·a5＝，‎ 联立方程得： ‎∵q∈(0,1)，∴a2>a4，‎ ‎∴解方程组得a2＝1，a4＝，∴q＝，a1＝2，‎ ‎∴an＝2×()n－1＝()n－2.‎ ‎(2)由(1)知：an＝()n－2，所以bn＝n()n－1.‎ ‎∴Sn＝1×()0＋2×()1＋3×()2＋…＋(n－1)·()n－2＋n()n－1，①‎ Sn＝1×()1＋2×()2＋…＋(n－2)()n－2＋(n－1)·()n－1＋n()n，②‎ ‎∴①－②得：Sn＝()0＋()1＋()2＋…＋()n－2＋()n－1－n()n ‎＝－n()n＝2－()n－1－n·()n，‎ ‎∴Sn＝4－()n－2－n()n－1＝4－(n＋2)()n－1.‎ ‎20．(本小题满分12分)(2014·浙北名校联盟联考)已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn＝2an－2.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)设bn＝an·log2an＋1，求数列{bn}的前n项和Tn.‎ ‎[解析]　(1)当n＝1时，a1＝2，‎ 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2an－2－(2an－1－2)＝2an－2an－1，‎ 即＝2，∴数列{an}为以2为公比的等比数列，‎ ‎∴an＝2n.‎ ‎(2)bn＝2n·log22n＋1＝(n＋1)·2n，‎ ‎∴Tn＝2×2＋3×22＋…＋n·2n－1＋(n＋1)·2n，‎ ‎∴2Tn＝2×22＋3×23＋…＋n·2n＋(n＋1)·2n＋1，‎ 两式相减得，‎ ‎－Tn＝4＋22＋23＋…＋2n－(n＋1)2n＋1＝－n·2n＋1，‎ ‎∴Tn＝n·2n＋1.‎ ‎21．(本小题满分12分)(文)(2014·华安、连城、永安、漳平、泉港一中、龙海二中六校联考)现在市面上有普通型汽车(以汽油为燃料)和电动型汽车两种．某品牌普通型汽车车价为12万元，第一年汽油的消费为6000元，随着汽油价格的不断上升，汽油的消费每年以20%的速度增长．其他费用(保险及维修费用等)第一年为5000元，以后每年递增2000元．而电动汽车由于节能环保，越来越受到社会认可．某品牌电动车在某市上市，车价为25万元，购买时一次性享受国家补贴价6万元和该市市政府补贴价4万元．电动汽车动力不靠燃油，而靠电池．电动车使用的普通锂电池平均使用寿命大约两年(也即两年需更换电池一次)，电池价格为1万元，电动汽车的其他费用每年约为5000元．‎ ‎(1)求使用n年，普通型汽车的总耗资费Sn(万元)的表达式(总耗资费＝车价＋汽油费＋其他费用)；‎ ‎(2)比较两种汽车各使用10年的总耗资费用．‎ ‎(参考数据：(1.24≈2.1　1.25≈2.5　1.29≈5.2　1.210≈6.2)‎ ‎[解析]　(1)依题意，普通型每年的汽油费用为一个首项为0.6万元，公比为1.2的等比数列，‎ ‎∴使用n年，汽油费用共计 ‎0．6(1＋1.2＋1.22＋…＋1.2n－1)＝＝3(1.2n－1)，‎ 其他费用为一个首项为0.5万元，公差为0.2万元的等差数列，故使用n年其他费用共计0.5＋(0.5＋0.2)＋…＋[0.5＋0.2(n－1)]＝0.5n＋×0.2＝0.1n2＋0.4n，‎ ‎∴Sn＝12＋3×1.2n－3＋0.1n2＋0.4n＝3×1.2n＋0.1n2＋0.4n＋9(万元)．‎ ‎(2)由(1)知Sn＝3×1.2n＋0.1n2＋0.4n＋9，‎ ‎∴S10＝3×1.210＋0.1×102＋0.4×10＋9≈3×6.2＋10＋13＝41.6(万元)，‎ 又设T10为电动型汽车使用10年的总耗资费用，‎ 则T10＝25－6－4＋×1＋0.5×10＝25(万元)，‎ ‎41．6－25＝16.6(万元)，‎ ‎∴使用10年，普通汽车比电动型汽车多花费16.6万元．‎ 答：(1)使用n年，普通型汽车的总耗资费用Sn＝3×1.2n＋0.1n2＋0.4n＋9，‎ ‎(2)使用10年，普通型汽车比电动型汽车多花费16.6万元．‎ ‎(理)(2014·湖南省五市十校联考)学校餐厅每天有500名学生就餐，每星期一有A，B两种套餐可选，每个学生任选一种，其中A是本校的传统套餐，B是从外校引人的套餐．调查资料表明，若在这星期一选A套餐的学生，下星期一会有的学生改选B套餐；而选B套餐的学生，下周星期一会有r(020.‎ ‎(1)求数列{bn}的通项公式及前n项和Sn；‎ ‎(2)设Pn＝b1＋b4＋b7＋…＋b3n－2，Qn＝b10＋b12＋b14＋…＋b2n＋8，其中n∈N＋，试比较Pn与Qn的大小，并加以证明．‎ ‎[解析]　(1)设{an}的公比为q，由a3＝a1q2得，q2＝＝9，∴q＝±3.‎ 当q＝－3时，a1＋a2＋a3＝2－6＋18＝14<20，这与a1＋a2＋a3>20矛盾．‎ 当q＝3时，a1＋a2＋a3＝2＋6＋18＝26>20，符合题意．‎ 设{bn}的公差为d，由b1＋b2＋b3＋b4＝26得，4b1＋d＝26，‎ 又b1＝2，∴d＝3，∴bn＝3n－1.‎ ‎∴Sn＝＝n2＋n.‎ ‎(2)∵b1、b4、b7，…，b3n－2组成公差为3d的等差数列，‎ ‎∴Pn＝nb1＋·3d＝n2－n.‎ ‎∵b10，b12，b14，b2n＋8组成公差为2d的等差数列，‎ ‎∴Qn＝nb10＋·2d＝3n2＋26n，‎ ‎∴Pn－Qn＝n(n－19)，‎ 故当n≥20时，Pn>Qn；当n＝19时，Pn＝Qn；当n≤18时，Pn