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  • 2021-05-13 发布

陕西高考试题理数word解析版

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‎2012年普通高等学校招生全国统一考试(陕西卷)‎ 数学(理科)‎ 一、选择题 ‎1. 集合,,则( ) ‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎【解析】,,则,故选C ‎2. 下列函数中,既是奇函数又是增函数的为( )‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎【解析】选项中是奇函数的有B、C、D,增函数有D,故选D ‎3. 设,是虚数单位,则“”是“复数为纯虚数”的( )‎ ‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 ‎ C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎【解析】“”则或,“复数为纯虚数”则且,则 ‎“”是“复数为纯虚数”的必要不充分条件,故选B ‎4. 已知圆,过点的直线,则( )‎ ‎ A.与相交 B.与相切 ‎ ‎ C.与相离 D.以上三个选项均有可能 ‎【解析】点在圆内,则必与相交,故选A ‎5. 如图,在空间直角坐标系中有直三棱柱,,则直线与直线夹角的余弦值为( )‎ ‎ A. B. ‎ ‎ C. D.‎ ‎【解析】设,则,,‎ ‎    则,故选A ‎6. 从甲乙两个城市分别随机抽取16台自动售货机,对其销售额进行统计,统计数据用茎叶图表示(如图所示),设甲乙两组数据的平均数分别为,,中位数分别为,,则( )‎ ‎ A.,‎ ‎ B.,‎ ‎ C.,‎ ‎ D.,‎ ‎【解析】经计算得:甲=21.5625,乙=28.5625,甲=20,乙=29,故选B ‎7. 设函数,则( )‎ ‎ A.为的极大值点 B.为的极小值点 ‎ C.为的极大值点 D.为的极小值点[来源:学,科,网]‎ ‎【解析】,,恒成立,令,则 ‎ 当时,,函数单调减,当时,,函数单调增,‎ ‎ 则为的极小值点,故选D ‎8. 两人进行乒乓球比赛,先赢三局着获胜,决出胜负为止,则所有可能出现的情形(各人输赢局次的不同视为不同情形)共有( )‎ ‎ A.10种 B.15种 C.20种 D.30种 ‎【解析】甲赢和乙赢的可能情况是一样的,所以假设甲赢的情况如下:‎ ‎ 若两人进行3场比赛,则情况只有是甲全赢1种情况;‎ ‎ 若两人进行4场比赛,第4场比赛必为甲赢前3场任选一场乙赢为种情况;‎ ‎ 若两人进行5场比赛,第5场比赛必为甲赢前4场任选一场乙赢为种情况;‎ ‎ 综上,甲赢有10种情况,同理,乙赢有10种情况,‎ ‎ 则所有可能出现的情况共20种,故选C ‎9. 在中角、、所对边长分别为,若,则的最小值为( )‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎【解析】,故选C ‎10. 右图是用模拟方法估计圆周率的程序框图,表示估计结果,则图中空白框内应填 入( )‎ ‎ A.‎ ‎ B.‎ ‎ C.‎ ‎ D.‎ ‎【解析】M表示落入扇形的点的个数,1000表示落入正方形的点的个数,‎ ‎ 则点落入扇形的概率为,‎ ‎ 由几何概型知,点落入扇形的概率为,‎ ‎ 则,故选D 二. 填空题:把答案填写在答题卡相应的题号后的横线上(本大题共5小题,每小题5分,共25分)‎ ‎11. 观察下列不等式 ‎,‎ ‎,‎ ‎……‎ 照此规律,第五个不等式为 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】观察不等式的左边发现,第n个不等式的左边=,‎ ‎ 右边=,所以第五个不等式为.‎ ‎12. 展开式中的系数为10, 则实数的值为 .‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】∵,令,则,‎ ‎ 又∵的系数为10,则,∴‎ ‎13. 右图是抛物线形拱桥,当水面在时,拱顶离水面‎2米,水面宽‎4米,水位下降‎1米后,水面宽 米.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】建立如图所示的直角坐标系,使拱桥的顶点O的坐标为(0,0),‎ ‎ 设l与抛物线的交点为A、B,根据题意知A(-2,-2),B(2,-2)‎ ‎ 设抛物线的解析式为,则有,∴‎ ‎ ∴抛物线的解析式为 ‎ 水位下降1米,则y=-3,此时有或 ‎ ∴此时水面宽为米。‎ ‎14. 设函数,是由轴和曲线及该曲线在点处的切线所围成的封闭区域,则在上的最大值为 .‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】当时,,,∴曲线在点处的切线为 ‎ 则根据题意可画出可行域D如右图:‎ ‎ 目标函数,‎ ‎ 当,时,z取得最大值2‎ ‎15. (考生注意:请在下列三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题评分)‎ A.(不等式选做题)若存在实数使成立,则实数的取值范围是 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】表示在数轴上,a到1的距离小于等于3,即,‎ ‎ 则 B.(几何证明选做题)如图,在圆O中,直径AB与弦CD垂直,垂足为E,,垂足为F,若,,则 .[来源:学科网ZXXK]‎ ‎【答案】5‎ ‎【解析】∵,则圆的半径为3,连接OD,则OD=3‎ ‎[来源:学+科+网] 又,则OE=2‎ 在直角三角形OED中,‎ 根据射影定理,在直角三角形EDB中,‎ C.(坐标系与参数方程)直线与圆相交的弦长为 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】是过点且垂直于极轴的直线,‎ ‎ 是以为圆心,1为半径的圆,则弦长=.‎ 三、解答题 ‎16.(本小题满分12分)[来源:学&科&网]‎ 函数()的最大值为3, 其图像相邻两条对称轴之间的距离为,‎ ‎(1)求函数的解析式;‎ ‎(2)设,则,求的值.‎ ‎【解析】(Ⅰ)∵函数的最大值是3,∴,即。‎ ‎∵函数图像的相邻两条对称轴之间的距离为,∴最小正周期,∴。‎ 故函数的解析式为。‎ ‎(Ⅱ)∵,即,‎ ‎∵,∴,∴,故。‎ ‎17.(本小题满分12分)‎ 设的公比不为1的等比数列,其前项和为,且成等差数列.‎ ‎(1)求数列的公比;‎ ‎(2)证明:对任意,成等差数列.‎ ‎【解析】(1)设数列的公比为()。‎ 由成等差数列,得,即。‎ 由得,解得,(舍去),所以。‎ ‎(2)证法一:对任意,(lby lfx)‎ ‎ ‎ ‎ ,‎ 所以,对任意,成等差数列。‎ 证法二:对任意,,‎ ‎,‎ ‎ ‎ ‎ ,‎ 因此,对任意,成等差数列。‎ ‎18. (本小题满分12分)‎ ‎(1)如图,证明命题“是平面内的一条直线,是外的一条直线(不垂直于),是直线在上的投影,若,则”为真.‎ ‎(2)写出上述命题的逆命题,并判断其真假(不需要证明)‎ ‎【解析】(Ⅰ)证法一 如图,过直线上一点作平面的垂线,设直线,,,的方向向量分别是,,,,则,,共面.根据平面向量基本定理,存在实数,使得,则,因为,所以,‎ 又因为,,所以,故,从而 . ‎ 证法二 如图,记,为直线上异于点的任意一点,过作,垂足为,则.,直线,又,平面,,平面,又平面, . ‎ ‎(Ⅱ)逆命题为:是平面内的一条直线,是平面外的一条直线(不垂直于),是直线在上的投影,若,则.逆命题为真命题 ‎19. (本小题满分12分)‎ 已知椭圆,椭圆以的长轴为短轴,且与有相同的离心率.‎ ‎(1)求椭圆的方程;‎ ‎(2)设O为坐标原点,点A,B分别在椭圆和上,,求直线的方程.‎ ‎【解析】(Ⅰ)由已知可设椭圆的方程为,‎ 其离心率为,故,则,‎ 故椭圆的方程为 ‎(Ⅱ)解法一 两点的坐标分别为,‎ 由及(Ⅰ)知,三点共线且点不在轴上,‎ 因此可设直线的方程为.‎ 将代入中,得,所以,‎ 将代入中,得,所以,‎ 又由,得,即,‎ 解得 ,故直线的方程为或 解法二 两点的坐标分别为,‎ 由及(Ⅰ)知,三点共线且点不在轴上,‎ 因此可设直线的方程为.‎ 将代入中,得,所以,‎ 又由,得,,‎ 将代入中,得,即,‎ 解得 ,故直线的方程为或 ‎20.(本小题满分13分)‎ 某银行柜台设有一个服务窗口,假设顾客办理业务所需的时间互相独立,且都是整数分钟,对以往顾客办理业务所需的时间统计结果如下:‎ 办理业务所需的时间(分)‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ 频 率 ‎0.1‎ ‎0.4‎ ‎0.3‎ ‎0.1‎ ‎0.1‎ 从第一个顾客开始办理业务时计时.‎ ‎(1)估计第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务的概率;‎ ‎(2)表示至第2分钟末已办理完业务的顾客人数,求的分布列及数学期望.‎ ‎【解析】设Y表示顾客办理业务所需的时间,用频率估计概率,的Y的分布如下:‎ Y ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ P ‎0.1‎ ‎0.4‎ ‎0.3‎ ‎0.1‎ ‎0.1‎ (1) A表示事件“第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务”,则时间A对应三种情形:‎ 一个谷歌办理业务所需时间为1分钟,且第二个顾客办理业务所需的时间为3分钟;‎ 第一个顾客办理业务所需的时间为3分钟,且第二个顾客办理业务所需的时间为1分钟;(lbylfx)‎ 第一个和第二个顾客办理业务所需的时间均为2分钟。‎ 所以 ‎(2)解法一:X所有可能的取值为:0,1,2.‎ X=0对应第一个顾客办理业务所需的时间超过2分钟,‎ 所以;X=1对应第一个顾客办理业务所需的时间为1分钟且第二个顾客办理业务所需时间超过1分钟,或第一个顾客办理业务所需的时间为2分钟,所以 ‎;‎ X=2对应两个顾客办理业务所需的时间均为1分钟,所以 ‎;‎ 所以X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P ‎0.5‎ ‎0.49‎ ‎0.01‎ ‎.‎ 解法二:X所有可能的取值为0,1,2.‎ X=0对应第一个顾客办理业务所需的时间超过2分钟,所以 ‎;‎ X=2对应两个顾客办理业务所需的时间均为1分钟,所以 ‎;‎ ‎;‎ 所以X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P ‎0.5‎ ‎0.49‎ ‎0.01‎ ‎。‎ ‎21. (本小题满分14分)[来源:学科网]‎ 设函数 ‎(1)设,,证明:在区间内存在唯一的零点;‎ ‎(2)设,若对任意,有,求的取值范围;‎ ‎(3)在(1)的条件下,设是在内的零点,判断数列的增减性.‎ ‎【解析】(1)‎ ‎。‎ 又当 ‎ (2)当n=2时,‎ 对任意上的最大值与最小值之差,据此分类讨论如下:‎ ‎(Ⅰ)‎ ‎。‎ ‎(Ⅱ) ‎ ‎。‎ ‎(Ⅲ) ‎ ‎。‎ 综上可知,。‎ 注:(Ⅱ) (Ⅲ)也可合并并证明如下:‎ 用 当 ‎(3)证法一:设,‎ 于是有,‎ 又由(1)知,‎ 所以,数列 ‎ 证法二:设,‎ ‎,‎ 则 所以,数列