2018考前三个月高考数学理科总复习——附加题高分练空间向量与立体几何 5页

‎4．空间向量与立体几何 ‎1．(2017·苏锡常镇调研)如图，已知正四棱锥P－ABCD中，PA＝AB＝2，点M，N分别在PA，BD上，且＝＝.‎ ‎(1)求异面直线MN与PC所成角的大小；‎ ‎(2)求二面角N－PC－B的余弦值．‎ 解　(1)设AC，BD交于点O，在正四棱锥P－ABCD中，OP⊥平面ABCD，又PA＝AB＝2，所以OP＝.以O为坐标原点，，，方向分别为x轴，y轴，z轴正方向，建立空间直角坐标系O－xyz，如图．‎ 则A(1，－1,0)，B(1,1,0)，C(－1,1,0)，D(－1，－1,0)，P(0,0，)，＝(－1,1，)．故＝＋＝＋＝，＝＝，‎ 所以＝，＝(－1,1，－)，‎ 所以cos〈，〉＝＝，‎ 所以异面直线MN与PC所成角的大小为.‎ ‎(2)由(1)知＝(－1,1，－)，＝(2,0,0)，＝.‎ 设m＝(x，y，z)是平面PCB的法向量，则m·＝0，m·＝0，‎ 可得令y＝，则z＝1，即m＝(0，，1)．‎ 设n＝(x1，y1，z1)是平面PCN的法向量，则n·＝0，n·＝0，‎ 可得令x1＝2，则y1＝4，z1＝，即n＝(2,4，)，‎ 所以cos〈m，n〉＝＝＝，‎ 则二面角N－PC－B的余弦值为.‎ ‎2．(2017·常州期末)如图，以正四棱锥V－ABCD的底面中心O为坐标原点建立空间直角坐标系O－xyz，其中Ox∥BC，Oy∥AB，E为VC的中点．正四棱锥的底面边长为2a，高为h，且有cos〈，〉＝－.‎ ‎(1)求的值；‎ ‎(2)求二面角B－VC－D的余弦值．‎ 解　(1)根据条件，可得B(a，a,0)，C(－a，a,0)，D(－a，－a,0)，V(0,0，h)，E，‎ 所以＝，＝，‎ 故cos〈，〉＝.‎ 又cos〈，〉＝－，则＝－，‎ 解得＝.‎ ‎(2)由＝，得＝，＝，‎ 且容易得到，＝(2a,0,0)，＝(0,2a,0)．‎ 设平面BVC的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，‎ 则 即则 取y1＝3，z1＝2，则n1＝(0,3,2)．‎ 同理可得平面DVC的一个法向量为n2＝(－3,0,2)．‎ cos〈n1，n2〉＝＝＝，‎ 结合图形，可以知道二面角B－VC－D的余弦值为－.‎ ‎3．(2017·南京学情调研)如图，在底面为正方形的四棱锥P－ABCD中，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是线段PC的中点．‎ ‎(1)求异面直线AP与BE所成角的大小；‎ ‎(2)若点F在线段PB上，且使得二面角F－DE－B的正弦值为，求的值．‎ 解　(1)在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，所以DA，DC，DP两两垂直，故以{，，}为正交基底，建立空间直角坐标系D－xyz.‎ 因为PD＝DC，所以DA＝DC＝DP，‎ 不妨设DA＝DC＝DP＝2，‎ 则D(0,0,0)，A(2,0,0)，C(0,2,0)，P(0,0,2)，B(2,2,0)．‎ 因为E是PC的中点，所以E(0,1,1)，‎ 所以＝(－2,0,2)，＝(－2，－1,1)，‎ 所以cos〈，〉＝＝，‎ 从而〈，〉＝.‎ 因此异面直线AP与BE所成角的大小为.‎ ‎(2)由(1)可知，＝(0,1,1)，＝(2,2,0)，＝(2,2，－2)．‎ 设＝λ，则＝(2λ，2λ，－2λ)，‎ 从而＝＋＝(2λ，2λ，2－2λ)．‎ 设m＝(x1，y1，z1)为平面DEF的法向量，‎ 则即 取z1＝λ，则y1＝－λ，x1＝2λ－1.‎ 故m＝(2λ－1，－λ，λ)为平面DEF的一个法向量，‎ 设n＝(x2，y2，z2)为平面DEB的法向量．‎ 则即 取x2＝1，则y2＝－1，z2＝1.‎ 所以n＝(1，－1,1)为平面BDE的一个法向量．‎ 因为二面角F－DE－B的余弦值的绝对值为，‎ 即|cos〈m，n〉|＝＝＝，‎ 化简得4λ2＝1.‎ 因为点F在线段PB上，所以0≤λ≤1，‎ 所以λ＝，即＝.‎ ‎4.(2017·苏北四市一模)如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，∠ABC＝∠BAD＝90°，AD＝AP＝4，AB＝BC＝2，M为PC的中点．‎ ‎(1)求异面直线AP，BM所成角的余弦值；‎ ‎(2)点N在线段AD上，且AN＝λ，若直线MN与平面PBC所成角的正弦值为，求λ的值．‎ 解　(1)因为PA⊥平面ABCD，且AB，AD⊂平面ABCD，所以PA⊥AB，PA⊥AD.‎ 又因为∠BAD＝90°，所以PA，AB，AD两两互相垂直．‎ 分别以AB，AD，AP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图所示，‎ 则由AD＝2AB＝2BC＝4，PA＝4可得 A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2,2,0)，D(0,4,0)，P(0,0,4)．‎ 又因为M为PC的中点，所以M(1,1,2)．‎ 所以＝(－1,1,2)，＝(0,0,4)，‎ 所以cos〈，〉＝ ‎＝＝，‎ 所以异面直线AP，BM所成角的余弦值为.‎ ‎(2)因为AN＝λ，所以N(0，λ，0)(0≤λ≤4)，则＝(－1，λ－1，－2)，＝(0,2,0)，＝(2,0，－4)．‎ 设平面PBC的法向量为m＝(x，y，z)，‎ 则即令x＝2，解得y＝0，z＝1，所以m＝(2,0,1)是平面PBC的一个法向量．‎ 因为直线MN与平面PBC所成角的正弦值为，‎ 所以|cos〈，m〉|＝＝＝，解得λ＝1∈[0,4]，所以λ的值为1. ‎