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  • 2021-05-13 发布

2018考前三个月高考数学理科总复习——附加题高分练空间向量与立体几何

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‎4.空间向量与立体几何 ‎1.(2017·苏锡常镇调研)如图,已知正四棱锥P-ABCD中,PA=AB=2,点M,N分别在PA,BD上,且==.‎ ‎(1)求异面直线MN与PC所成角的大小;‎ ‎(2)求二面角N-PC-B的余弦值.‎ 解 (1)设AC,BD交于点O,在正四棱锥P-ABCD中,OP⊥平面ABCD,又PA=AB=2,所以OP=.以O为坐标原点,,,方向分别为x轴,y轴,z轴正方向,建立空间直角坐标系O-xyz,如图.‎ 则A(1,-1,0),B(1,1,0),C(-1,1,0),D(-1,-1,0),P(0,0,),=(-1,1,).故=+=+=,==,‎ 所以=,=(-1,1,-),‎ 所以cos〈,〉==,‎ 所以异面直线MN与PC所成角的大小为.‎ ‎(2)由(1)知=(-1,1,-),=(2,0,0),=.‎ 设m=(x,y,z)是平面PCB的法向量,则m·=0,m·=0,‎ 可得令y=,则z=1,即m=(0,,1).‎ 设n=(x1,y1,z1)是平面PCN的法向量,则n·=0,n·=0,‎ 可得令x1=2,则y1=4,z1=,即n=(2,4,),‎ 所以cos〈m,n〉===,‎ 则二面角N-PC-B的余弦值为.‎ ‎2.(2017·常州期末)如图,以正四棱锥V-ABCD的底面中心O为坐标原点建立空间直角坐标系O-xyz,其中Ox∥BC,Oy∥AB,E为VC的中点.正四棱锥的底面边长为2a,高为h,且有cos〈,〉=-.‎ ‎(1)求的值;‎ ‎(2)求二面角B-VC-D的余弦值.‎ 解 (1)根据条件,可得B(a,a,0),C(-a,a,0),D(-a,-a,0),V(0,0,h),E,‎ 所以=,=,‎ 故cos〈,〉=.‎ 又cos〈,〉=-,则=-,‎ 解得=.‎ ‎(2)由=,得=,=,‎ 且容易得到,=(2a,0,0),=(0,2a,0).‎ 设平面BVC的法向量为n1=(x1,y1,z1),‎ 则 即则 取y1=3,z1=2,则n1=(0,3,2).‎ 同理可得平面DVC的一个法向量为n2=(-3,0,2).‎ cos〈n1,n2〉===,‎ 结合图形,可以知道二面角B-VC-D的余弦值为-.‎ ‎3.(2017·南京学情调研)如图,在底面为正方形的四棱锥P-ABCD中,侧棱PD⊥底面ABCD,PD=DC,E是线段PC的中点.‎ ‎(1)求异面直线AP与BE所成角的大小;‎ ‎(2)若点F在线段PB上,且使得二面角F-DE-B的正弦值为,求的值.‎ 解 (1)在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为正方形,侧棱PD⊥底面ABCD,所以DA,DC,DP两两垂直,故以{,,}为正交基底,建立空间直角坐标系D-xyz.‎ 因为PD=DC,所以DA=DC=DP,‎ 不妨设DA=DC=DP=2,‎ 则D(0,0,0),A(2,0,0),C(0,2,0),P(0,0,2),B(2,2,0).‎ 因为E是PC的中点,所以E(0,1,1),‎ 所以=(-2,0,2),=(-2,-1,1),‎ 所以cos〈,〉==,‎ 从而〈,〉=.‎ 因此异面直线AP与BE所成角的大小为.‎ ‎(2)由(1)可知,=(0,1,1),=(2,2,0),=(2,2,-2).‎ 设=λ,则=(2λ,2λ,-2λ),‎ 从而=+=(2λ,2λ,2-2λ).‎ 设m=(x1,y1,z1)为平面DEF的法向量,‎ 则即 取z1=λ,则y1=-λ,x1=2λ-1.‎ 故m=(2λ-1,-λ,λ)为平面DEF的一个法向量,‎ 设n=(x2,y2,z2)为平面DEB的法向量.‎ 则即 取x2=1,则y2=-1,z2=1.‎ 所以n=(1,-1,1)为平面BDE的一个法向量.‎ 因为二面角F-DE-B的余弦值的绝对值为,‎ 即|cos〈m,n〉|===,‎ 化简得4λ2=1.‎ 因为点F在线段PB上,所以0≤λ≤1,‎ 所以λ=,即=.‎ ‎4.(2017·苏北四市一模)如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,∠ABC=∠BAD=90°,AD=AP=4,AB=BC=2,M为PC的中点.‎ ‎(1)求异面直线AP,BM所成角的余弦值;‎ ‎(2)点N在线段AD上,且AN=λ,若直线MN与平面PBC所成角的正弦值为,求λ的值.‎ 解 (1)因为PA⊥平面ABCD,且AB,AD⊂平面ABCD,所以PA⊥AB,PA⊥AD.‎ 又因为∠BAD=90°,所以PA,AB,AD两两互相垂直.‎ 分别以AB,AD,AP所在直线为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,如图所示,‎ 则由AD=2AB=2BC=4,PA=4可得 A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,4,0),P(0,0,4).‎ 又因为M为PC的中点,所以M(1,1,2).‎ 所以=(-1,1,2),=(0,0,4),‎ 所以cos〈,〉= ‎==,‎ 所以异面直线AP,BM所成角的余弦值为.‎ ‎(2)因为AN=λ,所以N(0,λ,0)(0≤λ≤4),则=(-1,λ-1,-2),=(0,2,0),=(2,0,-4).‎ 设平面PBC的法向量为m=(x,y,z),‎ 则即令x=2,解得y=0,z=1,所以m=(2,0,1)是平面PBC的一个法向量.‎ 因为直线MN与平面PBC所成角的正弦值为,‎ 所以|cos〈,m〉|===,解得λ=1∈[0,4],所以λ的值为1. ‎