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- 2021-05-13 发布
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【2006高考试题】
一、选择题(共28题)
1.(安徽卷)如果的三个内角的余弦值分别等于的三个内角的正弦值,则
A.和都是锐角三角形
B.和都是钝角三角形
C.是钝角三角形,是锐角三角形
D.是锐角三角形,是钝角三角形
2.(北京卷)若与都是非零向量,则“”是“”的
(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件
(C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件
3.(福建卷)已知︱︱=1,︱︱=,=0,点C在∠AOB内,且∠AOC=30°,设=m+n(m、n∈R),则等于
A. B.3 C. D.
4.(福建卷)已知向量与的夹角为,则等于
(A)5 (B)4 (C)3 (D)1
图1
解析:向量与的夹角为, ,,∴ ,则=-1(舍去)或=4,选B.
5.(广东卷)如图1所示,是的边上的中点,则向量
A. B. C. D.
解析:,故选A.
6.(湖北卷)已知向量,是不平行于轴的单位向量,且,则
A.() B.() C.() D.()
7.(湖北卷)已知非零向量a、b,若a+2b与a-2b互相垂直,则
A. B. 4 C. D. 2
解:由a+2b与a-2b互相垂直Þ(a+2b)·(a-2b)=0Þa2-4b2=0
即|a|2=4|b|2Þ|a|=2|b|,故选D
8.(湖南卷)已知,且关于的方程有实根,则与的夹角的取值范围是 ( )
A.[0,] B. C. D.
9.(湖南卷)已知向量若时,∥;时,,则
A. B. C. D.
10.(湖南卷)如图1:OM∥AB,点P由射线OM、线段OB及AB的延长线围成的阴影区域内(不含边界).且,则实数对(x,y)可以是
A
B
O
M
图1
A. B.
C. D.
解析:如图,OM∥AB,点P由射线OM、线段OB及AB的延长线围成的阴影区域内(不含边界).且,
由图知,x<0,当x=-时,即=-,P点在线段DE上,=,=,而<<,∴ 选C.
11.(辽宁卷)的三内角所对边的长分别为设向量,,若,则角的大小为
(A) (B) (C) (D)
12.(辽宁卷)设,,,点是线段上的一个动点,,若,则实数的取值范围是
(A) (B) (C) (D)
【点评】本题考查向量的表示方法,向量的基本运算,定比分点中定比的范围等等.
13.(辽宁卷)已知等腰的腰为底的2倍,则顶角的正切值是( )
A. B. C. D.
解:依题意,结合图形可得,故,选D
14.(全国卷I)的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,若a、b、c成等比数列,且,则
A. B. C. D.
15.(全国卷I)设平面向量、、的和。如果向量、、,满足,且顺时针旋转后与同向,其中,则
A. B. C. D.
16.(全国卷I)用长度分别为2、3、4、5、6(单位:)的5根细木棒围成一个三角形(允许连接,但不允许折断),能够得到的三角形的最大面积为
A. B. C. D.
解:用2、5连接,3、4连接各为一边,第三边长为6组成三角形,此三角形面积最大,面积为,选B.
17.(全国卷I)已知向量满足,且,则与的夹角为
A. B. C. D.
18.(全国II)已知向量=(4,2),向量=(,3),且//,则=
(A)9 (B)6 (C)5 (D)3
解://Þ4×3-2x=0,解得x=6,选B
19.(山东卷)在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,A=,a=,b=1,则c=
1 (B)2 (C)—1 (D)
20.(山东卷)设向量a=(1, -2),b=(-2,4),c=(-1,-2),若表示向量4a,4b-2c,2(a-c),d的有向线段首尾相接能构成四边形,则向量d为
(A)(2,6) (B)(-2,6) (C)(2,-6) (D)(-2,-6)
解:设d=(x,y),因为4a=(4,-12),4b-2c=(-6,20),2(a-c)=(4,-2),依题意,有4a+(4b-2c)+2(a-c)+d=0,解得x=-2,y=-6,选D
21.(山东卷)设向量a=(1,-3),b=(-2,4),若表示向量4a、3b-2a,c的有向线段首尾相接能构成三角形,则向量c为
(A)(1,-1) (B)(-1, 1) (C) (-4,6) (D) (4,-6)
解:4a=(4,-12),3b-2a=(-8,18),设向量c=(x,y),依题意,得4a+(3b-2a)+c=0,所以4-8+x=0,-12+18+y=0,解得x=4,y=-6,选D
22.(陕西卷) 已知非零向量与满足(+)·=0且·= , 则△ABC为( )
A.三边均不相等的三角形 B.直角三角形 C.等腰非等边三角形 D.等边三角形
23.(上海卷)如图,在平行四边形ABCD中,下列结论中错误的是 ( )
A
B
C
D
(A)=; (B)+=;
(C)-=; (D)+=.
解:由向量定义易得, (C)选项错误;;
24.(四川卷)如图,已知正六边形
,下列向量的数量积中最大的是
(A) (B)
(C) (D)
25.(四川卷)设分别是的三个内角所对的边,则是的
(A)充要条件 (B)充分而不必要条件
(C)必要而充分条件 (D)既不充分又不必要条件
26.(浙江卷)设向量满足,,则
(A)1 (B)2 (C)4 (D)5
27.(重庆卷)与向量a=的夹解相等,且模为1的向量是
(A) (B) 或
(C) (D)或
解析:与向量的夹角相等,且模为1的向量为(x,y),则,解得或,选B.
28.(重庆卷)已知三点,其中为常数。若,则与的夹角为
(A) (B)或 (C) (D)或
二、填空题(共15题)
29.(安徽卷)在中,,M为BC的中点,则_______。(用表示)
解:,,所以。
30.(北京卷)若三点共线,则的值等于__________.
31.(北京卷)在中,若,则的大小是___________.
解: Ûa:b:c=5:7:8设a=5k,b=7k,c=8k,由余弦定理可解得的大小为.
32.(北京卷)若三点A(2,2),B(a,0),C(0,4)共线,则a的值等于 。
解:=(a-2,-2),=(-2,2),依题意,向量 与共线,故有2(a-2)-4=0,得a=4
33.(北京卷)在△ABC中,A,B,C所对的边长分别为a,b,c.若sinA∶sinB∶sinC=5∶7∶8,则a∶b∶c= , B的大小是 .
34(北京卷)已知向量a=(cos,sin),b=(cos,sin),且ab,那么a+b与a-b的夹角的大小是 .
35.(湖北卷)在ABC中,已知,b=4,A=30°,则sinB= .
解:由正弦定理易得结论sinB=。
A
O
M
P
B
图2
36.(湖南卷)如图2,OM∥AB,点P在由射线OM、线段OB及AB的延长线围成的阴影区域内(不含边界)运动,且,则的取值范围是 ;当时,的取值范围是 .
解析:如图, , 点在由射线, 线段
及的延长线围成的区域内 (不含边界)运动,
且,由向量加法的平行四边形
法则,OP为平行四边形的对角线,该四边形应是以
OB和OA的反向延长线为两邻边,∴ 的取值范围
是(-∞,0);
当时,要使P点落在指定区域内,即P点应落在DE上,CD=OB,CE=OB,∴ 的取值范围是(,).
37.(江苏卷)在△ABC中,已知BC=12,A=60°,B=45°,则AC=
38.(江西卷)已知向量,,则的最大值为 .
解:=|sinq-cosq|=|sin(q-)|£。
39.(全国II)已知△ABC的三个内角A、B、C成等差数列,且AB=1,BC=4,则边BC上的中线AD的长为 .
解析: 由的三个内角A、B、C成等差数列可得A+C=2B而A+B+C=可得
AD为边BC上的中线可知BD=2,由余弦定理定理可得。
本题主要考察等差中项和余弦定理,涉及三角形的内角和定理,难度中等。
40.(天津卷)设向量与的夹角为,,,则 .
解析:设向量与的夹角为且∴ ,则。
41.(浙江卷)设向量a,b,c满足a+b+c=0,(a-b)⊥c,a⊥b,若|a|=1,则|a|+|c|的值是
【考点分析】本题考查向量的代数运算,基础题。
解析:
,所以
【名师点拔】向量的模转化为向量的平方,这是一个重要的向量解决思想。
42.(上海春)在△中,已知,三角形面积为12,则 .
43.(上海春)若向量的夹角为,,则 .
三、解答题(共11题)
44.(湖北卷)设函数,其中向量,,,。
(Ⅰ)、求函数的最大值和最小正周期;
(Ⅱ)、将函数的图像按向量平移,使平移后得到的图像关于坐标原点成中心对称,求长度最小的。
点评:本小题主要考查平面向量数量积的计算方法、三角公式、三角函数的性质及图像的基本知识,考查推理和运算能力。
45.(湖北卷)设向量a=(sinx,cosx),b=(cosx,cosx),x∈R,函数f(x)=a·(a+b).
(Ⅰ)求函数f(x)的最大值与最小正周期;
(Ⅱ)求使不等式f(x)≥成立的x的取值集。
解:(Ⅰ)∵
∴的最大值为,最小正周期是。
(Ⅱ)由(Ⅰ)知
即成立的的取值集合是.
B
D
C
α
β
A
图3
46 (湖南卷)如图3,D是直角△ABC斜边BC上一点,AB=AD,记∠CAD=,∠ABC=.
证明 ;
若AC=DC,求的值.
解:(1).如图3,,
即.
47.(江西卷)在锐角中,角所对的边分别为,已知,
(1)求的值;
(2)若,,求的值.
解:(1)因为锐角△ABC中,A+B+C=p,,所以cosA=,则
(2),则bc=3。将a=2,cosA=,c=代入余弦定理:中得解得b=
48.(江西卷)如图,已知△ABC是边长为1的正三角形,M、N分别是边AB、AC上的点,线段MN经过△ABC的中心G,设ÐMGA=a()
试将△AGM、△AGN的面积(分别记为S1与S2)表示为a的函数
(2)求y=的最大值与最小值
因为,所以当a=或a=时,y取得最大值ymax=240
当a=时,y取得最小值ymin=216
49.(全国卷I)的三个内角为,求当A为何值时,取得最大值,并求出这个最大值。
.解: 由A+B+C=π, 得 = - , 所以有cos =sin .
cosA+2cos =cosA+2sin =1-2sin2 + 2sin
=-2(sin - )2+
当sin = , 即A=时, cosA+2cos取得最大值为
50.(全国II)已知向量a=(sinθ,1),b=(1,cosθ),-<θ<.
(Ⅰ)若a⊥b,求θ;
(Ⅱ)求|a+b|的最大值.
本题主要考察以下知识点1.向量垂直转化为数量积为0 2.特殊角的三角函数值3.三角函数的基本关系以及三角函数的有界性 4.已知向量的坐标表示求模难度中等,计算量不大
51.(全国II)在,求
(1)
(2)若点
解:(1)由,
由正弦定理知
(2)
由余弦定理知
52. (四川卷)已知是三角形三内角,向量,且
(Ⅰ)求角;
(Ⅱ)若,求tanC.
(Ⅱ)由题知,整理得
∴ ∴∴或
而使,舍去 ∴
∴ 53(四川卷)已知A、B、C是三内角,向量且
(Ⅰ)求角A
(Ⅱ)若求tanB.
本小题主要考察三角函数概念、同角三角函数的关系、两角和与差的三角函数的公式以及倍角公式,考察应用、分析和计算能力。满分12分。
(Ⅱ)由题知,整理得
∴ ∴
∴或,而使,舍去
∴
54.(天津卷)如图,在中,,,.
(1)求的值;
(2)求的值.
本小题考查同角三角函数关系、两角和公式、倍角公式、正弦定理、余弦定理等基础知识,考察基本运算能力及分析解决问题的能力.满分12分.
(Ⅰ)解: 由余弦定理,
那么,
55(上海卷)如图,当甲船位于A处时获悉,在其正东方方向相距20海里的处有一艘渔船遇险等待营救。甲船立即前往救援,同时把消息告知在甲船的南偏西,相距10海里处的乙船,试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往处救援(角度精确到)?
[解] 连接BC,由余弦定理得
BC2=202+102-2×20×10COS120°=700.
于是,BC=10.
∵, ∴sin∠ACB=,
∵∠ACB<90° ∴∠ACB=41°
∴乙船应朝北偏东71°方向沿直线前往B处救援.
【2005高考试题】
1.(全国卷Ⅰ)的外接圆的圆心为O,两条边上的高的交点为H,,则实数m = 1
2.(全国卷Ⅱ)已知点A(,1),B(0,0)C(,0).设∠BAC的平分线AE与BC相交于E,那么有等于 ( C )
A.2 B. C.-3 D.-
3.(全国卷Ⅱ)点P在平面上作匀速直线运动,速度向量v=(4,-3)(即点P的运动方向与v相同,且每秒移动的距离为|v|个单位.设开始时点P的坐标为(-10,10),则5秒后点P的坐标为 ( C )
A.(-2,4) B.(-30,25) C.(10,-5) D.(5,-10)
4. (全国卷III)已知向量,且A、B、C三点共线,则k=
5.(北京卷)若,且,则向量与的夹角为(C )
(A)30° (B)60° (C)120° (D)150°
6.(上海卷)直角坐标平面中,若定点与动点满足,则点P的轨迹方程是x+2y-4=0 __________。
7.(天津卷)在直角坐标系xOy中,已知点A(0,1)和点B(-3,4),若点C在∠AOB的平分线上且| |=2,则=
8.(福建卷)在△ABC中,∠C=90°,则k的值是 ( D )
A.5 B.-5 C. D.
9.(广东卷)已知向量,,且,则x为____4_________.
10.(湖北卷)已知向量不超过5,则k的取值范围是 [-6,2]
11.(江苏卷)在中,O为中线AM上一个动点,若AM=2,则的最小值是_-2_________。
12.(江西卷)已知向量 ( C )
A.30° B.60° C.120° D.150°
15. (全国I)点O是三角形ABC所在平面内的一点,满足
,则点O是的(B )
(A)三个内角的角平分线的交点 (B)三条边的垂直平分线的交点 (C)三条中线的交点 (D)三条高的交点
16.(湖南)P是△ABC所在平面上一点,若,则P是△ABC的(D )
A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心
【2004高考试题】
一)选择题
1.(2004.全国理)已知a、b均为单位向量,它们的夹角为60°,那么|a+3b|= (C )
A. B. C. D.4
3.(2004. 福建理)已知a、b是非零向量且满足(a-2b) ⊥a,(b-2a) ⊥b,则a与b的夹角是 ( B )
A. B. C. D.
4.(2004. 重庆理)若向量的夹角为,,则向量的模为 ( C )
A.2 B.4 C.6 D.12
5、(2004. 四川理)已知平面上直线l的方向向量e=(-),点O(0,0)和点A(1,-2)在l上的射影分别为和,则λe,其中λ=( D )
A B - C 2 D -2
6.(04. 上海春季高考)在中,有命题
①;②;③若,则为等
腰三角形;④若,则为锐角三角形.
上述命题正确的是 ( C )
(A)①② (B)①④ (C)②③ (D)②③④
10、(2004.上海理)已知点A(1, -2),若向量与={2,3}同向, =2,则点B的坐标为 (5,4) ..
三)解答题
11.(2004.湖北理)(本小题满分12分)
如图,在Rt△ABC中,已知BC=a,若长为2a的线段PQ以点A为中点,问
的夹角取何值时的值最大?并求出这个最大值.
11.本小题主要考查向量的概念,平面向量的运算法则,考查运用向量及函数知识的能力,满分12分.
解法二:以直角顶点A为坐标原点,两直角边所在直线为坐标轴建立如图所示的平面直角坐标系.
12. (04. 上海春季高考)(本题满分12分) 在直角坐标系中,已知点
和点
,其中. 若向量与垂直,求的值.
12. 由,得,利用,化简后得
,于是或,,.
【2003高考试题】
一、选择题
3.(2001江西、山西、天津文)若向量a=(3,2),b=(0,-1),则向量2b-a的坐标是( )
A.(3,-4) B.(-3,4)
C.(3,4) D.(-3,-4)
4.(2001江西、山西、天津)设坐标原点为O,抛物线y2=2x与过焦点的直线交于A、B两点,则等于( )
A. B.- C.3 D.-3
5.(2001上海)如图5—1,在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中,M为AC与BD的交点,若=a,=b,=c.则下列向量中与相等的向量是( )
图5—1
A.-a+b+c B. a+b+c
C. a-b+c D.-a-b+c
7.(2000江西、山西、天津理,4)设a、b、c是任意的非零平面向量,且相互不共线,则
①(a·b)c-(c·a)b=0 ②|a|-|b|<|a-b| ③(b·c)a-(c·a)b不与c垂直
④(3a+2b)(3a-2b)=9|a|2-4|b|2中,是真命题的有( )
A.①② B.②③ C.③④ D.②④
8.(1997全国,5)如果直线l沿x轴负方向平移3个单位,再沿y轴正方向平移1个单位后,又回到原来的位置,那么直线l的斜率为( )
A.- B.-3 C. D.3
二、填空题
9.(2002上海文,理2)已知向量a和b的夹角为120°,且|a|=2,|b|=5,则(2a-b)·a=_____.
10.(2001上海春,8)若非零向量α、β满足|α+β|=|α-β|,则α与β所成角的大小为_____.
11.(2000上海,1)已知向量=(-1,2),=(3,m),若⊥,则m= .
12.(1999上海理,8)若将向量a=(2,1)围绕原点按逆时针方向旋转得到向量b,则向量b的坐标为_____.
13.(1997上海,14)设a=(m+1)i-3j,b=i+(m-1)j,(a+b)⊥(a-b),则
m=_____.
14.(1996上海,15)已知a+b=2i-8j,a-b=-8i+16j,那么a·b=_____.
15.(1996上海,15)已知O(0,0)和A(6,3)两点,若点P在直线OA上,且,又P是线段OB的中点,则点B的坐标是_____.
三、解答题
18.(2002上海,17)如图5—4,在直三棱柱ABO—A′B′O′中,OO′=4,OA=4,OB=3,∠AOB=90°,D是线段A′B′的中点,P是侧棱BB′上的一点,若OP⊥BD,求OP与底面AOB所成角的大小.(结果用反三角函数值表示)
图5—3 图5—4 图5—5
21.(2001江西、山西、天津理)如图5—6,以正四棱锥V—ABCD底面中心O为坐标原点建立空间直角坐标系O—xyz,其中Ox∥BC,Oy∥AB,E为VC的中点,正四棱锥底面边长为2a,高为h.
(1)求cos< >;
(2)记面BCV为α,面DCV为β,若∠BED是二面角α—VC—β的平面角,求∠BED.
图5—6 图5—7 图5—8
22.(2001上海春)在长方体ABCD—A1B1C1D1中,点E、F分别在BB1、DD1上,且AE⊥A1B,AF⊥A1D.
(1)求证:A1C⊥平面AEF;
(2)若规定两个平面所成的角是这两个平面所组成的二面角中的锐角(或直角).则在空间中有定理:若两条直线分别垂直于两个平面,则这两条直线所成的角与这两个平面所成的角相等.
试根据上述定理,在AB=4,AD=3,AA1=5时,求平面AEF与平面D1B1BD所成角的大小.(用反三角函数值表示)
(a×b)·c=x1y2z3+x2y3z1+x3y1z2-x1y3z2-x2y1z3-x3y2z1,试计算(×)·的绝对值的值;说明其与四棱锥P—ABCD体积的关系,并由此猜想向量这一运算(×)·的绝对值的几何意义.
25.(2000上海,18)如图5—9所示四面体ABCD中,AB、BC、BD两两互相垂直,且AB=BC=2,E是AC中点,异面直线AD与BE所成的角的大小为arccos,求四面体ABCD的体积.
图5—9 图5—10 图5—11
26.(2000天津、江西、山西)如图5—10所示,直三棱柱ABC—A1B1C1中,CA=CB=1,∠BCA=90°,棱AA1=2,M、N分别是A1B1、A1A的中点.
(1)求的长;
(2)求cos< >的值;
(3)求证:A1B⊥C1M.
图5—12
28.(1999上海,20)如图5—12,在四棱锥P—ABCD中,底面ABCD是一直角梯形,∠BAD=90°,AD∥BC,AB=BC=a,AD=2a,且PA⊥底面ABCD,PD与底面成30°角.
(1)若AE⊥PD,E为垂足,求证:BE⊥PD;
(2)求异面直线AE与CD所成角的大小.
图5—13
29.(1995上海,21)如图5—13在空间直角坐标系中BC=2,原点O是BC的中点,点A的坐标是(,0),点D在平面yOz上,且∠BDC=90°,∠DCB=30°.
(1)求向量的坐标;
(2)设向量和的夹角为θ,求cosθ的值.
●答案解析
3.答案:D
解析:设(x,y)=2b-a=2(0,-1)-(3,2)=(-3,-4).
评述:考查向量的坐标表示法.
4.答案:B
5.答案:A
解析:=c+(-a+b)=-a+b+c
评述:用向量的方法处理立体几何问题,使复杂的线面空间关系代数化,本题考查的是基本的向量相等,与向量的加法.考查学生的空间想象能力.
6.答案:B
解析:设c=ma+nb,则(-1,2)=m(1,1)+n(1,-1)=(m+n,m-n).
∴ ∴
评述:本题考查平面向量的表示及运算.
7.答案:D
解析:①平面向量的数量积不满足结合律.故①假;
②由向量的减法运算可知|a|、|b|、|a-b|恰为一个三角形的三条边长,由“两边之差小于第三边”,故②真;
③因为[(b·c)a-(c·a)b]·c=(b·c)a·c-(c·a)b·c=0,所以垂直.故③假;
④(3a+2b)(3a-2b)=9·a·a-4b·b=9|a|2-4|b|2成立.故④真.
评述:本题考查平面向量的数量积及运算律.
8.答案:A
解析:设直线l的方程为y=kx+b(此题k必存在),则直线向左平移3个单位,向上平移1个单位后,直线方程应为y=k(x+3)+b+1即y=kx+3k+b+1
因为此直线与原直线重合,所以两方程相同.比较常数项得3k+b+1=b.∴k=-.
评述:本题考查平移变换与函数解析式的相互关系.
9.答案:13
解析:∵(2a-b)·a=2a2-b·a=2|a|2-|a|·|b|·cos120°=2·4-2·5(-)=13.
评述:本题考查向量的运算关系.
11.答案:4
解析:∵={-1,2},={3,m},={4,m-2},又⊥,
∴-1×4+2(m-2)=0,∴m=4.
评述:本题考查向量的概念,向量的运算,向量的数量积及两向量垂直的充要条件.
12.答案:()
解析:设a==2+i,b=,由已知、的夹角为,由复数乘法的几何意义,得=(cos+isin)=(2+i).
∴b=()
评述:本题考查向量的概念,向量与复数一一对应关系,考查变通、变换等数学方法,以及运用数学知识解决问题的能力.
14.答案:-63
解析:解方程组
a=-3i+4j=(-3,4)
b=5i-12j=(5,-12)
得
∴a·b=(-3)×5+4×(-12)=-63.
评述:本题考查平面向量数量积的坐标表示及求法.
15.答案:(4,2)
解析:设P(x,y),由定比分点公式,
则P(2,1),又由中点坐标公式,可得B(4,2).
∵CO⊥AB,平面ABC⊥平面ABB1A1,∴CO⊥平面ABB1A1,即∠CA1O为直线CA1与平面A1ABB1所成的角.
在Rt△CA1O中,CO=m,CA1=,
∴sinCA1O=,即∠CA1O=45°.
图5—15
17.解:(1)取OB的中点D,连结O1D,
则O1D⊥OB.
∵平面OBB1O1⊥平面OAB,
∴O1D⊥平面OAB.
过D作AB的垂线,垂足为E,连结O1E.
则O1E⊥AB.
∴∠DEO1为二面角O1—AB—O的平面角.
由题设得O1D=,
sinOBA=,
∴DE=DBsinOBA=
∵在Rt△O1DE中,tanDEO1=,
∴∠DEO1=arctan,即二面角O1—AB—O的大小为arctan.
18.解法一:如图5—16,以O点为原点建立空间直角坐标系.
图5—16
由题意,有B(3,0,0),D(,2,4),设P(3,0,z),则
={-,2,4},={3,0,z}.
∵BD⊥OP,∴·=-+4z=0,z=.
∵BB′⊥平面AOB,∴∠POB是OP与底面AOB所成的角.
tanPOB=,∴∠POB=arctan.
(以下同解法一)
图5—18
19.解:(1)如图5—18,以点A为坐标原点O,以AB所在直线为Oy轴,以AA1所在直线为Oz轴,以经过原点且与平面ABB1A1垂直的直线为Ox轴,建立空间直角坐标系.
由已知,得
A(0,0,0),B(0,a,0),A1(0,0, a),C1().
(2)坐标系如图,取A1B1的中点M,于是有M(0, a),连AM,MC1有
=(-a,0,0),且=(0,a,0),=(0,0, a)
由于·=0,·=0,所以MC1⊥面ABB1A1.
∴AC1与AM所成的角就是AC1与侧面ABB1A1所成的角.
∵=(),=(0,a),
20.解:(1)记P(x,y),由M(-1,0),N(1,0)得=-=(-1-x,-y),
=-=(1-x,-y),=-=(2,0)
∴·=2(1+x),·=x2+y2-1,·=2(1-x).
于是,·,·,·是公差小于零的等差数列等价于
即
所以,点P的轨迹是以原点为圆心,为半径的右半圆.
(2)点P的坐标为(x0,y0).
·=x02+y02-1=2.
||·||=.
∴cosθ=
(2)若∠BED是二面角α—VC—β的平面角,则,则有=0.
又由C(-a,a,0),V(0,0,h),有=(a,-a,h)且,
∴.
即h=a,这时有
cos<>=,
∴∠BED=<>=arccos()=π-arccos
评述:本小题主要考查空间直角坐标的概念、空间点和向量的坐标表示以及两个向量夹角的计算方法;考查运用向量研究空间图形的数学思想方法.
如图5—19建立直角坐标系,则得点A(0,0,0),G(,3,0),A1(0,0,5),
C(4,3,0).
AG={,3,0},A1C={4,3,-5}.
因为AG与A1C所成的角为α,
所以cosα=.
由定理知,平面AEF与平面D1B1BD所成角的大小为arccos.
注:没有学习向量知识的同学可用以下的方法求二面角的平面角.
解法一:设AG与BD交于M,则AM⊥面BB1D1D,再作AN⊥EF交EF于N,连接MN,则∠ANM即为面AEF与D1B1BD所成的角α,用平面几何的知识可求出AM、AN的长度.
解法二:用面积射影定理cosα=.
评述:立体几何考查的重点有三个:一是空间线面位置关系的判定;二是角与距离的计算;三是多面体与旋转体中的计算.
因此,三棱锥B′—BEF的体积取得最大值时BE=BF=,过B作BD⊥EF于D,连
B′D,可知B′D⊥EF.∴∠B′DB是二面角B′—EF—B的平面角在直角三角形BEF中,直角边BE=BF=,BD是斜边上的高.∴BD=a.
∴tanB′DB=
故二面角B′—EF—B的大小为arctan2.
评述:本题考查空间向量的表示、运算及两向量垂直的充要条件.二次函数求最值或均值不等式求最值,二面角等知识.考查学生的空间想象能力和运算能力.用空间向量的观点处理立体几何中的线面关系,把几何问题代数化,降低了立体几何的难度.本题考查的线线垂直等价于·
=0,使问题很容易得到解决.而体积的最值除用均值不等式外亦可用二次函数求最值的方法处理.二面角的平面角的找法是典型的三垂线定理找平面角的方法,计算较简单,有一定的思维量.
(3)解:|(×)·|=|-4-32-4-8|=48它是四棱锥P—ABCD体积的3倍.
猜测:|(×)·|在几何上可表示以AB、AD、AP为棱的平行六面体的体积(或以AB、AD、AP为棱的直四棱柱的体积).
评述:本题考查了空间向量的坐标表示、空间向量的数量积、空间向量垂直的充要条件、空间向量的夹角公式和直线与平面垂直的判定定理、棱锥的体积公式等.主要考查考生的运算能力,综合运用所学知识解决问题的能力及空间想象能力.
图5—21
25.解:如图5—21建立空间直角坐标系
由题意,有A(0,2,0)、C(2,0,0)、E(1,1,0)
设D点的坐标为(0,0,z)(z>0)
则={1,1,0},={0,-2,z},
设与所成角为θ.
则·=·cosθ=-2,且AD与BE
所成的角的大小为arccos.∴cos2θ=,∴z=4,故|BD|的长度为4.
又VA—BCD=|AB|×|BC|×|BD|=,因此,四面体ABCD的体积为.
评述:本题考查空间图形的长度、角度、体积的概念和计算.以向量为工具,利用空间向量的坐标表示、空间向量的数量积计算线段的长度、异面直线所成角等问题,思路自然,解法灵活简便.
(3)证明:依题意,得C1(0,0,2)、M(,2),={-1,1,2},
={,0}.
∴·=-+0=0,∴⊥,∴A1B⊥C1M.
评述:本题主要考查空间向量的概念及运算的基本知识.考查空间两向量垂直的充要条件.
(3)解:设=x,CD=2, 则CC1=.
∵BD⊥平面AA1C1C,∴BD⊥A1C
∴只须求满足:=0即可.
设=a,=b,=c,
∵=a+b+c,=a-c,
∴=(a+b+c)(a-c)=a2+a·b-b·c-c2=-6,令6-=0,得x=1或x=-(舍去).
评述:本题蕴涵着转化思想,即用向量这个工具来研究空间垂直关系的判定、二面角的求解以及待定值的探求等问题.
于是,={-a,a,0}
设与的夹角为θ,则由cosθ=
∴θ=arccos,即AE与CD所成角的大小为arccos.
评述:第(2)小题中,以向量为工具,利用空间向量坐标及数量积,求两异面直线所成的角是立体几何中的常见问题和处理手段.
29.解:(1)过D作DE⊥BC,垂足为E,在Rt△BDC中,由∠BDC=90°,∠DCB=30°,BC=2,得BD=1,CD=,∴DE=CD·sin30°=.
OE=OB-BE=OB-BD·cos60°=1-.
∴D点坐标为(0,-),即向量OD[TX→]的坐标为{0,-}.