高考数学求递推数列通项公式的十种策略例析全面 9页

递推数列通项公式的探求例析 递推数列的题型多样，求递推数列的通项公式的方法也非常灵活，往往可以通过适当的策略将问题化归为等差数列或等比数列问题加以解决，亦可采用不完全归纳法的方法，由特殊情形推导出一般情形，进而用数学归纳法加以证明，因而求递推数列的通项公式问题成为了高考命题中颇受青睐的考查内容。笔者试给出求递推数列通项公式的十种方法策略，它们是：公式法、累加法、累乘法、待定系数法、对数变换法、迭代法、数学归纳法、换元法、不动点法、特征根的方法。仔细辨析递推关系式的特征，准确选择恰当的方法，是迅速求出通项公式的关键。‎ 一、利用公式法求通项公式 例1 已知数列满足，，求数列的通项公式。‎ 解：两边除以，得，则，‎ 故数列是以为首，以为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得，所以数列的通项公式为。‎ 评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，说明数列是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出，进而求出数列的通项公式。‎ 二、利用累加法求通项公式 例2 已知数列满足，求数列的通项公式。‎ 解：由得则 所以数列的通项公式为 评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，进而求出，即得数列的通项公式。‎ 例3 已知数列满足，求数列的通项公式。‎ 解：由得则 所以 评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，进而求出，即得数列的通项公式。‎ 例4 已知数列满足，求数列的通项公式。‎ 解：两边除以，得，则，‎ 故 因此，则 评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，进而求出+…+，即得数列的通项公式，最后再求数列的通项公式。‎ 三、利用累乘法求通项公式 例5 已知数列满足，求数列的通项公式。‎ 解：因为，所以，则，‎ 则 所以数列的通项公式为 评注：本题解题的关键是把递推关系转化为，进而求出 ‎，即得数列的通项公式。‎ 例6 已知数列满足，则的通项 解：因为①‎ 所以②‎ 所以②式－①式得则则 所以③‎ 由，取n=2得，则，又知，则，代入③得。‎ 评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为（n≥2），进而求出，从而可得当n≥2时的表达式，最后再求出数列的通项公式。‎ 四、利用待定系数法求通项公式 例7 已知数列满足，求数列的通项公式。‎ 解：设④‎ 将代入④式，得，等式两边消去，得，两边除以，得，则x=－1，代入④式，得⑤‎ 由≠0及⑤式，得，则，则数列是以为首项，以2为公比的等比数列，则，故。‎ 评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，从而可知数列是等比数列，进而求出数列的通项公式，最后再求出数列的通项公式。‎ 例8 已知数列满足，求数列的通项公式。‎ 解：设⑥将代入⑥式，得 整理得。‎ 令，则，代入⑥式，得⑦‎ 由及⑦式，得，则，‎ 故数列是以为首项，以3为公比的等比数列，因此，则。‎ 评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，从而可知数列是等比数列，进而求出数列的通项公式，最后再求数列的通项公式。‎ 例9 已知数列满足，求数列的通项公式。‎ 解：设⑧‎ 将代入⑧式，得 ‎，则 等式两边消去，得，‎ 则得方程组，则，代入⑧式，得 ‎⑨‎ 由及⑨式，得 则，故数列为以为首项，以2为公比的等比数列，因此，则。‎ 评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，从而可知数列是等比数列，进而求出数列的通项公式，最后再求出数列的通项公式。‎ 五、利用对数变换法求通项公式 例10 已知数列满足，，求数列的通项公式。‎ 解：因为，所以。在式两边取常用对数得⑩‎ 设 将⑩式代入式，得，两边消去并整理，得，则 ‎，故 代入式，得 由及式，得，‎ 则，‎ 所以数列是以为首项，以5为公比的等比数列，则，因此，则。‎ 评注：本题解题的关键是通过对数变换把递推关系式转化为，从而可知数列是等比数列，进而求出数列的通项公式，最后再求出数列的通项公式。‎ 六、利用迭代法求通项公式 例11 已知数列满足，求数列的通项公式。‎ 解：因为，所以 又，所以数列的通项公式为。‎ 评注：本题还可综合利用累乘法和对数变换法求数列的通项公式，即先将等式两边取常用对数得，即，再由累乘法可推知，从而 七、利用换元法求通项公式 例13 已知数列满足，求数列的通项公式。‎ 解：令，则故，代入得 即 因为，故则，即，‎ 可化为，‎ 所以是以为首项，以为公比的等比数列，因此，则+3，即，得。‎ 评注：本题解题的关键是通过将的换元为，使得所给递推关系式转化形式，从而可知数列为等比数列，进而求出数列的通项公式，最后再求出数列的通项公式。‎ 八、利用不动点法求通项公式 例14 已知数列满足，求数列的通项公式。‎ 解：令，得，则是函数的两个不动点。因为。，所以数列是以为首项，以为公比的等比数列，故，则。‎ 评注：本题解题的关键是先求出函数的不动点，即方程的两个根，进而可推出，从而可知数列为等比数列，再求出数列的通项公式，最后求出数列的通项公式。‎ 例15 已知数列满足，求数列的通项公式。‎ 解：令，得，则x=1是函数的不动点。‎ 因为，所以 ‎，所以数列是以为首项，以为公差的等差数列，则，故。‎ 评注：本题解题的关键是先求出函数的不动点，即方程的根，进而可推出，从而可知数列为等差数列，再求出数列的通项公式，最后求出数列的通项公式。‎ 九、利用特征根法求通项公式 例16 已知数列满足，求数列的通项公式。‎ 解：的相应特征方程为，解之求特征根是，所以。‎ 由初始值，得方程组 求得 从而。‎ 评注：本题解题的关键是先求出特征方程的根。再由初始值确定出，从而可得数列的通项公式。‎