高考复数的知识题型总结归类 14页

高考复数的知识题型总结 一、复数的有关概念 ‎（1）复数 ‎1.定义：形如a＋bi（a，b∈R）的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，满足i2＝－1.（4n+1=i, 4n+2=-1, 4n+3=-i, 4n=1）‎ ‎2.表示方法：复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi（a，b∈R），叫做复数的代数形式，a叫做复数z的实部，b叫做复数z的虚部.（注意b是虚部而不是bi）‎ ‎（2）复数集 ‎1.定义：全体复数所成的集合叫做复数集.‎ ‎2.表示：大写字母C.‎ ‎ ‎ ‎（3）复数的分类 复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系 ‎ ‎ ‎( 4 )复数相等的充要条件 a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d a＋bi＝0⇔a＝b＝0.（a,b,c,d均为实数）‎ 说明：要求复数相等要先将复数化为z＝a＋bi（a，b∈R）的形式，即分离实部和虚部.‎ 二、复平面的概念 点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z=a+bi(a、b∈R)可用点Z(a，b)表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面， x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴实轴上的点都表示实数 ‎ ‎（1）实轴上的点都表示实数 ‎ ‎（2）虚轴上的点都表示纯虚数 ‎（3）原点对应的有序实数对为(0，0)‎ 三、复数的两种几何意义 ‎（1）复数z＝a＋bi（a，b∈R）→ 对应复平面内的点Z（a，b）.‎ ‎（2）复数z＝a＋bi（a，b∈R）→平面向量→ ‎ 四、复数的模 复数z＝a＋bi（a，b∈R）对应的向量为 ，则的模叫做复数z的模，记作|z|，且 ‎ 注意：两个虚数是不可以比较大小的，但它们的模表示实数，可以比较大小.‎ 五、复数的运算 设z1=a+bi，z2=c+di(a、b、c、d∈R)是任意两个复数，‎ z1与z2的加法运算律：z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i.‎ z1与z2的减法运算律：z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i.‎ z1与z2的乘法运算律：z1·z2= (a+bi)(c+di)=(ac－bd)+(bc+ad)i.‎ z1与z2的除法运算律：z1÷z2 =(a+bi)÷(c+di)=（分母要利用平方差实数化）‎ 六、共轭复数 ‎1.定义：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数，虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数 通常记复数的共轭复数为。例如=3＋5i与=3－5i互为共轭复数 ‎2.共轭复数的性质 ‎（1）实数的共轭复数仍然是它本身 ‎（2）‎ ‎（3）两个共轭复数对应的点关于实轴对称 七、常用结论 ‎（1），‎ ‎（2）‎ ‎（3）‎ ‎（4） ‎ ‎（5） ‎ ‎（6）‎ 题型分类 题型一：复数定义的考查 1. 设有下面四个命题： ：若复数z满足，则； ：若复数z满足，则； ：若复数，满足，则； ：若复数，则． 其中的真命题为     ‎ A. ， B. ， C. ， D. ，‎ 解：若复数z满足，则，故命题为真命题； ：复数满足，则，故命题为假命题； ：若复数，满足，但，故命题为假命题； ：若复数，则，故命题为真命题． 故选B． ‎ ‎2.下列命题：‎ ‎①若a∈R，则（a＋1）i是纯虚数；‎ ‎②若a，b∈R，且a>b，则a＋i>b＋i；‎ ‎③若（x2－4）＋（x2＋3x＋2）i是纯虚数，则实数x＝±2；‎ ‎④实数集是复数集的真子集.‎ 其中正确的是（　　）‎ A.①　　　　　　B.② C.③ D.④‎ 解：　对于复数a＋bi（a，b∈R），当a＝0且b≠0时，为纯虚数.‎ ①， 若a＝－1，则（a＋1）i不是纯虚数，即①错误 ②， 两个虚数不能比较大小，则②错误.‎ ③， 若x＝－2，则x2－4＝0，x2＋3x＋2＝0，此时（x2－4）＋（x2＋3x＋2）i＝0，不是纯虚数，则③错误.‎ ④， 显然正确.故选D.‎ ‎3.给出下列命题：‎ 若，则；‎ 若a，，且，则；‎ 若，则是纯虚数；‎ 若，则在复平面内对应的点位于第一象限．‎ 其中正确的命题是________填上所有正确命题的序号．‎ ‎ 解：‎ 若，则不成立．比如； 因为复数不能比较大小，所以不成立； ，则不一定是纯虚数，比如就不是纯虚数， 故不成立； ，则对应的点在复平面内的第一象限，故成立． 故答案为：． ‎ ‎4.关于复数，下列命题： 若，则；若z是实数，则； 若zi是纯虚数，则；若，则． 其中真命题个数为       ‎ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4‎ 解：‎ 若，即，得，所以，故为真命题； 因为，若z是实数，则，故为真命题； 因为，，若zi是纯虚数，则，故为真命题； 因为，即，从而可得，解得：，即，故 假命题． 综上，其中真命题有：，共3个． ‎ 题型二、复数分类 1. 设，． 若是纯虚数，求实数x的取值范围； 若，求实数x的取值范围．‎ 解：依题意得 所以实数x的取值范围是 依题意得 所以 检验：当时，，满足符合题意． 所以实数x的取值范围是．‎ ‎2.当实数a为何值时． 为纯虚数； 为实数； 对应的点在第一象限．‎ 解：复数z是纯虚数，则由，得，即． 若复数z是实数，则，得或． ‎ 在复平面内对应的点位于对应的点在第一象限， 则， 即，解得或．‎ ‎3.当实数m为何值时，复数lg（m2－2m－7）＋（m2＋5m＋6）i是 ‎（1）纯虚数；（2）实数.‎ 解：（1） 解得m＝4.‎ ‎（2）解得m＝－2或m＝－3.‎ ‎4． 已知复数z＝m(m－1)＋(m2＋2m－3)i(m∈R)．‎ ‎(1)若z是实数，求m的值；‎ ‎(2)若z是纯虚数，求m的值；‎ ‎(3)若在复平面C内，z所对应的点在第四象限，求m的取值范围．‎ 解：‎ ‎(1)∵z为实数，∴m2＋2m－3＝0，解得m＝－3或m＝1.‎ ‎(2)∵z为纯虚数，∴解得m＝0.‎ ‎(3)∵z所对应的点在第四象限，‎ ‎∴解得－3