知识讲解高考总复习古典概型与几何概型提高 15页

高考总复习：古典概型与几何概型 【考纲要求】 1、理解古典概型及其概率计算公式；了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率； 2、会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率；了解几何概型的意义。 【知识网络】 【考点梳理】 知识点一、古典概型 1. 定义 具有如下两个特点的概率模型称为古典概型： （1）试验中所有可能出现的基本事件只有有限个； （2）每个基本事件出现的可能性相等。 2. 古典概型的基本特征 （1）有限性：即在一次试验中，可能出现的结果，只有有限个，也就是说，只有有限个不 同的基本事件。 （2）等可能性：每个基本事件发生的可能性是均等的。 3.古典概型的概率计算公式 由于古典概型中基本事件发生是等可能的，如果一次试验中共有 种等可能的结果，那么 每一个基本事件的概率都是 。如果某个事件 A 包含 个基本事件，由于基本事件是互斥的， 则事件 A 发生的概率为其所含 个基本事件的概率之和，即 。 所以古典概型计算事件 A 的概率计算公式为： 随 机 事 件 的 概 率 古典概型 几何概型 应用 n 1 n m m n mAP =)( 4.求古典概型的概率的一般步骤： （1）算出基本事件的总个数 ； （2）计算事件 A 包含的基本事件的个数 ； （3）应用公式 求值。 5．古典概型中求基本事件数的方法： （1）穷举法； （2）树形图； （3）排列组合法。利用排列组合知识中的分类计数原理和分步计数原理，必须做到不重复 不遗漏。 知识点二、几何概型 1. 定义： 事件 A 理解为区域Ω的某一子区域 A，A 的概率只与子区域 A 的几何度量（长度、面积或体 积）成正比，而与 A 的位置和形状无关。满足以上条件的试验称为几何概型。 2.几何概型的两个特点： （1）无限性，即在一次试验中基本事件的个数是无限的； （2）等可能性，即每一个基本事件发生的可能性是均等的。 3.几何概型的概率计算公式： 随机事件 A 的概率可以用“事件 A 包含的基本事件所占的图形面积（体积、长度）”与“试 验的基本事件所占总面积（体积、长度）”之比来表示。 所以几何概型计算事件 A 的概率计算公式为： 其中 表示试验的全部结果构成的区域Ω的几何度量， 表示构成事件 A 的区域的几 何度量。 要点诠释：用几何概型的概率公式计算概率时，关键是构造出随机事件所对应的几何图形，并 对几何图形进行相应的几何度量. 对于一些简单的几何概型问题，可以快捷的找到解决办法. 【典型例题】 试验的基本事件总数 包含的基本事件数事件AAP =)( n m ( ) mP A n = Ω = µ µ AAP )( µΩ A µ 类型一、古典概型 【例 1】将一颗骰子先后抛掷两次，观察向上的点数，求： （1）向上的点数一共有多少种不同的结果？ （2）点数之和是 4 的倍数的概率； （3）点数之和大于 5 小于 10 的概率. 【思路点拨】利用古典概型步骤进行求解： （1）算出基本事件的总个数 ； （2）计算事件 A 包含的基本事件的个数 ； （3）应用公式 求值。 【解析】 （1）作图，从图中容易看出基本事件与所描点一一对应，共 36 种. （2）记“点数之和是 4 的倍数”的事件为 A， 从图中可以看出，事件 A 包含的基本事件共有 9 个： （1，3），（2，2），（3，1），（2，6），（3，5），（4，4），（5，3），（6，2），（6，6）， 所以 ； （3）记“点数之和大于 5 小于 10”为事件 B， 从图中可以看出，事件 B 包含的基本事件共有 20 个， 即（1，5），（2，4），（3，3），（4，2），（5，1），（1，6），（2，5），（3，4)，（4，3），（5， 2）， （6，1），（2，6），（3，5），（4，4），（5，3），（6，2），（3，6），（4，5），（5，4），（6， 3）， 所以 . 【总结升华】 n m ( ) mP A n = 1( ) 4P A = 9 5 36 20)( ==BP ①在解决古典概型问题时，首先应当分清楚计数的类型，要分清是排列还是组合，单一的 还是混合的； ②若所求事件的基本事件个数不易求，很容易出现遗漏或重复，可借助有关图形，以便更 准确地把握基本事件个数. 举一反三： 【变式】用数字 1，2，3，4，5 组成五位数，其中恰有 4 个相同数字的概率为 . 【答案】 = . 【例 2】连续掷 3 枚硬币，观察落地后这 3 枚硬币出现正面还是反面. （1）写出这个试验的基本事件； （2）求这个试验的基本事件的总数； （3）“恰有两枚正面向上”这一事件包含哪几个基本事件? 【思路点拨】利用古典概型解题步骤进行求解。 【解析】（1）这个试验的基本事件Ω={（正，正，正），（正，正，反），（正，反，正），（正， 反，反），（反，正，正），（反，正，反），（反，反，正），（反，反，反）}； （2）基本事件的总数是 8. （3）“恰有两枚正面向上”包含以下 3 个基本事件：（正，正，反），（正，反，正），（反，正， 正）. 【总结升华】一次试验中所有可能的结果都是随机事件，这类随机事件称为基本事件. 【例 3】抛掷两颗骰子，求： （1）点数之和出现 7 点的概率； （2）出现两个 4 点的概率. 【思路点拨】根据条件列举出事件 A 所包含基本事件个数。 【解析】作图，从下图中容易看出基本事件空间与点集 S={（x，y）|x∈N，y∈N，1≤x≤6，1 ≤y≤6}中的元素一一对应.因为 S 中点的总数是 6×6=36（个），所以基本事件总数 n=36. （1）记“点数之和出现 7 点”的事件为 A，从图中可看到事件 A 包含的基本事件数共 6 个： O x y 6 6 5 5 4 4 3 3 2 2 1 1 1 1 1 5 4 5 55 C C CP = 125 4 （6，1），（5，2），（4，3），（3，4），（2，5），（1，6），所以 P（A）= . （2）记“出现两个 4 点”的事件为 B，则从图中可看到事件 B 包含的基本事件数只有 1 个： （4，4）.所以 P（B）= . 【总结升华】在古典概型下求 P（A），关键要找出 A 所包含的基本事件个数然后套用公式 【例 4】在一次口试中，考生要从 5 道题中随机抽取 3 道进行回答，答对其中 2 道题为优秀， 答对其中 1 道题为及格，某考生能答对 5 道题中的 2 道题，试求： （1）他获得优秀的概率为多少； （2）他获得及格及及格以上的概率为多少； 【思路点拨】这是一道古典概率问题，须用枚举法列出基本事件数. 【解析】设这 5 道题的题号分别为 1,2，3，4，5，则从这 5 道题中任取 3 道回答，有（1，2， 3），（1，2，4），（1，2，5），（1，3，4），（1，3，5），（1，4，5），（2，3，4）,（2，3，5）， （2，4，5），（3，4，5）共 10 个基本事件． （1）记“获得优秀”为事件 A，则随机事件 A 中包含的基本事件个数为 3，故 ． （2）记“获得及格及及格以上”为事件 B，则随机事件 B 中包含的基本事件个数为 9，故 ． 【总结升华】使用枚举法要注意排列的方法，做到不漏不重. 举一反三： 【变式】一个各面都涂有色彩的正方体，被锯成 个同样大小的小正方体，将这些正方体混 合后，从中任取一个小正方体，求： ⑴有一面涂有色彩的概率； ⑵有两面涂有色彩的概率； ⑶有三面涂有色彩的概率. 【解析】在 个小正方体中： 一面涂有色彩的有 个，两面涂有色彩的有 个，三面涂有色彩的有 个，所以 ⑴一面涂有色彩的概率为 ； 6 1 36 6 = 36 1 3( ) 10P A = 9( ) 10P B = 试验的基本事件总数 包含的基本事件数事件AAP =)( 1000 1000 28 6× 8 12× 8 1 384 0.3841000P = = ⑵两面涂有色彩的概率为 ； ⑶有三面涂有色彩的概率 【例 5】某学校三个社团的人员分布如下表（每名同学只参加一个社团） 学校要对这三个社团的活动效果进行抽样调查，按分层抽样的方法从社团成员中抽取 30 人， 结果围棋社被抽出 12 人. (I) 求这三个社团共有多少人？ (II) 书法社从 3 名高中和 2 名初中成员中，随机选出 2 人参加书法展示，求这 2 人中初、高 中学生都有的概率. 【思路点拨】（I）根据围棋社共有 60 人，按分层抽样的方法从社团成员中抽取 30 人，结果围 棋社被抽出 12 人，得到三个社团的总人数． （II）本题是一个等可能事件的概率，列举出试验发生包含的事件，共有 10 个基本事件，书法 展示的同学中初、高中学生都有列举出共有 6 种结果，根据概率公式得到结果． 【解析】（I）围棋社共有 60 人， 由 可知三个社团一共有 150 人. （II）设初中的两名同学为 ，高中的 3 名同学为 , 随机选出 2 人参加书法展示所有可能的结果: ，共 10 个基本事件. 设事件 表示“书法展示的同学中初、高中学生都有”， 则事件 共有 6 个基本事件. . 故参加书法展示的 2 人中初、高中学生都有的概率为 . 【总结升华】本题主要考查等可能事件的概率，解决等可能事件的概率问题最有效的工具是列 举，大纲中要求能通过列举解决古典概型问题，也有一些题目需要借助于排列组合来计数． 举一反三： 【变式】现有一批产品共有 10 件，其中 8 件为正品，2 件为次品： 围棋社 戏剧社 书法社 高中 45 30 初中 15 10 20 2 96 0.0961000P = = 2 8 0.0081000P = = 1503012 60 =× 21,aa 321 ,, bbb 1 2 1 1 1 2 1 3 2 1{ , },{ , },{ , },{ , },{ , },a a a b a b a b a b 2 2 2 3 1 2 1 3 2 3{ , }, { , },{ , },{ , },{ , }a b a b b b b b b b A A 1 1 1 2 1 3 2 1 2 2 2 3{ , },{ , },{ , },{ , },{ , },{ , }a b a b a b a b a b a b ∴ 5 3 10 6)( ==AP 3 5 a （1）如果从中取出一件，然后放回，再取一件，求连续 3 次取出的都是正品的概率； （2）如果从中一次取 3 件，求 3 件都是正品的概率． 【解析】（1）有放回地抽取 3 次，按抽取顺序（x,y,z）记录结果，则 x,y,z 都有 10 种可能， 所以试验结果有 10×10×10=103 种；设事件 A 为“连续 3 次都取正品”，则包含的基本事件共 有 8×8×8=83 种，因此，P(A)= =0.512． （2）可以看作不放回抽样 3 次，顺序不同，基本事件不同，按抽取顺序记录（x,y,z），则 x 有 10 种可能，y 有 9 种可能，z 有 8 种可能，所以试验的所有结果为 10×9×8=720 种．设事件 B 为“3 件都是正品”，则事件 B 包含的基本事件总数为 8×7×6=336, 所以 P(B)= ． 类型二、与长度有关的几何概型 1．如果试验的结果构成的区域的几何度量可用长度表示，则其概率的计算公式为 2．将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中每一点被取到 的机会都一样，而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点， 这样的概率模型就可以用几何概型来求解。 【例 6】在半径为 1 的圆内一条直径上任取一点，过这个点作垂直于直径的弦，则弦长超 过圆内接的等边三角形边长的概率是 【思路点拨】解决概率问题先判断属于什么概率模型，本题属几何概型，把问题转化为化 成：直径上到圆心 O 的距离小于 的点构成的线段长与直径长之比。 【解析】记事件 A 为“弦长超过圆内接等边三角形的边长”，如图， 不妨在过等边三角形 BCD 的顶点 B 的直径 BE 上任取一点 F 作垂直于直径的弦，当弦为 CD 3 3 10 8 336 7 720 15 = ( ) AP A = 构成事件 的区域长度 试验的全部结果所构成的区域长度 1 2 时，就是等边三角形的边长，弦长大于 CD 的充要条件是圆心 O 到弦的距离小于 OF（此时 F 为 OE 中点），由几何概型公式得： 。 【总结升华】将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中每 一点被取到的机会都一样，而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区 域中的点，这样的概率模型就可以用几何概型来求解。 举一反三： 【变式 1】取一根长度为 60cm 的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都不小 于 20cm 的概率有多大？ 【解析】从每一个位置剪断都是一个基本事件,剪断位置可以是长度为 60cm 的绳子上的任 意一点. 如上图,记“剪得两段绳子的长度都不小于 20cm”为事件 A, 把绳子三等分,于是当剪断位置处在中间一段上时,事件 A 发生. 由于中间一段的长度等于绳子长的 , 于是事件 A 发生的概率 P(A)= . 【变式 2】在半径为 1 圆周上有一点 A，以 A 为端点任选一弦，另一端点在圆周上等可能， 求弦长超过 的概率. 【答案】如图： 另一端落在圆周上任一点，基本事件空间，可用圆周长来度量， 1 2 12( ) =2 2P A × = 3 1 3 1 3 60cm 20cm 20cm 60cm 圆内接正三角形 ABC 的边长为 ，若任一端点落在劣弧 上，则弦长超过 ， 而落在劣弧 之外，则弦长不超过 ，劣弧 之长为圆周的 ， 事件 A=“弧长超过 ”发生意味着另一端点落在劣弧 上，A 可用劣弧 弧长来度量， 故 . 【例 7】在等腰 Rt△ABC 中， (1)在斜边 AB 上任取一点 M，求 AM 的长小于 AC 的长的概率. （2）过直角顶点 C 在 内作一条射线 CM，与线段 AB 交于点 M，求 AM < <    2 2 1 12 2( ) 4 2 A l SP A lSΩ  ⋅  = = = A 2 22 0a ax b+ + = 0a ≥ 0b ≥ 2 22 0x ax b+ + = a b≥ (0 0) (01) (0 2) (1 0) (11) (1 2) (2 0) (21) (2 2) (3 0) (31) (3 2)，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，， a b A A 9 3( ) 12 4P A = = { }( ) | 0 3 0 2a b a b， ，≤ ≤ ≤ ≤ A { }( ) | 0 3 0 2a b a b a b， ， ，≤ ≤ ≤ ≤ ≥ 213 2 2 22 3 2 3 × − × = =× 0 l l 【总结升华】用几何概型解题的一般步骤是： （1）适当选择观察角度； （2）把基本事件转化为与之相应的区域； （3）把事件 A 转化为与之对应的区域； （4）利用概率公式计算. 举一反三： 【变式】 一海豚在水池中自由游弋，水池为长 30 m，宽 20 m 的长方形，求海豚嘴尖离岸边不 超过 2 m 的概率. 【解析】如下图，区域Ω是长 30 m、宽 20 m 的长方形.图中阴影部分表示事件 A：“海豚嘴尖 离岸边不超过 2 m”，问题可以理解为求海豚嘴尖出现在下图中阴影部分的概率.由于区域Ω的 面积为 30×20=600（m2），阴影 A 的面积为 30×20－26×16=184（m2） .∴P（A）= . 类型四、生活中的几何概型 【例 10】两人约定在 20：00 到 21：00 之间相见，并且先到者必须等迟到者 40 分钟方可 离去，如果两人出发是各自独立的，在 20：00 到 21：00 各时刻相见的可能性是相等的，求两 人在约定时间内相见的概率。 【思路点拨】两人不论谁先到都要等迟到者 40 分钟，即 小时。设两人分别于 x 时和 y 时 到达约见地点，要使两人在约定的时间范围内相见，当且仅当 ，因此转化成面 积问题，利用几何概型求解。 【解析】设两人分别于 x 时和 y 时到达约见地点，要使两人能在约定时间范围内相见，当 75 23 600 184 = 30m 20m 2 m 2 3 2 2 3 3x y− ≤ − ≤ 且仅当 。两人到达约见地点所有时刻（x,y）的各种可能结果可用图中的单位正 方形内（包括边界）的点来表示，两人能在约定的时间范围内相见的所有时刻（x,y）的各种可 能结果可用图中的阴影部分（包括边界）不表示。因此阴影部分与单位正方形的面积比就反映 了两人在约定时间范围内相遇的可能性的大小，也就是所求的概率为 【总结升华】对于活生生中的几何概型问题： （1）要注意实际问题中的可能性的判断； （2）将实际问题转化为几何概型中的长度、角度、面积、体积等常见几何概型的求解问题， 构造出随机事件 A 对应的几何图形，利用几何图形的度量来求随机事件的概率，根据实际问题 的具体情况，合理设置参数，建立适当的坐标系，在此基础上将试验的每一个结果一一对应于 该坐标系的点，便可构造出度量区域。 （3）如果试验的结果所构成的区域的几何度量可用角度来表示，则其概率公式为： 。解决此类问题事件 A 的角必须含在事件的全 部构成的角之内。 举一反三： 【变式 1】一个路口的红绿灯,红灯的时间为 秒,黄灯的时间为 秒,绿灯的时间为 秒,当你 到达路口时看见下列三种情况的概率各是多少? (1) 红灯 (2) 黄灯 (3) 不是红灯 【解析】总的时间长度为 秒，设红灯为事件 ，黄灯为事件 ， （1）出现红灯的概率 30 5 40 30 5 40 75+ + = A B 30 2( ) 75 5P A = = =构成事件A的时间长度 总的时间长度 2 2 3 3x y− ≤ − ≤ 2 2 11-( ) 83= 91 SP S = =阴影 单位正方形 ( ) AP A = 构成事件 的区域角度 试验的全部结果所构成的区域角度 （2）出现黄灯的概率 （3）不是红灯的概率 【变式 2】两人相约 7 点到 8 点在某地会面，先到者等候另一人 20 分钟，过时离去. 求两 人能够会面的概率. 【答案】设两人到达的时间分别为 7 点到 8 点之间的 x 分钟、y 分钟. 用 表示每次试验的结果， 则所有可能结果为： ； 记两人能够会面为事件 A，则事件 A 的可能结果为： . 如图所示，试验全部结果构成区域Ω为正方形 ABCD. 而事件 A 所构成区域是正方形内两条直线 所夹中间的阴影部 分. 根据几何概型公式，得到： 所以，两人能够会面的概率为 . 【例 11】小明家的晚报在下午 之间的任何一个时间随机地被送到，小明一家人 在下午 之间的任何一个时间随机地开始晚餐，则晚报在晚餐开始之前被送到的概率 有多大？ 5 1( ) 75 15P B = = =构成事件B的时间长度 总的时间长度 2 3( ) 1 ( ) 1 5 5P A P A= − = − = x y（ ， ） 20 20y x x y− = − =， 2 2 2 60 2060 2 52 60 9 SP A S −− × = = =阴影 正方形 （ ） （ ） 5 9 5 30 6 30−： ： 6 00 7 00−： ： 【思路点拨】构造出变量区域，利用几何概型的解法求解。 【答案】设 表示开始晚餐的时间， 表示晚报被送到的时间。 用 表示每次试验的结果， 则所有可能结果为： 记晚报在晚餐开始之前被送到为事件 A， 则事件 A 的可能结果为： 则 . 【总结升华】本题的解题关键是转化为图形的面积问题；要学会把实际问题转化为几何概型的 问题。 x y x y（ ， ） 6 : 00 7 : 00) | }5 : 30 6 : 30 xx y y ≤ ≤Ω  ≤ ≤={ ( ， 6 : 00 7 : 00 {( , ) | 5 : 30 6 : 30} > x A x y y x y ≤ ≤ = ≤ ≤  ( ) 2 2 2 3060 2 0.87560P A − = =