全国高考文科数学试题及答案湖南 9页

‎2011年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）文史类 ‎ ‎ 本试题包括选择题、填空题和解答题三部分，共6页．时量120分钟，满分150分．‎ 参考公式（1）柱体体积公式，其中为底面面积，为高．‎ ‎ （2）球的体积公式，其中为球的半径．‎ 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．设全集则（ ）‎ A． B．　　　Ｃ．　　　 Ｄ．‎ 答案：B 解析：画出韦恩图，可知。‎ ‎２．若为虚数单位，且，则 Ａ．　　　Ｂ．　　Ｃ．　　Ｄ．‎ 答案：C ‎3‎ ‎3‎ ‎2‎ 正视图 侧视图 俯视图 图1‎ 解析：因，根据复数相等的条件可知。‎ ‎３．的 A．充分不必要条件　　　　Ｂ．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 答案：A 解析：因，反之 ‎，不一定有。‎ ‎４．设图１是某几何体的三视图，则该几何体的体积为 A．　　　Ｂ．‎ Ｃ．　　Ｄ．‎ 答案：D 解析：有三视图可知该几何体是一个长方体和球构成的组合体，其体积。‎ ‎5．通过随机询问110名不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：‎ 男 女 总计 爱好 ‎40‎ ‎20‎ ‎60‎ 不爱好 ‎20‎ ‎30‎ ‎50‎ 总计 ‎60‎ ‎50‎ ‎110‎ 由 附表：‎ ‎0．050‎ ‎0．010‎ ‎0．001‎ ‎3．841‎ ‎6．635‎ ‎10．828‎ 参照附表，得到的正确结论是（ ）‎ A． 有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”‎ B． 有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”‎ C． 在犯错误的概率不超过0．1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”‎ D． 在犯错误的概率不超过0．1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”‎ 答案：A 解析：由，而，故由独立性检验的意义可知选A.‎ ‎6．设双曲线的渐近线方程为则的值为（ ）‎ A．4 B．‎3 C．2 D．1‎ 答案：C 解析：由双曲线方程可知渐近线方程为，故可知。‎ ‎7．曲线在点处的切线的斜率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ 答案：B 解析：，所以 ‎。‎ ‎8．已知函数若有则的取值范围为 A． B． C． D．‎ 答案：B 解析：由题可知，，若有则，即，解得。‎ 二、填空题：本大题共8小题，考生作答7小题，每小题解分，共青团员5分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．‎ ‎（一）选做题（请考生在第9，10两题中任选一题作答，如果全做，则按前一题记分）‎ ‎9．在直角坐标系中，曲线的参数方程为．在极坐标系（与直角坐标系取相同的长度单位，且以原点为极点，以轴正半轴为极轴）中，曲线的方程为则与的交点个数为 ．‎ 答案：2‎ 解析：曲线，曲线，联立方程消得，易得，故有2个交点。‎ ‎10．已知某试验范围为[10，90]，若用分数法进行4次优选试验，则第二次试点可以是 ．‎ 开始 输入 开始 开始 否 是 结束 输出 开始 图2‎ 答案：40或60（只填一个也正确）‎ 解析：有区间长度为80，可以将其等分8段，利用分数法选取试点：，，由对称性可知，第二次试点可以是40或60。‎ ‎(二)必做题（11-16题）‎ ‎11．若执行如图2所示的框图，输入则输出的数等于 ．‎ 答案：‎ 解析：由框图功能可知，输出的数等于。‎ ‎12．已知为奇函数， ．‎ 答案：6‎ 解析：，‎ 又为奇函数，所以。‎ ‎13．设向量满足且的方向相反，则的坐标为 ．‎ 答案：‎ 解析：由题，所以 ‎14．设在约束条件下，目标函数的最大值为4，则的值为 ．‎ 答案：3‎ 解析：画出可行域，可知在点取最大值为4，解得。‎ ‎15．已知圆直线 ‎（1）圆的圆心到直线的距离为 ．‎ ‎(2) 圆上任意一点到直线的距离小于2的概率为 ．‎ 答案：5，‎ 解析：（1）由点到直线的距离公式可得；‎ ‎（2）由（1）可知圆心到直线的距离为5，要使圆上点到直线的距离小于2，即与圆相交所得劣弧上，由半径为，圆心到直线的距离为3可知劣弧所对圆心角为，故所求概率为.‎ ‎16、给定，设函数满足：对于任意大于的正整数，‎ ‎（1）设，则其中一个函数在处的函数值为 ；‎ ‎（2）设，且当时，，则不同的函数的个数为 。‎ 答案：（1），（2）16‎ 解析：（1）由题可知，而时，则，故只须，故。‎ ‎（2）由题可知，则，而时，即，即，，由乘法原理可知，不同的函数的个数为。‎ 三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17．（本小题满分12分）‎ 在中，角所对的边分别为且满足 ‎（I）求角的大小；‎ ‎（II）求的最大值，并求取得最大值时角的大小．‎ 解析：（I）由正弦定理得 因为所以 ‎（II）由（I）知于是 ‎ ‎ 取最大值2．‎ 综上所述，的最大值为2，此时 ‎18．（本题满分12分）‎ 某河流上的一座水力发电站，每年六月份的发电量Y（单位：万千瓦时）与该河上游在六月份的降雨量X（单位：毫米）有关．据统计，当X=70时，Y=460；X每增加10，Y增加5；已知近20年X的值为：140，110，160，70，200，160，140，160，220，200，110，160，160，200，140，110，160，220，140，160．‎ ‎（I）完成如下的频率分布表：‎ ‎ 近20年六月份降雨量频率分布表 降雨量 ‎70‎ ‎110‎ ‎140‎ ‎160‎ ‎200‎ ‎220‎ 频率 ‎（II）假定今年六月份的降雨量与近20年六月份的降雨量的分布规律相同，并将频率视为概率，求今年六月份该水力发电站的发电量低于490（万千瓦时）或超过530（万千瓦时）的概率．‎ 解：（I）在所给数据中，降雨量为‎110毫米的有3个，为‎160毫米的有7个，为‎200毫米的有3个，故近20年六月份降雨量频率分布表为 降雨量 ‎70‎ ‎110‎ ‎140‎ ‎160‎ ‎200‎ ‎220‎ 频率 ‎（II）‎ 故今年六月份该水力发电站的发电量低于490（万千瓦时）或超过530（万千瓦时）的概率为．‎ ‎19．（本题满分12分）‎ 如图3，在圆锥中，已知的直径的中点．‎ ‎（I）证明：‎ ‎（II）求直线和平面所成角的正弦值．‎ 解析：（I）因为 又内的两条相交直线，所以 ‎（II）由（I）知，又所以平面在平面中，过作则连结，则是上的射影，所以是直线和平面所成的角．‎ 在 在 ‎20．（本题满分13分）‎ 某企业在第1年初购买一台价值为120万元的设备M，M的价值在使用过程中逐年减少，从第2年到第6年，每年初M的价值比上年初减少10万元；从第7年开始，每年初M的价值为上年初的75%．‎ ‎（I）求第n年初M的价值的表达式；‎ ‎（II）设若大于80万元，则M继续使用，否则须在第n年初对M更新，证明：须在第9年初对M更新．‎ 解析：（I）当时，数列是首项为120，公差为的等差数列．‎ ‎ ‎ 当时，数列是以为首项，公比为为等比数列，又，所以 ‎ ‎ 因此，第年初，M的价值的表达式为 ‎(II)设表示数列的前项和，由等差及等比数列的求和公式得 当时，‎ 当时，‎ 因为是递减数列，所以是递减数列，又 所以须在第9年初对M更新．‎ ‎21．已知平面内一动点到点F（1，0）的距离与点到轴的距离的等等于1．‎ ‎（I）求动点的轨迹的方程；‎ ‎（II）过点作两条斜率存在且互相垂直的直线，设与轨迹相交于点，与轨迹相交于点，求的最小值．‎ 解析：（I）设动点的坐标为，由题意为 化简得 当、‎ 所以动点P的轨迹C的方程为 ‎（II）由题意知，直线的斜率存在且不为0，设为，则的方程为．‎ 由，得 设则是上述方程的两个实根，于是 ‎ ．‎ 因为，所以的斜率为．‎ 设则同理可得 故 当且仅当即时，取最小值16．‎ ‎22．（本小题13分）‎ 设函数 ‎(I)讨论的单调性；‎ ‎（II）若有两个极值点，记过点的直线的斜率为，问：是否存在，使得若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．‎ 解析：（I）的定义域为 ‎ ‎ 令 (1) 当故上单调递增．‎ (2) 当的两根都小于0，在上，，故上单调递增．‎ (3) 当的两根为，‎ 当时， ；当时， ；当时， ，故分别在上单调递增，在上单调递减．‎ ‎（II）由（I）知，．‎ 因为，所以 又由(I)知，．于是 若存在，使得则．即．亦即 再由（I）知，函数在上单调递增，而，所以这与式矛盾．故不存在，使得