高考数学理二模试题上海市闵行区 9页

上海市闵行区2014届高三下学期教育质量调研考试（二模）‎ 数学（理）试题 考生注意：‎ ‎1．答卷前，考生务必在答题纸上将学校、姓名及准考证号等填写清楚，并在规定的区域内贴上条形码．答题时客观题用2B铅笔按要求涂写，主观题用黑色水笔填写．‎ ‎2．本试卷共有23道题，共4页．满分150分，考试时间120分钟．‎ ‎3．考试后只交答题纸，试卷由考生自己保留．‎ 一. 填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸上相应编号的空格 内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．‎ ‎1． ．‎ ‎2．关于方程的解为 ．‎ ‎3．已知全集，集合，则= ．‎ ‎4．设，向量，，且，则 ．‎ ‎5．在中，若，，，则 ．‎ 第7题图 ‎6．在极坐标系中，与的交点的极坐标为 ．‎ ‎7．用一平面去截球所得截面的面积为cm2，已知球心到该截面 的距离为‎1 cm，则该球的体积是 cm3. ‎ ‎8．复数(，且)，若是实数，则 有序实数对可以是 ．（写出一个有序实数对即可）‎ ‎9．已知关于的不等式的解集为，则实 数的取值范围 ．‎ ‎10．设摩天轮逆时针方向匀速旋转，24分钟旋转一周，轮上观光箱所在圆的方程为．已知时间时，观光箱A的坐标为，则当时（单位：分），动点A的纵坐标关于的函数的单调递减区间是 ．‎ ‎11．若不等式对任意正实数恒成立,则正实数的最小值为 ．‎ ‎12．计算机毕业考试分为理论与操作两部分，每部分考试成绩只记“合格”与“不合格”，只有当两部分考试都“合格”者，才颁发计算机“合格证书”．甲、乙两人在理论考试中“合格”的概率依次为，在操作考试中“合格”的概率依次为，所有考试是否合格，相互之间没有影响．则甲、乙进行理论与操作两项考试后，恰有1人获得“合格证书”的概率 ．‎ ‎13．已知数列，对任意的，当时，；当时，，‎ 那么该数列中的第10个2是该数列的第 项．‎ ‎14．对于函数，有下列4个命题：‎ ‎ ①任取，都有恒成立；‎ ‎②，对于一切恒成立；‎ ‎③函数有3个零点；‎ ‎④对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是．‎ 则其中所有真命题的序号是 ．‎ 二. 选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题只有一个正确答案.考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．‎ ‎15．下列命题中，错误的是（ ）．‎ ‎（A）过平面外一点可以作无数条直线与平面平行 ‎（B）与同一个平面所成的角相等的两条直线必平行 ‎（C）若直线垂直平面内的两条相交直线，则直线必垂直平面 ‎（D）垂直于同一个平面的两条直线平行 ‎16．已知集合，,若“”是“”的充分非必要条件，则的取值范围是（ ）．‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎17．若曲线上存在两个不同点处的切线重合，则称这条切线为曲线的自公切线，下列方程的曲线有自公切线的是（ ）．‎ ‎（A） （B）‎ ‎（C） （D）‎ ‎18．已知等差数列的前项和为，向量，， ，且，则用表 示 （ ）．‎ ‎（A）      （B）       （C）     （D）‎ 三. 解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．‎ ‎19.（本题满分12分）本题共有2个小题，第(1)小题满分7分，第(2)小题满分5分．‎ 如图，在体积为的正三棱锥中，长为，为棱的中点，求 B A C E D 第19题图 ‎（1）异面直线与所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；‎ ‎（2）正三棱锥的表面积．‎ ‎20.（本题满分14分）本题共有2个小题，第(1)小题满分6分，第(2)小题满分8分．‎ x y A B C O 第20题图 如图，点A、B是单位圆上的两点，点C是圆与轴的正半轴的交点，将锐角的终边按逆时针方向旋转到.‎ ‎（1）若点A的坐标为，求的值；‎ ‎（2）用表示，并求的取值范围.‎ ‎21.（本题满分14分）本题共有2个小题，第(1)小题满分8分，第(2)小题满分6分．‎ 东 北 A B C O 第21题图 ‎·‎ ‎·‎ ‎·‎ Z 为了寻找马航残骸,我国“雪龙号”科考船于‎2014年‎3月26日从港口出发，沿北偏东角的射线方向航行，而在港口北偏东角的方向上有一个给科考船补给物资的小岛，海里，且.现指挥部需要紧急征调位于港口正东海里的处的补给船，速往小岛装上补给物资供给科考船．该船沿方向全速追赶科考船，并在处相遇．经测算当两船运行的航线与海岸线围成的三角形的面积最小时，这种补给方案最优.‎ ‎ （1）求关于的函数关系式；‎ ‎ （2）应征调位于港口正东多少海里处的补给船只，补给方案最优？ ‎ ‎22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第(1)小题满分4分，第(2)、(3)小题满分各6分．‎ 设椭圆的中心和抛物线的顶点均为原点，、的焦点均在轴上，过的焦点F作直线，与交于A、B两点，在、上各取两个点，将其坐标记录于下表中：‎ ‎（1）求，的标准方程；‎ ‎（2）若与交于C、D两点，为的左焦点，求的最小值；‎ x y A B C D F0‎ O F 第22题图 ‎（3）点是上的两点，且，求证：为定值；反之，当为此定值时，是否成立？请说明理由.‎ ‎23.（本题满分18分）本题共有3个小题，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分6分，第(3)小题满分8分．‎ 已知曲线的方程为，过原点作斜率为的直线和曲线相交，另一个交点记为，过作斜率为的直线与曲线相交，另一个交点记为，过作斜率为的直线与曲线相交，另一个交点记为，……，如此下去，一般地，过点作斜率为的直线与曲线相交，另一个交点记为，设点（）．‎ ‎（1）指出，并求与的关系式（）；‎ ‎（2）求（）的通项公式，并指出点列，，…，，… 向哪一点无限接近？说明理由；‎ ‎（3）令，数列的前项和为，设，求所有可能的乘积的和．‎ 参考答案 一. 填空题1．； 2．2； 3．； 4．； 5．； 6．（理）、‎ ‎ 7．(理) 8． 或满足的任意一对非零实数对； 9．（理）； 10．（理）； 11．4； 12．（理）； 13．39366（） 14．（理）①③ 、．‎ 二. 选择题 15． B； 16． A； 17．C； 18． C B A C E D 第19题图 O F 三.解答题19. 解：（1）过点作平面，垂足为，则为的中心，由得（理1分文2分）‎ 又在正三角形中得，所以 ‎ ‎……………………………（理2分文4分）‎ 取中点，连结、，故∥，‎ 所以就是异面直线与所成的角．（理4分文6分）‎ 在△中，，，…………………（理5分文8分）‎ ‎ 所以．…………………（理6分文10分）‎ 所以，异面直线与所成的角的大小为．……（理7分文12分）‎ ‎（2）由可得正三棱锥的侧面积为 ‎ …………………（理10分）‎ 所以正三棱锥的表面积为 ‎． …………………………（理12分）‎ ‎20.解：（1）由已知， ………（2分）‎ ‎ ………（4分）‎ ‎=.………………………………………………（6分）‎ ‎（2）……………………（8分）‎ ‎ ………………………（10分）‎ ‎，，……（12分）‎ ‎ ……………………（14分）‎ ‎21.（1）以O点为原点，正北的方向为y轴正方向建立直角坐标系，…（1分）‎ 则直线OZ的方程为，设点A（x0，y0），则，，即A（900，600）， …………………（3分）‎ 又B（m，0），则直线AB的方程为：，…………（4分）‎ 东 北 A B C O 第21题图 ‎·‎ ‎·‎ ‎·‎ y x Z 由此得到C点坐标为：，…（6分）‎ ‎ …（8分）‎ ‎（2）由（1）知 …（10分）‎ ‎………（12分）‎ ‎ 所以当，即时，最小，‎ ‎（或令，则 ，当且仅当时，最小）‎ ‎ ∴征调海里处的船只时，补给方案最优. …………………（14分）‎ ‎22．解：（1）在椭圆上，在抛物线上，‎ ‎ ： …………………（4分）‎ ‎（2）(理) =.‎ 是抛物线的焦点，也是椭圆的右焦点，①当直线的斜率存在时，‎ 设：,，‎ 联立方程，得，时恒成立. ‎ ‎（也可用焦半径公式得：）………………（5分）‎ 联立方程，得，恒成立.‎ ‎, ……（6分）‎ ‎=. ………………（8分）‎ ②当直线的斜率不存在时，：，‎ 此时，，，=.……………………………（9分）‎ 所以，的最小值为. ……………………………（10分）‎ ‎（3）（理）证明：①若P、Q分别为长轴和短轴的端点，则=.（11分）‎ ②若P、Q都不为长轴和短轴的端点，‎ 设 联立方程，解得； ……………（12分）‎ ‎ 同理，联立方程，解得；‎ ‎（13分）‎ 反之，对于上的任意两点，当时，‎ 设，，易得 ‎；，‎ 由得， ‎ 即，亦即，…（15分）‎ 所以当为定值时，不成立 ……………（16分）‎ ‎“反之”的方法二：如果有，且不在坐标轴上，作关于坐标轴对称的射线与交于，，显然，与不可能同时成立 ‎…………………………………（16分）‎ ‎23. 解：（1）． …………………………………………………………（1分）‎ 设，，由题意得 ． …………（2分）‎ ‎ …………………（4分）‎ ‎（2）分别用、代换上式中的n得 ‎ () ………………（6分）‎ 又，， …………………（8分）‎ 因，所以点列，，…，，…向点无限接近（10分）‎ ‎（3）（理），． ……（11分）‎ ‎，. …………………（12分）‎ 将所得的积排成如下矩阵：‎ ‎，设矩阵的各项和为.‎ 在矩阵的左下方补上相应的数可得 矩阵中第一行的各数和，‎ 矩阵中第二行的各数和，‎ ‎………‎ 矩阵中第行的各数和，………（15分）从而矩阵中的所有数之和为. ………………（16分）所有可能的乘积的和 ‎． ………………………………………………（18分）‎