高考数学考点归纳之两角和与差的正弦、余弦和正切公式及二倍角公式 13页

高考数学考点归纳之两角和与差的正弦、余弦和正切公式及二倍角公式 一、基础知识 1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式 S(α±β)：sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β. C(α±β)：cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β. T(α±β)：tan(α±β)＝ tan α±tan β 1∓tan αtan β α，β，α±β≠π 2 ＋kπ，k∈Z . 两角和与差的正弦、余弦、正切公式的结构特征和符号特点及关系：C(α±β)同名相乘， 符号反；S(α±β)异名相乘，符号同；T(α±β)分子同，分母反. 2．二倍角公式 S2α：sin 2α＝2sin αcos α. C2α：cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α. T2α：tan 2α＝ 2tan α 1－tan2α α≠kπ＋π 2 且α≠kπ 2 ＋π 4 ，k∈Z . 二倍角是相对的，例如，α 2 是α 4 的二倍角，3α是3α 2 的二倍角． 二、常用结论 (1)降幂公式：cos2α＝1＋cos 2α 2 ，sin2α＝1－cos 2α 2 . (2)升幂公式：1＋cos 2α＝2cos2α，1－cos 2α＝2sin2α. (3)公式变形：tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)． (4)辅助角公式：asin x＋bcos x＝ a2＋b2sin(x＋φ) 其中 sin φ＝ b a2＋b2 ，cos φ＝ a a2＋b2 . 考点一 三角函数公式的直接应用 [典例] (1)已知 sin α＝3 5 ，α∈ π 2 ，π ，tan β＝－1 2 ，则 tan(α－β)的值为( ) A．－ 2 11 B. 2 11 C.11 2 D．－11 2 (2)(2019·呼和浩特调研)若 sin(π－α)＝1 3 ，且π 2 ≤α≤π，则 sin 2α的值为( ) A．－2 2 9 B．－4 2 9 C.2 2 9 D.4 2 9 [解析] (1)因为 sin α＝3 5 ，α∈ π 2 ，π ， 所以 cos α＝－ 1－sin2α＝－4 5 ， 所以 tan α＝sin α cos α ＝－3 4. 所以 tan(α－β)＝ tan α－tan β 1＋tan αtan β ＝－ 2 11. (2)因为 sin(π－α)＝sin α＝1 3 ，π 2 ≤α≤π， 所以 cos α＝－ 1－sin2α＝－2 2 3 ， 所以 sin 2α＝2sin αcos α＝2×1 3 × －2 2 3 ＝－4 2 9 . [答案] (1)A (2)B [解题技法] 应用三角公式化简求值的策略 (1)首先要记住公式的结构特征和符号变化规律．例如两角差的余弦公式可简记为：“同 名相乘，符号反”． (2)注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用． (3)注意配方法、因式分解和整体代换思想的应用． [题组训练] 1．已知 sin α＝1 3 ＋cos α，且α∈ 0，π 2 ，则 cos 2α sin α＋π 4 的值为( ) A．－ 2 3 B. 2 3 C．－1 3 D.1 3 解析：选 A 因为 sin α＝1 3 ＋cos α，所以 sin α－cos α＝1 3 ， 所以 cos 2α sin α＋π 4 ＝ cos2α－sin2α sin αcosπ 4 ＋cos αsin π 4 ＝ cos α－sin αcos α＋sin α 2 2 sin α＋cos α ＝ －1 3 2 2 ＝－ 2 3 . 2．已知 sin α＝4 5 ，且α∈ π 2 ，3π 2 ，则 sin 2α＋π 3 的值为________． 解析：因为 sin α＝4 5 ，且α∈ π 2 ，3π 2 ，所以α∈ π 2 ，π ， 所以 cos α＝－ 1－sin2α＝－ 1－ 4 5 2＝－3 5. 因为 sin 2α＝2sin αcos α＝－24 25 ，cos 2α＝2cos2α－1＝－ 7 25. 所以 sin 2α＋π 3 ＝sin 2αcosπ 3 ＋cos 2αsinπ 3 ＝－24＋7 3 50 . 答案：－24＋7 3 50 考点二 三角函数公式的逆用与变形用 [典例] (1)(2018·全国卷Ⅱ)已知 sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，则 sin(α＋β)＝ ________. (2)计算：tan 25°＋tan 35°＋ 3tan 25°tan 35°＝________. [解析] (1)∵sin α＋cos β＝1，① cos α＋sin β＝0，② ∴①2＋②2 得 1＋2(sin αcos β＋cos αsin β)＋1＝1， ∴sin αcos β＋cos αsin β＝－1 2 ， ∴sin(α＋β)＝－1 2. (2)原式＝tan(25°＋35°)(1－tan 25°tan 35°)＋ 3tan 25°·tan 35°＝ 3(1－tan 25°tan 35°)＋ 3tan 25°tan 35°＝ 3. [答案] (1)－1 2 (2) 3 [解题技法] 两角和、差及倍角公式的逆用和变形用的技巧 (1)逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同，创造条件逆用公式． (2)公式的一些常用变形： sin αsin β＋cos(α＋β)＝cos αcos β； cos αsin β＋sin(α－β)＝sin αcos β； 1±sin α＝ sinα 2±cosα 2 2； sin 2α＝ 2sin αcos α sin2α＋cos2α ＝ 2tan α tan2α＋1 ； cos 2α＝cos2α－sin2α cos2α＋sin2α ＝1－tan2α 1＋tan2α . [提醒] (1)公式逆用时一定要注意公式成立的条件和角之间的关系． (2)tan αtan β，tan α＋tan β(或 tan α－tan β)，tan(α＋β)(或 tan(α－β))三者中可以知二求一， 且常与一元二次方程根与系数的关系结合命题． (3)注意特殊角的应用，当式子中出现1 2 ，1，3 2 ， 3等这些数值时，一定要考虑引入特 殊角，把“值变角”构造适合公式的形式． [题组训练] 1.设 a＝cos 50°cos 127°＋cos 40°cos 37°，b＝ 2 2 (sin 56°－cos 56°)，c＝1－tan239° 1＋tan239° ，则 a， b，c 的大小关系是( ) A．a>b>c B．b>a>c C．c>a>b D．a>c>b 解析：选 D 由两角和与差的正、余弦公式及诱导公式，可得 a＝cos 50°cos 127°＋cos 40°cos 37°＝cos 50°cos 127°＋sin 50°sin 127°＝cos(50°－127°)＝cos(－77°)＝cos 77°＝sin 13°， b＝ 2 2 (sin 56°－cos 56°)＝ 2 2 sin 56°－ 2 2 cos 56°＝sin(56°－45°)＝sin 11°，c＝1－tan239° 1＋tan239° ＝ 1－sin239° cos239° 1＋sin239° cos239° ＝cos239°－sin239°＝cos 78°＝sin 12°.因为函数 y＝sin x，x∈ 0，π 2 为增函数，所 以 sin 13°>sin 12°>sin 11°，所以 a>c>b. 2.已知 cos α－π 6 ＋sin α＝4 3 5 ，则 sin α＋π 6 ＝________. 解析：由 cos α－π 6 ＋sin α＝4 3 5 ， 可得 3 2 cos α＋1 2sin α＋sin α＝4 3 5 ， 即 3 2sin α＋ 3 2 cos α＝4 3 5 ， ∴ 3sin α＋π 6 ＝4 3 5 ，即 sin α＋π 6 ＝4 5. 答案：4 5 3.化简 sin2 α－π 6 ＋sin2 α＋π 6 －sin2α的结果是________． 解析：原式＝1－cos 2α－π 3 2 ＋1－cos 2α＋π 3 2 －sin2α ＝1－1 2 cos 2α－π 3 ＋cos 2α＋π 3 －sin2α ＝1－cos 2α·cos π 3 －sin2α ＝1－cos 2α 2 －1－cos 2α 2 ＝1 2. 答案：1 2 考点三 角的变换与名的变换 考法(一) 三角公式中角的变换 [典例] (2018·浙江高考改编)已知角α的顶点与原点 O 重合，始边与 x 轴的非负半轴重 合，它的终边过点 P －3 5 ，－4 5 .若角β满足 sin(α＋β)＝ 5 13 ，则 cos β的值为________． [解析] 由角α的终边过点 P －3 5 ，－4 5 ， 得 sin α＝－4 5 ，cos α＝－3 5. 由 sin(α＋β)＝ 5 13 ，得 cos(α＋β)＝±12 13. 由β＝(α＋β)－α，得 cos β＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α， 所以 cos β＝－56 65 或 cos β＝16 65. [答案] －56 65 或16 65 [解题技法] 1．三角公式求值中变角的解题思路 (1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式； (2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系， 再应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”． 2．常见的配角技巧 2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，β＝α＋β 2 －α－β 2 ，α＝α＋β 2 ＋α－β 2 ，α－β 2 ＝ α＋β 2 － α 2 ＋β 等． 考法(二) 三角公式中名的变换 [典例] (2018·江苏高考)已知α，β为锐角，tan α＝4 3 ，cos(α＋β)＝－ 5 5 . (1)求 cos 2α的值； (2)求 tan(α－β)的值． [解] (1)因为 tan α＝4 3 ，tan α＝sin α cos α ， 所以 sin α＝4 3cos α . 因为 sin2α＋cos2α＝1， 所以 cos2α＝ 9 25 ， 所以 cos 2α＝2cos2α－1＝－ 7 25. (2)因为α，β 为锐角，所以α＋β∈(0，π)． 又因为 cos(α＋β)＝－ 5 5 ，所以α＋β∈ π 2 ，π . 所以 sin(α＋β)＝ 1－cos2α＋β＝2 5 5 ， 所以 tan(α＋β)＝－2. 因为 tan α＝4 3 ， 所以 tan 2α＝ 2tan α 1－tan2α ＝－24 7 . 所以 tan(α－β)＝tan[2α－(α＋β)] ＝ tan 2α－tanα＋β 1＋tan 2αtanα＋β ＝－ 2 11. [解题技法] 三角函数名的变换技巧 明确各个三角函数名称之间的联系，常常用到同角关系、诱导公式，把正弦、余弦化为 正切，或者把正切化为正弦、余弦． [题组训练] 1．已知 tan θ＋ 1 tan θ ＝4，则 cos2 θ＋π 4 ＝( ) A.1 2 B.1 3 C.1 4 D.1 5 解析：选 C 由 tan θ＋ 1 tan θ ＝4，得sin θ cos θ ＋cos θ sin θ ＝4，即sin2θ＋cos2θ sin θcos θ ＝4，∴sin θcos θ ＝1 4 ，∴cos2 θ＋π 4 ＝1＋cos 2θ＋π 2 2 ＝1－sin 2θ 2 ＝1－2sin θcos θ 2 ＝1－2×1 4 2 ＝1 4. 2．(2018·济南一模)若 sin A＋π 4 ＝7 2 10 ，A∈ π 4 ，π ，则 sin A 的值为( ) A.3 5 B.4 5 C.3 5 或4 5 D.3 4 解析：选 B ∵A∈ π 4 ，π ，∴A＋π 4 ∈ π 2 ，5π 4 ， ∴cos A＋π 4 ＝－ 1－sin2 A＋π 4 ＝－ 2 10 ， ∴sin A＝sin A＋π 4 －π 4 ＝sin A＋π 4 cosπ 4 －cos A＋π 4 sinπ 4 ＝4 5. 3．已知 sin α＝－4 5 ，α∈ 3π 2 ，2π ，若sinα＋β cos β ＝2，则 tan(α＋β)＝( ) A. 6 13 B.13 6 C．－ 6 13 D．－13 6 解析：选 A ∵sin α＝－4 5 ，α∈ 3π 2 ，2π ， ∴cos α＝3 5. 又∵sinα＋β cos β ＝2， ∴sin(α＋β)＝2cos[(α＋β)－α]． 展开并整理，得 6 5cos(α＋β)＝13 5 sin(α＋β)， ∴tan(α＋β)＝ 6 13. [课时跟踪检测] A 级 1．sin 45°cos 15°＋cos 225°sin 165°＝( ) A．1 B.1 2 C. 3 2 D．－1 2 解析：选 B sin 45°cos 15°＋cos 225°sin 165°＝sin 45°·cos 15°＋(－cos 45°)sin 15°＝ sin(45°－15°)＝sin 30°＝1 2. 2．若 2sin x＋cos π 2 －x ＝1，则 cos 2x＝( ) A．－8 9 B．－7 9 C.7 9 D．－ 7 25 解析：选 C 因为 2sin x＋cos π 2 －x ＝1，所以 3sin x＝1，所以 sin x＝1 3 ，所以 cos 2x＝ 1－2sin2x＝7 9. 3．(2018·山西名校联考)若 cos α－π 6 ＝－ 3 3 ，则 cos α－π 3 ＋cos α＝( ) A．－2 2 3 B．±2 2 3 C．－1 D．±1 解析：选 C cos α－π 3 ＋cos α＝1 2cos α＋ 3 2 sin α＋cos α＝3 2cos α＋ 3 2 sin α＝ 3cos α－π 6 ＝－1. 4．tan 18°＋tan 12°＋ 3 3 tan 18°tan 12°＝( ) A. 3 B. 2 C. 2 2 D. 3 3 解析：选 D ∵tan 30°＝tan(18°＋12°)＝ tan 18°＋tan 12° 1－tan 18°tan 12° ＝ 3 3 ， ∴tan 18°＋tan 12°＝ 3 3 (1－tan 18°tan 12°)，∴原式＝ 3 3 . 5．若α∈ π 2 ，π ，且 3cos 2α＝sin π 4 －α ，则 sin 2α的值为( ) A．－ 1 18 B. 1 18 C．－17 18 D.17 18 解析：选 C 由 3cos 2α＝sin π 4 －α ，可得 3(cos2α－sin2α)＝ 2 2 (cos α－sin α)，又由α∈ π 2 ，π ，可知 cos α－sin α≠0，于是 3(cos α＋sin α)＝ 2 2 ，所以 1＋2sin αcos α＝ 1 18 ，故 sin 2α ＝－17 18. 6．已知 sin 2α＝1 3 ，则 cos2 α－π 4 ＝( ) A．－1 3 B.1 3 C．－2 3 D.2 3 解析：选 D cos2 α－π 4 ＝1＋cos 2α－π 2 2 ＝1 2 ＋1 2sin 2α＝1 2 ＋1 2 ×1 3 ＝2 3. 7．已知 sin π 2 ＋α ＝1 2 ，α∈ －π 2 ，0 ，则 cos α－π 3 的值为________． 解析：由已知得 cos α＝1 2 ，sin α＝－ 3 2 ， 所以 cos α－π 3 ＝1 2cos α＋ 3 2 sin α＝－1 2. 答案：－1 2 8．(2019·湘东五校联考)已知 sin(α＋β)＝1 2 ，sin(α－β)＝1 3 ，则tan α tan β ＝________. 解析：因为 sin(α＋β)＝1 2 ，sin(α－β)＝1 3 ，所以 sin αcos β＋cos αsin β＝1 2 ，sin αcos β－cos αsin β＝1 3 ，所以 sin αcos β＝ 5 12 ，cos αsin β＝ 1 12 ，所以tan α tan β ＝sin αcos β cos αsin β ＝5. 答案：5 9．(2017·江苏高考)若 tan α－π 4 ＝1 6 ，则 tan α＝________. 解析：tan α＝tan α－π 4 ＋π 4 ＝ tan α－π 4 ＋tanπ 4 1－tan α－π 4 tanπ 4 ＝ 1 6 ＋1 1－1 6 ＝7 5. 答案：7 5 10．化简： sin235°－1 2 cos 10°cos 80° ＝________. 解析： sin235°－1 2 cos 10°cos 80° ＝ 1－cos 70° 2 －1 2 cos 10°sin 10° ＝ －1 2cos 70° 1 2sin 20° ＝－1. 答案：－1 11．已知 tan α＝2. (1)求 tan α＋π 4 的值； (2)求 sin 2α sin2α＋sin αcos α－cos 2α－1 的值． 解：(1)tan α＋π 4 ＝ tan α＋tanπ 4 1－tan αtanπ 4 ＝2＋1 1－2 ＝－3. (2) sin 2α sin2α＋sin αcos α－cos 2α－1 ＝ 2sin αcos α sin2α＋sin αcos α－2cos2α－1－1 ＝ 2sin αcos α sin2α＋sin αcos α－2cos2α ＝ 2tan α tan2α＋tan α－2 ＝ 2×2 22＋2－2 ＝1. 12．已知α，β均为锐角，且 sin α＝3 5 ，tan(α－β)＝－1 3. (1)求 sin(α－β)的值； (2)求 cos β的值． 解：(1)∵α，β∈ 0，π 2 ，∴－π 2<α－β<π 2. 又∵tan(α－β)＝－1 3<0，∴－π 2<α－β<0. ∴sin(α－β)＝－ 10 10 . (2)由(1)可得，cos(α－β)＝3 10 10 . ∵α为锐角，且 sin α＝3 5 ，∴cos α＝4 5. ∴cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝4 5 ×3 10 10 ＋3 5 × － 10 10 ＝9 10 50 . B 级 1．(2019·广东五校联考)若 tan π 2 －θ ＝4cos(2π－θ)，|θ|<π 2 ，则 tan 2θ＝________. 解析：∵tan π 2 －θ ＝4cos(2π－θ)，∴cos θ sin θ ＝4cos θ， 又∵|θ|<π 2 ，∴sin θ＝1 4 ， ∴0<θ<π 2 ，cos θ＝ 15 4 ，tan θ＝sin θ cos θ ＝ 1 15 ， 从而 tan 2θ＝ 2tan θ 1－tan2θ ＝ 15 7 . 答案： 15 7 2．(2018·江西新建二中期中)已知 A，B 均为锐角，cos(A＋B)＝－24 25 ，sin B＋π 3 ＝3 5 ，则 cos A－π 3 ＝________. 解析：因为 A，B 均为锐角，cos(A＋B)＝－24 25 ，sin B＋π 3 ＝3 5 ， 所以π 2