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  • 2021-05-13 发布

全国高考理科数学试题及答案全国卷II

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绝密★启用前 ‎2017年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷2)‎ 理科数学 注意事项:‎ ‎ 1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚,将条形码准确粘贴在条形码区域内。‎ ‎2.选择题必须使用2B铅笔填涂;非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写,字体工整,笔迹清楚 ‎3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试卷上答题无效 ‎4.作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。‎ ‎5.保持卡面清洁,不要折叠、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀 一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1. ( )‎ A. B. C. D.‎ ‎2. 设集合,.若,则( )‎ A. B. C. D.‎ ‎3. 我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题:“远望巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一,请问尖头几盏灯?”意思是:一座7层塔共挂了381盏灯,且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍,则塔的顶层共有灯( )‎ A.1盏 B.3盏 C.5盏 D.9盏 ‎4. 如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某几何体的三视图,该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得,则该几何体的体积为( )‎ A. ‎ B. C. D.‎ ‎5. 设,满足约束条件,则的最小值是( )‎ A. B. C.1 D.9‎ ‎6. 安排3名志愿者完成4项工作,每人至少完成1项,每项工作由1人完成,则不同的安排方式共有( )‎ A.12种 B.18种 C.24种 D.36种 ‎7. 甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩.老师说:你们四人中有2位优秀,2位良好,我现在给甲看乙、丙的成绩,给乙看丙的成绩,给丁看甲的成绩.看后甲对大家说:我还是不知道我的成绩.根据以上信息,则( )‎ A.乙可以知道四人的成绩 B.丁可以知道四人的成绩 C.乙、丁可以知道对方的成绩 D.乙、丁可以知道自己的成绩 ‎8. 执行右面的程序框图,如果输入的,则输出的( )‎ A.2‎ B.3‎ C.4‎ D.5‎ ‎9. 若双曲线(,)的一条渐近线被圆所截得的弦长为2,则的离心率为( )‎ A.2 B.‎ C. D.‎ ‎10. 已知直三棱柱中,,,,则异面直线与所成角的余弦值为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎11. 若是函数的极值点,则的极小值为( )‎ A. B. C. D.1‎ ‎12. 已知是边长为2的等边三角形,为平面内一点,则的最小值是( )‎ A. B. C. D.‎ 二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。‎ ‎13. 一批产品的二等品率为,从这批产品中每次随机取一件,有放回地抽取次,表示抽到的二等品件数,则 .‎ ‎14. 函数()的最大值是 .‎ ‎15. 等差数列的前项和为,,,则 .‎ ‎16. 已知是抛物线:的焦点,是上一点,的延长线交轴于点.若为的中点,则 .‎ 三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤。第17~21题为必做题,每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题,考生根据要求作答。‎ ‎(一)必考题:共60分。‎ ‎17.(12分)‎ 的内角所对的边分别为,已知,‎ ‎(1)求;‎ ‎(2)若,的面积为2,求.‎ ‎18.(12分)‎ 海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比,收获时各随机抽取了100 个网箱,测量各箱水产品的产量(单位:kg)某频率分布直方图如下:‎ (1) 设两种养殖方法的箱产量相互独立,记表示事件“旧养殖法的箱产量低于‎50kg, 新养殖法的箱产量不低于‎50kg”‎,估计的概率;‎ (2) 填写下面列联表,并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关:‎ 箱产量<50kg 箱产量≥50kg 旧养殖法 新养殖法 (3) 根据箱产量的频率分布直方图,求新养殖法箱产量的中位数的估计值(精确到0.01)‎ P()‎ ‎0.050‎ ‎0.010‎ ‎0.001‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ ‎ ‎ ‎19.(12分)‎ 如图,四棱锥中,侧面为等比三角形且垂直于底面, 是的中点.‎ ‎(1)证明:直线 平面PAB ‎(2)点在棱上,且直线与底面所成角为 ,求二面角的余弦值 ‎20. (12分)‎ 设为坐标原点,动点在椭圆:上,过做轴的垂线,垂足为,点满足.‎ ‎(1)求点的轨迹方程;‎ ‎(2)设点在直线上,且.证明:过点且垂直于的直线过的左焦点. ‎ ‎21.(12分)‎ 已知函数,且。‎ ‎(1)求;‎ ‎(2)证明:存在唯一的极大值点,且.‎ ‎(二)选考题:共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做,按所做的第一题计分。‎ ‎22.[选修4-4:坐标系与参数方程](10分)‎ 在直角坐标系中,以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.‎ ‎(1)为曲线上的动点,点在线段上,且满足,求点的轨迹的直角坐标方程;‎ ‎(2)设点的极坐标为,点在曲线上,求面积的最大值.‎ ‎23.[选修4-5:不等式选讲](10分)‎ 已知,证明:‎ ‎(1);‎ ‎(2).‎ ‎2017年普通高等学校招生全国统一考试全国卷2‎ 理科数学参考答案 一、选择题:‎ ‎1. D 2. C 3. B 4. B 5. A 6. D ‎7. D 8. B 9. A 10. C 11. A 12. B 二、填空题:‎ ‎13. 1.96 14. 1 15. 16. 6‎ 三、解答题:‎ ‎17.(12分)解:‎ ‎(1)由题设及得,故 上式两边平方,整理得 ‎ 解得 ‎ ‎(2)由,故 又 由余弦定理及得 所以 ‎18.(12分)‎ 解:‎ ‎(1)记表示事件“旧养殖法的箱产量低于50”, 表示事件“新养殖法的箱产量不低于50”.‎ 由题意知 旧养殖法的箱产量低于50的频率为 ‎,‎ 故的估计值为0.62‎ 新养殖法的箱产量不低于50的频率为 ‎,‎ 故的估计值为0.66‎ 因此,事件的概率估计值为 ‎(2)根据箱产量的频率分布直方图得列联表 箱产量 箱产量 旧养殖法 新养殖法 由于,故有的把握认为箱产量与养殖方法有关。‎ ‎(3)因为新养殖法的箱产量频率分布直方图中,箱产量低于的直方图面积为 ‎,‎ 箱产量低于的直方图面积为 ‎,‎ 故新养殖法箱产量的中位数的估计值为 ‎19.(12分)‎ 解:‎ ‎(1)取的中点,连接,‎ 因为是的中点,‎ 所以,‎ 由 得,‎ 又,‎ 所以,‎ 四边形是平行四边形,,‎ 又平面,平面,‎ 故平面 ‎(2)由已知得,以为坐标原点,的方向为轴正方向,为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系,则 ‎,‎ 设,则 因为与底面所成的角为,而是底面的法向量,‎ 所以,‎ 即 ①‎ 又在棱上,设,则 ‎ ②‎ 由①,②解得(舍去),‎ 所以,从而 设是平面的法向量,则 ‎ 即 所以可取,‎ 于是 因此二面角的余弦值为 ‎20. (12分)‎ 解:‎ ‎(1)设,,‎ 则 由得 ‎ 因为在上,所以 因此点的轨迹方程为 ‎(2)由题意知 设,则 ‎,‎ 由得 又由(1)知,故 所以,即.‎ 又过点存在唯一直线垂直于,‎ 所以过点且垂直于的直线过的左焦点.‎ ‎21.(12分)‎ 解:‎ ‎(1)的定义域为 设,则等价于 因为,‎ 故,‎ 而,‎ 得 若,则 当时,单调递减;‎ 当时,单调递增 所以是的极小值点,故 综上,‎ ‎(2)由(1)知 设,则 当时,;当时,.‎ 所以在单调递减,在单调递增.‎ 又,所以在有唯一零点,在有唯一零点1,且当时,;当时,;当时,.‎ 因为,所以是的唯一极大值点.‎ 由得,故.‎ 由得.‎ 因为是在的最大值点,由得 ‎.‎ 所以 ‎(二)选考题:‎ ‎ 22.解:‎ ‎(1)设的极坐标为,的极坐标为.‎ 由题设知 由得的极坐标方程 因此的直角坐标方程为 ‎(2)设点的极坐标为.‎ 由题设知,‎ 于是面积 ‎.‎ 当时,取得最大值 所以面积的最大值为 ‎23.解:‎ ‎(1)‎ ‎(2)因为 所以,因此.‎