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- 2021-05-13 发布
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2017---2018年高考真题专项训练：平面向量（理科）学生版
一、单选题
1．在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若AP=λ AB+μ AD，则λ+μ的最大值为
A． 3 B． 22 C． 5 D． 2
2．如图，已知平面四边形ABCD，AB⊥BC，AB＝BC＝AD＝2，CD＝3，AC与BD交于点O，记 ， ， ，则
A． I１0．
（1）证明：k<-12；
（2）设F为C的右焦点，P为C上一点,且FP+FA+FB=0．证明：FA，FP，FB成等差数列，并求该数列的公差．
参考答案
1．A
【来源】2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标3卷精编版）
【解析】如图所示，建立平面直角坐标系.
设A0,1,B0,0,C2,0,D2,1,Px,y,
易得圆的半径r=25，即圆C的方程是x-22+y2=45，
AP=x,y-1,AB=0,-1,AD=2,0，若满足AP=λAB+μAD，
则x=2μy-1=-λ ，μ=x2,λ=1-y，所以λ+μ=x2-y+1，
设z=x2-y+1，即x2-y+1-z=0，点Px,y在圆x-22+y2=45上，
所以圆心(2,0)到直线x2-y+1-z=0的距离d≤r，即2-z14+1≤25，解得1≤z≤3，
所以z的最大值是3，即λ+μ的最大值是3，故选A.
【名师点睛】（1）应用平面向量基本定理表示向量是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.
（2）用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.
2．C
【来源】2017年全国普通高等学校招生统一考试数学（浙江卷精编版）
【解析】因为， ， ，所以，
故选C．
【名师点睛】平面向量的计算问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用
数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙用．利用向量夹角公式、模公式及向量垂直的充要条件，可将有关角度问题、线段长问题及垂直问题转化为向量的数量积来解决．列出方程组求解未知数．本题通过所给条件结合数量积运算，易得，由AB＝BC＝AD＝2，CD＝3，可求得， ，进而得到．
3．D
【来源】2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标2卷精编版）
【解析】以BC中点为坐标原点，建立如图所示的坐标系，
则A（0，23），B（﹣2，0），C（2，0），
设P（x，y），则PA→=（﹣x，23﹣y），
PB→=（﹣2﹣x，﹣y），
PC→=（2﹣x，﹣y），
所以PA→•（PB→+PC→）=﹣x•（﹣2x）+（23﹣y）•（﹣2y）
=2x2﹣43y+2y2
=2[x2+2（y﹣3）2﹣3]；
所以当x=0，y=3时，PA→•（PB→+PC→）取得最小值为2×（﹣3）=﹣6．
故选：D．
4．A
【来源】2018年全国普通高等学校招生统一考试数学（浙江卷）
【解析】
分析:先确定向量a,b所表示的点的轨迹，一个为直线，一个为圆，再根据直线与圆的位置关系求最小值.
详解：设a=(x,y),e=(1,0),b=(m,n)，
则由a,e=π3得a⋅e=|a|⋅|e|cosπ3,x=12x2+y2,∴y=±3x，
由b2-4e⋅b+3=0得m2+n2-4m+3=0,(m-2)2+n2=1,
因此|a-b|的最小值为圆心(2,0)到直线y=±3x的距离232=3减去半径1，为3-1.选A.
点睛：以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数、曲线方程等相结合的一类综合问题.通过向量的坐标运算，将问题转化为解方程、解不等式、求函数值域或直线与曲线的位置关系，是解决这类问题的一般方法.
5．C
【来源】2015-2016学年湖北省黄石市有色一中高二下期中文科数学试卷（带解析）
【解析】
分析：先对模平方，将a-3b=3a+b等价转化为a⋅b=0，再根据向量垂直时数量积为零得充要关系.
详解： a-3b=3a+b⇔a-3b2=3a+b2⇔a2-6a⋅b+9b2=9a2+6a⋅b+b2，因为a，b均为单位向量，所以a2-6a⋅b+9b2=9a2+6a⋅b+b2⇔a⋅b=0⇔ a⊥b，即“a-3b=3a+b”是“a⊥b”的充分必要条件.选C.
点睛：充分、必要条件的三种判断方法．
1．定义法：直接判断“若p则q”、“若q则p”的真假．并注意和图示相结合，例如“p⇒q”为真，则p是q的充分条件．
2．等价法：利用p⇒q与非q⇒非p，q⇒p与非p⇒非q，p⇔q与非q⇔非p的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．
3．集合法：若A⊆B，则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若A＝B，则A是B的充要条件．
6．A
【来源】2018年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标I卷）
【解析】分析：首先将图画出来，接着应用三角形中线向量的特征，求得BE=12BA+12BC
，之后应用向量的加法运算法则-------三角形法则，得到BC=BA+AC，之后将其合并，得到BE=34BA+14AC，下一步应用相反向量，求得EB=34AB-14AC，从而求得结果.
详解：根据向量的运算法则，可得
BE=12BA+12BD=12BA+14BC=12BA+14(BA+AC) =12BA+14BA+14AC=34BA+14AC，
所以EB=34AB-14AC，故选A.
点睛：该题考查的是有关平面向量基本定理的有关问题，涉及到的知识点有三角形的中线向量、向量加法的三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题，在解题的过程中，需要认真对待每一步运算.
7．D
【来源】2018年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标I卷）
【解析】分析：首先根据题中的条件，利用点斜式写出直线的方程，涉及到直线与抛物线相交，联立方程组，消元化简，求得两点M(1,2),N(4,4)，再利用所给的抛物线的方程，写出其焦点坐标，之后应用向量坐标公式，求得FM=(0,2),FN=(3,4)，最后应用向量数量积坐标公式求得结果.
详解：根据题意，过点（–2，0）且斜率为23的直线方程为y=23(x+2)，
与抛物线方程联立y=23(x+2)y2=4x，消元整理得：y2-6y+8=0，
解得M(1,2),N(4,4)，又F(1,0)，
所以FM=(0,2),FN=(3,4)，
从而可以求得FM⋅FN=0×3+2×4=8，故选D.
点睛：该题考查的是有关直线与抛物线相交求有关交点坐标所满足的条件的问题，在求解的过程中，首先需要根据题意确定直线的方程，之后需要联立方程组，消元化简求解，从而确定出M(1,2),N(4,4)，之后借助于抛物线的方程求得F(1,0)，最后一步应用向量坐标公式求得向量的坐标，之后应用向量数量积坐标公式求得结果，也可以不求点M、N的坐标，应用韦达定理得到结果.
8．B
【来源】2018年全国普通高等学校招生统一考试理数（全国卷II）
【解析】分析：根据向量模的性质以及向量乘法得结果.
详解：因为a⋅(2a-b)=2a2-a⋅b=2|a|2-(-1)=2+1=3,
所以选B.
点睛：向量加减乘： a±b=(x1±x2,y1±y2),a2=|a|2,a⋅b=|a|⋅|b|cos
9． 4
【来源】2017年全国普通高等学校招生统一考试数学（浙江卷精编版）
【解析】设向量的夹角为，由余弦定理有： ，
，则：
，
令，则，
据此可得： ，
即的最小值是4，最大值是．
【名师点睛】本题通过设向量的夹角为，结合模长公式， 可得，再利用三角函数的有界性求出最大、最小值，属中档题，对学生的转化能力和最值处理能力有一定的要求．
10．
【来源】2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（山东卷精编版）
【解析】，
，
，
，解得： ．
【名师点睛】
1.平面向量与的数量积为，其中是与的夹角，要注意夹角的定义和它的取值范围： .
2.由向量的数量积的性质有， ， ，因此，利用平面向量的数量积可以解决与长度、角度、垂直等有关的问题．
3.本题主要利用向量的模与向量运算的灵活转换，应用平面向量的夹角公式，建立的方程.
11．
【来源】【全国百强校】广东省广州市广东仲元中学2016-2017学年高一第二学期期末考试数学试题
【解析】 ,则
.
【考点】向量的数量积
【名师点睛】根据平面向量的基本定理，利用表示平面向量的一组基地可以表示平面内的任一向量，利用向量的定比分点公式表示向量，计算数量积，选取基地很重要，本题的已知模和夹角，选作基地易于计算数量积.
12．23
【来源】2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标1卷精编版）
【解析】
∵平面向量a与b的夹角为600，a=2，b=1
∴a∙b=2×1×cos600=1.
∴a+2b=(a+2b)2=a2+4a∙b+(2b)2=4+4+4=23
故答案为：23.
点睛：(1)求向量的夹角主要是应用向量的数量积公式．
(2) a=a⋅a 常用来求向量的模．
13．-3
【来源】2018年全国普通高等学校招生统一考试数学（上海卷）
【解析】
【分析】
据题意可设E（0，a），F（0，b），从而得出|a﹣b|=2，即a=b+2，或b=a+2，并可求得AE→⋅BF→=-2+ab，将a=b+2带入上式即可求出AE→⋅BF→的最小值，同理将b=a+2带入，也可求出AE→⋅BF→的最小值．
【详解】
根据题意，设E（0，a），F（0，b）；
∴|EF→|=|a-b|=2；
∴a=b+2，或b=a+2；
且AE→=(1，a)，BF→=(-2，b)；
∴AE→⋅BF→=-2+ab；
当a=b+2时，AE→⋅BF→=-2+(b+2)⋅b=b2+2b-2；
∵b2+2b﹣2的最小值为-8-44=-3；
∴AE→⋅BF→的最小值为﹣3，同理求出b=a+2时，AE→⋅BF→的最小值为﹣3．
故答案为：﹣3．
【点睛】
考查根据点的坐标求两点间的距离，根据点的坐标求向量的坐标，以及向量坐标的数量积运算，二次函数求最值的公式．
14．3
【来源】2018年全国普通高等学校招生统一考试数学（江苏卷）
【解析】
分析：先根据条件确定圆方程，再利用方程组解出交点坐标，最后根据平面向量的数量积求结果.
详解：设A(a,2a)(a>0)，则由圆心C为AB中点得C(a+52,a),易得⊙C:(x-5)(x-a)+y(y-2a)=0，与y=2x联立解得点D的横坐标xD=1,所以D(1,2).所以AB=(5-a,-2a),CD=(1-a+52,2-a)，
由AB⋅CD=0得(5-a)(1-a+52)+(-2a)(2-a)=0,a2-2a-3=0,a=3或a=-1，
因为a>0，所以a=3.
点睛：以向量为载体求相关变量的取值或范围，是向量与函数、不等式、三角函数、曲线方程等相结合的一类综合问题.通过向量的坐标运算，将问题转化为解方程或解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法.
15．12
【来源】2018年全国卷Ⅲ理数高考试题文档版
【解析】分析：由两向量共线的坐标关系计算即可。
详解：由题可得2a+b=(4,2)
∵c//(2a+b), c=(1,λ)
∴4λ-2=0,即λ=12
故答案为12
点睛：本题主要考查向量的坐标运算，以及两向量共线的坐标关系，属于基础题。
16．（1）k<-12
（2）32128或-32128
【来源】2018年全国卷Ⅲ理数高考试题文档版
【解析】分析：（1）设而不求，利用点差法进行证明。
（2）解出m,进而求出点P的坐标，得到|FP|,再由两点间距离公式表示出FA,|FB|，得到直l的方程，联立直线与椭圆方程由韦达定理进行求解。
详解：（1）设A(x1,y1),B(x2,y2)，则x124+y123=1,x224+y223=1.
两式相减，并由y1-y2x1-x2=k得
x1+x24+y1+y23⋅k=0.
由题设知x1+x22=1,y1+y22=m，于是
k=-34m.①
由题设得0
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