高考数学专项复习概率统计综合检测题文科 19页

概率统计综合检测题（文科）‎ ‎　‎ 一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）‎ ‎1．（5分）某校要从高一、高二、高三共2010名学生中选取50名组成访问团，若采用下面的方法选取：先按简单随机抽样的方法从2010人中剔除10人，剩下的2000人再用分层抽样方法进行，则每个人入选的概率（　　）‎ A．不全相等 B．均不相等 C．都相等且为 D．都相等且为 ‎2．（5分）某学校2009年五四青年节举办十佳歌手赛，如图是七位评委为某选手打出的分数的茎叶图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数与方差分别为（　　）‎ A．83，1.6 B．84，0.4 C．85，1.6 D．86，1.5‎ ‎3．（5分）一个单位有职工120人，其中业务人员60人，管理人员40人，后勤人员20人，为了解职工健康情况，要从中抽取一个容量为24的样本，如用分层抽样，则管理人员应抽到的人数为（　　）‎ A．4 B．12 C．5 D．8‎ ‎4．（5分）某地2009年2月到6月各（x）月的平均气温y（℃）如表：‎ 根据表中数据，用最小二乘法求得平均气温y关于月份x的线性回归方程是（　　）‎ A．=5x﹣11.5 B．=6.5x﹣11.5 C．=1.2x﹣11.5 D．‎ ‎5．（5分）如图，已知正方形的边长为10，向正方形内随机地撒200颗黄豆，数得落在阴影外的黄豆数为114颗，以此实验数据为依据，可以估计出阴影部分的面积约为（　　）‎ A．53 B．43 C．47 D．57‎ ‎6．（5分）足球比赛的计分规则是：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，那么一个队打14场共得19分的情况有（　　）‎ A．3种 B．4种 C．5种 D．6种 ‎7．（5分）将一颗骰子投掷两次，第一次出现的点数记为a，第二次出现的点数记为b，设两条直线l1：ax+by=2，l2：x+2y=2平行的概率为P1，相交的概率为P2，则复数P1+P2i所对应的点P与直线l2：x+2y=2的位置关系（　　）‎ A．P在直线l2的右下方 B．P在直线l2的右上方 C．P在直线l2上 D．P在直线l2的左下方 ‎8．（5分）下列命题中，正确命题的个数为（　　）‎ ‎①命题“若，则x=2且y=﹣1”的逆命题是真命题；‎ ‎②P：个位数字为零的整数能被5整除，则¬P：个位数字不是零的整数不能被5整除；‎ ‎③茎叶图中，去掉一个最大的数和一个最小的数后，所剩数据的方差与原来不相同．‎ A．0 B．1 C．2 D．3‎ ‎9．（5分）连续掷两次骰子，以先后得到的点数m，n为点P（m，n）的坐标，那么点P在圆x2+y2=17内部的概率是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．（5分）将长度为1米的铁丝随机剪成三段，则这三段能拼成三角形（三段的端点相接）的概率等于（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．（5分）为了解某校高三学生的视力情况，随机地抽查了该校100名高三学生的视力情况，得到频率分布直方图如图，由于不慎将部分数据丢失，但知道前4组的频数成等比数列，后6组的频数成等差数列，设最大频率为a，视力在4.6到5.0之间的学生数为b，则a，b的值分别为（　　）‎ A．0.27，78 B．0.27，83 C．2.7，78 D．2.7，83‎ ‎12．（5分）已知Ω={（x，y）|}，直线y=mx+2m和曲线y=有两个不同的交点，它们围成的平面区域为M，向区域Ω上随机投一点A，点A落在区域M内的概率为P（M），若P（M）∈[，1]，则实数m的取值范围（　　）‎ A．[，1] B．[0，] C．[，1] D．[0，1]‎ ‎　‎ 二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）‎ ‎13．（4分）200辆汽车经过某一雷达地区，时速频率分布直方图如图所示，则时速不低于60km/h的汽车数量为 　　辆．‎ ‎14．（4分）从集合{（x，y）|x2+y2≤4，x∈R，y∈R}内任选一个元素（x，y），则x，y满足x+y≥2的概率为　　．‎ ‎15．（4分）用黑白两种颜色的正方形地砖依照图中的规律拼成若干图形，则按此规律第100个图形中有白色地砖 　　块；现将一粒豆子随机撒在第100个图中，则豆子落在白色地砖上的概率是 　　．‎ ‎16．（4分）给出下列命题：‎ ‎①命题“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”的非命题是“对∀x∈R，都有x2+x+1＞0”；‎ ‎②独立性检验显示“患慢性气管炎和吸烟有关”，这就是“有吸烟习惯的人，必定会患慢性气管炎”；‎ ‎③某校有高一学生300人，高二学生270人，高三学生210人，现教育局欲用分层抽样的方法，抽取26名学生进行问卷调查，则高三学生被抽到的概率最小．‎ 其中错误的命题序号是　　（将所有错误命题的序号都填上）．‎ ‎　‎ 三、解答题（共6小题，满分74分）‎ ‎17．（12分）某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部都介于13秒到18秒之间，将测试结果按如下方式分成五组，第一组[13，14），第二组[14，15）…第五组[17，18]如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．‎ ‎（1）若成绩大于等于14秒且小于16秒规定为良好，求该班在这次百米测试中成绩为良好的人数．‎ ‎（2）设m，n表示该班两个学生的百米测试成绩，已知m，n∈[13，14）∪[17，18]求事件“|m﹣n|＞2”的概率．‎ ‎18．（12分）已知关于x的一元二次函数f（x）=ax2﹣4bx+1．‎ ‎（1）设集合P={1，2，3}和Q={﹣1，1，2，3，4}，分别从集合P和Q中随机取一个数作为a和b，求函数y=f（x）在区间[1，+∞）上是增函数的概率；‎ ‎（2）设点（a，b）是区域内的随机点，求y=f（x）在区间[1，+∞）上是增函数的概率．‎ ‎19．（12分）某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种发芽多少之间的关系进行分析研究，他们分别记录了12月1日至12月5日的每天昼夜温差与实验室每天每100颗种子中的发芽数，得到如下资料：‎ 日 期 ‎12月1日 ‎12月2日 ‎12月3日 ‎12月4日 ‎12月5日 温差x（°C）‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎13‎ ‎12‎ ‎8‎ 发芽数y（颗）‎ ‎23‎ ‎25‎ ‎30‎ ‎26‎ ‎16‎ 该农科所确定的研究方案是：先从这五组数据中选取2组，用剩下的3组数据求线性回归方程，再对被选取的2组数据进行检验．‎ ‎（1）求选取的2组数据恰好是不相邻2天数据的概率；‎ ‎（2）若选取的是12月1日与12月5日的两组数据，请根据12月2日至12月4日的数据，求出y关于x的线性回归方程；‎ ‎（3）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问（2）中所得的线性回归方程是否可靠？‎ ‎20．（12分）某商场举行购物抽奖促销活动，规定每位顾客从装有编号为0，1，2，3四个相同小球的抽奖箱中，每次取出一球记下编号后放回，连续取两次，若取出的两个小球号码相加之和等于6则中一等奖，等于5中二等奖，等于4或3中三等奖．‎ ‎（1）求中三等奖的概率；‎ ‎（2）求中奖的概率．‎ ‎21．（12分）福州某中学高一（10）班男同学有45名，女同学有15名，老师按照性别分层抽样的方法组建了一个由4人组成的课外学习兴趣小组．‎ ‎（Ⅰ）求课外兴趣小组中男、女同学的人数；‎ ‎（Ⅱ）经过一个月的学习、讨论，这个兴趣小组决定从该组内选出2名同学分别做某项试验，求选出的2名同学中恰有1名女同学的概率；‎ ‎（Ⅲ）试验结束后，同学A得到的试验数据为68，70，71，72，74；同学B得到的试验数据为69，70，70，72，74；请问哪位同学的试验更稳定？并说明理由．‎ ‎22．（14分）先后2次抛掷一枚骰子，将得到的点数分别记为a，b．‎ ‎（Ⅰ）设函数f（x）=|x﹣a|，函数g（x）=x﹣b，令F（x）=f（x）﹣g（x），求函数F（x）有且只有一个零点的概率；‎ ‎（Ⅱ）将a，b，5的值分别作为三条线段的长，求这三条线段能围成等腰三角形的概率．‎ ‎　‎ 概率统计综合检测题（文科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）‎ ‎1．（5分）（2010•沈阳模拟）某校要从高一、高二、高三共2010名学生中选取50名组成访问团，若采用下面的方法选取：先按简单随机抽样的方法从2010人中剔除10人，剩下的2000人再用分层抽样方法进行，则每个人入选的概率（　　）‎ A．不全相等 B．均不相等 C．都相等且为 D．都相等且为 ‎【分析】剔除10人是按照随机抽样进行的，剩下的2000人再用分层抽样方法，也符合随机抽样原理，即每个人入选的概率是样本容量比总体容量 ‎【解答】解：剔除10人是按照随机抽样进行的，剩下的2000人再用分层抽样方法，也符合随机抽样原理，即每个人入选的概率是样本容量比总体容量，故为 故选C ‎【点评】本题主要考查分层抽样方法．‎ ‎　‎ ‎2．（5分）（2012•陆丰市校级模拟）某学校2009年五四青年节举办十佳歌手赛，如图是七位评委为某选手打出的分数的茎叶图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数与方差分别为（　　）‎ A．83，1.6 B．84，0.4 C．85，1.6 D．86，1.5‎ ‎【分析】根据算分的规则，去掉一个最高分和一个最低分有84，84，84，86，87五个数据，把五个数据代入求平均数的公式，得到这组数据的平均数，再代入方差的公式，得到方差．‎ ‎【解答】解：∵由题意知，选手的分数去掉一个最高分和一个最低分有84，84，84，86，87，‎ ‎∴选手的平均分是=85，‎ 选手的得分方差是（1+1+1+1+4）=1.6，‎ 故选C．‎ ‎【点评】本题考查平均数和方差，对于一组数据通常要求的是这组数据的众数，中位数，平均数，方差，它们分别表示一组数据的特征，这样的问题可以出现在选择题或填空题．‎ ‎　‎ ‎3．（5分）（2016春•益阳校级期末）一个单位有职工120人，其中业务人员60人，管理人员40人，后勤人员20人，为了解职工健康情况，要从中抽取一个容量为24的样本，如用分层抽样，则管理人员应抽到的人数为（　　）‎ A．4 B．12 C．5 D．8‎ ‎【分析】根据各个部门存在较大的差异，利用分层抽样方法抽取一个样本，首先根据所给的总人数和样本数，做出每个个体被抽到的概率，利用这个概率乘以管理人员的数目，得到结果．‎ ‎【解答】解：∵一个单位有职工120人，为了解职工健康情况，要从中抽取一个容量为24的样本，‎ ‎∴每个个体被抽到的概率是，‎ ‎∵管理人员40人，‎ ‎∴从管理人员中抽取40×=8‎ 故选D．‎ ‎【点评】本题考查分层抽样，这是最典型的一个分层抽样题目，高考卷中曾经考过类似的问题，同学们要认真对待，不能丢分．‎ ‎　‎ ‎4．（5分）（2010•锦州二模）某地2009年2月到6月各（x）月的平均气温y（℃）如表：‎ 根据表中数据，用最小二乘法求得平均气温y关于月份x的线性回归方程是（　　）‎ A．=5x﹣11.5 B．=6.5x﹣11.5 C．=1.2x﹣11.5 D．‎ ‎【分析】由已知表格中的数据，我们易计算出变量x，y的平均数，及xi，xiyi的累加值，代入回归直线系数公式 ，即可求出回归直线的系数，进而求出回归直线方程．‎ ‎【解答】解：，‎ 所以回归直线方程为 ‎ 故选D．‎ ‎【点评】求回归直线的方程，关键是要求出回归直线方程的系数，由已知的变量x，y的值，我们计算出变量x，y的平均数，及xi，xiyi的累加值，代入回归直线系数公式，即可求出回归直线的系数，进而求出回归直线方程．‎ ‎　‎ ‎5．（5分）（2010•辽宁模拟）如图，已知正方形的边长为10，向正方形内随机地撒200颗黄豆，数得落在阴影外的黄豆数为114颗，以此实验数据为依据，可以估计出阴影部分的面积约为（　　）‎ A．53 B．43 C．47 D．57‎ ‎【分析】本题利用几何概型求解．由于是向正方形内随机地撒200颗黄豆，其落在阴影外的概率是阴影外的面积与整个正方形的面积之比，从而可列式求得阴影部分的面积．‎ ‎【解答】解：设阴影外部分的面积为s，‎ 则由几何概型的概率公式得：‎ ‎，‎ 解得s=57，‎ 可以估计出阴影部分的面积约为100﹣57=43．‎ 故选B．‎ ‎【点评】本题主要考查了几何概型，以及利用几何意义求面积，属于基础题．简单地说，如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型．‎ ‎　‎ ‎6．（5分）足球比赛的计分规则是：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，那么一个队打14场共得19分的情况有（　　）‎ A．3种 B．4种 C．5种 D．6种 ‎【分析】本题是一个分类计数问题，需要分别列举出胜平负的所有情况，从胜一场开始，当胜一场时得到3分，平16场才能凑足19分，这样需要打17场，故不合题意，当胜2场时同样可以分析不合题意，再分析胜3，4，5，6场的情况，兼顾所打的场数和所得到分数．‎ ‎【解答】解：由题意知本题是一个分类计数问题，‎ 当胜一场时得到3分，平16场才能凑足19分故不合题意，‎ 当胜2场时得到6分，平13场，共需15场比赛，不合题意，‎ 胜3场时得到9分，平10场，输一场，符合题意．‎ 胜4场时得到12分，平7场，输3场，符合题意 胜5场时得到15分，平4场，输5场，符合题意 胜6场时得到18分，平1场，输6场，符合题意 综上所述共有4种结果满足题意，‎ 故选B．‎ ‎【点评】本题考查分类计数问题，这是经常出现的一个问题，解题时一定要分清做这件事需要分为几类，每一类包含几种方法，把几个步骤中数字相加得到结果 ‎　‎ ‎7．（5分）（2010•广东校级模拟）将一颗骰子投掷两次，第一次出现的点数记为a，第二次出现的点数记为b，设两条直线l1：ax+by=2，l2：x+2y=2平行的概率为P1，相交的概率为P2，则复数P1+P2i所对应的点P与直线l2：x+2y=2的位置关系（　　）‎ A．P在直线l2的右下方 B．P在直线l2的右上方 C．P在直线l2上 D．P在直线l2的左下方 ‎【分析】据两直线相交斜率不等，求出a，b满足的条件，据古典概型概率公式求出P1，P2，据复数的集合意义求出点P坐标，判断出与直线的关系．‎ ‎【解答】解：易知当且仅当时两条直线只有一个交点，‎ 而的情况有三种：a=1，b=2（此时两直线重合）；a=2，b=4（此时两直线平行）；a=3，b=6（此时两直线平行）．‎ 而投掷两次的所有情况有6×6=36种，‎ 所以两条直线相交的概率；‎ 两条直线平行的概率为P1=，‎ P1+P2i所对应的点为P，‎ 易判断P在l2：x+2y=2的左下方，‎ 故选项为D．‎ ‎【点评】本题融合了直线、线性规划、概率及复数等有关知识，在处理方法上可采用枚举法处理，注意不等忽视了直线重合这种情况，否则会选C．‎ ‎　‎ ‎8．（5分）（2010•辽宁模拟）下列命题中，正确命题的个数为（　　）‎ ‎①命题“若，则x=2且y=﹣1”的逆命题是真命题；‎ ‎②P：个位数字为零的整数能被5整除，则¬P：个位数字不是零的整数不能被5整除；‎ ‎③茎叶图中，去掉一个最大的数和一个最小的数后，所剩数据的方差与原来不相同．‎ A．0 B．1 C．2 D．3‎ ‎【分析】写出第一个命题的逆命题x=2且y=﹣1可以推出成立，对个位数字为零的整数能被5整除的否定个位数字为零的整数不能被5整除，去掉一个最大的数和一个最小的数后，所剩数据的方差与原来不相同，得到结果．‎ ‎【解答】解：∵x=2且y=﹣1可以推出，故①正确，‎ ‎∵P：个位数字为零的整数能被5整除，它的¬P：个位数字为零的整数不能被5整除；故②不正确，‎ ‎∵去掉一个最大的数和一个最小的数后，所剩数据的方差与原来不相同故③正确，‎ 总上可知有2个命题是正确的，‎ 故选C．‎ ‎【点评】本题考查极差、方差与标准差，考查四种命题之间的关系，考查命题的否定，命题的否定与否命题要区别开，这是一个易错题．‎ ‎　‎ ‎9．（5分）（2010•上虞市模拟）连续掷两次骰子，以先后得到的点数m，n为点P（m，n）的坐标，那么点P在圆x2+y2=17内部的概率是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】连续掷两次骰子，以先后得到的点数结果有36种，构成的点的坐标有36个，把这些点列举出来，检验是否满足x2+y2＜17，满足这个条件的点就在圆的内部，数出个数，根据古典概型个数得到结果．‎ ‎【解答】解：这是一个古典概型 由分步计数原理知：连续掷两次骰子，构成的点的坐标有6×6=36个，‎ 而满足x2+y2＜17的有（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（2，3），（3，1），（3，2）‎ 共有8个，‎ ‎∴P==，‎ 故选C．‎ ‎【点评】将数形结合的思想渗透到具体问题中来，用列举法列举基本事件的个数，不仅能让学生直观的感受到对象的总数，而且还能使学生在列举的时候作到不重不漏．比如，列举点的坐标时，我们把横标从小变大挨个列举．‎ ‎　‎ ‎10．（5分）（2009•泰安一模）将长度为1米的铁丝随机剪成三段，则这三段能拼成三角形（三段的端点相接）的概率等于（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】将长度为1米的铁丝随机剪成三段的长度分别为 x，y，z，x+y+z=1‎ 则求解面积，然后求构成试验的全部区域为所表示的区域的面积，代入几何概率的计算公式可求．‎ ‎【解答】解：设将长度为1米的铁丝随机剪成三段的长度分别为 x，y，z，x+y+z=1‎ 则 构成试验的全部区域为⇒所表示的区域为边长为1的直角三角形，‎ 其面积为 记“这三段能拼成三角形”为事件A，则构成A的区域⇒为边长为的直角三角形，面积为 代入几何概率公式可得P（A）=‎ 故选B ‎【点评】本题考查了与面积有关的几何概率的求解，难点是要把题中所提供的条件转化为数学问题，进而求出面积，突破难点的关键是构造与构成三角形的条件，根据线性规划的知识求解面积．‎ ‎　‎ ‎11．（5分）（2005•江西）为了解某校高三学生的视力情况，随机地抽查了该校100名高三学生的视力情况，得到频率分布直方图如图，由于不慎将部分数据丢失，但知道前4组的频数成等比数列，后6组的频数成等差数列，设最大频率为a，视力在4.6到5.0之间的学生数为b，则a，b的值分别为（　　）‎ A．0.27，78 B．0.27，83 C．2.7，78 D．2.7，83‎ ‎【分析】先根据直方图求出前2组的频数，根据前4组成等比数列求出第3和第4组的人数，从而求出后6组的人数，根据直方图可知4.6～4.7间的频数最大，即可求出频率a，根据等差数列的性质可求出公差d，从而求出在4.6到5.0之间的学生数为b．‎ ‎【解答】解：由频率分布直方图知组矩为0.1，4.3～4.4间的频数为100×0.1×0.1=1．‎ ‎4.4～4.5间的频数为100×0.1×0.3=3．‎ 又前4组的频数成等比数列，∴公比为3．‎ 根据后6组频数成等差数列，且共有100﹣13=87人．‎ 从而4.6～4.7间的频数最大，且为1×33=27，∴a=0.27，‎ 设公差为d，则6×27+d=87．‎ ‎∴d=﹣5，从而b=4×27+（﹣5）=78．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查频率分布直方图的相关知识，以及等差数列和等比数列的应用等有关知识，直方图中的各个矩形的面积代表了频率，所以各个矩形面积之和为1，同时考查分析问题的能力，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎12．（5分）（2013•东莞一模）已知Ω={（x，y）|}，直线y=mx+2m和曲线y=有两个不同的交点，它们围成的平面区域为M，向区域Ω上随机投一点A，点A落在区域M内的概率为P（M），若P（M）∈[，1]，则实数m的取值范围（　　）‎ A．[，1] B．[0，] C．[，1] D．[0，1]‎ ‎【分析】画出图形，不难发现直线恒过定点（﹣2，0），结合概率范围可知直线与圆的关系，‎ 直线以（﹣2，0）点为中心顺时针旋转至与x轴重合，从而确定直线的斜率范围．‎ ‎【解答】解：画出图形，不难发现直线恒过定点（﹣2，0），‎ 圆是上半圆，直线过（﹣2，0），（0，2）时，‎ 它们围成的平面区域为M，向区域Ω上随机投一点A，‎ 点A落在区域M内的概率为P（M），此时P（M）=，‎ 当直线与x轴重合时，P（M）=1；‎ 直线的斜率范围是[0，1]．‎ 故选D．‎ ‎【点评】本题考查直线与圆的方程的应用，几何概型，直线系，数形结合的数学思想，是好题，难度较大．‎ ‎　‎ 二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）‎ ‎13．（4分）（2014•市中区校级二模）200辆汽车经过某一雷达地区，时速频率分布直方图如图所示，则时速不低于60km/h的汽车数量为 　76　辆．‎ ‎【分析】先根据“频率=×组距”求出时速不低于60km/h的汽车的频率，然后根据“频数=频率×样本容量”进行求解．‎ ‎【解答】解：时速不低于60km/h的汽车的频率为（0.028+0.01）×10=0.38‎ ‎∴时速不低于60km/h的汽车数量为200×0.38=76‎ 故答案为：76‎ ‎【点评】本题考查频率分布直方图的相关知识，直方图中的各个矩形的面积代表了频率，频数=频率×样本容量，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎14．（4分）（2013•南充一模）从集合{（x，y）|x2+y2≤4，x∈R，y∈R}内任选一个元素（x，y），则x，y满足x+y≥2的概率为　　．‎ ‎【分析】利用几何概型求解本题中的概率是解决本题的关键．需要作出事件所满足的区域，找出全部事件的区域和所求事件区域，利用二者的面积比求出该题的概率．‎ ‎【解答】解：本题事件所包含的区域如图，‎ 全部事件区域是整个圆内部分，‎ 事件x+y≥2表示的在圆内并且位于直线x+y=2右侧的部分．‎ 因此，所求概率为圆在第一象限位于直线x+y=2右侧的弓形部分面积除以整个圆的面积而得．‎ 即为：．‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题考查几何概型求概率的办法，考查不等式满足的可行域问题，考查数形结合的思想和几何图形面积的计算问题．‎ ‎　‎ ‎15．（4分）（2010•辽宁模拟）用黑白两种颜色的正方形地砖依照图中的规律拼成若干图形，则按此规律第100个图形中有白色地砖 　503　块；现将一粒豆子随机撒在第100个图中，则豆子落在白色地砖上的概率是 　　．‎ ‎【分析】由第一、二、三个图形寻找白色地砖块数的规律性，易发现构成等差数列，由等差数列的通项公式求出第100个图形中有白色地砖的块数，再由几何概型求概率即可．‎ ‎【解答】解：白色地砖构成等差数列：8，13，18，…，5n+3，‎ an=5n+3，a100=503，第100个图形中有地砖503+100=603，‎ 故所求概率．‎ 故答案为：503；‎ ‎【点评】本题考查归纳推理和几何概型知识，考查利用所学知识解决问题的能力．‎ ‎　‎ ‎16．（4分）给出下列命题：‎ ‎①命题“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”的非命题是“对∀x∈R，都有x2+x+1＞0”；‎ ‎②独立性检验显示“患慢性气管炎和吸烟有关”，这就是“有吸烟习惯的人，必定会患慢性气管炎”；‎ ‎③某校有高一学生300人，高二学生270人，高三学生210人，现教育局欲用分层抽样的方法，抽取26名学生进行问卷调查，则高三学生被抽到的概率最小．‎ 其中错误的命题序号是　①②③　（将所有错误命题的序号都填上）．‎ ‎【分析】据特称命题的否定是全称命题：将存在改为任意，结论否定；得到①错误；‎ 独立性检验显示的分类变量有关、无关不是确定关系，故两个分类变量有关时，不能推出一个存在另一个一定存在故②错；‎ 在抽样方法中，每种抽样方法都遵循每个个体被抽到的概率相等的特点，故③错．‎ ‎【解答】解：①中原命题的非命题是“对∀x∈R，都有x2+x+1≥0”，所以①错误；‎ ‎②中说法不正确，“患慢性气管炎和吸烟有关”只是说明“患慢性气管炎”和“吸烟”有一定的相关关系，但不是确定关系，所以“有吸烟习惯的人，未必患慢性气管炎”；‎ ‎③中，由于抽样比为=，所以高一学生被抽到的人数为×300=10人，高二学生被抽到的人数为×270=9人，高三学生被抽到的人数为×210=7人，尽管高三学生抽到的人数少，但每个学生被抽到的机会均等，所以“高三学生被抽到的概率最小”这种说法错误．‎ 故答案为①②③‎ ‎【点评】本题三个命题重点考查简易逻辑用语、统计案例和统计等基本概念．‎ ‎　‎ 三、解答题（共6小题，满分74分）‎ ‎17．（12分）（2012•宝鸡模拟）某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部都介于13秒到18秒之间，将测试结果按如下方式分成五组，第一组[13，14），第二组[14，15）…第五组[17，18]如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．‎ ‎（1）若成绩大于等于14秒且小于16秒规定为良好，求该班在这次百米测试中成绩为良好的人数．‎ ‎（2）设m，n表示该班两个学生的百米测试成绩，已知m，n∈[13，14）∪[17，18]求事件“|m﹣n|＞2”的概率．‎ ‎【分析】（Ⅰ）根据直方图矩形的面积表示频率，可知成绩在[14，16）内的人数；‎ ‎（Ⅱ）成绩在[13，14）的人数有2人，设为a，b．成绩在[17，18]的人数有3人，设为A，B，C；基本事件总数为10，事件“|m﹣n|＞2”由6个基本事件组成．根据古典概型公式可求出所求．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）根据直方图可知成绩在[14，16）内的人数为：50×0.18+50×0.38=28人；（5分）‎ ‎（Ⅱ）成绩在[13，14）的人数有：50×0.04=2人，设为a，b．‎ 成绩在[17，18]的人数有：50×0.06=3人，‎ 设为A，B，C．m，n∈[13，14）时有ab一种情况．‎ m，n∈[17，18]时有AB，AC，BC三种情况．‎ m，n分别在[13，14）和[17，18]时有aA，aB，aC，bA，bB，bC六种情况．‎ 基本事件总数为10，事件“|m﹣n|＞2”由6个基本事件组成．‎ 所以P（|m﹣n|＞2）=（13分）‎ ‎【点评】本题主要考查了频率分布直方图，以及古典概型的概率问题、用样本的数字特征估计总体的数字特征等有关知识，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎18．（12分）（2011•广东三模）已知关于x的一元二次函数f（x）=ax2﹣4bx+1．‎ ‎（1）设集合P={1，2，3}和Q={﹣1，1，2，3，4}，分别从集合P和Q中随机取一个数作为a和b，求函数y=f（x）在区间[1，+∞）上是增函数的概率；‎ ‎（2）设点（a，b）是区域内的随机点，求y=f（x）在区间[1，+∞）上是增函数的概率．‎ ‎【分析】（1）本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是3×5，满足条件的事件是函数f（x）=ax2﹣4bx+1在区间[1，+∞）上为增函数，根据二次函数的对称轴，写出满足条件的结果，得到概率．‎ ‎（2）本题是一个等可能事件的概率问题，根据第一问做出的函数是增函数，得到试验发生包含的事件对应的区域和满足条件的事件对应的区域，做出面积，得到结果．‎ ‎【解答】解：（1）由题意知本题是一个等可能事件的概率，‎ ‎∵试验发生包含的事件是3×5=15，‎ 函数f（x）=ax2﹣4bx+1的图象的对称轴为，‎ 要使f（x）=ax2﹣4bx+1在区间[1，+∞）上为增函数，‎ 当且仅当a＞0且，即2b≤a 若a=1则b=﹣1，若a=2则b=﹣1，1；若a=3则b=﹣1，1；‎ ‎∴事件包含基本事件的个数是1+2+2=5‎ ‎∴所求事件的概率为．‎ ‎（2）由（Ⅰ）知当且仅当2b≤a且a＞0时，‎ 函数f（x）=ax2﹣4bx+1在区是间[1，+∞）上为增函数，‎ 依条件可知试验的全部结果所构成的区域为 构成所求事件的区域为三角形部分 由得交点坐标为，‎ ‎∴所求事件的概率为．‎ ‎【点评】古典概型和几何概型是我们学习的两大概型，古典概型要求能够列举出所有事件和发生事件的个数，而不能列举的就是几何概型，几何概型的概率的值是通过长度、面积、和体积、的比值得到．‎ ‎　‎ ‎19．（12分）（2016•河南模拟）某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种发芽多少之间的关系进行分析研究，他们分别记录了12月1日至12月5日的每天昼夜温差与实验室每天每100颗种子中的发芽数，得到如下资料：‎ 日 期 ‎12月1日 ‎12月2日 ‎12月3日 ‎12月4日 ‎12月5日 温差x（°C）‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎13‎ ‎12‎ ‎8‎ 发芽数y（颗）‎ ‎23‎ ‎25‎ ‎30‎ ‎26‎ ‎16‎ 该农科所确定的研究方案是：先从这五组数据中选取2组，用剩下的3组数据求线性回归方程，再对被选取的2组数据进行检验．‎ ‎（1）求选取的2组数据恰好是不相邻2天数据的概率；‎ ‎（2）若选取的是12月1日与12月5日的两组数据，请根据12月2日至12月4日的数据，求出y关于x的线性回归方程；‎ ‎（3）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问（2）中所得的线性回归方程是否可靠？‎ ‎【分析】（1）根据题意列举出从5组数据中选取2组数据共有10种情况，每种情况都是可能出现的，满足条件的事件包括的基本事件有6种．根据等可能事件的概率做出结果．‎ ‎（2）根据所给的数据，先做出x，y的平均数，即做出本组数据的样本中心点，根据最小二乘法求出线性回归方程的系数，写出线性回归方程．‎ ‎（3）根据估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2颗，就认为得到的线性回归方程是可靠的，根据求得的结果和所给的数据进行比较，得到所求的方程是可靠的．‎ ‎【解答】解：（1）设抽到不相邻的两组数据为事件A，‎ 从5组数据中选取2组数 据共有10种情况：（1，2）‎ ‎（1，3）（1，4）（1，5）（2，3）（2，4）（2，5）‎ ‎（3，4）（3，5）（4，5），‎ 其中数据为12月份的日期数．‎ 每种情况都是可能出现的，事件A包括的基本事件有6种．‎ ‎∴P（A）=．‎ ‎∴选取的2组数据恰好是不相邻2天数据的概率是 ‎（2）由数据，求得．‎ 由公式，求得b=‎ ‎∴y关于x的线性回归方程为x﹣3．‎ ‎（3）当x=10时，×10﹣3=22，|22﹣23|＜2；‎ 同样当x=8时，×8﹣3=17，|17﹣16|＜2；‎ ‎∴该研究所得到的回归方程是可靠的．‎ ‎【点评】本题考查等可能事件的概率，考查线性回归方程的求法，考查最小二乘法，考查估计验算所求的方程是否是可靠的，是一个综合题目．‎ ‎　‎ ‎20．（12分）（2010•密云县一模）某商场举行购物抽奖促销活动，规定每位顾客从装有编号为0，1，2，3四个相同小球的抽奖箱中，每次取出一球记下编号后放回，连续取两次，若取出的两个小球号码相加之和等于6则中一等奖，等于5中二等奖，等于4或3中三等奖．‎ ‎（1）求中三等奖的概率；‎ ‎（2）求中奖的概率．‎ ‎【分析】（1）由题意知本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件可以通过列举得到，满足条件的事件从列举出的结果中得到，根据等可能事件的概率公式，得到结果．‎ ‎（2）本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件在前面一问已经做出，满足条件的事件可以列举出所有的结果，根据互斥事件的概率公式和等可能事件的概率公式，得到结果．‎ ‎【解答】解：（1）设“中三等奖”为事件A，“中奖”为事件B，‎ 从四个小球中有放回的取两个共有（0，0），（0，1），（0，2），‎ ‎（0，3），（1，0），（1，1）（1，2），（1，3），（2，0），‎ ‎（2，1），（2，2），（2，3），（3，0），（3，1），（3，2），（3，3）16种不同的结果 两个小球号码相加之和等于4的取法有3种：（1，3），（2，2），（3，1）‎ 两个小球号相加之和等于3的取法有4种：（0，3），（1，2），（2，1），（3，0）‎ 由互斥事件的加法公式得：，‎ 即中三等奖的概率为；‎ ‎（2）两个小球号码相加之和等于3的取法有4种；（0，3），（1，2），（2，1），（3，0）‎ 两个小球相加之和等于4的取法有3种；（1，3），（2，2），（3，1）‎ 两个小球号码相加之和等于5的取法有2种：（2，3），（3，2）‎ 两个小球号码相加之和等于6的取法有1种：（3，3）‎ 由互斥事件的加法公式得：‎ 即中奖的概率为：．‎ ‎【点评】本题考查等可能事件的概率，考查互斥事件的概率，是一个同学们都感兴趣的情景问题，是一个基础题．‎ ‎　‎ ‎21．（12分）（2010•东城区模拟）福州某中学高一（10）班男同学有45名，女同学有15名，老师按照性别分层抽样的方法组建了一个由4人组成的课外学习兴趣小组．‎ ‎（Ⅰ）求课外兴趣小组中男、女同学的人数；‎ ‎（Ⅱ）经过一个月的学习、讨论，这个兴趣小组决定从该组内选出2名同学分别做某项试验，求选出的2名同学中恰有1名女同学的概率；‎ ‎（Ⅲ）试验结束后，同学A得到的试验数据为68，70，71，72，74；同学B得到的试验数据为69，70，70，72，74；请问哪位同学的试验更稳定？并说明理由．‎ ‎【分析】（1）按照分层抽样的按比例抽取的方法，男女生抽取的比例是45：15，4人中的男女抽取比例也是45：15，从而解决；‎ ‎（2）先算出选出的两名同学的基本事件数，再算出恰有一名女同学事件数，两者比值即为所求概率；‎ ‎（3）欲问哪位同学的试验更稳定，只要算出他们各自的方差比较大小即可．‎ ‎【解答】解：（I）‎ ‎∴每个同学被抽到的概率为（2分）‎ 课外兴趣小组中男、女同学的人数分别为3，1（4分）‎ ‎（II）把3名男同学和1名女同学记为a1，a2，a3，b，‎ 则选取两名同学的基本事件有（a1，a2），（a1，a3），（a2，a3），（a1，b），（a2，b），（a3，b），共6种，‎ 其中有一名女同学的有3种 ‎∴选出的两名同学中恰有一名女同学的概率为（8分）‎ ‎（III），‎ ‎∴，，‎ ‎∴B同学的实验更稳定（12分）‎ ‎【点评】本题主要考查分层抽样方法、概率的求法以及方差，是一道简单的综合性的题目，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎22．（14分）（2013•沈河区校级模拟）先后2次抛掷一枚骰子，将得到的点数分别记为a，b．‎ ‎（Ⅰ）设函数f（x）=|x﹣a|，函数g（x）=x﹣b，令F（x）=f（x）﹣g（x），求函数F（x）有且只有一个零点的概率；‎ ‎（Ⅱ）将a，b，5的值分别作为三条线段的长，求这三条线段能围成等腰三角形的概率．‎ ‎【分析】（Ⅰ）由题意知本题是一个古典概型试验发生包含的事件先后2次抛掷一枚骰子，将得到的点数分别记为a，b，事件总数为6×6‎ ‎，满足条件的事件是函数F（x）有且只有一个零点，列举出所有的结果，根据古典概型概率公式得到结果．‎ ‎（II）在第一问的基础上列举出所有满足条件的事件数，根据古典概型概率公式得到结果．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）由题意知本题是一个古典概型 试验发生包含的事件先后2次抛掷一枚骰子，将得到的点数分别记为a，b，事件总数为6×6=36．‎ ‎∵函数F（x）有且只有一个零点 ‎∴函数f（x）=|x﹣a|与函数g（x）=x﹣b有且只有一个交点 ‎∴b＜a，且a，b∈1，2，3，4，5，6‎ ‎∴满足条件的情况有a=2，b=1；a=3，b=1，2；a=4，b=1，2，3；‎ a=5，b=1，2，3，4；a=6，b=1，2，3，4，5．‎ 共1+2+3+4+5=15种情况．‎ ‎∴函数F（x）有且只有一个零点的概率是 ‎（Ⅱ）先后2次抛掷一枚骰子，将得到的点数分别记为a，b，事件总数为6×6=36．‎ ‎∵三角形的一边长为5∴当a=1时，b=5，（1，5，5），1种；‎ 当a=2时，b=5，（2，5，5），1种；当a=3时，b=3，5，（3，3，5），（3，5，5），2种；‎ 当a=4时，b=4，5，（4，4，5），（4，5，5），2种；‎ 当a=5，b=1，2，3，4，5，6，（5，1，5），（5，2，5），（5，3，5），‎ ‎（5，4，5），（5，5，5），（5，6，5），6种；‎ 当a=6，b=5，6，（6，5，5），（6，6，5），2种 故满足条件的不同情况共有14种 即三条线段能围成不同的等腰三角形的概率为．‎ ‎【点评】本题考查古典概型，实际上本题是一个典型的古典概型问题，本题可以列举出试验发生包含的事件和满足条件的事件，应用列举法来解题是这一部分的精髓．‎ ‎　‎