2012全国高考文科导数大题官方解答 7页

‎2012--2017全国卷高考真题导数大题 ‎1．（2012新课标全国卷1文21，本小题满分12分）‎ 设函数．‎ ‎（Ⅰ）求的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）若，为整数，且当时，，求的最大值．‎ 解：（Ⅰ）定义域为，，‎ 若，则，所以在单调递增；‎ 若，则当时，；当时，，‎ 所以在，单调递减，在单调递增；‎ ‎（Ⅱ）由于，所以，‎ 故当时，等价于，①‎ 令，则，‎ 由（Ⅰ）知，函数在单调递增，而，，‎ 所以在存在唯一零点，故在存在唯一零点，‎ 设此零点为，则，‎ 当时，；当时，，‎ 所以在的最小值是，‎ 又，可得，所以，‎ 由于①等价于，故整数的最大值为．‎ ‎2．（2013新课标全国卷1文21，本小题满分12分）‎ 已知函数，曲线在点处切线方程为 ‎．‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）讨论的单调性，并求的极大值．‎ 解：（Ⅰ），‎ 由此得，，故，‎ 从而，；‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，‎ 令得，或，‎ 从而当时，；当时，，‎ 故在，单调递增，在单调递减，‎ 当时，函数取得极大值，极大值是．‎ ‎3．（2013新课标Ⅱ卷文21，本小题满分12分）‎ 己知函数．‎ ‎（Ⅰ）求的极小值和极大值；‎ ‎（Ⅱ）当曲线的切线的斜率为负数时，求在轴上截距的取值范围．‎ 解：（Ⅰ）定义域是，，①‎ 当或时，；当时，，‎ 所以故在，单调递减，在单调递增，‎ 故当时，取得极小值，极小值是，‎ 当时，取得极大值，极大值是，‎ ‎（Ⅱ）设切点是，则的方程是，‎ 所以在轴上截距是，‎ 由已知和①得，，‎ 令，则当时，的取值范围为，‎ 当时，的取值范围为，‎ 所以时，的取值范围为，‎ 综上，在轴上截距的取值范围．‎ ‎4．（2014新课标全国卷1文21，本小题满分12分）‎ 设函数，曲线在点处的切线斜率为．‎ ‎（Ⅰ）求；‎ ‎（Ⅱ）若存在，使得，求的取值范围．‎ 解：（Ⅰ），由题设知，解得． ‎ ‎（Ⅱ）的定义域为，由（Ⅰ）知，，‎ ‎（Ⅰ）若，则，当时，，在单调递增，‎ 所以，存在，使得的充要条件为，‎ 即，解得．‎ ‎（Ⅱ）若，则，故当时，；‎ 当时，，在单调递减，在单调递增．‎ 所以，存在，使得的充要条件为，‎ 而，所以不合题意．‎ ‎（ⅡⅠ）若，则．‎ 综上，的取值范围是．‎ ‎5．（2014新课标Ⅱ卷文21，本小题满分12分）‎ 已知函数，曲线在点处的切线与轴交点的横坐标为．‎ ‎（Ⅰ）求；‎ ‎（Ⅱ）证明：当时，曲线与直线只有一个交点．‎ 解：（Ⅰ），，‎ 曲线在点处的切线方程为 由题设，所以．‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，故 ‎ 设，‎ 由题设知，‎ 当时，，单调递增，‎ ‎，，所以在有唯一实根，‎ 当时，因为，所以，‎ 令，，‎ 在单调递减，在单调递增，‎ 所以，‎ 所以在没有实根，‎ 综上在有唯一实根，即曲线与直线只有一个交点．‎ ‎6. （2015新课标全国卷1文21，本小题满分12分）设函数.‎ ‎（1）讨论的导函数的零点的个数；‎ ‎（2）证明：当时.‎ 解：（I）的定义域为，.‎ 当时,，没有零点；‎ 当时，因为单调递增，单调递增，所以在单调递增.又,当b满足且时，,故当时，存在唯一零点.‎ ‎（II）由（I），可设在的唯一零点为，当时，;‎ 当时，.‎ 故在单调递减，在单调递增，所以当时，取得最小值，最小值为.‎ 由于，所以.‎ 故当时，.‎ 考点：常见函数导数及导数运算法则；函数的零点；利用导数研究函数图像与性质；利用导数证明不等式；运算求解能力.‎ ‎7. （2016新课标全国卷1文21，本小题满分12分）已知函数.‎ ‎(I)讨论的单调性； (II)若有两个零点，求的取值范围.‎ ‎【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）‎ 解：（Ⅰ）‎ ‎（i）设，则当时，；当时，.‎ 所以在单调递减，在单调递增.‎ ‎（ii）设，由得x=1或x=ln（-2a）.‎ ①若，则，所以在单调递增.‎ ‎②若，则ln（-2a）＜1,故当时，；‎ 当时，，所以在单调递增，在单调递减.‎ ‎③若，则，故当时，，当时，，所以在单调递增，在单调递减.‎ ‎（Ⅱ）（i）设，则由（I）知，在单调递减，在单调递增.‎ 又，取b满足b＜0且，‎ 则，所以有两个零点.‎ ‎（ii）设a=0，则所以有一个零点.‎ ‎（iii）设a＜0，若，则由（I）知，在单调递增.‎ 又当时，＜0，故不存在两个零点；若，则由（I）知，在单调递减，在单调递增.又当时＜0，故不存在两个零点.‎ 综上，a的取值范围为.‎ ‎8. （2017新课标全国卷1文21，本小题满分12分）已知函数=ex(ex﹣a)﹣a2x．‎ ‎（1）讨论的单调性；‎ ‎（2）若，求a的取值范围．‎ 解：（12分）（1）函数的定义域为，，‎ ‎①若，则，在单调递增.‎ ‎②若，则由得.‎ 当时，；当时，，所以在单调递减，在单调递增.‎ ‎③若，则由得.‎ 当时，；当时，，故在单调递减，在单调递增.‎ ‎（2）①若，则，所以.‎ ‎②若，则由（1）得，当时，取得最小值，最小值为.从而当且仅当，即时，.‎ ‎③若，则由（1）得，当时，取得最小值，最小值为.从而当且仅当，即时.‎ 综上，的取值范围为.‎