2015年高考湖南理科数学试题及答案(详解纯word版) 10页

‎2015年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）‎ 数 学（理科）‎ 本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，时量120分钟，满分150分 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1. 已知(是虚数单位)，则复数z=‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎2. 设A、B是两个集合，则“”是“”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 ‎ C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎3. 执行如图所示的程序框图，如果输入的，则输出的S＝ ‎ A. B. ‎ ‎ C. D. ‎ ‎4. 若变量x, y满足约束条件，则的最小值为 A. B. ‎ ‎ C. 1 D. 2‎ ‎5. 设函数，则是 A. 奇函数，且在是增函数 B. 奇函数，且在是减函数 ‎ C. 偶函数，且在是增函数 D. 偶函数，且在是减函数 ‎6. 已知的展开式中含的项的系数为30，则 A. B. C. 6 D. ‎ ‎7. 在如图2所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分（曲线C为正态分布的密度曲线）的点的个数的估计值为 A. 2386 B. 2718 ‎ C. 3413 D. 4772‎ ‎ 附：若，则 ‎,‎ ‎.‎ ‎8. 已知点A, B, C在圆上运动，且 . 若点P的坐标为, 则 的最大值为 A. 6 B. 7 C. 8 D. 9‎ ‎9. 将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，若对满足的，，有，则 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎10. 某工件的三视图如图所示，现将该工件通过切削，加工成体积尽可能大的长方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为（材料的利用率）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.‎ ‎11. __________.‎ ‎12. 在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩（单位：分钟）茎叶图如图所示 若将运动员按成绩由好到差编为1－35号，再用系统抽样的方法从中抽取7人，则其中成绩在区间上的运动员的人数是_________.‎ ‎13. 设F是双曲线C的一个焦点，若C上存在点P，使线段PF的中点恰为其虚轴的一个端点，则C的离心率为________.‎ ‎14.设为等比数列的前n项和，若，且成等差数列，则___________.‎ ‎15. 已知函数 若存在实数b，使函数有两个零点，则a的取值范围是___________.‎ 三、解答题：本大题共6小题，共75分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎16. (本小题满分12分)‎ ‎ 本小题有Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ 三个选做题，请考生任选两题作答，并将解答过程写在答题纸中相应题号的答题区域内，如果全做，则按所做的前两题计分.‎ ‎ Ⅰ.（本小题满分6分）选修4－1 几何证明选讲 ‎ 如图，在⊙O中，相交于点E的两弦AB，CD的中点分别是M，N，直线MO与直线CD相交于点F，证明：‎ ‎ （）；‎ ‎ （）.‎ Ⅱ.（本小题满分6分）选修4－4 坐标系与参数方程 ‎ 已知直线（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为.‎ ‎（）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；‎ ‎（）设点M的直角坐标为，直线与曲线C的交点为A，B，求的值.‎ Ⅲ.（本小题满分6分）选修4－5 不等式选讲 ‎ 设，且，证明：‎ ‎（） ；‎ ‎（）与不可能同时成立.‎ ‎17. (本小题满分12分)‎ ‎ 设的内角的对边分别为，，且B为钝角.‎ ‎ (Ⅰ) 证明：；‎ ‎(Ⅱ) 求的取值范围.‎ ‎18. (本小题满分12分)‎ ‎ 某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖. 每次抽奖都是从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球. 在摸出的2球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖.‎ ‎ (Ⅰ) 求顾客抽奖1次能获奖的概率；‎ ‎(Ⅱ) 若某顾客有3次抽奖的机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为，求的分布列和数学期望.‎ ‎19. (本小题满分13分)‎ ‎ 如图，在四棱台的上、下底面分别是边长为3和6的正方形，，且底面，点P，Q分别在棱，上.‎ ‎(Ⅰ) 若点P是的中点，证明：；‎ ‎(Ⅱ) 若平面，二面角的余弦值为，求四面体的体积.‎ ‎20. (本小题满分13分)‎ 已知抛物线的焦点F也是椭圆的一个焦点，与的公共弦长为.‎ ‎(Ⅰ) 求的方程；‎ ‎(Ⅱ) 过点F的直线与相交于A，B两点，与相交于C，D两点，且与同向.‎ ‎（） 若，求直线的斜率；‎ ‎（）设在点A处的切线与x轴的交点为M，证明：直线绕点F旋转时，总是钝角三角形.‎ ‎21. (本小题满分13分)‎ 已知，函数，记为的从小到大的第n个极值点. 证明:‎ ‎(Ⅰ) 数列是等比数列；‎ ‎(Ⅱ) 若，则对一切，恒成立.‎ ‎2015年高考湖南卷理科数学参考答案 一、选择题 ‎ D C B A A D C B D A 二、填空题 ‎ 11. 0 12. 4 13. 14. 15. ‎ 三、解答题 ‎16. Ⅰ. 证明：()如图，因为M，N分别是两弦AB，CD的中点，所以, ，即 ，因此，又四边形的内角和等于，故.‎ ‎ () 由（）知， O，M，E，N四点共圆，故由割线定理即得.‎ Ⅱ.解： ()等价于 ，将 ，代入上式即得曲线C的直角坐标方程是 ‎.‎ ‎() 将代入得.设这个方程的 两个实根分别为，则由参数t的几何意义知＝‎ Ⅲ.证明： 由，得 ‎ ‎（）由基本不等式及，有，即.‎ ‎() 设与可同时成立，则由及可得，同理 ，从而这与相矛盾，故与不可能同时成立.‎ ‎17. 解：（Ⅰ）由及正弦定理，得，所以，即. 又B为钝角，，故，即.‎ ‎(Ⅱ) 由（Ⅰ）知 , 所以. 于是 ‎ ‎ ‎ 因为，所以 ，因此.‎ 由此可得的取值范围是.‎ ‎18. 解：（Ⅰ）记事件={从甲箱中摸出的一个球是红球}，={从乙箱中摸出的一个球是红球}，＝{顾客抽奖一次获一等奖}，＝{顾客抽奖一次获二等奖}，C＝{顾客抽奖一次能获奖}.‎ ‎ 由题意与相互独立，与互斥，与互斥，且 ，‎ ‎=+，. 又因为，，所以 ‎，‎ ‎ ‎ ‎ ,‎ ‎ 故所求概率为.‎ ‎ (Ⅱ) 顾客抽奖3次可视为3次独立重复实验，由（Ⅰ）知，顾客抽奖1次获一等奖的概率为，所以，于是 ‎ 由此求得X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎ X的数学期望为.‎ ‎19. 解法一： （Ⅰ）如图，取的中点R，连结,‎ 因为,是梯形的两腰，点P是的中点，所以，于是由知，，所以四点共面. 由题设知 ，，,所以 平面, 平面，因此 .‎ ‎ 因为,所以，因此 ‎, 于是 , 又已证得，所以平面,显然有平面, 故 .‎ ‎(Ⅱ) 如下图，过点P作交AD于点M，则平面，‎ 因为底面，所以底面，过点M作于点N，连结PN，则，是二面角的平面角. 所以 ，即 ，‎ 从而. 连结MQ，由平面及平面知，平面平面，所以，又ABCD是正方形，所以ABQM是矩形，故MQ=AB=6. 设MD＝t，则 过点作交AD于点E，则是矩形，所以 ，，因此 . 于是 , 所以，从而，解得，所以.‎ 故四面体ADPQ的体积 .‎ ‎ 解法二：由题设知G两两垂直，以A为坐标原点，AB，AD，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，如图，则相关各点的坐标为，，，, ，其中，.‎ ‎(Ⅰ) 若点P是的中点，则，，又，于是, 所以，即. ‎ ‎(Ⅱ) 由题设知，, 是平面PQD内两个不共线的向量，设是平面PQD的一个法向量，则 即 ‎ 取，得. 又平面AQD的一个法向量是，所以 ‎ ‎，而二面角的余弦值为，所以，解得m=4或m=8(舍去)，此时. 再设，而，由此得到，. 因为平面，且平面 的一个法向量是，所以 ，，从而.‎ 于是，将四面体视为为底面的三棱锥，其高，‎ 故四面体ADPQ的体积 .‎ ‎20. 解：(Ⅰ) 由知其焦点F的坐标为（0，1），因为F也是椭圆的一个焦点，所以 （1）‎ 又与的公共弦长为，与都关于y轴对称，且的方程为，由此易知与的公共点坐标为，所以 （2）‎ ‎ 联立（1）（2）得，故的方程为.‎ ‎ (Ⅱ) 如图，设，，，. ‎ ‎ ()因与同向，且 ，所以 ，从而 ，即 ‎，于是 ‎. （3）‎ 设直线的斜率为，则的方程为.‎ ‎ 由 得，而是这个方程的两根，所以 （4）‎ ‎ 由 得，而是这个方程的两根，所以 （5）‎ 将(4)(5)代入(3)得 ，即，‎ 所以 ，解得 ，即直线的斜率为.‎ ‎()由 得 ，所以在点A处的切线方程为，即，令得，即，所以，而 ‎，于是，因此总是锐角，从而是钝角. 故直线绕点F旋转时，总是钝角三角形.‎ ‎21. 解：(Ⅰ) ‎ ‎，其中，.‎ 令 ，由得 ，即. ‎ ‎ 对，若，即，则;若，即，则. ‎ 因此，在区间与上，的符号总相反，于是，当时，取得极值，所以. 此时，，易知，且 ‎ 是常数，故数列是首项为，公比为的等比数列.‎ ‎ (Ⅱ) 由(Ⅰ)知，，于是对一切，恒成立，即 恒成立，等价于 （*）恒成立（因为a>0）.‎ ‎ 设，则得，当时，，所以在上单调递减；当时，，所以在上单调递增.从而当时，函数取得最小值. 因此，要使（*）式恒成立，只需，即只需. 而当时，由且由知，. 于是，‎ 且当时，，因此，对一切，，所以，故（*）式也恒成立.‎ 综上所述，若，则对一切，恒成立.‎