高考数学试题分项版—解析几何解析版 28页

‎2017年高考数学试题分项版—解析几何（解析版）‎ 一、选择题 ‎1．(2017·全国Ⅰ文，5)已知F是双曲线C：x2－＝1的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是(1,3)，则△APF的面积为(　　)‎ A． B． C． D． ‎1．【答案】D ‎【解析】因为F是双曲线C：x2－＝1的右焦点，所以F(2,0)．‎ 因为PF⊥x轴，所以可设P的坐标为(2，yP)．‎ 因为P是C上一点，所以4－＝1，解得yP＝±3，‎ 所以P(2，±3)，|PF|＝3.‎ 又因为A(1,3)，所以点A到直线PF的距离为1，‎ 所以S△APF＝×|PF|×1＝×3×1＝.‎ 故选D.‎ ‎2．(2017·全国Ⅰ文，12)设A，B是椭圆C：＋＝1长轴的两个端点．若C上存在点M满足∠AMB＝120°，则m的取值范围是(　　)‎ A．(0,1]∪[9，＋∞) B．(0，]∪[9，＋∞)‎ C．(0,1]∪[4，＋∞) D．(0，]∪[4，＋∞)‎ ‎2．【答案】A ‎【解析】方法一　设焦点在x轴上，点M(x，y)．‎ 过点M作x轴的垂线，交x轴于点N，‎ 则N(x,0)．‎ 故tan∠AMB＝tan(∠AMN＋∠BMN)‎ ‎＝＝.‎ 又tan∠AMB＝tan 120°＝－，‎ 且由＋＝1，可得x2＝3－，‎ 则＝＝－.‎ 解得|y|＝.‎ 又0＜|y|≤，即0＜≤，结合0＜m＜3解得0＜m≤1.‎ 对于焦点在y轴上的情况，同理亦可得m≥9.‎ 则m的取值范围是(0,1]∪[9，＋∞)．‎ 故选A.‎ 方法二　当0＜m＜3时，焦点在x轴上，‎ 要使C上存在点M满足∠AMB＝120°，‎ 则≥tan 60°＝，即≥，‎ 解得0＜m≤1.‎ 当m＞3时，焦点在y轴上，‎ 要使C上存在点M满足∠AMB＝120°，‎ 则≥tan 60°＝，即≥，解得m≥9.‎ 故m的取值范围为(0,1]∪[9，＋∞)．‎ 故选A.‎ ‎3．(2017·全国Ⅱ文，5)若a>1，则双曲线－y2＝1的离心率的取值范围是(　　)‎ A．(，＋∞) B．(，2)‎ C．(1，) D．(1,2)‎ ‎3．【答案】C ‎【解析】由题意得双曲线的离心率e＝.‎ ‎∴e2＝＝1＋.‎ ‎∵a＞1，∴0＜＜1，∴1＜1＋＜2，‎ ‎∴1＜e＜.‎ 故选C.‎ ‎4．(2017·全国Ⅱ文，12)过抛物线C：y2＝4x的焦点F，且斜率为的直线交C于点M(M在x轴上方)，l为C的准线，点N在l上且MN⊥l，则M到直线NF的距离为(　　) ‎ A. B．2 C．2 D．3 ‎4．【答案】C ‎【解析】抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，准线方程为x＝－1.由直线方程的点斜式可得直线MF的方程为y＝(x－1)．‎ 联立得方程组 解得或 ‎∵点M在x轴的上方，‎ ‎∴M(3,2)．‎ ‎∵MN⊥l，‎ ‎∴N(－1,2)．‎ ‎∴|NF|＝＝4，‎ ‎|MF|＝|MN|＝3－(－1)＝4.‎ ‎∴△MNF是边长为4的等边三角形．‎ ‎∴点M到直线NF的距离为2.‎ 故选C.‎ ‎5．(2017·全国Ⅲ文，11)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bx－ay＋2ab＝0相切，则椭圆C的离心率为(　　)‎ A． B． C． D． ‎5．【答案】A ‎【解析】由题意知以A1A2为直径的圆的圆心坐标为(0,0)，半径为a.‎ 又直线bx－ay＋2ab＝0与圆相切，‎ ‎∴圆心到直线的距离d＝＝a，解得a＝b，‎ ‎∴＝，‎ ‎∴e＝＝＝ ＝ ＝.‎ ‎6．(2017·天津文，5)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，点A在双曲线的渐近线上，‎ ‎△OAF是边长为2的等边三角形(O为原点)，则双曲线的方程为(　　)‎ A．－＝1 B．－＝1‎ C．－y2＝1 D．x2－＝1‎ ‎6．【答案】D ‎【解析】根据题意画出草图如图所示.‎ 由△AOF是边长为2的等边三角形得到∠AOF＝60°，c＝|OF|＝2.‎ 又点A在双曲线的渐近线y＝x上，∴＝tan 60°＝.‎ 又a2＋b2＝4，∴a＝1，b＝，‎ ‎∴双曲线的方程为x2－＝1.‎ 故选D.‎ ‎7．(2017·浙江，2)椭圆＋＝1的离心率是(　　)‎ A． B． C． D． ‎7．【答案】B ‎【解析】∵椭圆方程为＋＝1，‎ ‎∴a＝3，c＝＝＝.‎ ‎∴e＝＝.‎ 故选B.‎ ‎8．(2017·全国Ⅰ理，10)已知F为抛物线C：y2＝4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A，B两点，直线l2与C交于D，E两点，则|AB|＋|DE|的最小值为(　　)‎ A．16 B．14 C．12 D．10‎ ‎8．【答案】A ‎【解析】因为F为y2＝4x的焦点，所以F(1,0)．‎ 由题意知直线l1，l2的斜率均存在，且不为0，设l1的斜率为k，则l2的斜率为－，故直线l1，l2的方程分别为y＝k(x－1)，y＝－(x－1)．‎ 由得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0.‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝1，‎ 所以|AB|＝·|x1－x2|‎ ‎＝· ‎＝· ‎＝.‎ 同理可得|DE|＝4(1＋k2)．‎ 所以|AB|＋|DE|＝＋4(1＋k2)‎ ‎＝4 ‎＝8＋4≥8＋4×2＝16，‎ 当且仅当k2＝，即k＝±1时，取得等号．‎ 故选A.‎ ‎9．(2017·全国Ⅱ理，9)若双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线被圆(x－2)2＋y2＝4所截得的弦长为2，则C的离心率为(　　)‎ A．2 B． ‎ C． D． ‎9．【答案】A ‎【解析】设双曲线的一条渐近线方程为y＝x，‎ 圆的圆心为(2,0)，半径为2，‎ 由弦长为2得出圆心到渐近线的距离为＝.‎ 根据点到直线的距离公式，得＝，解得b2＝3a2.‎ 所以C的离心率e＝＝＝＝2.‎ 故选A.‎ ‎10．(2017·全国Ⅲ理，5)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程为y＝x，且与椭圆＋＝1有公共焦点，则C的方程为(　　)‎ A．－＝1 B．－＝1‎ C．－＝1 D．－＝1‎ ‎10．【答案】B ‎【解析】由y＝x，可得＝.①‎ 由椭圆＋＝1的焦点为(3,0)，(－3,0)，‎ 可得a2＋b2＝9.②‎ 由①②可得a2＝4，b2＝5.‎ 所以C的方程为－＝1.‎ 故选B.‎ ‎11．(2017·全国Ⅲ理，10)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bx－ay＋2ab＝0相切，则C的离心率为(　　)‎ A． B． C． D． ‎11．【答案】A ‎【解析】由题意知，以A1A2为直径的圆的圆心为(0,0)，半径为a.又直线bx－ay＋2ab＝0与圆相切，‎ ‎∴圆心到直线的距离d＝＝a，解得a＝b，‎ ‎∴＝，‎ ‎∴e＝＝＝＝＝.‎ 故选A.‎ ‎12．(2017·天津理，5)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左焦点为F，离心率为.若经过F和P(0,4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为(　　)‎ A．－＝1 B．－＝1‎ C．－＝1 D．－＝1‎ ‎12．【答案】B ‎【解析】由题意可得＝，即c＝a.‎ 又左焦点F(－c,0)，P(0,4)，‎ 则直线PF的方程为＝，化简即得y＝x＋4.‎ 结合已知条件和图象易知直线PF与y＝x平行，则＝，即4a＝bc.‎ 由解得 故双曲线方程为－＝1.‎ 故选B.‎ 二、填空题 ‎1．(2017·全国Ⅲ文，14)双曲线－＝1(a>0)的一条渐近线方程为y＝x，则a＝________.‎ ‎1．【答案】5‎ ‎【解析】∵双曲线的标准方程为－＝1(a＞0)，‎ ‎∴双曲线的渐近线方程为y＝±x.‎ 又双曲线的一条渐近线方程为y＝x，∴a＝5.‎ ‎2．(2017·北京文，10)若双曲线x2－＝1的离心率为，则实数m＝________.‎ ‎2．【答案】2‎ ‎【解析】由双曲线的标准方程知a＝1，b2＝m，c＝，‎ 故双曲线的离心率e＝＝＝，‎ ‎∴1＋m＝3，∴m＝2.‎ ‎3.(2017·北京文，12)已知点P在圆x2＋y2＝1上，点A的坐标为(－2,0)，O为原点，则·的最大值为________．‎ ‎3．【答案】6‎ ‎【解析】方法一　根据题意作出图象，如图所示，A(－2,0)，P(x，y)．‎ 由点P向x轴作垂线交x轴于点Q，则点Q的坐标为(x,0)．‎ ·＝||·||cos θ，‎ ‎||＝2，||＝，‎ cos θ＝＝，‎ 所以·＝2(x＋2)＝2x＋4.‎ 点P在圆x2＋y2＝1上，所以x∈[－1,1]．‎ 所以·的最大值为2＋4＝6.‎ 方法二　如图所示，因为点P在圆x2＋y2＝1上，‎ 所以可设P(cos α，sin α)(0≤α＜2π)，‎ 所以＝(2,0)，＝(cos α＋2，sin α)，‎ ·＝2cos α＋4≤2＋4＝6，‎ 当且仅当cos α＝1，即α＝0，P(1,0)时“＝”号成立．‎ ‎4．(2017·天津文，12)设抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l.已知点C在l上，以C为圆心的圆与y轴的正半轴相切于点A.若∠FAC＝120°，则圆的方程为________．‎ ‎4．【答案】(x＋1)2＋(y－)2＝1‎ ‎【解析】由y2＝4x可得点F的坐标为(1,0)，准线l的方程为x＝－1.‎ 由圆心C在l上，且圆C与y轴正半轴相切(如图)，可得点C的横坐标为－1，圆的半径为1，∠CAO＝90°.又因为∠FAC＝120°，‎ 所以∠OAF＝30°，所以|OA|＝，‎ 所以点C的纵坐标为.‎ 所以圆的方程为(x＋1)2＋(y－)2＝1.‎ ‎5.(2017·山东文，15)在平面直角坐标系xOy中，双曲线－＝1(a>0，b>0)的右支与焦点为F的抛物线x2＝2py(p>0)交于A，B两点，若|AF|＋|BF|＝4|OF|，则该双曲线的渐近线方程为________．‎ ‎5．【答案】y＝±x ‎【解析】设A(x1，y1)，B(x2，y2)．‎ 由得a2y2－2pb2y＋a2b2＝0，‎ ‎∴y1＋y2＝.‎ 又∵|AF|＋|BF|＝4|OF|，‎ ‎∴y1＋＋y2＋＝4×，∴y1＋y2＝p，‎ ‎∴＝p，即＝，∴＝，‎ ‎∴双曲线的渐近线方程为y＝±x.‎ ‎6.(2017·江苏，8)在平面直角坐标系xOy中，双曲线－y2＝1的右准线与它的两条渐近线分别交于点P，Q，其焦点是F1，F2，则四边形F1PF2Q的面积是________．‎ ‎6．【答案】2 ‎【解析】如图所示，双曲线－y2＝1的焦点为F1(－2,0)，F2(2,0)，所以|F1F2|＝4.‎ 双曲线－y2＝1的右准线方程为x＝＝，‎ 渐近线方程为y＝±x.‎ 由得P.‎ 同理可得Q.‎ ‎∴|PQ|＝，‎ ‎∴S四边形＝·|F1F2|·|PQ|＝×4×＝2.‎ ‎7．(2017·江苏，13)在平面直角坐标系xOy中，A(－12,0)，B(0,6)，点P在圆O：x2＋y2＝50上，若·≤20，则点P的横坐标的取值范围是________．‎ ‎7．【答案】[－5，1]‎ ‎【解析】方法一　因为点P在圆O：x2＋y2＝50上，‎ 所以设P点坐标为(x，±)(－5≤x≤5)．‎ 因为A(－12,0)，B(0,6)，‎ 所以＝(－12－x，－)或＝(－12－x，)，‎ ＝(－x,6－)或＝(－x,6＋)．‎ 因为·≤20，先取P(x，)进行计算，‎ 所以(－12－x)·(－x)＋(－)(6－)≤20，‎ 即2x＋5≤.当2x＋5＜0，即x＜－时，上式恒成立．‎ 当2x＋5≥0，即x≥－时，(2x＋5)2≤50－x2，‎ 解得－≤x≤1，故x≤1.‎ 同理可得P(x，－)时，x≤－5.‎ 又－5≤x≤5，所以－5≤x≤1.‎ 故点P的横坐标的取值范围为[－5，1]．‎ 方法二　设P(x，y)，‎ 则＝(－12－x，－y)，＝(－x,6－y)．‎ ‎∵·≤20，‎ ‎∴(－12－x)·(－x)＋(－y)·(6－y)≤20，‎ 即2x－y＋5≤0.‎ 如图，作圆O：x2＋y2＝50，直线2x－y＋5＝0与⊙O交于E，F两点，‎ ‎∵P在圆O上且满足2x－y＋5≤0，‎ ‎∴点P在上．‎ 由得F点的横坐标为1，‎ 又D点的横坐标为－5，‎ ‎∴P点的横坐标的取值范围为[－5，1]．‎ ‎8．(2017·全国Ⅰ理，15)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M，N两点．若∠MAN＝60°，则C的离心率为________．‎ ‎8．【答案】 ‎【解析】如图，由题意知点A(a,0)，双曲线的一条渐近线l的方程为y＝x，即bx－ay＝0，‎ ‎∴点A到l的距离d＝.‎ 又∠MAN＝60°，MA＝NA＝b，‎ ‎∴△MAN为等边三角形，‎ ‎∴d＝MA＝b，即＝b，∴a2＝3b2，‎ ‎∴e＝＝ ＝.‎ ‎9．(2017·全国Ⅱ理，16)已知F是抛物线C：y2＝8x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点，则|FN|＝________.‎ ‎9．【答案】6‎ ‎【解析】如图，不妨设点M位于第一象限内，抛物线C的准线交x轴于点A，过点M作准线的垂线，垂足为点B，交y轴于点P，∴PM∥OF. ‎ 由题意知，F(2,0)，|FO|＝|AO|＝2.‎ ‎∵点M为FN的中点，PM∥OF，‎ ‎∴|MP|＝|FO|＝1.‎ 又|BP|＝|AO|＝2，‎ ‎∴|MB|＝|MP|＋|BP|＝3.‎ 由抛物线的定义知|MF|＝|MB|＝3，故|FN|＝2|MF|＝6.‎ ‎10．(2017·北京理，9)若双曲线x2－＝1的离心率为，则实数m＝________.‎ ‎10．【答案】2‎ ‎【解析】由双曲线的标准方程知a＝1，b2＝m，c＝，‎ 故双曲线的离心率e＝＝＝，‎ ‎∴1＋m＝3，解得m＝2.‎ ‎11．(2017·北京理，14)三名工人加工同一种零件，他们在一天中的工作情况如图所示，其中点Ai的横、纵坐标分别为第i名工人上午的工作时间和加工的零件数，点Bi的横、纵坐标分别为第i名工人下午的工作时间和加工的零件数，i＝1,2,3.‎ ‎①记Qi为第i名工人在这一天中加工的零件总数，则Q1，Q2，Q3中最大的是________．‎ ‎②记pi为第i名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则p1，p2，p3中最大的是________．‎ ‎11．【答案】Q1　p2‎ ‎【解析】设A1(xA1，yA1)，B1(xB1，yB1)，线段A1B1的中点为E1(x1，y1)，则Q1＝yA1＋yB1＝2y1.‎ 因此，要比较Q1，Q2，Q3的大小，只需比较线段A1B1，A2B2，A3B3中点纵坐标的大小，作图比较知Q1最大．‎ 又p1＝＝＝＝，其几何意义为线段A1B1的中点E1与坐标原点连线的斜率，‎ 因此，要比较p1，p2，p3的大小，只需比较线段A1B1，A2B2，A3B3中点与坐标原点连线的斜率，作图比较知p2最大．‎ ‎12．(2017·山东理，14)在平面直角坐标系xOy中，双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的右支与焦点为F的抛物线x2＝2py(p＞0)交于A，B两点，若|AF|＋|BF|＝4|OF|，则该双曲线的渐近线方程为________．‎ ‎12．【答案】y＝±x ‎【解析】设A(x1，y1)，B(x2，y2)，‎ 由得a2y2－2pb2y＋a2b2＝0，‎ ‎∴y1＋y2＝.‎ 又∵|AF|＋|BF|＝4|OF|，‎ ‎∴y1＋＋y2＋＝4×，即y1＋y2＝p，‎ ‎∴＝p，即＝，∴＝，‎ ‎∴双曲线的渐近线方程为y＝±x.‎ 三、解答题 ‎1．(2017·全国Ⅰ文，20)设A，B为曲线C：y＝上两点，A与B的横坐标之和为4.‎ ‎(1)求直线AB的斜率；‎ ‎(2)设M为曲线C上一点，C在M处的切线与直线AB平行，且AM⊥BM，求直线AB的方程．‎ ‎1．解　(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，‎ 则x1≠x2，y1＝，y2＝，x1＋x2＝4，‎ 于是直线AB的斜率k＝＝＝1.‎ ‎(2)由y＝，得y′＝.‎ 设M(x3，y3)，由题设知＝1，解得x3＝2，于是M(2,1)．‎ 设直线AB的方程为y＝x＋m，‎ 故线段AB的中点为N(2,2＋m)，|MN|＝|m＋1|.‎ 将y＝x＋m代入y＝，得x2－4x－4m＝0.‎ 当Δ＝16(m＋1)>0，‎ 即m>－1时，x1,2＝2±2.‎ 从而|AB|＝|x1－x2|＝4.‎ 由题设知|AB|＝2|MN|，即4＝2(m＋1)，解得m＝7.‎ 所以直线AB的方程为y＝x＋7.‎ ‎2．(2017·全国Ⅱ文，20)设O为坐标原点，动点M在椭圆C：＋y2＝1上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足＝.‎ ‎(1)求点P的轨迹方程；‎ ‎(2)设点Q在直线x＝－3上，且·＝1.证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.‎ ‎2．(1)解　设P(x，y)，M(x0，y0)，则N(x0,0)，＝(x－x0，y)，＝(0，y0)．‎ 由＝ 得x0＝x，y0＝y.‎ 因为M(x0，y0)在C上，所以＋＝1.‎ 因此点P的轨迹方程为x2＋y2＝2.‎ ‎(2)证明　由题意知F(－1,0)．‎ 设Q(－3，t)，P(m，n)，则＝(－3，t)，‎ ＝(－1－m，－n)，·＝3＋3m－tn，‎ ＝(m，n)，＝(－3－m，t－n)．‎ 由·＝1，得－3m－m2＋tn－n2＝1.‎ 又由(1)知m2＋n2＝2，故3＋3m－tn＝0.‎ 所以·＝0，即⊥.‎ 又过点P存在唯一直线垂直于OQ，‎ 所以过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.‎ ‎3．(2017·全国Ⅲ文，20)在直角坐标系xOy中，曲线y＝x2＋mx－2与x轴交于A，B两点，点C的坐标为(0,1)．当m变化时，解答下列问题：‎ ‎(1)能否出现AC⊥BC的情况？说明理由；‎ ‎(2)证明过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值．‎ ‎3．(1)解　不能出现AC⊥BC的情况．理由如下：‎ 设A(x1,0)，B(x2,0)，则x1，x2满足x2＋mx－2＝0，‎ 所以x1x2＝－2.‎ 又点C的坐标为(0,1)，‎ 故AC的斜率与BC的斜率之积为·＝－，‎ 所以不能出现AC⊥BC的情况．‎ ‎(2)证明　BC的中点坐标为，可得BC的中垂线方程为y－＝x2.‎ 由(1)可得x1＋x2＝－m，‎ 所以AB的中垂线方程为x＝－.‎ 联立 又x＋mx2－2＝0，可得 所以过A，B，C三点的圆的圆心坐标为，半径r＝.‎ 故圆在y轴上截得的弦长为2 ＝3，‎ 即过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值．‎ ‎4．(2017·北京文，19)已知椭圆C的两个顶点分别为A(－2,0)，B(2,0)，焦点在x 轴上，离心率为.‎ ‎(1)求椭圆C的方程；‎ ‎(2)点D为x轴上一点，过D作x轴的垂线交椭圆C于不同的两点M，N，过D作AM的垂线交BN于点E.求证：△BDE与△BDN的面积之比为4∶5.‎ ‎4．(1)解　设椭圆C的方程为＋＝1(a＞b＞0)，‎ 由题意得解得c＝，所以b2＝a2－c2＝1，‎ 所以椭圆C的方程为＋y2＝1.‎ ‎(2)证明　设M(m，n)，则D(m,0)，N(m，－n)，‎ 由题设知m≠±2，且n≠0.‎ 直线AM的斜率kAM＝，‎ 故直线DE的斜率kDE＝－，‎ 所以直线DE的方程为y＝－(x－m)，‎ 直线BN的方程为y＝(x－2)．‎ 联立 解得点E的纵坐标yE＝－.‎ 由点M在椭圆C上，得4－m2＝4n2，所以yE＝－n.‎ 又S△BDE＝|BD|·|yE|＝|BD|·|n|，‎ S△BDN＝|BD|·|n|，‎ 所以△BDE与△BDN的面积之比为4∶5.‎ ‎5．(2017·天津文，20)已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点为F(－c,0)，右顶点为A，点E的坐标为(0，c)，△EFA的面积为.‎ ‎(1)求椭圆的离心率；‎ ‎(2)设点Q在线段AE上，|FQ|＝，延长线段FQ与椭圆交于点P，点M，N在x轴上，PM∥QN，且直线PM与直线QN间的距离为c，四边形PQNM的面积为3c.‎ ‎①求直线FP的斜率；‎ ‎②求椭圆的方程．‎ ‎5．解　(1)设椭圆的离心率为e.‎ 由已知可得(c＋a)c＝.‎ 又由b2＝a2－c2，可得2c2＋ac－a2＝0，‎ 即2e2＋e－1＝0，解得e＝－1或e＝.‎ 又因为00)，则直线FP的斜率为.‎ 由(1)知a＝2c，可得直线AE的方程为＋＝1，即x＋2y－2c＝0，与直线FP的方程联立，‎ 可解得x＝，y＝，‎ 即点Q的坐标为.‎ 由已知|FQ|＝，有2＋2＝2，整理得3m2－4m＝0，‎ 所以m＝(m＝0舍去)，即直线FP的斜率为.‎ ‎②由a＝2c，可得b＝c，‎ 故椭圆方程可以表示为＋＝1.‎ 由①得直线FP的方程为3x－4y＋3c＝0，与椭圆方程联立消去y，整理得7x2＋6cx－13c2＝0，‎ 解得x＝－(舍去)或x＝c.因此可得点P，‎ 进而可得|FP|＝ ＝，‎ 所以|PQ|＝|FP|－|FQ|＝－＝c.‎ 由已知，线段PQ的长即为PM与QN这两条平行直线间的距离，故直线PM和QN都垂直于直线FP.‎ 因为QN⊥FP，所以|QN|＝|FQ|·tan∠QFN＝×＝，所以△FQN的面积为|FQ||QN|＝.‎ 同理△FPM的面积等于.‎ 由四边形PQNM的面积为3c，得－＝3c，‎ 整理得c2＝2c，又由c>0，得c＝2.‎ 所以椭圆的方程为＋＝1.‎ ‎6．(2017·山东文，21)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，椭圆C截直线y＝1所得线段的长度为2.‎ ‎(1)求椭圆C的方程；‎ ‎(2)动直线l：y＝kx＋m(m≠0)交椭圆C于A，B两点，交y轴于点M.点N是M关于O的对称点，⊙N的半径为|NO|.设D为AB的中点，DE，DF与⊙N分别相切于点E，F，求∠EDF的最小值．‎ ‎6．解　(1)由椭圆的离心率为，得a2＝2(a2－b2)，‎ 又当y＝1时，x2＝a2－，得a2－＝2，‎ 所以a2＝4，b2＝2.‎ 因此椭圆方程为＋＝1.‎ ‎(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)．‎ 联立方程，得 得(2k2＋1)x2＋4kmx＋2m2－4＝0.‎ 由Δ>0，得m2<4k2＋2，(*)‎ 且x1＋x2＝－，‎ 因此y1＋y2＝，‎ 所以D.‎ 又N(0，－m)，‎ 所以|ND|2＝2＋2，‎ 整理得|ND|2＝.‎ 因为|NF|＝|m|，‎ 所以＝＝1＋.‎ 令t＝8k2＋3，t≥3，‎ 故2k2＋1＝.‎ 所以＝1＋＝1＋.‎ 令y＝t＋，所以y′＝1－.‎ 当t≥3时，y′>0，‎ 从而y＝t＋在[3，＋∞)上单调递增，‎ 因此t＋≥，‎ 当且仅当t＝3时等号成立，此时k＝0，‎ 所以≤1＋3＝4.‎ 由(*)得－b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，两准线之间的距离为8.点P在椭圆E上，且位于第一象限，过点F1作直线PF1的垂线l1，过点F2作直线PF2的垂线l2.‎ ‎(1)求椭圆E的标准方程；‎ ‎(2)若直线l1，l2的交点Q在椭圆E上，求点P的坐标．‎ ‎8．解　(1)设椭圆的半焦距为c.‎ 因为椭圆E的离心率为，两准线之间的距离为8，所以＝，＝8，‎ 解得a＝2，c＝1，于是b＝＝，‎ 因此椭圆E的标准方程是＋＝1.‎ ‎(2)由(1)知，F1(－1,0)，F2(1,0)．‎ 设P(x0，y0)，因为P为第一象限的点，故x0>0，y0>0.‎ 当x0＝1时，l2与l1相交于F1，与题设不符．‎ 当x0≠1时，直线PF1的斜率为，直线PF2的斜率为.‎ 因为l1⊥PF1，l2⊥PF2，‎ 所以直线l1的斜率为－，‎ 直线l2的斜率为－，‎ 从而直线l1的方程为y＝－(x＋1)，①‎ 直线l2的方程为y＝－(x－1)．②‎ 由①②，解得x＝－x0，y＝，‎ 所以Q.‎ 因为点Q在椭圆E上，由对称性，得＝±y0，‎ 即x－y＝1或x＋y＝1.‎ 又点P在椭圆E上，故＋＝1.‎ 由解得x0＝，y0＝；‎ 无解．‎ 因此点P的坐标为.‎ ‎9．(2017·全国Ⅰ理，20)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)，四点P1(1,1)，P2(0,1)，P3，P4中恰有三点在椭圆C上．‎ ‎(1)求C的方程；‎ ‎(2)设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点．若直线P2A与直线P2B的斜率的和为－‎ ‎1，证明：l过定点．‎ ‎9．(1)解　由于P3，P4两点关于y轴对称，故由题设知椭圆C经过P3，P4两点．‎ 又由＋>＋知，椭圆C不经过点P1，‎ 所以点P2在椭圆C上．‎ 因此解得 故椭圆C的方程为＋y2＝1.‎ ‎(2)证明　设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1，k2.‎ 如果l与x轴垂直，设l：x＝t，由题设知t≠0，且|t|<2，可得A，B的坐标分别为，，则k1＋k2＝－＝－1，得t＝2，不符合题设．‎ 从而可设l：y＝kx＋m(m≠1)．‎ 将y＝kx＋m代入＋y2＝1，‎ 得(4k2＋1)x2＋8kmx＋4m2－4＝0.‎ 由题设可知Δ＝16(4k2－m2＋1)>0.‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－，x1x2＝.‎ 而k1＋k2＝＋ ‎＝＋ ‎＝.‎ 由题设k1＋k2＝－1，‎ 故(2k＋1)x1x2＋(m－1)(x1＋x2)＝0.‎ 即(2k＋1)·＋(m－1)·＝0，‎ 解得k＝－.‎ 当且仅当m>－1时，Δ>0，‎ 于是l：y＝－x＋m，‎ 即y＋1＝－(x－2)，‎ 所以l过定点(2，－1)．‎ ‎10．(2017·全国Ⅱ理，20)设O为坐标原点，动点M在椭圆C：＋y2＝1上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足＝.‎ ‎(1)求点P的轨迹方程；‎ ‎(2)设点Q在直线x＝－3上，且·＝1.证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.‎ ‎10．解　(1)设P(x，y)，M(x0，y0)，则N(x0,0)，‎ ＝(x－x0，y)，＝(0，y0)．‎ 由＝ ，得x0＝x，y0＝y，‎ 因为M(x0，y0)在C上，所以＋＝1.‎ 因此点P的轨迹方程为x2＋y2＝2.‎ ‎(2)由题意知F(－1,0)．设Q(－3，t)，P(m，n)，则 ＝(－3，t)，＝(－1－m，－n)，‎ ·＝3＋3m－tn，‎ ＝(m，n)，＝(－3－m，t－n)，‎ 由·＝1，得－3m－m2＋tn－n2＝1，‎ 又由(1)知m2＋n2＝2，故3＋3m－tn＝0，‎ 所以·＝0，即⊥，又过点P存在唯一直线垂直于OQ，所以过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.‎ ‎11．(2017·全国Ⅲ理，20)已知抛物线C：y2＝2x，过点(2,0)的直线l交C与A，B两点，圆M是以线段AB为直径的圆．‎ ‎(1)证明：坐标原点O在圆M上；‎ ‎(2)设圆M过点P(4，－2)，求直线l与圆M的方程．‎ ‎11．(1)证明　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，l：x＝my＋2.‎ 由可得y2－2my－4＝0，则y1y2＝－4.‎ 又x1＝，x2＝，故x1x2＝＝4.‎ 因此OA的斜率与OB的斜率之积为·＝＝－1，‎ 所以OA⊥OB，‎ 故坐标原点O在圆M上．‎ ‎(2)解　由(1)可得y1＋y2＝2m，‎ x1＋x2＝m(y1＋y2)＋4＝2m2＋4，‎ 故圆心M的坐标为(m2＋2，m)，‎ 圆M的半径r＝.‎ 由于圆M过点P(4，－2)，因此·＝0，‎ 故(x1－4)(x2－4)＋(y1＋2)(y2＋2)＝0，‎ 即x1x2－4(x1＋x2)＋y1y2＋2(y1＋y2)＋20＝0.‎ 由(1)可知y1y2＝－4，x1x2＝4，‎ 所以2m2－m－1＝0，解得m＝1或m＝－.‎ 当m＝1时，直线l的方程为x－y－2＝0，圆心M的坐标为(3,1)，圆M的半径为，‎ 圆M的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝10.‎ 当m＝－时，直线l的方程为2x＋y－4＝0，圆心M的坐标为，圆M的半径为，‎ 圆M的方程为2＋2＝.‎ ‎12．(2017·北京理，18)已知抛物线C：y2＝2px过点P(1,1)，过点作直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP，ON交于点A，B，其中O为原点．‎ ‎(1)求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；‎ ‎(2)求证：A为线段BM的中点．‎ ‎12．(1)解：由抛物线C∶y2＝2px过点P(1,1)，得p＝，‎ 所以抛物线C的方程为y2＝x，‎ 抛物线C的焦点坐标为，准线方程为x＝－.‎ ‎(2)证明：由题意，设直线l的方程为y＝kx＋(k≠0)，‎ l与抛物线C的交点为M(x1，y1)，N(x2，y2)．‎ 由得4k2x2＋(4k－4)x＋1＝0，则x1＋x2＝，x1x2＝.‎ 因为点P的坐标为(1,1)，所以直线OP的方程为y＝x，点A的坐标为(x1，x1)．‎ 直线ON的方程为y＝x，点B的坐标为.‎ 因为y1＋－2x1＝ ‎＝ ‎＝ ‎＝＝0，‎ 所以y1＋＝2x1，故A为线段BM的中点．‎ ‎13．(2017·天津理，19)设椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点为F，右顶点为A，离心率为.已知A是抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，F到抛物线的准线l的距离为.‎ ‎(1)求椭圆的方程和抛物线的方程；‎ ‎(2)设l上两点P，Q关于x轴对称，直线AP与椭圆相交于点B(B异于点A)，直线BQ与x轴相交于点D.若△APD的面积为，求直线AP的方程．‎ ‎13．解　(1)设点F的坐标为(－c,0)，依题意，得＝，＝a，a－c＝，解得a＝1，c＝，p＝2，‎ 于是b2＝a2－c2＝.‎ 所以，椭圆的方程为x2＋＝1，抛物线的方程为y2＝4x.‎ ‎(2)设直线AP的方程为x＝my＋1(m≠0)，与直线l的方程x＝－1联立，‎ 可得点P，‎ 故点Q.‎ 将x＝my＋1与x2＋＝1联立，消去x，‎ 整理得(3m2＋4)y2＋6my＝0，解得y＝0或y＝.‎ 由点B异于点A，可得点B，‎ 由Q，可得直线BQ的方程为 (x＋1)－＝0，‎ 令y＝0，解得x＝，‎ 故点D.‎ 所以|AD|＝1－＝.‎ 又因为△APD的面积为，‎ 故××＝，‎ 整理得3m2－2|m|＋2＝0，‎ 解得|m|＝，所以m＝±.‎ 所以，直线AP的方程为3x＋y－3＝0或3x－y－3＝0.‎ ‎14．(2017·山东理，21)在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，焦距为2.‎ ‎(1)求椭圆E的方程；‎ ‎(2)如图，动直线l：y＝k1x－交椭圆E于A，B两点，C是椭圆E上一点，直线OC的斜率为k2，且k1k2＝.M是线段OC延长线上一点，且|MC|∶|AB|＝2∶3，⊙M的半径为|MC|，OS，OT是⊙M的两条切线，切点分别为S，T.求∠SOT的最大值，并求取得最大值时直线l的斜率．‎ ‎14．解　(1)由题意知e＝＝，2c＝2，所以c＝1，‎ 所以a＝，b＝1，‎ 所以椭圆E的方程为＋y2＝1.‎ ‎(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，‎ 联立方程 得(4k＋2)x2－4k1x－1＝0.‎ 由题意知Δ＞0，‎ 且x1＋x2＝，x1x2＝－，‎ 所以|AB|＝|x1－x2|＝ .‎ 由题意可知，圆M的半径r为 r＝|AB|＝·，‎ 由题设知k1k2＝，‎ 所以k2＝，‎ 因此直线OC的方程为y＝x.‎ 联立方程 得x2＝，y2＝，‎ 因此|OC|＝＝.‎ 由题意可知，sin＝＝.‎ 而＝ ‎＝·，‎ 令t＝1＋2k，则t＞1，∈(0,1)，‎ 因此＝·＝·＝·≥1，‎ 当且仅当＝，即t＝2时等号成立，此时k1＝±，‎ 所以sin ≤，因此≤，‎ 所以∠SOT的最大值为.‎ 综上所述，∠SOT的最大值为，取得最大值时直线l的斜率为k1＝±.‎