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- 2021-05-13 发布
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学案22 简单的三角恒等变换
导学目标: 1.能推出二倍角的正弦、余弦、正切公式,并熟练应用.2.能运用两角和与差的三角公式进行简单的恒等变换.
自主梳理
1.二倍角的正弦、余弦、正切公式
(1)sin 2α=________________;
(2)cos 2α=______________=________________-1=1-________________;
(3)tan 2α=________________________ (α≠+且α≠kπ+).
2.公式的逆向变换及有关变形
(1)sin αcos α=____________________⇒cos α=;
(2)降幂公式:sin2α=________________,cos2α=________________;
升幂公式:1+cos α=________________,1-cos α=_____________;
变形:1±sin 2α=sin2α+cos2α±2sin αcos α=________________________.
自我检测
1.(2010·陕西)函数f(x)=2sin xcos x是 ( )
A.最小正周期为2π的奇函数
B.最小正周期为2π的偶函数
C.最小正周期为π的奇函数
D.最小正周期为π的偶函数
2.函数f(x)=cos 2x-2sin x的最小值和最大值分别为 ( )
A.-3,1 B.-2,2
C.-3, D.-2,
3.函数f(x)=sin xcos x的最小值是 ( )
A.-1 B.- C. D.1
4.(2011·清远月考)已知A、B为直角三角形的两个锐角,则sin A·sin B ( )
A.有最大值,最小值0
B.有最小值,无最大值
C.既无最大值也无最小值
D.有最大值,无最小值
探究点一 三角函数式的化简
例1 求函数y=7-4sin xcos x+4cos2x-4cos4x的最大值和最小值.
变式迁移1 (2011·泰安模拟)已知函数f(x)=.
(1)求f的值;
(2)当x∈时,求g(x)=f(x)+sin 2x的最大值和最小值.
探究点二 三角函数式的求值
例2 已知sin(+2α)·sin(-2α)=,α∈(,),求2sin2α+tan α--1的值.
变式迁移2 (1)已知α是第一象限角,且cos α=,求的值.
(2)已知cos(α+)=,≤α<,求cos(2α+)的值.
探究点三 三角恒等式的证明
例3 (2011·苏北四市模拟)已知sin(2α+β)=3sin β,设tan α=x,tan β=y,记y=f(x).
(1)求证:tan(α+β)=2tan α;
(2)求f(x)的解析表达式;
(3)若角α是一个三角形的最小内角,试求函数f(x)的值域.
变式迁移3 求证:
=.
转化与化归思想的应用
例 (12分)(2010·江西)已知函数f(x)=
sin2x+msinsin.
(1)当m=0时,求f(x)在区间上的取值范围;
(2)当tan α=2时,f(α)=,求m的值.
【答题模板】
解 (1)当m=0时,f(x)=sin2x
=sin2x+sin xcos x=
=,[3分]
由已知x∈,得2x-∈,[4分]
所以sin∈,[5分]
从而得f(x)的值域为.[6分]
(2)f(x)=sin2x+sin xcos x-cos 2x
=+sin 2x-cos 2x
=[sin 2x-(1+m)cos 2x]+,[8分]
由tan α=2,得sin 2α===,
cos 2α===-.[10分]
所以=+,[11分]
解得m=-2.[12分]
【突破思维障碍】
三角函数式的化简是指利用诱导公式、同角基本关系式、和与差的三角函数公式、二倍角公式等,将较复杂的三角函数式化得更简洁、更清楚地显示出式子的结果.化简三角函数式的基本要求是:(1)能求出数值的要求出数值;(2)使三角函数式的项数最少、次数最低、角与函数的种类最少;(3)分式中的分母尽量不含根式等.
1.求值中主要有三类求值问题:
(1)“给角求值”:一般所给出的角都是非特殊角,从表面来看是很难的,但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系,解题时,要利用观察得到的关系,结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解.
(2)“给值求值”:给出某些角的三角函数式的值,求另外一些角的三角函数值,解题关键在于“变角”,使其角相同或具有某种关系.
(3)“给值求角”:实质是转化为“给值求值”,关键也是变角,把所求角用含已知角的式子表示,由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角.
2.三角恒等变换的常用方法、技巧和原则:
(1)在化简求值和证明时常用如下方法:切割化弦法,升幂降幂法,和积互化法,辅助元素法,“1”的代换法等.
(2)常用的拆角、拼角技巧如:2α=(α+β)+(α-β),α=(α+β)-β,α=(α-β)+β,=+,是的二倍角等.
(3)化繁为简:变复角为单角,变不同角为同角,化非同名函数为同名函数,化高次为低次,化多项式为单项式,化无理式为有理式.
消除差异:消除已知与未知、条件与结论、左端与右端以及各项的次数、角、函数名称、结构等方面的差异.
(满分:75分)
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.(2011·平顶山月考)已知0<α<π,3sin 2α=sin α,则cos(α-π)等于 ( )
A. B.- C. D.-
2.已知tan(α+β)=,tan=,那么tan等于 ( )
A. B. C. D.
3.(2011·石家庄模拟)已知cos 2α= (其中α∈),则sin α的值为 ( )
A. B.- C. D.-
4.若f(x)=2tan x-,则f的值为 ( )
A.- B.8
C.4 D.-4
5.(2010·福建厦门外国语学校高三第二次月考)在△ABC中,若cos 2B+3cos(A+C)+2=0,则sin B的值是 ( )
A. B. C. D.1
题号
1
2
3
4
5
答案
二、填空题(每小题4分,共12分)
6.(2010·全国Ⅰ)已知α为第二象限的角,且sin α=,则tan 2α=________.
7.函数y=2cos2x+sin 2x的最小值是________.
8.若=-,则cos α+sin α的值为________.
三、解答题(共38分)
9.(12分)化简:(1)cos 20°cos 40°cos 60°cos 80°;
(2).
10.(12分)(2011·南京模拟)设函数f(x)=sin xcos x-cos xsin-.
(1)求f(x)的最小正周期;
(2)当∈时,求函数f(x)的最大值和最小值.
11.(14分)(2010·北京)已知函数f(x)=2cos 2x+sin2x-4cos x.
(1)求f()的值;
(2)求f(x)的最大值和最小值.
答案 自主梳理
1.(1)2sin αcos α (2)cos2α-sin2α 2cos2α 2sin2α
(3) 2.(1)sin 2α (2) 2cos2 2sin2 (sin α±cos α)2
自我检测
1.C 2.C 3.B 4.D
课堂活动区
例1 解题导引 化简的原则是形式简单,三角函数名称尽量少,次数尽量低,最好不含分母,能求值的尽量求值.本题要充分利用倍角公式进行降幂,利用配方变为复合函数,重视复合函数中间变量的范围是关键.
解 y=7-4sin xcos x+4cos2x-4cos4x
=7-2sin 2x+4cos2x(1-cos2x)
=7-2sin 2x+4cos2xsin2x
=7-2sin 2x+sin22x=(1-sin 2x)2+6,
由于函数z=(u-1)2+6在[-1,1]中的最大值为zmax=(-1-1)2+6=10,最小值为zmin=(1-1)2+6=6,
故当sin 2x=-1时,y取得最大值10,
当sin 2x=1时,y取得最小值6.
变式迁移1 解 (1)f(x)
=
=
===2cos 2x,
∴f=2cos=2cos =.
(2)g(x)=cos 2x+sin 2x
=sin.
∵x∈,∴2x+∈,
∴当x=时,g(x)max=,
当x=0时,g(x)min=1.
例2 解题导引 (1)这类问题一般是先化简再求值;化简后目标更明确;
(2)如果能从已知条件中求出特殊值,应转化为特殊角,可简化运算,对切函数通常化为弦函数.
解 由sin(+2α)·sin(-2α)
=sin(+2α)·cos(+2α)
=sin(+4α)=cos 4α=,
∴cos 4α=,又α∈(,),故α=,
∴2sin2α+tan α--1
=-cos 2α+
=-cos 2α+
=-cos-=.
变式迁移2 解 (1)∵α是第一象限角,cos α=,
∴sin α=.
∴=
=
===-.
(2)cos(2α+)=cos 2αcos-sin 2αsin
=(cos 2α-sin 2α),
∵≤α<π,
∴≤α+<π.
又cos(α+)=>0,
故可知π<α+<π,
∴sin(α+)=-,
从而cos 2α=sin(2α+)
=2sin(α+)cos(α+)
=2×(-)×=-.
sin 2α=-cos(2α+)
=1-2cos2(α+)
=1-2×()2=.
∴cos(2α+)=(cos 2α-sin 2α)=×(--)
=-.
例3 解题导引 本题的关键是第(1)小题的恒等式证明,对于三角恒等式的证明,我们要注意观察、分析条件恒等式与目标恒等式的异同,特别是分析已知和要求的角之间的关系,再分析函数名之间的关系,则容易找到思路.证明三角恒等式的实质就是消除等式两边的差异,有目的地化繁为简,左右归一或变更论证.对于第(2)小题同样要从角的关系入手,利用两角和的正切公式可得关系.第(3)小题则利用基本不等式求解即可.
(1)证明 由sin(2α+β)=3sin β,得sin[(α+β)+α]
=3sin[(α+β)-α],
即sin(α+β)cos α+cos(α+β)sin α=3sin(α+β)cos α-3cos(α+β)sin α,
∴sin(α+β)cos α=2cos(α+β)sin α,
∴tan(α+β)=2tan α.
(2)解 由(1)得=2tan α,即=2x,
∴y=,即f(x)=.
(3)解 ∵角α是一个三角形的最小内角,
∴0<α≤,0