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- 2021-05-13 发布
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(2)几种常见函数的导数公式:
① C'=0(C为常数);
② (x^n)'=nx^(n-1) (n∈Q);
③ (sinx)'=cosx;
④ (cosx)'=-sinx;
⑤ (e^x)'=e^x;
⑥ (a^x)'=ax^lna
(3)导数的四则运算法则:
①(u±v)'=u'±v'
②(uv)'=u'v+uv'
③(u/v)'=(u'v-uv')/v²十年高考分类解析与应试策略数学
第十一章 极限、导数与积分
●考点阐释
本章为新教材增设内容,是学习高等数学的基础.它在自然科学、工程技术等方面都有着广泛的应用.
重点掌握:
1.函数极限的四则运算法则及两个重要的极限,并能利用它解决有关问题.
2.了解函数在一点处的连续性的定义,从几何直观上理解闭区间上的连续函数有最大值和最小值.
3.从几何直观了解可微函数的单调性与其导数的关系,会求一些实际问题的最值.
4.掌握微积分的基本公式,理解定积分的几何意义.掌握直角坐标系中图形面积以及旋转体体积的计算方法.
●试题类编
一、填空题
1.(2002天津理,15)直线x=0,y=0,x=2与曲线y=()x所围成的图形绕x轴旋转一周而成的旋转体的体积等于_____.
2.(1998上海,3)若,则a= .
3.(1996上海理,16)= .
二、解答题
4.(2002天津文,21)已知a>0,函数f(x)=x3-a,x∈[0,+∞).设x1>0,记曲线y=f(x)在点M(x1,f(x1))处的切线为l.
(Ⅰ)求l的方程;
(Ⅱ)设l与x轴交点为(x2,0).证明:
(i)x2≥a;
(ii)若x1>a,则a<x2<x1.
5.(2002天津理,20)已知a>0,函数f(x)=,x∈(0,+∞).设0<x1<,记曲线y=f(x)在点M(x1,f(x1))处的切线为l.
(Ⅰ)求l的方程;
(Ⅱ)设l与x轴交点为(x2,0),证明:
(i)0<x2≤;
(ii)若x1<,则x1<x2<.
图11—1
6.(2001天津理,21)某电厂冷却塔外形是如图11—1所示双曲线的一部分绕其中轴(即双曲线的虚轴)旋转所成的曲面,其中A、A′是双曲线的顶点,C、C′是冷却塔上口直径的两个端点,B、B′是下底直径的两个端点,已知AA′=14 m,CC′=18 m,BB′=22 m,塔高20 m.
(1)建立坐标系并写出该双曲线方程.
※(2)求冷却塔的容积(精确到10 m3,塔壁厚度不计,π取3.14)
7.(1995上海文,22)设y=f(x)是二次函数,方程f(x)=0有两个相等的实根,且
f′(x)=2x+2.
(1)求y=f(x)的表达式;
※(2)求y=f(x)的图象与两坐标轴所围成图形的面积.
8.(1995上海理,22)设y=f(x)是二次函数,方程f(x)=0有两个相等的实根,且
f′(x)=2x+2.
(1)求y=f(x)的表达式;
※(2)若直线x=-t(0<t<1)把y=f(x)的图象与两坐标轴所围成图形的面积二等分,求t的值.
说明:凡标有※的试题与2002年教学大纲及2003年高考考试说明要求不符,仅供读者自己选用.
●答案解析
1.答案:
解析:由旋转体的体积公式V=π
.
2.答案:4
解析:依题意有:=2,∴a=4
3.答案:-
解析:原式=.
4.(Ⅰ)解:求f(x)的导数:f′(x)=3x2,由此得切线l的方程:
y-(x13-a)=3x12(x-x1).
(Ⅱ)证明:依题意,切线方程中令y=0,
x2=x1-,
(i)≥0,
∴x2≥a,
当且仅当x1=a时等号成立.
(ii)若x1>a,则x13-a>0,x2-x1=-<0,且由(i)x2>a,
所以a<x2<x1.
5.(Ⅰ)解:求f(x)的导数:f′(x)=-,由此得切线l的方程:
y-()=-(x-x1).
(Ⅱ)证明:依题意,切线方程中令y=0,
x2=x1(1-ax1)+x1=x1(2-ax1),其中0<x1<.
(i)由0<x1<,x2=x1(2-ax1),有x2>0,及x2=-a(x1-)2+.
∴0<x2≤,当且仅当x1=时,x2=.
(ii)当x1<时,ax1<1,因此,x2=x1(2-ax1)>x1,且由(i),x2<,
所以x1<x2<.
图11—2
6.(1)如图11—2建立直角坐标系,xOy,使AA′在x轴上,
AA′的中点为坐标原点O,CC′与BB′平行于x轴.
设双曲线方程为=1(a>0,b>0),则a=AA′=7.
又设B(11,y1),C(9,y2),因为点B、C在双曲线上,所以有
①
②
由题意,知y2-y1=20. ③
由①、②、③,得
y1=-12,y2=8.b=7.
故双曲线方程为=1;
(2)由双曲线方程,得x2=y2+49.
设冷却塔的容积为V(m3),则
.
经计算,得V=4.25×103(m3).
答:冷却塔的容积为4.25×103 m3.
评述:本题考查选择适当的坐标系建立曲线方程和解方程组的基础知识,考查应用所学积分知识、思想和方法解决实际问题的能力.
7.解:(1)设f(x)=ax2+bx+c,则f′(x)=2ax+b,又已知f′(x)=2x+2
∴a=1,b=2.
∴f(x)=x2+2x+c
又方程f(x)=0有两个相等实根,
∴判别式Δ=4-4c=0,即c=1.
故f(x)=x2+2x+1.
(2)依题意,有所求面积=.
评述:本题考查导数和积分的基本概念.
8.解:(1)与7(1)相同.(2)依题意,有
,
∴,
-t3+t2-t+=t3-t2+t,2t3-6t2+6t-1=0,
∴2(t-1)3=-1,于是t=1-.
●命题趋向与应试策略
1.本章内容在高考中以填空题和解答题为主.主要考查:
(1)函数的极限;
(2)导数在研究函数的性质及在解决实际问题中的应用;
(3)计算曲边图形的面积和旋转体的体积.
2.考生应立足基础知识和基本方法的复习,以课本题目为主,以熟练技能,巩固概念为目标.