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- 2021-05-13 发布
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第一章 质点的直线运动
[学习目标定位]
考 纲 下 载
考 情 上 线
1.参考系、质点(Ⅰ)
2．位移、速度和加速度(Ⅱ)
3．匀变速直线运动及其公式、图象(Ⅱ)
实验一：研究匀变速直线运动
高考地位
高考对本章考查的频度较高，题型多为选择题和计算题
考点点击
1.匀变速直线运动的基本概念
2．匀变速直线运动的规律及运动图象的应用
3．本章内容与生活实例相结合，运用相应的规律处理实际问题
第1单元描述运动的基本概念
参 考 系
[想一想]
第二届青年奥运会于2014年8月16日在南京开幕，如图1－1－1所示为会场内的旗杆和甲、乙两个火炬，已知旗杆静止不动，则风向向哪个方向？能否判断甲、乙火炬的运动方向？
图1－1－1
提示：旗杆静止不动，旗向左展开，则风向向左，甲火炬火焰向左偏，甲火炬可能静止，可能向右运动，也可能向左运动，但向左运动的速度小于风速，乙火炬一定向左运动，且运动速度大于风速。
[记一记]
1．参考系的定义
在描述物体的运动时，假定不动，用来做参考的物体。
2．参考系的四性
(1)标准性：选作参考系的物体都假定不动，被研究的物体都以参考系为标准。
(2)任意性：参考系的选取原则上是任意的。
(3)统一性：比较不同物体的运动应选择同一参考系。
(4)差异性：对于同一物体选择不同的参考系结果一般不同。
[试一试]
1．[多选]汉语成语中有一个“形影不离”的成语，意思是人的身体和影子分不开，形容关系密切，经常在一起。在晴天的早上，某同学在操场上跑步，下列说法正确的是( )
A．以地面为参考系，影子是静止的
B．以地面为参考系，影子是运动的
C．以人为参考系，影子是静止的
D．以人为参考系，影子是运动的
解析：选BC 人的速度与其影子的速度相等，选人为参考系，影子是静止的；选地面为参考系，影子是运动的。B、C正确。
质 点
[想一想]
2014年9月30日，在仁川亚运会110米栏决赛中，中国新锐谢文骏后来居上，最终以13秒36的成绩摘得金牌，并帮助中国实现八连冠。如图1－1－2所示为110米栏比赛中谢文骏的瞬间照，那么，谢文骏在飞奔的110米中，能否被看做质点？若谢文骏的教练孙海平要分析其跨栏动作要领，还能否将谢文骏看做质点？
图1－1－2
提示：谢文骏在飞奔的110米中，能被看做质点，但教练分析其动作要领时，不能将其看做质点。
[记一记]
1．质点的定义
用来代替物体的有质量的点。它是一种理想化模型。
2．物体可看做质点的条件
研究物体的运动时，物体的形状和大小对研究结果的影响可以忽略。
3．物体可视为质点主要有以下三种情形
(1)物体各部分的运动情况都相同时(如平动)。
(2)当问题所涉及的空间位移远远大于物体本身的大小时，通常物体自身的大小忽略不计，可以看做质点。
(3)物体有转动，但转动对所研究的问题影响很小(如研究小球从斜面上滚下的运动)。
[试一试]
2．(2014·东莞月考)质点是一个理想化模型，下列说法中正确的是( )
A．研究地球绕太阳的运动轨迹时，地球可看成质点
B．研究美丽的月食景象形成原因时，月球可看成质点
C．研究飞行中的直升飞机螺旋桨的转动时，螺旋桨可看成质点
D．研究“天宫一号”在轨道上的飞行姿态时，“天宫一号”可看成质点
解析：选A 把地球放在广阔的太空中研究其绕太阳的运动轨迹时，地球可看成质点；B、C、D选项关注的是物体的细节和局部差异，故不能看成质点。
[想一想]
如图1－1－3所示，某质点从A点出发沿直线到达C点后，再返回到B点静止，已知AC＝100 m，BC＝30 m，则整个过程中，质点的位移和路程各为多大？
图1－1－3
提示：整个过程中，质点的位移为AB＝AC－BC＝70 m，路程为AC＋BC＝130 m。
[记一记]
定义
区别
联系
位移
位移表示质点位置的变化，可用由初位置指向末位置的有向线段表示
(1)位移是矢量，方向由初位置指向末位置；路程是标量，没有方向
(2)位移与路径无关，路程与路径有关
(1)在单向直线运动中，位移的大小等于路程
(2)一般情况下，位移的大小小于路程
路程
路程是质点运动轨迹的长度
[试一试]
3．湖中O点有一观察站，一小船从O点出发向东行驶4 km，又向北行驶3 km，则在O点的观察员对小船位置的报告最为精确的是( )
A．小船的位置变化了7 km
B．小船向东北方向运动了7 km
C．小船向东北方向运动了5 km
D．小船的位置在东偏北37°方向，距离O点5 km处
解析：选D 小船位置的变化不是取决于其具体的运动路径，而是取决于它的初末位置，即位移。位移不但有大小，还有方向，小船虽然运动了7 km，但在O
点的观察员看来，它离自己的距离是 km＝5 km，方向要用角度表示，sin θ＝＝0.6，所以θ＝37°，如图所示，故D正确。
速度和加速度
[想一想]
如图1－1－4所示为汽车的速度表，其示数表示汽车的平均速度还是瞬时速度？
若汽车做匀加速直线运动，速度由图甲变为图乙历时8 s，则此过程汽车速度变化量为________ km/h，汽车的加速度为________ m/s2。
图1－1－4
提示：速度表示数表示汽车的瞬时速度的大小，此过程汽车速度变化量为40 km/h，汽车的加速度为a＝＝ m/s2≈1.4 m/s2。
[记一记]
1．速度
(1)平均速度：
①定义：运动物体的位移与所用时间的比值。
②定义式：＝。
③方向：跟物体位移的方向相同。
(2)瞬时速度：
①定义：运动物体在某位置或某时刻的速度。
②物理意义：精确描述物体在某时刻或某位置的运动快慢。
③速率：物体运动的瞬时速度的大小。
2．加速度
(1)定义式：a＝， 单位是m/s2。
(2)物理意义：描述速度变化的快慢。
(3)方向：与速度变化量的方向相同。
(4)根据a与v方向间的关系判断物体在加速还是减速。
3．速度、速度变化量和加速度的比较
比较项目
速度
速度变化量
加速度
物理意义
描述物体运动快慢和方向的物理量，是状态量
描述物体速度改变的物理量，是过程量
描述物体速度变化快慢和方向的物理量，是状态量
定义式
v＝
Δv＝vt－v0
a＝＝
单位
m/s
m/s
m/s2
方向
与位移s同向，即物体运动的方向
由Δv＝vt－v0
或a的方向决定
与Δv的方向一致，由F的方向决定，而与v0，vt方向无关
关系
三者无必然联系，v很大，Δv可以很小，甚至为0，a也可大可小，也可能为零
[试一试]
4．对于质点的运动，下列说法中正确的是( )
A．质点的加速度为零，则速度为零，速度的变化量也为零
B．质点速度变化率越大，则加速度越大
C．质点某时刻的加速度不为零，则该时刻的速度也不为零
D．质点运动的加速度越大，它的速度变化量越大
解析：选B 质点运动的加速度为零时，质点的速度变化量为零，但速度不一定为零，A错误；质点速度变化率即为加速度，B正确；质点在某时刻的加速度不为零，其速度可能为零，如自由落体的物体在开始下落的瞬间，C错误；质点的速度变化量Δv＝aΔt，即速度的变化量由质点的加速度和时间共同决定，D错误。
对质点概念的理解
(1)质点是对实际物体的科学抽象，是研究物体运动时抓住主要因素、忽略次要因素、对实际物体进行的近似，是一种理想化的模型，质点在现实中是不存在的。
(2)一个物体能否看做质点，并非依物体自身大小来判定，而是要看物体的大小、形状在所讨论的问题中是否可以忽略。若可以忽略，即使物体很大，也能看做质点。相反，若物体的大小、形状不可以忽略，即使物体很小，也不能看做质点。
(3)质点与几何中的“点”不同。质点是对实际物体进行科学抽象的模型，具有质量，
只是忽略了物体的大小和形状；几何中的点仅仅表示空间中的某一个位置。
[例1] [多选](2014·东莞检测)在以下的哪些情况中可将物体看成质点( )
A．研究一端固定可绕该端转动的木杆的运动时，此杆可作为质点
B．在大海中航行的船要确定它在大海中的位置，可以把它当做质点
C．研究杂技演员在走钢丝的表演时，可以把杂技演员当做质点
D．研究地球绕太阳公转时，可以把地球当做质点
[解析] 把物体看做质点的条件是：物体的大小或形状对研究的问题没有影响，或者对研究问题的影响可以忽略时，物体就可以看做质点，A错误。杆绕一端转动时，杆上不同位置的速度不同，不能把杆看做质点；确定船只在大海中的位置时，可以把船看做质点，B正确；杂技演员在钢丝上要做各种动作，不能看做质点，C错误；地球绕太阳转动时可以把地球看做质点，D正确。
[答案] BD
平均速度与瞬时速度
(1)平均速度与瞬时速度的区别与联系：
①区别：平均速度与位移和时间有关，表示物体在某段位移或某段时间内的平均运动快慢程度；瞬时速度与位置或时刻有关，表示物体在某一位置或某一时刻的运动快慢程度。
②联系：瞬时速度是运动时间Δt→0时的平均速度。
(2)平均速度与平均速率的区别：
平均速度的大小不能称为平均速率，因为平均速率是路程与时间的比值，它与平均速度的大小没有对应关系。
[例2] 一质点沿直线Os方向做变速运动，它离开O点的距离s随时间t变化的关系为s＝(5＋2t3) m，它的速度随时间t变化的关系为v＝6t2 m/s，该质点在t＝0到t＝2 s间的平均速度和t＝2 s到t＝3 s间的平均速度的大小分别为( )
A．12 m/s 39 m/s
B．8 m/s 38 m/s
C．12 m/s 19.5 m/s
D．8 m/s 13 m/s
[审题指导]
第一步：抓关键点
关键点
获取信息
v＝6t2 m/s
质点做非匀变速直线运动
t＝0到t＝2 s
t＝2 s到t＝3 s
平均速度对应的时间
第二步：找突破口
根据平均速度定义式v＝可知，只要求出对应时间段Δt时间内的位移Δs，即可求出平均速度大小。
[解析] 当t＝0时，s1＝5 m，t＝2 s时，s2＝21 m，所以Δs1＝s2－s1＝16 m，得1＝＝8 m/s；t＝3 s时，s3＝59 m，所以Δs2＝s3－s2＝38 m，则2＝＝38 m/s，故选B。
[答案] B
求解平均速度的一般步骤和应注意的问题
(1)一般解题步骤：
①明确研究对象的运动过程。
②根据已知条件和待求量之间的关系表示对应过程的位移和时间。
③应用平均速度公式＝结合位移关系或时间关系列方程求解。
(2)两个应注意的问题：
①平均速度的大小与物体不同的运动阶段有关，求解平均速度必须明确是哪一段位移或哪一段时间内的平均速度。
②＝是平均速度的定义式，适用于所有的运动。
加速度与速度的关系
(1)速度的大小与加速度的大小无关。
(2)速度增大或减小与加速度的增大或减小无关。
(3)速度的增大或减小是由速度与加速度的方向关系决定的。
[例3] 下列运动过程中，不可能出现的是( )
A．物体的加速度增大，速度反而减小
B．物体的加速度减小，速度反而增大
C．物体的速度为零时，加速度不为零
D．物体的加速度(不为零)始终不变，速度也始终不变
[审题指导]
正确理解加速度的概念。只要加速度的方向与速度方向相同，无论加速度怎么变化，物体都会做加速运动，反之做减速运动。
[解析]
当物体的加速度方向与初速度方向相同时，物体做加速运动，这时，如果加速度减小，物体仍然做加速运动，只不过速度变化比原来慢，因此B可能；同理，A可能；物体的速度为零，但速度变化量不一定为零，因此加速度可以不为零，C可能；只要物体有加速度，速度肯定是变化的，加速度不变，说明速度均匀改变，D不可能。
[答案] D
对加速度大小和方向的进一步理解
(1)选取原则：
选取参考系时，应以观测方便和使运动的描述尽可能简单为原则，一般应根据研究对象和研究对象所在的系统来决定。
(2)不特殊说明，一般以地球为参考系。
[典例] 一船夫划船逆流而上，驾船沿河道逆水航行，经过一桥时，不慎将心爱的酒葫芦落入水中，被水冲走，但一直划行至上游某处时才发现，便立即返航经过1小时追上葫芦时，发现葫芦离桥5 400 m远，若此船向上游和向下游航行时相对静水的速率是相等的，试求河水的速度。
[常规解法] 设船在静水中的速度为v舟，酒葫芦从落水到发现的时间为t1，返航追上葫芦的时间为t2＝3 600 s，以地面为参考系，船逆流时相对地面的速度为v舟－v水，顺流而下的速度为v舟＋v水，则有：(v舟－v水)t1＋5 400 m＝(v舟＋v水)t2，v水(t1＋t2)＝5 400 m，以上两式联立可解得：t1＝t2＝3 600 s。v水＝0.75 m/s。
[巧思妙解]
以河水作为参考系，船相对于水向上游和向下游的速度相同，而葫芦相对于水静止(其速度与水速相同)，因此船返航经过1小时追上葫芦，葫芦落水后，船向上游也一定经过1小时，可知，葫芦顺流而下走5 400 m用时2小时，故河水的速度v水＝ m/s＝0.75 m/s。
[答案] 0.75 m/s
[题后悟道] 合理地选取参考系，可以简化问题的解答过程，选取不同的参考系，对运动的描述不同，但求解结果是相同的。
一列长为l的队伍，行进速度为v1，通讯员从队伍尾以速度v2赶到排头，又立即以速度v2返回队尾。求这段时间里队伍前进的距离。
解析：以队伍为参考系，则通讯员从队尾赶到排头这一过程中，相对速度为(v2－v1)；通讯员再从队头返回队尾的这一过程中相对速度为(v1＋v2)，则整个运动时间
t＝＋
则队伍在这段时间相对地面前进的距离x为
x＝v1t＝v1＝。
答案：
[随堂巩固落实]
1．如图1－1－5所示，飞行员跳伞后飞机上的其他飞行员甲和地面上的人乙观察跳伞飞行员的运动后，引发了对跳伞飞行员运动状况的争论，下列说法正确的是( )
图1－1－5
A．甲、乙两人的说法中必有一个是错误的
B．他们的争论是由于选择的参考系不同而引起的
C．研究物体运动时不一定要选择参考系
D．参考系的选择只能是相对于地面静止的物体
解析：选B 飞行员甲以自己为参考系，跳伞飞行员在沿竖直方向下落，地面上的人以地面为参考系，跳伞飞行员做曲线运动，A错误，B正确；研究物体运动时一定要选参考系，但不一定是相对地面静止的物体，C、D错误。
2．(2014·珠海质量监测)小明家自驾车去旅游，行驶到某处见到如图1－1－6所示的公路交通标志，下列说法正确的是( )
图1－1－6
A．此路段平均速度不能超过60 km/h
B．此路段瞬时速度不能超过60 km/h
C．此路段平均速率不能低于60 km/h
D．此处到宜昌的位移大小是268 km
解析：选B 限速标志上标出的速度为瞬时速度，而地址距离标志上标出的数值是路程，表示此处到宜昌的路程还有268 km。故B正确。
3．(2014·江门模拟)如图1－1－7所示，小球以v1＝3 m/s的速度水平向右运动，碰一墙壁经Δt＝0.01 s 后以v2＝2 m/s的速度沿同一直线反向弹回，小球在这0.01 s内的平均加速度是( )
图1－1－7
A．100 m/s2，方向向右 B．100 m/s2，方向向左
C．500 m/s2，方向向左 D．500 m/s2，方向向右
解析：选C 由a＝得：a＝＝ m/s2＝500 m/s2，方向与v2方向相同，水平向左，故C正确。
4．[多选] (2014·惠州模拟)三个质点A，B，C均由N点沿不同路径运动至M点，运动轨迹如图1－1－8所示，三个质点同时从N点出发，同时到达M点，下列说法正确的是( )
图1－1－8
A．三个质点从N点到M点的平均速度相同
B．三个质点任意时刻的速度方向都相同
C．三个质点从N点出发到任意时刻的平均速度都相同
D．三个质点从N点到M点的位移相同
解析：选AD 位移是指从初位置指向末位置的有向线段，在任意时刻，三个质点的位移方向不同，只有均到达M点时，位移方向相同，故C错误，D正确；根据平均速度的定义式＝可知，三个质点从N点到M点的平均速度相同，A正确；质点的速度方向沿轨迹的切线方向，故三个质点的速度方向不会在任意时刻都相同，B错误。
5．(2014·揭阳二模)下列说法正确的是( )
A．加速度变大，物体一定在做加速运动
B．加速度变小，物体一定在做减速运动
C．加速度描述了物体速度变化的快慢程度
D．加速度大，物体的速度就大
解析：选C 加速度变大的物体，如果加速度方向与速度方向相反，那么速度就会减小，即速度减小得越来越快，故A错误；加速度变小的物体，如果加速度方向与速度方向相同，那么速度就会增加，即速度增加得越来越慢，故B错误；加速度是描述物体的速度变化的快慢程度，故C正确；加速度大，物体的速度可以很小，例如火箭发射的瞬间，故D错误。
[课时跟踪检测]
高考常考题型：选择题＋计算题
一、单项选择题
1．图1是F－22A猛禽战斗机在空中加油的情景，以下列的哪个物体为参照物，可以认为加油机是运动的( )
图1
A．F－22A猛禽战斗机
B．地面上的房屋
C．加油机中的飞行员
D．F－22A猛禽战斗机里的飞行员
解析：选B 空中加油时加油机与战斗机保持相对静止，以F－22A猛禽战斗机、加油机中的飞行员、F－22A
猛禽战斗机里的飞行员为参照物，加油机都是静止的；以地面上的房屋为参照物，加油机是运动的。
2．(2014·东莞模拟)若规定向东方向为位移的正方向，今有一个皮球停在水平面上某处，轻轻踢它一脚，使它向东做直线运动，与相距5 m的墙相碰后又向西做直线运动，经7 m而停下。则上述过程中皮球通过的路程和位移分别是( )
A．12 m；2 m B．12 m；－2 m
C．－2 m；2 m D．2 m；2 m
解析：选B 路程为所走轨迹的长度，L＝5 m＋7 m＝12 m；位移是初末位置的有向线段，皮球停在出发点的西侧2 m处，位移s＝－2 m；B正确。
3．(2014·惠州月考)关于下列如图2所示的照片中的物体或人，在运动过程中的一些说法正确的是( )
图2
A．甲图是一列8：00从上海出发开往北京的高速动车，“8：00”是指动车的运动时间
B．乙图是绕月球运动的“嫦娥三号”卫星，它在运动一周的过程中，其平均速度为零
C．丙图是在男子单杠比赛中的运动员，他在空中上升的过程中会感到地面迎面而来
D．丁图是正在表演芭蕾舞的演员，欣赏他们的精彩表演时可把他们看做质点
解析：选B A选项中“8：00”指的是发车时刻；C选项中的运动员此时会感到地面在远离自己而不是迎面而来；D选项欣赏舞蹈演员的精彩表演时，当然要关注到细节(如肢体动作、面部表情等)不能看作质点。
4．(2014·温州十校联考)在中国海军护航编队“巢湖”舰、“千岛湖”舰护送下“河北锦绣”、“银河”等13艘货轮顺利抵达亚丁湾西部预定海域。此次护航总航程4 500海里。若所有船只运动的速度相同，则下列说法正确的是( )
A．“4 500海里”指的是护航舰的位移
B．研究舰队平均速度时可将“千岛湖”舰看做质点
C．以“千岛湖”舰为参考系，“巢湖”舰一定是运动的
D．根据本题给出的条件可以求出此次航行过程中的平均速度
解析：选B “4 500海里”指的是运动路线的长度即路程；研究舰队平均速度时，“
千岛湖”舰的大小与其位移大小相比可忽略不计，所以可将“千岛湖”舰看做质点；因为“千岛湖”舰和“巢湖”舰运动的速度相同，“巢湖”舰相对于“千岛湖”舰的空间位置不变，所以以“千岛湖”舰为参考系，“巢湖”舰一定是静止的；题中只给出了航行路程，不知位移和时间，所以不能求出此次航行过程中的平均速度。
5．下列说法正确的是( )
A．位移是标量，路程是矢量
B．取定正方向，做直线运动的甲、乙两物体的位移s甲＝3 m、s乙＝－5 m，故甲的路程大于乙的路程
C．在直线运动中，位移与路程相同
D．只有在质点做单向直线运动时，位移的大小才等于路程
解析：选D 位移描述物体位置的变化，它是从物体初位置指向末位置的物理量，是矢量；路程是从物体初位置到末位置所经过的路径轨迹长度，是标量，A错误。矢量的正负表示方向，不表示大小，B错误。位移和路程是两个不同的物理量，前者是矢量，后者是标量，即使大小相等也不能说两者相同，C错误，D正确。
二、多项选择题
6．(2014·惠州检测)2011年，在深圳世界大学生运动会上，各国代表团参加了包括田径、体操、柔道在内的所有28个大项的比赛，下列几种比赛项目中的研究对象可视为质点的是( )
A．在撑竿跳高比赛中研究运动员手中的支撑杆在支撑地面过程中的转动情况时
B．帆船比赛中确定帆船在大海中的位置时
C．跆拳道比赛中研究运动员的动作时
D．铅球比赛中研究铅球被掷出后在空中的飞行时间时
解析：选BD 能否把某物体看做质点，关键要看忽略物体的大小和形状后，对所研究的问题是否有影响。显然A、C选项中的研究对象的大小和形状忽略后，无法对问题进行研究，故A、C错误；而B、D选项中的研究对象的大小和形状忽略后，所研究的问题不受影响，故B、D正确。
7．有关瞬时速度、平均速度和平均速率，以下说法正确的是( )
A．瞬时速度是指物体在某一位置或某一时刻的速度
B．平均速度是物体在一段时间内的位移与所用时间的比值
C．做变速运动的物体，平均速率就是平均速度的大小
D．物体做变速运动时，平均速度是指物体所通过的路程与所用时间的比值
解析：选AB 瞬时速度与某一位置或某一时刻相对应，平均速度与一段时间和一段位移相对应，平均速率与一段时间和一段路程相对应。
8．若汽车的加速度方向与速度方向一致，当加速度减小时( )
A．汽车的速度也减小
B．汽车的速度仍在增大
C．当加速度减小到零时，汽车静止
D．当加速度减小到零时，汽车的速度达到最大
解析：选BD 因为加速度的方向与速度的方向一致，汽车做加速运动，虽然加速度在减小，但其方向仍与速度的方向相同，所以速度是增大的。当加速度减为零时，速度不再增加，即达到最大值。故B、D正确。
三、计算题
9．为了测定气垫导轨上滑块的加速度，滑块上安装了宽度为3.0 cm的遮光板，如图3所示，滑块在牵引力作用下先后匀加速通过两个光电门，配套的数字毫秒计记录了遮光板通过第一个光电门的时间为Δt1＝0.30 s，通过第二个光电门的时间为Δt2＝0.10 s，遮光板从开始遮住第一个光电门到开始遮住第二个光电门的时间为Δt＝3.00 s。试估算滑块的加速度。
图3
解析：遮光板通过第一个光电门的速度
v1＝＝ m/s＝0.10 m/s
遮光板通过第二个光电门的速度
v2＝＝ m/s＝0.30 m/s
故滑块的加速度
a＝＝ m/s2＝0.067 m/s2
答案：0.067 m/s2
10．有些国家的交通管理部门为了交通安全，特别制定了死亡加速度为500g(取g＝10 m/s2)，以醒世人，意思是如果行车加速度超过此值，将有生命危险，那么大的加速度，一般情况下车辆是达不到的，但如果发生交通事故时，就会达到这一数值。试问：
(1)一辆以72 km/h的速度行驶的汽车在一次事故中撞向停在路边的大货车，设大货车没有被撞动，汽车与大货车的碰撞时间为2.0×10－3s，汽车驾驶员是否有生命危险？
(2)若汽车内装有安全气囊，缓冲时间为1.0×10－2s，汽车驾驶员是否有生命危险？
解析：(1)汽车的加速度a1为
a1＝＝ m/s2＝－104m/s2
负号表示与初速度反向
因为104m/s2>5×103m/s2，故驾驶员有生命危险。
(2)汽车装有安全气囊时，加速度为a2
a2＝＝m/s2＝－2×103m/s2
负号表示与初速度反向
因为2×103m/s2<5×103m/s2，所以驾驶员没有生命危险。
答案：见解析
第2单元匀变速直线运动的规律
匀变速直线运动的规律
[想一想]
如图1－2－1所示，一质点由A点出发，以初速度v0做匀变速直线运动，经过时间t s到达B点，设其加速度大小为a。
图1－2－1
(1)若质点做匀加速直线运动，则质点在B点的速度及AB间距应如何表示。
(2)若质点做匀减速直线运动，则质点在B点的速度及AB间距应如何表示。
提示：(1)vB＝v0＋at sAB＝v0t＋at2
(2)vB＝v0－at sAB＝v0t－at2
[记一记]
1．匀变速直线运动
(1)定义：沿着一条直线，且加速度不变的运动。
(2)分类：
①匀加速直线运动，a与v0方向相同。
②匀减速直线运动，a与v0方向相反。
2．匀变速直线运动的规律
(1)速度公式：vt＝v0＋at。
(2)位移公式：s＝v0t＋at2。
(3)速度位移关系式：vt2－v02＝2as。
[试一试]
1．一辆汽车在笔直的公路上以72 km/h的速度行驶，司机看见红色交通信号灯便踩下制动器，此后汽车开始减速，设汽车做匀减速运动的加速度为5 m/s2。
(1)开始制动后2 s时，汽车的速度为多大？
(2)前2 s内汽车行驶了多少距离？
(3)从开始制动到完全停止，汽车行驶了多少距离？
解析：(1)设v0方向为正方向，由题意得
v0＝72 km/h＝20 m/s，a＝－5 m/s2，t＝2 s
根据公式vt＝v0＋at，可得2 s时的速度
v2＝(20－2×5) m/s＝10 m/s
(2)根据公式s＝v0t＋at2，可得前2 s内汽车行驶的距离
s1＝[20×2＋×(－5)×22] m＝30 m
(3)汽车停止即速度vt＝0
根据公式vt2－v02＝2as，可得从开始制动到完全停止
汽车行驶的距离s2＝＝ m＝40 m
答案：(1)10 m/s (2)30 m (3)40 m
匀变速直线运动的推论
[想一想]
如图1－2－2所示，一物体在做匀加速直线运动，加速度为a，在A点的速度为v0，物体从A到B和从B到C的时间均为T，则物体在B点和C点的速度各是多大？物体在AC 阶段的平均速度多大？此过程平均速度与B点速度大小有什么关系？sBC与sAB的差又是多大？
图1－2－2
提示：vB＝v0＋aT vC＝v0＋2aT
AC＝＝v0＋aT＝vB
可见做匀加速直线运动的物体的平均速度等于这段时间中间时刻的瞬时速度。
又s AB＝v0T＋aT2，sBC＝vBT＋aT2＝v0T＋aT2。故sBC－sAB＝aT2
[记一记]
1．匀变速直线运动的两个重要推论
(1)Δs＝aT2，即任意相邻相等时间内的位移之差相等。可以推广到sm－sn＝(m－n)aT2。
(2)v＝，某段时间的中间时刻的瞬时速度等于该段时间内的平均速度。
v＝ ，某段位移的中间位置的瞬时速度不等于该段位移内的平均速度。可以证明，无论匀加速还是匀减速，都有v＜v。
2．初速度为零的匀变速直线运动中的几个重要结论
(1)1T末，2T末，3T末……瞬时速度之比为：
v1∶v2∶v3∶…∶vn＝1∶2∶3∶…∶n。
(2)1T内，2T内，3T内……位移之比为：
s1∶s2∶s3∶…∶sn＝1∶22∶32∶…∶n2。
(3)第一个T内，第二个T内，第三个T内，…，第N个T内的位移之比为：
sⅠ∶sⅡ∶sⅢ∶…∶sN＝1∶3∶5∶…∶(2n－1)。
(4)通过连续相等的位移所用时间之比为：
t1∶t2∶t3∶…∶tn＝1∶(－1)∶(－)∶…∶(－)。
[试一试]
2．(2014·佛山质检)如图1－2－3所示，一小球从A点由静止开始沿斜面向下做匀变速直线运动，若到达B点时速度为v，到达C点时速度为2v，则sAB∶sBC等于( )
图1－2－3
A．1∶1 B．1∶2
C．1∶3 D．1∶4
解析：选C 由v＝at，vB＝v，vC＝2v可知， tAB＝tBC，又vA＝0，故sAB∶sBC＝1∶3。C正确。
对匀变速直线运动规律的理解和应用
(1)正、负号的规定：
直线运动可以用正、负号表示矢量的方向，一般情况下，我们规定初速度的方向为正方向，与初速度同向的物理量取正值，反向的物理量取负值，当v0＝0时，一般以a的方向为正方向。
(2)物体先做匀减速直线运动，速度减为零后又反向做匀加速直线运动，全程加速度不变，对这种情况可以将全程看做匀变速直线运动，应用基本公式求解。
[例1] 质点做匀减速直线运动，在第1 s内位移为6 m，停止运动前的最后1 s内位移为2 m，求：
(1)在整个减速运动过程中质点的位移大小；
(2)整个减速过程共用的时间。
[审题指导]
(1)质点匀减速直线运动到停止可看做初速度为零的反向匀加速直线运动。
(2)应用位移公式时注意v0与a的符号。
[解析] (1)设质点的初速度为v0，加速度大小为a，
由题意可得：v0·t1－at12＝6 m
at22＝2 m，t1＝t2＝1 s
可解得：v0＝8 m/s，a＝4 m/s2
故s总＝＝8 m
(2)由v＝v0－at，得：t＝＝2 s
[答案] (1)8 m (2)2 s
解决运动学问题的基本思路
―→―→―→―→
两类匀减速直线运动问题的区别
(1)刹车类问题：指匀减速到速度为零后即停止运动，加速度a突然消失，求解时要注意确定其实际运动时间。如果问题涉及最后阶段(到停止运动)的运动，可把该阶段看成反向的初速度为零、加速度不变的匀加速直线运动。
(2)双向可逆类：如沿光滑斜面上滑的小球，到最高点后仍能以原加速度匀加速下滑，全过程加速度大小、方向均不变，故求解时可对全过程列式，但必须注意s，v，a等矢量的正负号及物理意义。
[例2] (2014·合肥模拟)飞机着陆后以6 m/s2
的加速度做匀减速直线运动，其着陆速度为60 m/s，求：
(1)它着陆后12 s内滑行的位移s；
(2)整个减速过程的平均速度(用两种方法求解)；
(3)静止前4 s内飞机滑行的位移s′。
[审题指导]
(1)确定飞机滑行的总时间。
(2)判断飞机着陆后12 s内的运动规律。
[解析] (1)以初速度方向为正方向，则有a＝－6 m/s2飞机在地面滑行最长时间t＝＝ s＝10 s所以飞机12 s内滑行的位移等于10 s内滑行的位移
由v2－v02＝2as可得s＝＝ m＝300 m。
(2)方法一：＝＝ m/s＝30 m/s
方法二：＝＝ m/s＝30 m/s
(3)可看成反向的初速度为零的匀加速直线运动
s′＝at2＝×6×42 m＝48 m。
[答案] (1)300 m (2)30 m/s (3)48 m
远离刹车类问题的陷阱
求解汽车刹车类问题时，一定要认真分析清楚汽车的运动过程，一般都是先判断刹车时间或刹车位移，即判定汽车在给定时间内或位移内是否已停止，千万不能乱套公式。
多阶段匀变速直线运动问题
对于多运动阶段问题的分析要注意以下几点：
(1)准确选取研究对象，根据题意画出物体在各阶段的运动示意图，直观呈现物体的运动过程。
(2)明确物体在各阶段的运动性质，找出题目给定的已知量、待求未知量以及中间量。
(3)合理选择运动学公式，列出物体在各阶段的运动方程，同时列出物体各阶段间的关联方程。
(4)匀变速直线运动涉及的公式较多，各公式相互联系，大多数题目可一题多解，解题时要开阔思路，通过分析、对比，根据已知条件和题目特点适当地拆分、组合运动过程，选取最简捷的解题方法。
[例3] (2014·珠海模拟)珠海航展现场空军八一飞行表演队两架“歼10”
飞机表演剪刀对冲，上演精彩空中秀。质量为m的“歼10”飞机表演后返回某机场，降落在跑道上减速过程简化为两个匀减速直线运动。飞机以速度v0着陆后立即打开减速阻力伞，加速度大小为a1，运动时间为t1；随后在无阻力伞情况下匀减速直至停下。在平直跑道上减速滑行总路程为x。求：第二个减速阶段飞机运动的加速度大小和时间。
[审题指导]
第一步：抓关键点
关键点
获取信息
简化为两个匀减速直线运动
两个过程相连接，加速度方向不变
飞机以速度v0着陆
前一个减速过程的初速度为v0
无阻力伞情况下匀减速直至停下
第二个减速阶段的末速度为零
滑行总路程为x
两个减速阶段的位移和为x
第二步：找突破口
飞机着陆后经历两个匀减速直线运动阶段，前一阶段的末速度为下一阶段的初速度，且第二阶段的末速度为零，列出两段过程的速度关系式和位移关系式即可求解结果。
[解析] 如图所示，A为飞机着陆点，AB、BC分别为两个匀减速运动过程，C点停下。
A到B过程，依据运动学规律有：
x1＝v0t1－a1t12，vB＝v0－a1t1，
B到C过程，依据运动学规律有：
x2＝vBt2－a2t22,0＝vB－a2t2，
A到C过程，有：x＝x1＋x2，
联立解得：a2＝ ，
t2＝。
[答案] 见解析
多过程匀变速直线运动的处理方法
多过程的匀变速直线运动，注意分段应用匀变速直线运动的规律列方程的解题策略，这就是数学中的分段函数思想在物理中的应用。注意设而不解的解题策略，解题过程中设一些未知量，通过加、减或乘、除消元的方法得出需要求得的量。
[典例] (16分)
驾驶证考试中的路考，在即将结束时要进行目标停车，考官会在离停车点不远的地方发出指令，要求将车停在指定的标志杆附近，终点附近的道路是平直的，依次有编号为A，B，C，D，E的5根标志杆，相邻杆之间的距离ΔL＝12.0 m，如图1－2－4所示。一次路考中，学员甲驾驶汽车，学员乙坐在后排观察并记录时间，学员乙与车前端面的距离为s＝2.0 m。假设在考官发出目标停车的指令前，汽车是匀速运动的，：“在D标志杆目标停车”，发出指令后，学员乙立即开始计时，才开始刹车，开始 直到停止。学员乙记录下自己。 已知LOA＝44 m。求：
图1－2－4
(1)刹车前汽车做匀速运动的速度大小v0及汽车开始刹车后做匀减速直线运动的加速度大小a；
(2)汽车停止运动时车头前端面离D杆的距离。
第一步：审题干，抓关键信息
关键点
获取信息
①
停车过程计时起点、汽车前端面距O点为2 m
②
反应时间内汽车做匀速运动
③
汽车到B，C的匀减速运动的时间为汽车过B，C的时间减去反应时间
④
学员乙过B，C杆之前汽车一直运动而未停止
第二步：审设问，找问题的突破口
⇓
⇓
第三步：三定位，将解题过程步骤化
第四步：求规范，步骤严谨不失分
[解析] (1)汽车从O到标志杆B的过程中：
LOA＋ΔL＝v0Δt＋v0(tB－Δt)－a(tB－Δt)2①(3分)
汽车从O到标志杆C的过程中：
LOA＋2ΔL＝v0Δt＋v0(tC－Δt)－a(tC－Δt)2②(3分)
联立方程解得：v0＝16 m/s③(2分)
a＝2 m/s2④(2分)
(2)汽车从开始到停下运动的距离：
x＝v0Δt＋⑤(3分)
可得x＝72 m，故车头前端距O点为74 m。⑥
因LOD＝80 m，因此汽车停止运动时车头前端面距离D杆6 m。⑦(3分)
————[考生易犯错误]———————————————
(1)在①②中误将tB和tC作为汽车匀减速运动的总时间，而没有考虑tB和tC中包含反应时间Δt，造成失分。
(2)在⑥中误将汽车的位移x＝72 m作为汽车车头前端面距O点的距离，从而得出汽车停止运动时车头前端面距D杆8 m的结果，而实际上，x＝72 m为学员乙距O点的距离，乙离车头前端面的距离为s＝2.0 m。
———————————————————————————————————————
[随堂巩固落实]
1．如图1－2－5所示，在水平面上有一个小物块质量为m，
从某点给它一个初速度沿水平面做匀减速直线运动，经过A、B、C三点到O点速度为零。A，B，C三点到O点距离分别为s1，s2，s3，由A，B，C到O点所用时间分别为t1，t2，t3，下列结论正确的是( )
图1－2－5
A.＝＝ B.<<
C.＝＝ D.<<
解析：选C 本题主要考查匀变速直线运动规律，因题中所给已知量是位移和时间且在O点速度为零，为此可用逆向思维，利用公式s＝at2可快速判定C对D错；由中间时刻的速度等于这段时间内的平均速度可知A、B错。
2．[多选](2014·广州三校9月联考)给滑块一初速度v0使它沿光滑斜面向上做匀减速运动，加速度大小为，当滑块速度大小为时，所用时间可能是( )
A. B.
C. D.
解析：选BC 若规定初速度方向为正方向，由题意知初速度为v0，加速度为－，末速度可能为或者－，结合速度公式vt＝v0＋at，可知时间为或者。
3．空军特级飞行员李峰驾驶歼十战机执行战术机动任务，在距机场54 km、离地1 170 m高度时飞机发动机停车失去动力。在地面指挥员的果断引领下，安全迫降机场，成为成功处置国产单发新型战机空中发动机停车故障、安全返航第一人。若飞机着陆后以6 m/s2的加速度做匀减速直线运动，若其着陆速度为60 m/s，则它着陆后12 s内滑行的距离是( )
A．288 m B．300 m
C．150 m D．144 m
解析：选B 先求出飞机着陆后到停止所用时间t。由v＝v0＋at，得t＝(v－v0)/a＝(0－60)/(－6) s＝10 s，由此可知飞机在12 s内不是始终做匀减速运动，它在最后2 s内是静止的。故它着陆后12 s内滑行的距离为s＝v0t＋at2/2＝60×10 m＋(－6)×102/2 m＝300 m。
4．质点做直线运动的位移s与时间t的关系为s＝5t＋t2 (各物理量均采用国际单位制单位)，则该质点 ( )
A．第 1 s 内的位移是 5 m
B．前 2 s 内的平均速度是 6 m/s
C．任意相邻的 1 s 内位移差都是1 m
D．任意 1 s 内的速度增量都是 2 m/s
解析：选D 由s＝v0t＋at2 与s＝5t＋t2 的对比可知：该质点运动的初速度v0＝5 m/s，加速度a＝ 2 m/s2。将t＝1 s代入所给位移公式可求得第 1 s内位移是6 m；前 2 s内的位移是14 m，平均速度 m/s ＝ 7 m/s；由 Δs ＝ aT2可得T＝ 1 s时，相邻 1 s 内的位移差都是 2 m；由加速度的物理意义可得任意 1 s内速度的增量(增加量)都是 2 m/s。因此D正确。
5. (2014·汕头模拟)取一根长2 m左右的细线，5个铁垫圈和一个金属盘。在线最下端系上第一个垫圈，隔12 cm再系一个，以后垫圈之间的距离分别为36 cm,60 cm,84 cm，站在椅子上的人向上提起线的上端，让线自由垂下，且第一个垫圈紧靠放在地面上的金属盘内如图1－2－6所示。松手后开始计时，若不计空气阻力，则第2,3,4,5个垫圈( )
图1－2－6
A．落到盘上的声音时间间隔越来越大
B．落到盘上的声音时间间隔相等
C．依次落到盘上的速率关系为1∶∶∶2
D．依次落到盘上的时间关系为1∶(－1)∶(－)∶(2－)
解析：选B 垫圈的运动可以看成倒过来的初速度为零的匀加速运动，垫圈之间的距离分别为12 cm、36 cm、60 cm、84 cm，满足1∶3∶5∶7的关系，因此时间间隔相等，A错误，B正确；各个时刻末的速度之比应为1∶2∶3∶4，依次落到盘上的时间关系为1∶2∶3∶4，C、D错误。
6．(2014·江门模拟)一辆正在匀加速直线行驶的汽车，在5 s内先后经过路旁两个相距50 m的电线杆，它经过第二根杆的速度是15 m/s，求它经过第一根杆的速度及行驶的加速度。
解析：分析物理过程，画草图。
根据题意，已知匀变速直线运动的位移s和时间t，可确定初速度v0与加速度a的关系，已知末速度vt和时间t，可确定初速度v0与加速度，根据：s＝v0t＋at2，vt＝v0＋at
解得：a＝2 m/s2，v0＝5 m/s。
答案：5 m/s 2 m/s2
[课时跟踪检测]
高考常考题型：选择题＋计算题
一、单项选择题
1．(2014·云浮模拟)在水平面上有a、b两点，a、b两点相距20 cm。一质点在一恒定的合外力作用下沿a向b做直线运动，经过0.2 s的时间先后通过a、b两点，则该质点通过a、b中点时的速度大小为( )
A．若力的方向由a向b，则大于1 m/s；若力的方向由b向a，则小于1 m/s
B．若力的方向由a向b，则小于1 m/s；若力的方向由b向a，则大于1 m/s
C．无论力的方向如何，均大于1 m/s
D．无论力的方向如何，均小于1 m/s
解析：选C 质点在恒定合外力作用下沿a向b做直线运动，平均速度为＝＝ m/s＝1 m/s。此速度也是质点经过a、b两点中间时刻的瞬时速度，无论质点做匀加速运动还是做匀减速运动，质点通过a、b中点时刻的速度都大于在中间时刻的速度，故选项C正确。
2．(2014·中山统测)一个从静止开始作匀加速直线运动的物体，从开始运动起，连续通过三段位移的时间分别是1 s、2 s、3 s，这三段位移的长度之比和这三段位移上的平均速度之比分别是( )
A．1∶22∶32,1∶2∶3
B．1∶23∶33,1∶22∶32
C．1∶2∶3,1∶1∶1
D．1∶3∶5,1∶2∶3
解析：选B 初速度为零的匀加速直线运动，在相邻相等时间内位移比为1∶3∶5∶7∶9∶11，则s1∶s2∶s3＝1∶(3＋5)∶(7＋9＋11)＝1∶23∶33，1∶2∶3＝∶∶＝1∶22∶32。
3．一小物体以一定的初速度从光滑斜面的底端a点上滑，最远可达b点，e为ab的中点，已知物体由a点到e点的时间为t0，则物体从e点经b点再返回e点所需时间为( )
A．t0 B．(－1)t0
C．2(＋1)t0 D．(2＋1)t0
解析：选C 由逆向思维可知物体从b点到e点和从e点到a点的时间比为1∶(－1)；即t∶t0＝1∶(－1)，得t＝(＋1)t0，由运动的对称性可得从e点到b点和从b点到e点的时间相等，所以从e点经b点再返回e点所需时间为2t，即2(＋1)t0，答案为C。
4．(2015·茂名模拟)匀速运动的汽车从某时刻开始刹车，匀减速运动直到停止。若测得刹车时间为t，刹车位移为s，根据这些测量结果不可以求出( )
A．汽车刹车过程的初速度
B．汽车刹车过程的加速度
C．汽车刹车过程的平均速度
D．汽车刹车过程的制动力
解析：选D 末速度为零，可看做逆方向上的匀加速运动，由s＝at2知可以求出加速度a；由v＝at可求初速度v0；由＝可求平均速度。
5．(2014·肇庆模拟)一质量为m的滑块在粗糙水平面上滑行，通过频闪照片分析得知，滑块在最初开始2 s内的位移是最后2 s内位移的两倍，且已知滑块最初开始1 s内的位移为2.5 m，由此可求得( )
A．滑块的加速度为5 m/s2
B．滑块的初速度为5 m/s
C．滑块运动的总时间为3 s
D．滑块运动的总位移为9 m
解析：选C 根据题意可知，滑块做末速度为零的匀减速直线运动，其逆运动是初速度为零的匀加速直线运动，设其运动的总时间为t，加速度为a，设逆运动最初2 s内位移为s1，最后2 s内位移为s2，由运动学公式有s1＝a×22；s2＝at2－a(t－2)2，且s2＝2s1；2.5＝at2－a(t－1)2，联立以上各式并代入数据可解得a＝1 m/s2，t＝3 s，A错误，C正确；v0＝at＝1×3 m/s＝3 m/s，B错误；s＝at2＝×1×32 m＝4.5 m，D错误。
二、多项选择题
6．物体以速度v匀速通过直线上的A、B两点，所用时间为t，现在物体从A点由静止出发，先做匀加速直线运动(加速度为a1)到某一最大速度vm，然后立即做匀减速直线运动(加速度大小为a2)至B点速度恰好减为0，所用时间仍为t。则物体的( )
A．vm只能为2v，与a1、a2的大小无关
B．vm可为许多值，与a1、 a2的大小有关
C．a1、a2必须是一定的
D．a1、a2必须满足＝
解析：选AD 匀速运动时s＝vt①
匀加速、匀减速运动时s＝vmt②
由①②得vm＝2v③
由v2＝2as得：＋＝s④
由①③④得：＝，所以选项A、D正确。
7．(2015·执信中学月考)a、b两物体同时、同地、同向做匀变速直线运动，若加速度相同，初速度不同，则在运动过程中，下列说法正确的是( )
A．a、b两物体的速度之差保持不变
B．a、b两物体的速度之差与时间成正比
C．a、b两物体的位移之差保持不变
D．a、b两物体的位移之差与时间成正比
解析：选AD 设a、b初速度分别为v1和v2，则va＝v1＋at，vb＝v2＋at，则a、b速度差Δv＝va－vb＝v1－v2，恒定，选项A正确；ab位移差Δs＝Δvt与时间成正比，选项D正确。
8．酒后驾驶会导致许多安全隐患，是因为驾驶员的反应时间变长，反应时间是指驾驶员从发现情况到采取制动的时间。下表中“思考距离”是指驾驶员从发现情况到采取制动的时间内汽车行驶的距离，“制动距离”是指驾驶员从发现情况到汽车停止行驶的距离(假设汽车制动时的加速度大小都相同)。
速度/(m·s－1)
思考距离/m
制动距离/m
正常
酒后
正常
酒后
15
7.5
15.0
22.5
30.0
20
10.0
20.0
36.7
46.7
25
12.5
25.0
54.2
s
分析上表可知，下列说法正确的是( )
A．驾驶员酒后反应时间比正常情况下多0.5 s
B．若汽车以20 m/s的速度行驶时，发现前方40 m处有险情，酒后驾驶不能安全停车
C．汽车制动时，加速度大小为10 m/s2
D．表中s为65
解析：选AB 由表中数据，驾驶员正常反应时间为0.5 s，
酒后反应时间为1.0 s，A正确；
若汽车以20 m/s的速度行驶时，
酒后制动的距离为s1＝46.7 m>40 m，B正确；
由公式Δs＝，a＝7.5 m/s2，C错误；
s＝vt＋＝(25＋) m≈66.7 m，D错误。
三、计算题
9．(2014·韶关模拟)甲乙两运动员在训练交接棒的过程中发现：甲经短距离加速后能保持9 m/s的速度跑完全程；乙从起跑后到接棒前的运动是匀加速的。为了确定乙起跑的时机，需在接力区前适当的位置标记。在某次练习中，甲在接力区前s0＝13.5 m处作了标记，并以v＝9 m/s的速度跑到此标记时向乙发出起跑口令。乙在接力区的前端听到口令时起跑，并恰好在速度达到与甲相同时被甲追上，完成交接棒。已知接力区的长度为L＝20 m。求：
(1)此次练习中乙在接棒前的加速度a；
(2)在完成交接棒时乙离接力区末端的距离。
解析：(1)在甲发出口令后，甲乙达到共同速度所用时间为t＝①
设在这段时间内甲乙的位移分别为s1和s2，则
s2＝at2②
s1＝vt③
s1＝s2＋s0④
联立①②③④式解得a＝＝3 m/s2
(2)在这段时间内，乙在接力区的位移为
s2＝＝13.5 m完成交接棒时，乙离接力区末端的距离为
L－s2＝6.5 m。
答案：(1)3 m/s2 (2)6.5 m
10．(2013·大纲版全国卷)一客运列车匀速行驶，其车轮在铁轨间的接缝处会产生周期性的撞击。坐在该客车中的某旅客测得从第1次到第16次撞击声之间的时间间隔为10.0 s。在相邻的平行车道上有一列货车，当该旅客经过货车车尾时，货车恰好从静止开始以恒定加速度沿客车行进方向运动。该旅客在此后的20.0 s内，看到恰好有30节货车车厢被他连续超过。已知每根铁轨的长度为25.0 m，每节货车车厢的长度为16.0 m，货车车厢间距忽略不计。求：
(1)客车运行速度的大小；
(2)货车运行加速度的大小。
解析：本题考查运动学的基本规律，意在考查考生对运动过程的分析能力以及应用运动学公式解决问题的能力。
(1)设客车车轮连续两次撞击铁轨的时间间隔为Δt，每根铁轨的长度为l
，则客车速度大小为v＝ ①
其中l＝25.0 m，Δt＝ s，得v＝37.5 m/s ②
(2)设从货车开始运动后t＝20.0 s内客车行驶了s1米，货车行驶了s2米，货车的加速度为a,30节货车车厢的总长度为L＝30×16.0 m。由运动学公式有
s1＝vt ③
s2＝ at2 ④
由题给条件有L＝s1－s2 ⑤
由②③④⑤式解得
a＝1.35 m/s2 ⑥
答案：(1)37.5 m/s (2)1.35 m/s2
第3单元自由落体和竖直上抛
自由落体运动
[想一想]
一个石子从楼顶自由落下。
(1)试说明石子的运动性质。
(2)若石子落地的时间为t，则石子落地速度多大？楼顶的高度多大？(设重力加速度为g)
提示：(1)石子做初速度为零，加速度为g的匀加速直线运动。(2)gt，gt2。
[记一记]
1．概念
物体只在重力作用下从静止开始下落的运动。
2．运动特点
(1)初速度为零。
(2)加速度大小等于g，加速度的方向竖直向下。
3．运动规律
(1)速度公式：vt＝gt。
(2)位移公式：h＝gt2。
(3)速度位移关系式：v2＝2gh。
[试一试]
1．一个小石子从离地某一高度处由静止自由落下，某摄影爱好者恰好拍到了它下落的一段轨迹AB。该爱好者用直尺量出轨迹的长度，如图1－3－1所示。已知曝光时间为 s，则小石子出发点离A点的距离约为( )
图1－3－1
A．6.5 m B．10 m
C．20 m D．45 m
解析：选C 由于曝光时间很短，小石子到达A点时的速度约为vA＝＝ m/s＝20 m/s，h＝＝ m＝20 m，故C正确。
竖直上抛运动
[想一想]
如图1－3－2所示，小球随热气球以速度v0匀速上升，某时刻系小球的细绳断了，则绳断后，小球做什么性质的运动？再经过多长时间小球到达最高点？绳断后小球继续上升的最大高度为多大？到达最高点以后，小球开始做什么运动？经过多长时间到达地面？落地速度多大？
图1－3－2
提示：绳断后，小球做匀变速直线运动(竖直上抛运动)，经过时间t1＝，到达最高点，h
＝，从最高点开始，小球做自由落体运动，经过t2＝到达地面，此时速度v＝。
[记一记]
1．定义
将物体以一定的初速度竖直向上抛出，物体只在重力作用下的运动。
2．特点
上升过程是加速度为g的匀减速直线运动；下落过程是自由落体运动。
3．规律
(1)速度公式：vt＝v0－gt。
(2)位移公式：h＝v0t－gt2。
(3)速度－位移关系式：vt2－v02＝－2gh。
(4)上升的最大高度H＝。
(5)上升到最大高度用时：t＝。
[试一试]
2．(2014·湛江检测)将一个物体以某一速度从地面竖直向上抛出，物体从抛出到回到抛出点的运动过程中所受空气阻力忽略不计，则物体( )
A．落地速度小于抛出速度
B．在最高点的加速度为零
C．上升时间大于下落时间
D．上升时的加速度等于下落时的加速度
解析：选D 根据竖直上抛运动上升和下降过程的对称性可知A、C选项错误；由于竖直上抛运动只受重力的作用，无论在上升过程、下降过程还是在最高点，物体的加速度都为g，故B错误、D正确。
自由落体运动规律的应用
[例1] 在学习了伽利略对自由落体运动的研究后，甲同学给乙同学出了这样一道题：一个物体从塔顶落下(不考虑空气阻力)，物体到达地面前最后一秒内通过的位移为整个位移的，求塔高H(取g＝10 m/s2)。
乙同学的解法：根据h＝gt2得物体在最后1 s内的位移h1＝gt2＝5 m，再根据＝得H＝13.9 m，乙同学的解法是否正确？如果正确说明理由，如果不正确请给出正确解析过程和答案。
[审题指导]
(1)物体从塔顶落下的全过程为自由落体运动，但最后1 s内不是做自由落体运动。
(2)设物体下落的总时间为t，表示出物体最后1 s内的位移，再据题意列方程求解结果。
[解析] 乙同学的解法不正确。根据题意画出运动过程示意图，设物体从塔顶落到地面所经历的时间为t，通过位移为H，物体在(t－1)秒内的位移为h。
据自由落体运动规律，有
H＝gt2
h＝g(t－1)2
由题意得＝＝
联立以上各式解得H＝125 m。
[答案] 不正确 125 m
应用自由落体运动规律时应注意：
(1) 物体由静止开始的自由下落过程才是自由落体运动，从中间截取的一段运动过程不是自由落体运动，而是竖直下抛运动，应该用初速度不为零的匀变速直线运动规律去解决竖直下抛运动问题。
(2)可充分利用自由落体运动初速度为零的特点、比例关系及推论等规律解题。
①从运动开始连续相等的时间内位移之比为1∶3∶5∶7∶…。
②一段时间内的平均速度＝，＝，＝gt。
③连续相等的时间T内位移的增加量相等，即Δh＝gT2。
竖直上抛运动规律的应用
1.竖直上抛运动的研究方法
竖直上抛运动的实质是加速度恒为g的匀变速运动，处理时可采用两种方法：
(1)分段法：将全程分为两个阶段，
即上升过程的匀减速阶段和下落过程的自由落体阶段。
(2)全程法：将全过程视为初速度为v0，加速度a＝－g的匀变速直线运动，必须注意物理量的矢量性。习惯上取v0的方向为正方向，则v>0时，物体正在上升；v<0时，物体正在下降；h>0时，物体在抛出点上方；h<0时，物体在抛出点下方。
2．竖直上抛运动的对称性
(1)时间的对称性：
①物体上升到最高点所用时间与物体从最高点落回到原抛出点所用时间相等，即t上＝t下＝。
②物体在上升过程中从某点到达最高点所用的时间和从最高点落回该点所用的时间相等。
(2)速度的对称性：
①物体上抛时的初速度与物体又落回原抛出点时的速度大小相等、方向相反。
②物体在上升阶段和下降阶段经过同一个位置时的速度大小相等、方向相反。
(3)能量的对称性：
竖直上抛运动物体在上升和下降过程中经过同一位置时的动能、重力势能及机械能分别相等。
[例2] (2015·广东实验中学模拟)李煜课外活动小组自制一枚火箭，火箭从地面发射后，始终在垂直于地面的方向上运动。火箭点火后可认为做匀加速直线运动，经过4 s到达离地面40 m高处时燃料恰好用完，若不计空气阻力，g取10 m/s2，求：
(1)燃料恰好用完时火箭的速度；
(2)火箭离地面的最大高度；
(3)火箭从发射到残骸落回地面过程的总时间。
[解析] 设燃料用完时火箭的速度为v1，所用时间为t1。
火箭的运动分为两个过程，第一个过程为做匀加速上升运动，第二个过程为做竖直上抛运动至到达最高点。
(1)对第一个过程有h1＝t1，
代入数据解得v1＝20 m/s。
(2)对第二个过程有h2＝，
代入数据解得h2＝20 m
所以火箭离地面的最大高度
h＝h1＋h2＝40 m＋20 m＝60 m。
(3)方法一：分段分析法
从燃料用完到运动至最高点的过程中，由v1＝gt2得t2＝＝ s＝2 s
从最高点落回地面的过程中由h＝gt32，而h＝60 m，代入得t3＝2 s
故总时间t总＝t1＋t2＋t3＝(6＋2) s。
方法二：整体分析法
考虑火箭从燃料用完到落回地面的全过程，以竖直向上为正方向，全过程为初速度v1＝20 m/s，加速度g＝－10 m/s2，位移
h′＝－40 m的匀变速直线运动，即有h′＝v1t－gt2，代入数据解得t＝(2＋2) s或t＝(2－2) s(舍去)，故t总＝t1＋t＝(6＋2) s。
[答案] (1)20 m/s (2)60 m (3)(6＋2) s
解决此类问题时要充分利用运动的对称性，分段研究或整段研究。分段研究即把运动分为上升过程的匀减速运动和下落过程的自由落体运动；整段研究即把运动看做匀减速运动，具体步骤为：①选正方向；②把位移、速度、加速度矢量冠以“＋、－”写为代数量；③列方程求解。
对抽象问题，我们往往会感到无从下手，没有思路方法去解决，在这些问题中有的是题目情景叙述繁琐，题设条件隐蔽，用一般思路方法无法直接解决，有的题设条件与未知结论或已知结果与待求条件间无法轻易建立起一种逻辑思维关系(因果关系)。此时我们可以借助于图—文转换、图—图转换、研究对象的转换等，将抽象问题进行简单化处理，现分述如下：
图—文转换：将图象对物理量的描述转换为文字描述。或将文字描述转换为形象直观的图象或图形描述。
图—图转换：将一种图象或图形描述，转换为另一种易于理解和判断的图象或图形。
研究对象的转换：当直接研究某一物体不易或不能得出结论时，我们可以通过研究与该物体相联系的另一物体，得出结论。
[典例] (2014·淮南模拟)如图1－3－3所示，一杂技演员用一只手抛球、接球，他每隔0.4 s抛出一球，接到球便立即把球抛出。已知除抛、接球的时刻外，空中总有4个球，将球的运动近似看做是竖直方向的运动，球到达的最大高度是(高度从抛球点算起，取g＝
10 m/s2)( )
图1－3－3
A．1.6 m B．2.4 m
C．3.2 m D．4.0 m
转换对象
多体问题→单体问题
思路立现
将四个小球同时参与的运动看作一个小球做竖直上抛运动在不同时刻对应各小球的位置，使研究对象得以简化
[解析] 由题图所示的情形可以看出，四个小球在空中的位置与一个小球抛出后每隔0.4 s对应的位置是相同的，因此可知小球抛出后到达最高点和从最高点落回抛出点的时间均为t＝0.8 s，故有Hm＝gt2＝3.2 m，C正确。
[答案] C
[题后悟道] 研究多物体在空间或时间上重复同样的运动时，可利用一个物体的运动取代其他物体的运动，对此类问题如水龙头滴水、直升机定点空降、小球在斜面上每隔一定时间间隔连续释放等，均可把多体问题转化为单体问题求解。
一矿井深为125 m，在井口每隔一定时间自由下落一个小球，当第11个小球刚从井口下落时，第1个小球恰好到井底。求：(g取10 m/s2)
(1)相邻两个小球开始下落的时间间隔；
(2)这时第3个小球和第5个小球相隔的距离。
解析：(1)设相邻两个小球开始下落的时间间隔为Δt，由题意可知，第1个小球下落到井底的时间为t＝10Δt。
由h＝gt2，解得：t＝5 s。Δt＝0.5 s。
(2)方法一：第11个小球开始下落时，第3个小球下落时间t1＝8Δt＝4 s；
下落位移h1＝gt12＝80 m
第5个小球下落时间t2＝6Δt＝3 s
下落位移h2＝gt22＝45 m
得Δh＝h1－h2＝35 m。
方法二：此时第3个小球与第5个小球的距离等于第1个小球第4 s内下降的距离。
即Δh＝ h＝35 m。
答案：(1)0.5 s (2)35 m
[随堂巩固落实]
1．(2015·广州执信中学高三期中)一个物体自由下落6 s后落地，则在开始2 s内和最后2 s内通过的位移之比为( )
A．1∶5 B.3∶5
C．3∶11 D．1∶3
解析：选A 物体下落前2 s的位移为：h1＝gt12＝×10×4 m＝20 m，物体下落6 s的位移为：h6＝gt62＝×10×62m＝180 m，物体下落4 s的位移为：h4＝gt42＝×10×42m＝80 m，所以最后2 s内通过的路程为：h6－h4＝180 m－80 m＝100 m故开始2 s内和最后2 s内通过的路程之比为20∶100＝1∶5。
2．某人估测一竖直枯井深度，从井口静止释放一石头并开始计时，经2 s听到石头落地声，由此可知井深约为(不计声音传播时间，重力加速度g取10 m/s2)( )
A．10 m B．20 m
C．30 m D．40 m
解析：选B 由自由落体的规律，得h＝gt2＝20 m。
3．蹦床运动要求运动员在一张绷紧的弹性网上蹦起、腾空并做空中运动。为了测量运动员跃起的高度，训练时可在弹性网上安装压力传感器，利用传感器记录弹性网所受的压力，并在计算机上作出压力—时间图象，假如作出的图象如图1－3－4所示。设运动员在空中运动时可视为质点，则运动员跃起的最大高度是(g取10 m/s2)( )
图1－3－4
A．1.8 m B．3.6 m
C．5.0 m D．7.2 m
解析：选C 由题图可知运动员在空中的时间t＝2.0 s，故运动员跃起的最大高度Hm＝g()2＝5.0 m，C正确。
4．[多选]一物体自空中的A点以一定的初速度竖直向上抛出，2 s后物体的速率变为15 m/s，则此时物体的位置和速度方向可能是(不计空气阻力，g＝10 m/s2)( )
A．在A点上方，速度方向向下
B．在A点上方，速度方向向上
C．在A点下方，速度方向向下
D．正在A点，速度方向向下
解析：选BC 物体的速度为15 m/s，方向可能竖直向上或竖直向下，若竖直向上，则根据匀变速直线运动公式可得物体的初速度v0＝v＋gt＝35 m/s，物体的位移s＝v0t－gt2＝50 m>0，故此时物体在A点上方；若方向竖直向下，则初速度v0＝5 m/s，物体的位移s＝v0t－gt2＝－10 m<0，故此时物体位于A点下方。
5．[多选]某物体以30 m/s的初速度竖直上抛，不计空气阻力，g取10 m/s2,5 s内物体的( )
A．路程为65 m
B．位移大小为25 m，方向向上
C．速度改变量的大小为10 m/s
D．平均速度大小为13 m/s，方向向上
解析：选AB 初速度为30 m/s，只需3 s即可上升到最高点，上升高度为h1＝＝45 m，再自由下落2 s，下降高度为h2＝×10×22 m＝20 m，故路程为65 m，A对；此时离抛出点高25 m，故位移大小为25 m，方向竖直向上，B对；此时速度为v＝10×2 m/s＝20 m/s，方向向下，速度改变量大小为50 m/s，C错；平均速度为＝ m/s＝5 m/s，D错。
[课时跟踪检测]
高考常考题型：选择题＋计算题
一、单项选择题
1．(2014·广东四校联考)从同一高度处同时将a、b两个完全相同的小球分别竖直上抛和竖直下抛，它们的初速度大小也相同，以下说法中正确的是(不计空气阻力)( )
A．在空中运动过程中，两球的加速度相同
B．两球触地瞬时的速度不同
C．两球运动的位移不同
D．两球运动的路程相同
解析：选A 两球在空中运动过程只受重力，加速度相同，A正确；有由h＝知落地时两球速度相同，B错误；全过程两球位移相同，路程不同，C、D错误。
2．(2014·梅州模拟)在平直轨道上，匀加速向右行驶的封闭车厢中，悬挂着一个带有滴管的盛油容器，如图1所示，当滴管依次滴下三滴油时(设三滴油都落在车厢底板上)，下列说法中正确的是( )
图1
A．这三滴油依次落在OA之间，且后一滴比前一滴离O点远
B．这三滴油依次落在OA之间，且后一滴比前一滴离O点近
C．这三滴油依次落在OA间同一位置上
D．这三滴油依次落在O点上
解析：选C 设油滴开始滴下时车厢的速度为v0，下落的高度为h，则油滴下落的时间为t＝，车厢运动的水平距离为s1＝v0t＋at2，而油滴运动的水平距离为s2＝v0t，所以油滴相对于车运动的距离为Δs＝at2＝是一个定值，即这三滴油依次落在OA间同一位置上，C选项正确。
3．(2014·惠州模拟)四个小球在离地面不同高度同时从静止释放，不计空气阻力，从开始运动时刻起每隔相等的时间间隔，小球依次碰到地面。下列各图中，能反映出刚开始运动时各小球相对地面的位置的是( )
图2
解析：选C 依题意可设第1个小球经时间t落地，则第2个小球经时间2t落地，第3个小球经时间3t落地，第4个小球经时间4t落地。又因为四个小球做的都是初速度为零的匀加速运动，因此它们下落的高度之比为1∶4∶9∶16，只有C正确。
4．一物体从某一行星表面竖直向上抛出(不计空气阻力)。设抛出时t＝0，得到物体上升高度随时间变化的h－t图象如图3所示，则该行星表面重力加速度大小与物体被抛出时的初速度大小分别为( )
图3
A．8 m/s2,20 m/s B．10 m/s2,25 m/s
C．8 m/s2,25 m/s D．10 m/s2,20 m/s
解析：选A 由题图已知，物体上升的最大高度Hm＝25 m，上升和下落的时间均为t＝2.5 s，由Hm＝gt2可得出该行星表面的重力加速度大小为g＝8 m/s2。由t＝可得：v0＝gt＝20 m/s，故A正确。
5．以35 m/s的初速度竖直向上抛出一个小球，不计空气阻力，g取10 m/s2。以下判断正确的是( )
A．小球到达最大高度时的速度为5 m/s
B．小球到达最大高度时的加速度为0
C．小球上升的最大高度为61.25 m
D．小球上升阶段所用的时间为7 s
解析：选C 小球到达最大高度时的速度为0，加速度为g，故A、B错。上升的时间为t＝＝3.5 s，D错。上升的最大高度为h＝＝61.25 m，C对。
二、多项选择题
6．在塔顶上将一物体竖直向上抛出，抛出点为A，物体上升的最大高度为20 m，不计空气阻力，设塔足够高，则物体位移大小为10 m时，物体通过的路程可能为( )
A．10 m B．20 m
C．40 m D．50 m
解析：选AD 物体在塔顶上的A点抛出，位移大小为10 m的位置有两处，如图所示，一处在A点之上，另一处在A点之下，在A点之上时，通过位移为10 m处又有上升和下降两种过程，上升通过时，物体的路程等于位移h1的大小，即h1＝10 m；下落通过时，路程为2hm－h1＝2×20 m－10 m＝30 m，在A点之下时，通过的路程为2hm＋h2＝2×20 m＋10 m＝50 m。故A、D正确。
7．在某一高度以v0＝20 m
/s的初速度竖直上抛一个小球(不计空气阻力)，当小球速度大小为10 m/s时，以下判断正确的是(g取10 m/s2)( )
A．小球在这段时间内的平均速度大小可能为15 m/s，方向向上
B．小球在这段时间内的平均速度大小可能为5 m/s，方向向下
C．小球在这段时间内的平均速度大小可能为5 m/s，方向向上
D．小球的位移大小一定是25 m
解析：选AC 小球被竖直上抛，做的是匀变速直线运动，平均速度可以用匀变速直线运动的平均速度公式＝求，规定向上为正，当小球的末速度为向上10 m/s时，vt＝10 m/s，用公式求得平均速度为15 m/s，方向向上，A正确；当小球的末速度为向下10 m/s时，vt＝－10 m/s，用公式求得平均速度为5 m/s，方向向上，C正确；由于末速度大小为 10 m/s时，球的位置一定，距起点的位移s＝＝15 m，D错误。
8．从地面竖直上抛一物体A，同时在离地面某一高度处有一物体B自由下落，两物体在空中同时到达同一高度时速度大小均为v，则下列说法正确的是( )
A．A上抛的初速度与B落地时速度大小相等，都是2v
B．两物体在空中运动的时间相等
C．A上升的最大高度与B开始下落时的高度相同
D．两物体在空中同时达到的同一高度处一定是B开始下落时高度的中点
解析：选AC 设两物体从开始运动到相遇的时间为t，竖直上抛物体的初速度为v0，则由题意可知v＝gt＝v0－gt解得v0＝2v，故A正确；根据自由落体运动的规律和竖直上抛运动的对称性可知，C正确，B、D错误。
三、计算题
9．(2014·江门模拟)在一次跳伞特技表演中，质量为120 kg的运动员(连同装备)从高度为300 m的静止在空中的直升机上无初速度下落，6 s后他打开伞包，落地时速度恰好为零。不计打开伞包前的空气阻力，并假设打开伞包后的空气阻力恒定，g取10 m/s2。求：
(1)打开伞包时运动员的速度；
(2)打开伞包后运动员(连同装备)的加速度。
解析：(1)设打开伞包时运动员的速度为v1，则有
v1＝gt1＝10×6 m/s＝60 m/s。
(2)打开伞包前运动员下落的距离
h1＝gt12＝180 m
打开伞包后运动员下落的距离
h2＝H－h1＝120 m
设打开伞包的运动员下落过程中加速度大小为a
则02－v12＝－2ah2，得a＝15 m/s2 方向竖直向上
答案：(1)60 m/s (2) a＝15 m/s2 方向竖直向上
10．在竖直的井底，将一物块以11 m/s的速度竖直地向上抛出，物块冲过井口时被人接住，在被人接住前1 s内物块的位移是4 m，位移方向向上，不计空气阻力，g取10 m/s2，求：
(1)物块从抛出到被人接住所经历的时间；
(2)此竖直井的深度。
解析：(1)设被人接住前1 s时刻物块的速度为v，
则h′＝vt′－gt′2
故v＝＝m/s＝9 m/s
则物块从抛出到被人接住所用总时间为
t＝＋t′＝ s＋1 s＝1.2 s。
(2)竖直井的深度为
h＝v0t－gt2＝11×1.2 m－×10×1.22 m＝6 m。
答案：(1)1.2 s (2)6 m
第4单元运动图象__追及与相遇问题
直线运动的s—t图象
[想一想]
甲、乙两物体的位移时间图象如图1－4－1所示，请思考以下问题：
图1－4－1
(1)甲、乙两物体各做什么性质的运动。
(2)甲、乙两物体速度的大小关系。
(3)甲、乙两物体的出发点相距多远。
提示：(1)甲、乙两物体均做匀速直线运动。
(2)甲物体的速度小于乙物体的速度。
(3)两物体的出发点相距为s0，且甲物体在前。
[记一记]
1．图象的意义
反映了做直线运动的物体位移随时间变化的规律。
2．两种特殊的s－t图象
(1)s－t图象是一条平行于时间轴的直线，说明物体处于静止状态。
(2)s－t图象是一条倾斜直线，说明物体处于匀速直线运动状态。
3．s－t图象中的“点”“线”“斜率”“截距”的意义
[试一试]
1．[多选]如图1－4－2所示是一辆汽车做直线运动的s－t图象，对线段OA，AB，BC，CD所表示的运动，下列说法正确的是( )
图1－4－2
A．OA段运动最快
B．AB段静止
C．CD段表示的运动方向与初始运动方向相反
D．运动4 h汽车的位移大小为60 km
解析：选BC 图中CD段斜率的绝对值最大，故CD段的速度最大，A错误；AB段位移不随时间变化，说明AB段汽车静止，B正确；CD段的斜率与OA段的斜率符号相反，表明两段汽车的运动方向相反，C正确；4 h内汽车运动的总位移为零，D错误。
直线运动的v－t图象
[想一想]
A，B两物体的v－t图象如图1－4－3所示，请思考以下问题：
图1－4－3
(1)A，B两物体的运动性质；
(2)A，B两物体的加速度大小；
(3)在0～10 s内A，B两物体的位移大小。
提示：(1)A物体做匀速直线运动，B物体做匀加速直线运动。
(2)A物体的加速度为0，B物体的加速度大小为0.5 m/s2。
(3)在0～10 s内，A物体的位移大小为50 m，而B物体的位移大小为25 m。
[记一记]
1．图象的意义
反映了做直线运动的物体的速度随时间变化的规律。
2．两种特殊的v－t图象
(1)若v－t图象是与横轴平行的直线，说明物体做匀速直线运动。
(2)若v－t图象是一条倾斜的直线，说明物体做匀变速直线运动。
3．v－t图象中的“点”“线”“斜率”“截距”“面积”的意义
[试一试]
2．[多选]某物体运动的速度图象如图1－4－4所示，根据图象可知( )
图1－4－4
A．0～2 s内的加速度为1 m/s2
B．0～5 s内的位移为10 m
C．第1 s末与第3 s末的速度方向相同
D．第1 s末与第5 s末加速度方向相同
解析：选AC v－t图线在时间轴的上方，故第1 s末与第3 s末的速度方向相同，C正确。图线的斜率大小表示物体运动的加速度大小，正负表示加速度的方向，故0～2 s内的加速度1＝ m/s2＝1 m/s2，方向为正，A正确。第1 s末加速度的大小和方向与0～2 s内的相同，第5 s末加速度的大小和方向与4～5 s内的相同，而4～5 s内的加速度a2＝ m/s2＝－2 m/s2，方向为负，D错误。0～5 s内的位移s＝×(2＋5)×2 m＝7 m，B错误。
追及与相遇问题
[记一记]
1．追及与相遇问题的概述
当两个物体在同一直线上运动时，由于两物体的运动情况不同，所以两物体之间的距离会不断发生变化，两物体间距越来越大或越来越小，这时就会涉及追及、相遇或避免碰撞等问题。
2．追及问题的两类情况
(1)若后者能追上前者，则追上时，两者处于同一位置，后者的速度一定不小于前者的速度。
(2)若后者追不上前者，则当后者的速度与前者速度相等时，两者相距最近。
3．相遇问题的常见情况
(1)同向运动的两物体追及即相遇。
(2)相向运动的物体，当各自发生的位移大小之和等于开始时两物体的距离时即相遇。
[试一试]
3．甲、乙两物体先后从同一地点出发，沿一条直线运动，它们的v－t图象如图1－4－5所示，由图可知( )
图1－4－5
A．甲比乙运动快，且早出发，所以乙追不上甲
B．t＝20 s时，乙追上了甲
C．在t＝20 s之前，甲比乙运动快；在t＝20 s之后，乙比甲运动快
D．由于乙在t＝10 s时才开始运动，所以t＝10 s时，甲在乙前面，它们之间的距离为乙追上甲前的最大距离
解析：选C 从题图中看到开始甲比乙运动快，且早出发，但是乙做匀加速运动，最终是可以追上甲的，A项错误；t＝20 s时，速度图象中甲的速度图线与时间轴所围的面积大于乙的，即甲的位移大于乙的位移，所以乙没有追上甲，B项错误；在t＝20 s之前，甲的速度大于乙的速度，在t＝20 s之后，乙的速度大于甲的速度，C项正确；乙在追上甲之前，当它们速度相同时，它们之间的距离最大，对应的时刻为t＝20s ，D选项错误。
对运动图象的理解及应用
相同的图线在不同性质的运动图象中含义截然不同，下面我们做一全面比较(见下表)。
图象
s－t图象
v－t图象
a－t图象
图象实例
图线含义
图线①表示质点做匀速直线运动(斜率表示速度v)
图线①表示质点做匀加速直线运动(斜率表示加速度a)
图线①表示质点做加速度逐渐增大的直线运动
图线②表示质点静止
图线②表示质点做匀速直线运动
图线②表示质点做匀变速直线运动
图线③表示质点向负方向做匀速直线运动
图线③表示质点做匀减速直线运动
图线③表示质点做加速度减小的直线运动
图线含义
交点④表示此时三个质点相遇
交点④表示此时三个质点有相同的速度
交点④表示此时三个质点有相同的加速度
点⑤表示t1时刻质点位移为s1(图中阴影部分的面积没有意义)
点⑤表示t1时刻质点速度为v1(图中阴影部分面积表示质点在0～t1时间内的位移)
点⑤表示t1时刻质点加速度为a1(图中阴影部分面积表示质点在0～t1时间内的速度变化量)
[例1] 汽车由静止开始在平直的公路上行驶，0～60 s内汽车的加速度随时间变化的图线如图1－4－6所示。
图1－4－6
(1)画出汽车在0～60 s内的v－t图线；
(2)求在这60 s内汽车行驶的路程。
[解析] (1)设t＝10 s, 40 s, 60 s时刻的速度分别为v1，v2，v3。由图知0～10 s内汽车以加速度2 m/s2匀加速行驶，由运动学公式得
v1＝2×10 m/s＝20 m/s①
由图知10 s～40 s内汽车匀速行驶，因此v2＝20 m/s②
由图知40 s～60 s内汽车以加速度1 m/s2匀减速行驶，由运动学公式得v3＝(20－1×20) m/s＝0③
根据①②③式，可画出汽车在0～60 s内的v－t图线，如图所示。
(2)由v－t图线可知，在这60 s内汽车行驶的路程为
s＝×20 m＝900 m。
[答案] (1)见解析 (2)900 m
应用运动图象解题时应注意的问题
(1)运动图象只描述直线运动。
(2)不同的图象“斜率”“面积”的含义不同。
(3)速度图象中，图线斜率为正，物体不一定做加速运动，图线斜率为负，物体也不一定做减速运动。
追及相遇问题分析
1.追及相遇问题中的两个关系和一个条件
(1)两个关系：即时间关系和位移关系，这两个关系可通过画草图得到。
(2)一个条件：即两者速度相等，它往往是物体间能否追上、追不上或(两者)距离最大、最小的临界条件，也是分析判断的切入点。
2．追及相遇问题常见的情况
假设物体A追物体B，开始时，两个物体相距s0，有两种常见情况：
(1)A追上B时，必有sA－sB＝s0，且vA≥vB。
(2)要使两物体恰好不相撞，两物体同时到达同一位置时相对速度为零，必有sA－sB＝
s0，vA＝vB。若使两物体保证不相撞，此时应有vA0，则这两个物体永远不能相遇；若存在某个时刻t，使得y＝f(t)≤0，则这两个物体可能相遇
思路二：设两物体在t时刻两物体相遇，然后根据位移关系列出关于t的方程f(t)＝0，若方程f(t)＝0无正实数解，则说明这两物体不可能相遇；若方程f(t)＝0存在正实数解，说明这两个物体能相遇
图象法
(1)若用位移图象求解，分别作出两个物体的位移图象，如果两个物体的位移图象相交，则说明两物体相遇
(2)若用速度图象求解，则注意比较速度图线与时间轴包围的面积
相对运动法
用相对运动的知识求解追及或相遇问题时，要注意将两个物体对地的物理量(速度、加速度和位移)转化为相对的物理量。在追及问题中，常把被追及物体作为参考系，这样追赶物体相对被追物体的各物理量即可表示为：s相对＝s后－s前＝s0，v相对＝v后－v前，a相对＝a后－a前，且上式中各物理量(矢量)的符号都应以统一的正方向进行确定
[典例] 在水平轨道上有两列火车A和B相距s，A车在后面做初速度为v0、加速度大小为2a的匀减速直线运动，而B车同时做初速度为零、加速度为a的匀加速直线运动，两车运动方向相同。要使两车不相撞，求A车的初速度v0满足什么条件。
[解析] 要使两车不相撞，A车追上B车时其速度最大只能与B车相等。设A，B两车从相距s到A车追上B车时，A车的位移为sA、末速度为vA、所用时间为t；B车的位移为
sB、末速度为vB、运动过程如图1－4－7所示，现用4种方法解答如下：
图1－4－7
方法一：临界法 利用位移公式、速度公式求解，对A车有sA＝v0t＋×(－2a)×t2，vA＝v0＋(－2a)×t，
对B车有sB＝at2，vB＝at，
两车位移关系有s＝sA－sB，
追上时，两车不相撞的临界条件是vA＝vB，
联立以上各式解得v0＝。
故要使两车不相撞，A车的初速度v0应满足的条件是v0<。
方法二：函数法 利用判别式求解，由解法一可知sA＝s＋sB，即v0t＋×(－2a)×t2＝s＋at2，
整理得3at2－2v0t＋2s＝0。
这是一个关于时间t的一元二次方程，当根的判别式Δ＝(－2v0)2－4·3a·2s<0时，t无实数解，即两车不相撞，所以要使两车不相撞，A车的初速度v0应满足的条件是v0<。
方法三：图象法 利用v－t图象求解，先作A、B两车的v－t图象，如图1－4－8所示，设经过t时间两车刚好不相撞，则对A车有vA＝v＝v0－2at，
图1－4－8
对B车有vB＝v＝at，
以上两式联立解得t＝。
经t时间两车发生的位移之差为原来两车间的距离s，它可用图中的阴影面积表示，由图象可知
s＝v0·t＝v0·＝，
所以要使两车不相撞，A车的初速度v0应满足的条件是v0<。
方法四：相对运动法 巧选参考系求解。以B车为参考系，A车的初速度为v0
，加速度为a＝－2a－a＝－3a。A车追上B车且刚好不相撞的条件是：vt＝0，这一过程A车相对于B车的位移为s，由运动学公式vt2－v02＝2as得：
02－v02＝2·(－3a)·s，
所以v0＝。
即要使两车不相撞，A车的初速度v0应满足的条件是v0<。
[答案] v0<
[题后悟道] 方法一注重对运动过程的分析，抓住两车间距离有极值时速度应相等这一关键条件来求解；方法二由位移关系得到一元二次方程，然后利用根的判别式来确定方程中各系数间的关系，这也是中学物理中常用的数学方法；方法三通过图象使两车的位移关系更直观、简洁；方法四通过巧妙地选取参考系，使两车的运动关系变得简明。
A、B两列火车，在同一轨道上同向行驶，A车在前，其速度vA＝10 m/s，B车在后，其速度vB＝30 m/s，因大雾能见度低，B车在距A车s0＝85 m时才发现前方有A车，这时B车立即刹车，但B车要经过180 m才能停止，问：B车刹车时A车仍按原速率行驶，两车是否会相撞？若会相撞，将在B车刹车后何时相撞？若不会相撞，则两车最近距离是多少？
解析：设B车刹车过程的加速度大小为aB，由v2－v02＝2as可得：02－302＝2(－aB)·180
解得：aB＝2.5 m/s2
设经过时间t两车相撞，则有：vBt－aBt2＝s0＋vAt，
即30t－×2.5t2＝85＋10t，
整理得t2－16t＋68＝0
由Δ＝162－4×68<0可知t无实数解，即两车不会相撞，速度相等时两车相距最近，可得：vA＝vB－aBt1，t1＝8 s。
此过程中sB＝vBt－aBt12＝160 m
sA＝vAt1＝80 m，
两车的最近距离Δs＝s0＋sA－sB＝5 m。
答案：不会相撞 5 m
[随堂巩固落实]
1．(2015·广东省高三联考)物体甲的vt图象和乙的st图象分别如图1－4－9所示，
则这两个物体的运动情况是( )
图1－4－9
A．甲在整个t＝4 s时间内有来回运动
B．甲在整个t＝4 s时间内运动方向一直不变
C．乙在整个t＝4 s时间内有来回运动
D．乙在整个t＝4 s时间内运动方向一直不变，通过的总位移大小为0 m
解析：选A 甲在第2秒末速度由负变正，说明速度方向发生了变化，B错；乙的图线斜率始终保持不变，说明乙的速度不变，通过的总位移是6米，C、D错误，故选A。
2．(2015·汕头市潮师中学期中考试)某物体运动的速度—时间图象如图1－4－10所示，则可以判断物体的运动形式是( )
图1－4－10
A．朝某一个方向做直线运动
B．做匀变速直线运动
C．做曲线运动
D．做来回往复的运动
解析：选A 由速度－时间图象可知，速度都是正值，表示物体都沿正方向运动，即朝某一方向直线运动，而不是往复运动。故A正确，C、D错误；物体做的是匀加速直线运动与匀减速直线运动交替的运动，加速度在交替变化，整个不是匀变速直线运动，故B错误。
3．(2014·清远模拟)亚丁湾索马里海域六艘海盗快艇试图靠近中国海军护航编队保护的商船，中国特战队员成功将其驱离。假如其中一艘海盗快艇在海面上运动的v－t图象如图1－4－11所示，设运动过程中海盗快艇所受阻力不变。则下列说法正确的是( )
图1－4－11
A．海盗快艇在0～66 s内从静止出发做加速度增大的加速直线运动
B．海盗快艇在96 s末开始调头逃离
C．海盗快艇在66 s末离商船最近
D．海盗快艇在96～116 s内做匀减速直线运动
解析：选B 在0～66 s内图象的斜率越来越小，加速度越来越小，故海盗快艇做加速度减小的加速运动，A选项错；海盗快艇在96 s末，速度由正变负，即改变运动的方向，开始掉头逃跑，此时海盗快艇离商船最近，B对C错；海盗快艇在96～116 s内，沿反方向做匀加速运动，D选项错。
4．如图1－4－12所示的位移(s)－时间(t)图象和速度(v)－时间(t)图象中给出四条图线，甲、乙、丙、丁代表四辆车由同一地点向同一方向运动的情况，则下列说法正确的是( )
图1－4－12
A．甲车做直线运动，乙车做曲线运动
B．0～t1时间内，甲车通过的路程大于乙车通过的路程
C．0～t2时间内，丙、丁两车在t2时刻相距最远
D．0～t2时间内，丙、丁两车的平均速度相等
解析：选C 在s－t图象中表示的是做直线运动的物体的位移随时间的变化情况，而不是物体运动的轨迹。由于甲、乙两车在0～t1时间内做单向的直线运动，故在这段时间内两车通过的位移和路程均相等，A、B选项均错。在v－t图象中，t2时刻丙、丁速度相等，故两者相距最远，C选项正确。由图线可知，0～t2时间内丙的位移小于丁的位移，故丙的平均速度小于丁的平均速度，D选项错误。
5．[多选]汽车B在平直公路上行驶，发现前方沿同方向行驶的汽车A速度较小，为了避免相撞，距A车25 m处B车制动，此后它们的v－t图象如图1－4－13所示，则( )
图1－4－13
A．汽车B的加速度大小为3.75 m/s2
B．汽车A、B在t＝4 s时的速度相同
C．汽车A、B在0～4 s内的位移相同
D．汽车A、B两车不会相撞
解析：选BD 汽车B的加速度大小为a＝ m/s2＝2.5 m/s2
，故A错误；根据图象知，t＝4 s时汽车A、B的速度相同，故B正确；在速度图象中，图线与时间轴围成的面积表示物体的位移，故C错误；当它们速度相等时，汽车A的位移sA＝5×4 m＝20 m，汽车B的位移sB＝×(15＋5)×4 m＝40 m，因为sBva，两车不可能再次相遇，D错。
三、计算题
9．酒后驾车严重威胁公众交通安全。若将驾驶员从视觉感知前方危险到汽车开始制动的时间称为反应时间，将反应时间和制动时间内汽车行驶的总距离称为感知制动距离。科学研究发现，反应时间和感知制动距离在驾驶员饮酒前后会发生明显变化。一驾驶员正常驾车和酒后驾车时，感知前方危险后汽车运动v－t图线分别如图9甲、乙所示。求：
图9
(1)正常驾驶时的感知制动距离s；
(2)酒后驾驶时的感知制动距离比正常驾驶时增加的距离Δs。
解析：(1)设驾驶员饮酒前、后的反应时间分别为t1、t2，由图线可得：t1＝0.5 s，t2＝1.5 s
汽车减速时间为t3＝4.0 s，初速度v0＝30 m/s
由图线可得：s＝v0t1＋t3，解得：s＝75 m
(2)Δs＝v0(t2－t1)＝30×(1.5－0.5) m＝30 m
答案：(1)75 m (2)30 m
10．一辆值勤的警车停在平直公路边，当警员发现从他旁边以v＝8 m/s的速度匀速驶过的货车有违章行为时，决定前去追赶，经2.5 s，警车发动起来，以加速度a＝2 m/s2做匀加速运动，试问：
(1)警车发动起来后要多长的时间才能追上违章的货车？
(2)在警车追上货车之前，两车间的最大距离是多少？
(3)若警车的最大速度是12 m/s，则警车发动起来后要多长的时间才能追上违章的货车？
解析：(1)警车启动时两车相距：Δs＝Δt·v＝2.5×8 m＝20 m。
设警车发动起来后要时间t才能追上违章的货车，则
at2－vt＝Δs
解得t＝10 s或t＝－2 s(舍去)。
(2)在警车追上货车之前，两车速度相等时，两车间的距离最大，设警车发动起来后经时间t′两车速度相等，两车间的距离最大为sm，则
t′＝＝4 s
sm＝Δs＋v·t′－at′2＝(20＋8×4－×2×42) m＝36 m。
(3)若警车的最大速度是12 m/s，则警车发动起来后加速的时间t0＝＝ s＝6 s
设警车发动起来后经过时间t″追上违章的货车，则
at02＋vm(t″－t0)－vt″＝Δs
解得t″＝14 s。
答案：(1)10 s (2)36 m (3)14 s
实验一研究匀变速直线运动
一、实验目的
(1)练习正确使用打点计时器，学会利用打上点的纸带研究物体的运动。
(2)掌握判断物体是否做匀变速直线运动的方法(Δs＝aT2)。
(3)测定匀变速直线运动的加速度。
二、实验原理
1．打点计时器
(1)作用：计时仪器，当所用交流电源的频率f＝50 Hz时，每隔0.02 s打一次点。
(2)工作条件
2．处理纸带数据时区分计时点和计数点
计时点是指打点计时器在纸带上打下的点。计数点是指测量和计算时在纸带上所选取的点，要注意“每5个点取一个计数点”与“每隔4个点取一个计数点”取点方法是一样的。
3．判断物体的运动是否为匀变速直线运动的方法
(1)沿直线运动的物体在连续相等时间T内的位移分别为s1，s2，s3，s4，…，若Δs＝s2－s1＝s3－s2＝s4－s3＝…，则说明物体在做匀变速直线运动，且Δs＝aT2。
(2)利用“平均速度法”确定多个点的瞬时速度，作出物体运动的v－t图象。若v－t图线是一条倾斜的直线，则说明物体的速度随时间均匀变化，即做匀变速直线运动。
4．利用纸带数据求解物体的速度、加速度的方法
(1)“平均速度法”求物体在某点的瞬时速度，即vn＝，如图实－1－1所示。
图实－1－1
(2)“逐差法”求物体的加速度，即a1＝，a2＝，a3＝，然后求平均值，即a＝＝，这样使所测数据全部得到利用，准确度较高。
这个表达式也可以根据下列思路得到：把(s1＋s2＋s3)和(s4＋s5＋s6)分别看做sⅠ，sⅡ，利用sⅡ－sⅠ＝at2，其中 t＝3T。
同理可得(s3＋s4)－(s1＋s2)＝4aT2。
三、实验器材
电火花计时器(或电磁打点计时器)，一端附有定滑轮的长木板、小车、纸带、细绳、钩码、刻度尺、导线、电源、复写纸片。
四、实验步骤
1．仪器安装
(1)把附有滑轮的长木板放在实验桌上，并使滑轮伸出桌面，把打点计时器固定在长木板上没有滑轮的一端，连接好电路。
(2)把一条细绳拴在小车上，细绳跨过定滑轮，下边挂上合适的钩码，把纸带穿过打点计时器，并把它的一端固定在小车的后面。实验装置见图实－1－2所示，放手后，看小车能否在木板上平稳地加速滑行。
图实－1－2
2．测量与记录
(1)把小车停在靠近打点计时器处，先接通电源，后放开小车，让小车拖着纸带运动，打点计时器就在纸带上打下一系列的点，换上新纸带，重复三次。
(2)从三条纸带中选择一条比较理想的，舍掉开头一些比较密集的点，从后边便于测量的点开始确定计数点，为了计算方便和减小误差，通常用连续打点五次的时间作为时间单位，即T＝0.1 s。正确使用毫米刻度尺测量每相邻两计数点间的距离，并填入设计的表格中。
(3)利用某一段时间的平均速度等于这段时间中间时刻的瞬时速度求得各计数点的瞬时速度。
(4)增减所挂钩码数，再重复实验两次。
五、数据处理
1．由实验数据得出v－t图象
(1)根据表格中的v，t数据，在直角坐标系中仔细描点。
(2)作一条直线，使同一次实验得到的各点尽量落到这条直线上，落不到直线上的各点应均匀分布在直线的两侧，这条直线就是本次实验的v－t图线，它是一条倾斜的直线，如图实－1－3所示。
图实－1－3
2．由实验得出的v－t图象进一步得出小车运动的速度随时间变化的规律
有两条途径进行分析：
图实－1－4
(1)直接分析图象的特点得出，小车运动的v－t图象是一条倾斜的直线，如图实－1－4所示，当时间增加相同的值Δt，速度也会增加相同的值Δv，由此得出结论：
小车的速度随时间均匀变化。
(2)通过函数关系进一步得到，既然小车的v－t图象是一条倾斜的直线，那么v随t变化的函数关系式为v＝kt＋b，显然v与t成“线性关系”，小车的速度随时间均匀变化。
六、注意事项
(1)纸带和细绳要和木板平行，小车运动要平稳。
(2)实验中应先接通电源，后让小车运动；实验后应先断开电源后取纸带。
(3)要防止钩码落地和小车与滑轮相撞。
(4)小车的加速度适当大些可以减小长度的测量误差，加速度大小以能在约50 cm的纸带上清楚地打出6～7个计数点为宜。
七、误差分析
(1)根据纸带测量的位移有误差。
(2)电源频率不稳定，造成相邻两点的时间间隔不完全相等。
(3)纸带运动时打点不稳定引起测量误差。
(4)用作图法，作出的v－t图象并不是一条直线。
(5)木板的粗糙程度并非完全相同，这样测量得到的加速度只能是所测量段的平均加速度。
实验原理与操作
[例1] 如图实－1－5所示，将打点计时器固定在铁架台上，使重物带动纸带从静止开始自由下落，利用此装置可以测定重力加速度。
图实－1－5
(1)所需器材有打点计时器(带导线)、纸带、复写纸、带铁夹的铁架台和带夹子的重物，此外还需________(填字母代号)器材。
A．直流电源、天平及砝码
B．直流电源、毫米刻度尺
C．交流电源、天平及砝码
D．交流电源、毫米刻度尺
(2)通过作图象的方法可以剔除偶然误差较大的数据，提高实验的准确程度。为使图线的斜率等于重力加速度，除作v－t图象外，还可作________________________________图象，其纵轴表示的是________________________________，横轴表示的是________________________________。
[解析] (1)打点计时器需接交流电源。重力加速度与物体的质量无关，所以不需要天平和砝码。计算速度需要测相邻计数点间的距离，需要毫米刻度尺，故D正确。
(2)由公式v2＝2gs可知，如绘出－s图象，其斜率也等于重力加速度。
[答案] (1)D (2)－s 速度平方的二分之一 重物下落的高度
[题组演练]
1．“研究匀变速直线运动”的实验中，使用电磁打点计时器(所用交流电的频率为50 Hz)，得到如图实－1－6所示的纸带。图中的点为计数点，相邻两计数点间还有四个点未画出来，下列表述正确的是( )
图实－1－6
A．实验时应先放开纸带再接通电源
B．(s6－s1)等于(s2－s1)的6倍
C．从纸带可求出计数点B对应的速率
D．相邻两个计数点间的时间间隔为0.02 s
解析：选C 中间时刻的瞬时速度等于全程的平均速度，所以vB＝，所以C正确；s6－s1＝5(s2－s1)，所以B错误；相邻计数点间的时间间隔是0.1 s，D错误；按照实验要求应该先接通电源再放开纸带，所以A错误。
2．在做“研究匀变速直线运动”的实验时，为了能够较准确地测出加速度，将你认为正确的选项前面的字母填在横线上：____________________。
A．把附有滑轮的长木板放在实验桌上，并使滑轮伸出桌面
B．把打点计时器固定在长木板上没有滑轮的一端，连接好电路
C．再把一条细绳拴在小车上，细绳跨过滑轮，下边挂上合适的钩码，每次必须由静止释放小车
D．把纸带穿过打点计时器，并把它的一端固定在小车的后面
E．把小车停在靠近打点计时器处，接通直流电源后，放开小车，让小车拖着纸带运动，
打点计时器就在纸带上打下一系列的点，换上新纸带，重复三次
F．从三条纸带中选择一条比较理想的纸带，舍掉开头比较密集的点，在后边便于测量的地方找一个开始点，并把每打五个点的时间作为时间单位。在选好的开始点下面记作0，往后第六个点作为计数点1，依此标出计数点2、3、4、5、6，并测算出相邻两点间的距离
G．根据公式a1＝，a2＝，a3＝，及a＝求出a
解析：在实验中尽可能地保证小车做匀变速直线运动，同时也要求纸带能尽可能地直接反映小车的运动情况，既要减小运动误差也要减小纸带的分析误差。其中E项中的电源应采用交流电源，而不是直流电源。
答案：ABCDFG
数据处理与误差分析
[例2] 在做“研究匀变速直线运动”的实验中：
(1)实验室提供了以下器材：打点计时器、一端附有滑轮的长木板、小车、纸带、细绳、钩码、刻度尺、导线、交流电源、复写纸、弹簧测力计。其中在本实验中不需要的器材是________________。
(2)如图实－1－7所示，是某同学由打点计时器得到的表示小车运动过程的一条清晰纸带，纸带上两相邻计数点间还有四个点没有画出，打点计时器打点的时间间隔T＝0.02 s，其中s1＝7.05 cm，s2＝7.68 cm，s3＝8.33 cm，s4＝8.95 cm，s5＝9.61 cm，s6＝10.26 cm。
图实－1－7
下表列出了打点计时器打下B，C，F时小车的瞬时速度，请在表中填入打点计时器打下D，E两点时小车的瞬时速度。
位置
B
C
D
E
F
速度/(m·s－1)
0.737
0.801
0.994
(3)以A点为计时起点，在坐标图实－1－8中画出小车的速度－时间关系图线。
图实－1－8
(4)根据你画出的小车的速度－时间关系图线计算出的小车的加速度a＝________ m/s2。
[解析] (1)本实验中不需要测量力的大小，因此不需要的器材是弹簧测力计。
(2)根据匀变速直线运动中间时刻的瞬时速度等于这段时间内的平均速度知：
vD＝＝＝0.864 m/s
同理可得vE＝0.928 m/s。
(3)小车的速度—时间关系图线如图实－1－9所示。
图实－1－9
(4)在v－t图象中，图线的斜率表示加速度的大小，则a＝＝(0.64±0.01) m/s2。
[答案] (1)弹簧测力计 (2)0.864 0.928 (3)见解析图 (4)(0.64±0.01)
[题组演练]
3．(2013·广东高考)研究小车匀变速直线运动的实验装置如图实－1－10甲所示，其中斜面倾角θ可调，打点计时器的工作频率为50 Hz，纸带上计数点的间距如图乙所示，其中每相邻两点之间还有4个记录点未画出。
甲 乙
图实－1－10
(1)部分实验步骤如下：
A．测量完毕，关闭电源，取出纸带
B．接通电源，待打点计时器工作稳定后放开小车
C．将小车停靠在打点计时器附近，小车尾部与纸带相连
D．把打点计时器固定在平板上，让纸带穿过限位孔
上述实验步骤的正确顺序是：________(用字母填写)。
(2)图乙中标出的相邻两计数点的时间间隔T＝________s。
(3)计数点5对应的瞬时速度大小计算式为v5＝________。
(4)为了充分利用记录数据，减小误差，小车加速度大小的计算式应为a＝________。
解析：本题考查研究匀变速直线运动实验的实验步骤及实验数据处理，意在考查考生对实验要点的掌握及实验数据的处理能力。
(1)正确的实验步骤：DCBA。
(2)相邻两个计数点间的时间间隔T＝5× s＝0.1 s。
(3)根据匀变速直线运动一段位移内的中间时刻的瞬时速度等于平均速度，得到计数点5对应的瞬时速度大小v5＝。
(4)用逐差法求得小车的加速度a＝。
答案：(1)DCBA (2)0.1 (3)
(4)
4．(2011·广东高考)图实－1－11是“研究匀变速直线运动”实验中获得的一条纸带，O，A，B，C，D和E为纸带上六个计数点。加速度大小用a表示。
图实－1－11
(1)OD间的距离为________ cm；
(2)图实－1－12是根据实验数据绘出的s－t2图线(s为各计数点至同一起点的距离)，斜率表示________，其大小为________ m/s2(保留三位有效数字)。
图实－1－12
解析：(1)由题图可知，＝(22.1－10.0) mm＝12.1 mm＝1.21 cm(结果在1.18～1.22 cm均正确)。
(2)由于物体做的是匀变速直线运动，所以其从某一点开始运动的位移s＝v0t＋at2，由于s－t2图线是一条过原点的倾斜直线，因此v0＝0，则s＝t2，这样，我们就可以知道s－t2图的斜率为，通过图线可求得斜率为0.464。
答案：(1)1.18～1.22 (2)a 0.458～0.464
实验的改进与创新
[例3] (2012·山东高考)某同学利用图实－1－13所示的实验装置，探究物块在水平桌面上的运动规律。物块在重物的牵引下开始运动，重物落地后，物块再运动一段距离停在桌面上(尚未到达滑轮处)。从纸带上便于测量的点开始，每5个点取1个计数点，相邻计数点间的距离如图实－1－14所示。打点计时器电源的频率为50 Hz。
图实－1－13
图实－1－14
(1)通过分析纸带数据，可判断物块在两相邻计数点________和________之间某时刻开始减速。
(2)计数点5对应的速度大小为________m/s，计数点6对应的速度大小为________m/s(保留三位有效数字)。
(3)物块减速运动过程中加速度的大小为a＝____m/s2，若用来计算物块与桌面间的动摩擦因数(g为重力加速度)，则计算结果比动摩擦因数的真实值________(填“偏大”或“偏小”)。
[解析] (1)①从计数点1到6相邻的相等时间内的位移差Δs≈2.00 cm，在6、7计数点间的位移比5、6之间增加了(12.28－11.01) cm＝1.27 cm<2.00 cm，因此，开始减速的时刻在计数点6和7之间。
(2)根据v5＝可得v5＝ m/s＝1.00 m/s，同理可求得v4＝0.800 5 m/s，则v6＝v5＋(v5－v4)＝1.20 m/s。
(3)加速度的大小a＝，可得a＝2.00 m/s2，重物落地后，物块向前运动时受到的阻力除水平面的摩擦力作用外，纸带和限位孔之间也存在摩擦力作用，即μmg＋F阻＝ma，μ＝，故利用μ＝计算动摩擦因数比真实值偏大。
[答案] (1)6 7(或7 6) (2)1.00 1.20 (3)2.00 偏大
一、本题创新点分析
1．源于教材——本例中的实验器材、实验原理及利用纸带求速度、加速度的方法与教材实验是相同的。
2．高于教材——本例中因计数点6位于物体从加速到减速转折的边缘，因此计数点6的速度不能采用求平均速度的方法直接计算，另外本例中还指出了一种测量物体间动摩擦因数的方法。
二、本实验还可以从以下方面进行改进创新
(一)实验器材的创新
1．如果提供光电门和刻度尺，我们可以测出遮光片的宽度d，借助v＝求出物体通过光电门的速度，再由v22－v12＝2as，测出物体的加速度。
2．如果提供闪光照相机和刻度尺，我们可以用处理纸带的方法，求出物体的瞬时速度及物体的加速度。
(二)数据处理
如果测得物体运动的位移和对应时间。
1．若初速度为零，则s＝at2，因此做出s－t2图线，图线斜率的2倍即为物体的加速度。
2．若物体的初速度不为零，则s＝v0t＋at2，可得＝v0＋at，因此做出－t图线，图线斜率的2倍即为物体的加速度。
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[题组演练]
5．某同学为估测摩托车在水泥路面上行驶时所受的牵引力，设计了下述实验：将输液用的500 mL玻璃瓶装适量水后，连同输液管一起绑在摩托车上，调节输液管的滴水速度，刚好每隔1.0 s滴一滴，该同学骑摩托车，先使之加速到某一速度，然后熄火，保持摩托车沿直线滑行，图实－1－15是某次实验中水泥路面上的部分水滴(左侧是起点)。设该同学质量为50 kg，摩托车的质量为75 kg(g＝10 m/s2)，根据该同学的实验结果可估算(图中长度单位：m)：
图实－1－15
(1)骑摩托车行驶至D点时的速度大小为________ m/s；
(2)骑摩托车加速时的加速度大小为________ m/s2；
(3)骑摩托车加速时的牵引力大小为________ N。
解析：(1)vD＝＝14.0 m/s；
(2)a＝≈3.79 m/s2；
(3)同理，根据FJ段数据可知，摩托车减速时的加速度大小a′≈0.19 m/s2
由牛顿第二定律得f＝ma′＝23.75 N
又加速时F－f＝ma，所以F＝f＋ma＝497.5 N。
答案：(1)14.0 (2)3.79 (3)497.5
6．图实－1－16是某同学在做匀变速直线运动实验中获得的一条纸带。
图实－1－16
(1)已知打点计时器电源频率为50 Hz，则纸带上打相邻两点的时间间隔为________。
(2)A、B、C、D是纸带上四个计数点，每两个相邻计数点间有四个点没有画出，从图中读出A、B两点间距s＝________；C点对应的速度是________(计算结果保留三位有效数字)。
解析：本题主要考查刻度尺的读数、利用打点计时器打下的纸带计算瞬时速度、有效数字的要求等，意在考查考生使用
仪器、记录、处理实验数据的能力。毫米刻度尺的精确度为0.1 mm，故AB间的距离为
1.70 cm－1.00 cm＝0.70 cm，vC＝＝ m/s＝0.100 m/s。
答案：(1)0.02 s (2)0.70 cm(0.68～0.72 cm均正确) 0.100 m/s
7．(2015·云浮模拟)如图实－1－17所示为一次记录小车运动情况的纸带，图中A，B，C，D，E，F，G为相邻的计数点，相邻计数点的时间间隔T＝0.1 s。
图实－1－17
(1)在图实－1－18所示的坐标系中作出小车的v－t图线。
图实－1－18
(2)将图线延长与纵轴相交，交点的速度大小是________ cm/s，此速度的物理意义是________________________________________________________________________
________________________________________________________________________。
解析：(1)应用vn＝，求出各计数点B、C、D、E、F对应的速度为vB＝16.50 cm/s，vC＝21.40 cm/s，vD＝26.30 cm/s，vE＝31.35 cm/s，vF＝36.30 cm/s，在v－t坐标系中描点，连线如图所示。
(2)由图中可以读出，图线与纵轴交点的速度大小为11.60 cm/s，此速度表示A点的瞬时速度。
答案：(1)见解析 (2)11.60 表示A点的瞬时速度
热点专题课(一)八法求解直线运动问题
在处理直线运动的某些问题时，如果用常规解法，解答繁琐且易出错，
如果从另外的角度巧妙入手，反而能使问题的解答快速、简捷，下面便介绍几种处理直线运动问题的方法和技巧。
一、假设法
假设法是一种科学的思维方法，这种方法的要领是以客观事实(如题设的物理现象及其变化)为基础，对物理条件、物理状态或物理过程等进行合理的假设，然后根据物理概念和规律进行分析、推理和计算，从而使问题迎刃而解。
[典例1] 一个以初速度v0沿直线运动的物体，t秒末的速度为v，其v－t图象如图1－1所示，则关于t秒内物体运动的平均速度，以下说法正确的是( )
图1－1
A.＝ B.<
C.> D．无法确定
[解析] 本题我们可以假设物体做初速度为v0，末速度为v的匀变速直线运动，则其v－t图象如图1－2中的倾斜虚线所示。
图1－2
由匀变速直线运动的规律知物体在时间t内的平均速度等于这段时间内的初速度v0与末速度v的算术平均值，即平均速度等于，而物体在t秒内的实际位移比匀变速直线运动在t秒内的位移大，所以>，故选项C正确。
[答案] C
二、逐差法
在匀变速直线运动中，第M个T时间内的位移和第N个T时间内的位移之差sM－sN＝(M－N)aT2。对纸带问题用此方法尤为快捷。
[典例2] 一个做匀加速直线运动的质点，在连续相等的两个时间间隔内，通过的位移分别为24 m和64 m，每一个时间间隔为4 s，求质点的初速度v0和加速度a。
[解析] 题目中出现了连续相等的时间间隔，应优先考虑用公式Δs＝aT2求解。根据题意有
Δs＝64 m－24 m＝40 m，T＝4 s
由此可得质点的加速度为
a＝＝ m/s2＝2.5 m/s2
把前一段时间间隔内的s＝24 m，T＝4 s及a＝2.5 m/s2代入s＝v0T＋aT2
解得v0＝1 m/s。
[答案] 1 m/s 2.5 m/s2
三、平均速度法
在匀变速直线运动中，物体在时间t内的平均速度等于物体在这段时间内的初速度v0与末速度v的算术平均值，也等于物体在t时间内中间时刻的瞬时速度，即＝＝＝v。如果将这两个推论加以利用，可以使某些问题的求解更为简捷。
[典例3] 一个小球从斜面顶端无初速度下滑，接着又在水平面上做匀减速运动，直至停止，它共运动了10 s，斜面长4 m，在水平面上运动的距离为6 m。求：
(1)小球在运动过程中的最大速度；
(2)小球在斜面和水平面上运动的加速度大小。
[解析] 小球在斜面上做匀加速直线运动，在斜面底端速度最大，设最大速度为vmax，在斜面上运动的时间为t1，在水平面上运动的时间为t2。则
由t1＋t2＝10，t1＋t2＝10，
得vmax＝2 m/s
由公式2as＝vmas2，代入数据得a1＝ m/s2，
a2＝ m/s2。
[答案] (1)2 m/s (2) m/s2 m/s2
四、相对运动法
以系统中的一个物体为参考系研究另一个物体运动情况的方法。
[典例4] [多选]甲、乙两物体同时、同向且沿同一直线运动。乙在前面做初速度为0、加速度为a2的匀加速运动，甲在后面做初速度为v0、加速度为a1的匀加速运动，则( )
A．若a1＝a2，则两物体只能相遇一次
B．若a1>a2，则两物体一定相遇两次
C．若a1a2，则物体甲相对物体乙做初速度为v0、加速度为(a1－a2)的匀加速运动，所以两物体只能相遇一次，B错误。如果a110 s，可将时间分为前5 s和后5 s与中间的时间t2，经复杂运算得t2＝－2 s，再得出t＝8 s的结论。若用逆向的初速度为零的匀加速直线运动处理，将会简便得多。
将物体运动视为反向的初速度为零的匀加速直线运动，则最后5 s内通过的路程为
s2＝a×52＝12.5a
最初5 s内通过的路程为
s1＝at2－a(t－5)2＝a(10t－25)
由题中已知的条件：s1∶s2＝11∶5得：
(10t－25)∶25＝11∶5
解得物体运动的总时间t＝8 s。
[答案] 8 s
七、极值法
有些问题用一般的分析方法求解难度较大，甚至中学阶段暂时无法求出，我们可以把研究过程推向极端情况来加以分析，往往能很快得出结论。
[典例7] 两个光滑斜面，高度和斜面的总长度都相等，如图1－3所示，两个相同的小球，同时由两个斜面顶端由静止开始释放，不计拐角处能量损失，则两球谁先到达底端？
图1－3
[解析] 甲斜面上的小球滑到斜面底端的时间很容易求出。设斜面高度为h，长度为L，斜面的倾角为θ。则由L＝gt12sin θ，sin θ＝，解得t1＝。
乙斜面上的小球滑到斜面底端的时间很难直接计算。可将乙斜面作极端处理：先让小球竖直向下运动，然后再水平运动，易解得这种运动过程中小球运动的时间为t2＝＋＝
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