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高考数学选做23题：极坐标与参数方程 ‎1、极坐标与直角坐标的互化公式 如图所示，把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴，且长度单位相同，设任意一点M的直角坐标与极坐标分别为(x，y)，(ρ，θ)．‎ ‎(1)极坐标化直角坐标 ‎(2)直角坐标化极坐标 ‎2．圆的极坐标方程 一般情形：设圆心C(ρ0，θ0)，半径为r，M(ρ，θ)为圆上任意一点，则|CM|＝r，‎ ‎∠COM＝|θ－θ0|，根据余弦定理可得圆C的极坐标方程为ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ－r2＝0‎ 即 ‎(3) ‎ ‎3．直线的极坐标方程 一般情形，设直线l过点P(ρ0，θ0)，倾斜角为α，M(ρ，θ)为直线l上的动点，则在△OPM中利用正弦定理可得直线l的极坐标方程为 ‎ (4) ρsin(α－θ)＝ρ0sin(α－θ0)．‎ 特殊地：过极点，倾斜角为α，直线的极坐标方程：θ＝α(ρ≥0) ‎ ‎4.圆的参数方程 ‎4.1．圆心在坐标原点，半径为r的圆的参数方程 如图圆O与x轴正半轴交点M0(r，0)．‎ 设M(x，y)为圆O上任一点，以OM为终边的角设为θ，则以θ为参数的圆O的参数方程是 ‎ ‎ （5） (θ为参数)．‎ ‎2．圆心为C(a，b)，半径为r的圆的参数方程 ‎4.2圆心为(a，b)，半径为r的圆的参数方程可以看成将圆心在原点，半径为r的圆通过坐标平移得到，所以其参数方程为 ‎(6) (θ为参数)．‎ ‎5.椭圆的参数方程 ‎(1)中心在原点，焦点在x轴上的椭圆＋＝1(a>b>0)的参数方程是 ‎(7) (φ是参数)，规定参数φ的取值范围是[0，2π)．‎ ‎(2)中心在原点，焦点在y轴上的椭圆＋＝1(a>b>0)的参数方程是 ‎(8) (φ是参数)，规定参数φ的取值范围是[0，2π)．‎ ‎7.抛物线的参数方程 ‎(1)抛物线y2＝2px的参数方程为 ‎ (9) (t为参数)．‎ ‎(2)参数t的几何意义是抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数．‎ ‎8. 直线的参数方程 经过点M0(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程为 ‎ ‎(10)(t为参数)．‎ 直线的参数方程中参数t的几何意义 参数t的绝对值表示参数t所对应的点M到定点M0的距离||．‎ ‎ 高考数学选做24题：不等式 ‎1．重要不等式 定理1：如果a，b∈R，那么a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立．‎ ‎2．基本不等式 ‎(1)定理2：如果a，b>0，那么 ( ≥)，当且仅当a＝b时，等号成立．‎ ‎ 3．三个正数的算术几何平均不等式 ‎1．如果a、b、c∈R＋，那么a3＋b3＋c3≥3abc，当且仅当a＝b＝c时，等号成立．‎ ‎2．(定理3)如果a、b、c∈R＋，那么 (≥)，当且仅当a＝b＝c时，等号成立．即三个正数的算术平均不小于它们的几何平均．‎ ‎3．如果a1，a2，…，an∈R＋，那么≥，当且仅当a1＝a2＝…＝an时，等号成立．即对于n个正数a1，a2，…，an，它们的算术平均不小于它们的几何平均．‎ ‎4．绝对值三角不等式 ‎(1)定理1：如果a，b是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立．‎ 推论1：如果a，b是实数，那么|a|－|b|≤|a－b|≤|a|＋|b|.‎ 推论2：如果a，b是实数，那么|a|－|b|≤|a＋b|≤|a|＋|b|.‎ ‎(2)定理2：如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立．‎ ‎5．绝对值不等式的解法 ‎1．|x|a型不等式的解法 设a>0，则(1)|x|a⇔x<－a或x>a；‎ ‎(4)|x|≥a⇔x≤－a或x≥a．‎ ‎2．|ax＋b|≤c(c>0)与|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法 ‎(1)|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c；‎ ‎(2)|ax＋b|≥c⇔ax＋b≤－c或ax＋b≥c．‎ ‎3．|x－a|＋|x－b|≤c与|x－a|＋|x－b|≥c型不等式的解法 ‎(1)利用绝对值不等式的几何意义求解，体现数形结合思想，理解绝对值的几何意义，给绝对值不等式以准确的几何解释．‎ ‎(2)以绝对值的零点为分界点，将数轴分为几个区间，利用“零点分段法”求解，体现分类讨论的思想．确定各个绝对值号内多项式的正、负号，进而去掉绝对值号．‎ ‎(3)通过构造函数，利用函数的图象求解，‎ 体现了函数与方程的思想．正确求出函数的零点并画出函数图象(有时需要考察函数的增减性)是关键．‎ 例题：例如：分类讨论法：即通过合理分类去绝对值后再求解。‎ 例1： 解不等式。‎ 分析:由，，得和。和把实数集合分成三个区间，即，，，按这三个区间可去绝对值，故可按这三个区间讨论。‎ 解:当x＜-2时，得， 解得：‎ ‎ 当-2≤x≤1时，得， 解得：‎ 当时，得 ， 解得：‎ ‎6.柯西不等式：‎ ‎1．二维形式的柯西不等式 若a，b，c，d都是实数，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，当且仅当ad＝bc时，等号成立．‎ 注意：‎ ‎1．二维柯西不等式的三种形式及其关系 定理1是柯西不等式的代数形式，定理2是柯西不等式的向量形式，定理3是柯西不等式的三角形式．‎ 根据向量的意义及其坐标表示不难发现二维形式的柯西不等式及二维形式的三角不等式均可看作是柯西不等式的向量形式的坐标表示．‎ ‎2．理解并记忆三种形式取“＝”的条件 代数形式中当且仅当ad＝bc时取等号．‎ ‎3．掌握二维柯西不等式的常用变式 ‎(1) ·≥|ac＋bd|.‎ ‎(2) · ≥|ac|＋|bd|.‎ ‎(3) ·≥ac＋bd.‎ ‎(4)(a＋b)(c＋d)≥(＋)2.‎ ‎4．基本不等式与二维柯西不等式的对比 ‎(1)基本不等式是两个正数之间形成的不等关系．二维柯西不等式是四个实数之间形成的不等关系，从这个意义上讲，二维柯西不等式是比基本不等式高一级的不等式．‎ ‎(2)基本不等式具有放缩功能，利用它可以比较大小，证明不等式，当和(或积)为定值时，可求积(或和)的最值，同样二维形式的柯西不等式也有这些功能，利用二维形式的柯西不等式求某些特殊函数的最值非常有效．‎ 二　一般形式的柯西不等式 ‎1．三维形式的柯西不等式 设a1，a2，a3，b1，b2，b3是实数，则 ‎(a＋a＋a)(b＋b＋b)≥(a1b1＋a2b2＋a3b3)2，‎ 当且仅当bi＝0(i＝1，2，3)或存在一个数k，使得ai＝kbi(i＝1，2，3)时，等号成立．‎ ‎2．一般形式的柯西不等式 设a1，a2，a3，…，an，b1，b2，b3，…，bn是实数，则 ‎(a＋a＋…＋a)(b＋b＋…＋b)≥(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2，‎ 当且仅当bi＝0(i＝1,2,…,n)或存在一个数k,使得ai＝kbi(i＝1,2,…,n)时，等号成立．‎ 注意：对柯西不等式一般形式的说明：‎ 一般形式的柯西不等式是二维形式 、三维形式、四维形式的柯西不等式的归纳与推广，其特点可类比二维形式的柯西不等式来总结，左边是平方和的积，右边是积的和的平方．运用时的关键是构造出符合柯西不等式的结构形式．‎