2015高考数学（理）（基本不等式及其应用）一轮复习学案 10页

学案 36 基本不等式及其应用 导学目标： 1.了解基本不等式的证明过程.2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问 题． 自主梳理 1．基本不等式 ab≤a＋b 2 (1)基本不等式成立的条件：____________. (2)等号成立的条件：当且仅当________时取等号． 2．几个重要的不等式 (1)a2＋b2≥________ (a，b∈R)． (2)b a ＋a b ≥____(a，b 同号)． (3)ab≤ a＋b 2 2 (a，b∈R)． (4) a＋b 2 2____a2＋b2 2 . 3．算术平均数与几何平均数 设 a>0，b>0，则 a，b 的算术平均数为________，几何平均数为________，基本不等式 可叙述为：________________________________________________. 4．利用基本不等式求最值问题 已知 x>0，y>0，则 (1)如果积 xy 是定值 p，那么当且仅当________时，x＋y 有最____值是________(简记： 积定和最小)． (2)如果和 x＋y 是定值 p，那么当且仅当________时，xy 有最____值是__________(简记： 和定积最大)． 自我检测 1．“a>b>0”是“ab0 ， x x2＋3x＋1 ≤a 恒 成 立 ， 则 a 的 取 值 范 围 为 ________________． 探究点一 利用基本不等式求最值 例 1 (1)已知 x>0，y>0，且1 x ＋9 y ＝1，求 x＋y 的最小值； (2)已知 x<5 4 ，求函数 y＝4x－2＋ 1 4x－5 的最大值； (3)若 x，y∈(0，＋∞)且 2x＋8y－xy＝0，求 x＋y 的最小值． 变式迁移 1 (2011·重庆)已知 a>0，b>0，a＋b＝2，则 y＝1 a ＋4 b 的最小值是( ) A.7 2 B．4 C.9 2 D．5 探究点二 基本不等式在证明不等式中的应用 例 2 已知 a>0，b>0，a＋b＝1，求证：(1＋1 a)(1＋1 b)≥9. 变式迁移 2 已知 x>0，y>0，z>0. 求证： y x ＋z x x y ＋z y x z ＋y z ≥8. 探究点三 基本不等式的实际应用 例 3 (2011·镇江模拟)某单位用 2 160 万元购得一块空地，计划在该空地上建造一栋至 少 10 层，每层 2 000 平方米的楼房．经测算，如果将楼房建为 x(x≥10)层，则每平方米的平 均建筑费用为 560＋48x(单位：元)． (1)写出楼房平均综合费用 y 关于建造层数 x 的函数关系式； (2)该楼房应建造多少层时，可使楼房每平方米的平均综合费用最少？最少值是多少？ (注：平均综合费用＝平均建筑费用＋平均购地费用，平均购地费用＝购地总费用 建筑总面积) 变式迁移 3 (2011·广州月考)某国际化妆品生产企业为了占有更多的市场份额，拟在 2012 年英国伦敦奥运会期间进行一系列促销活动，经过市场调查和测算，化妆品的年销量 x 万件与年促销费 t 万元之间满足 3－x 与 t＋1 成反比例，如果不搞促销活动，化妆品的年销 量只能是 1 万件，已知 2012 年生产化妆品的设备折旧、维修等固定费用为 3 万元，每生产 1 万件化妆品需再投入 32 万元的生产费用，若将每件化妆品的售价定为其生产成本的 150% 与平均每件促销费的一半之和，则当年生产的化妆品正好能销完． (1)将 2012 年的利润 y(万元)表示为促销费 t(万元)的函数． (2)该企业 2012 年的促销费投入多少万元时，企业的年利润最大？ (注：利润＝销售收入－生产成本－促销费，生产成本＝固定费用＋生产费用) 1．a2＋b2≥2ab 对 a、b∈R 都成立；a＋b 2 ≥ ab成立的条件是 a，b∈R＋；b a ＋a b ≥2 成立 的条件是 ab>0，即 a，b 同号． 2．利用基本不等式求最值必须满足一正、二定、三相等三个条件，并且和为定值时， 积有最大值，积为定值时，和有最小值． 3．使用基本不等式求最值时，若等号不成立，应改用单调性法．一般地函数 y＝ax＋b x ， 当 a>0，b<0 时，函数在(－∞，0)，(0，＋∞)上是增函数；当 a<0，b>0 时，函数在(－ ∞，0)，(0，＋∞)上是减函数；当 a>0，b>0 时函数在 － b a ，0 ， 0， b a 上是减 函数，在 －∞，－ b a ， b a ，＋∞ 上是增函数；当 a<0，b<0 时，可作如下变形： y＝－ －ax＋ －b x 来解决最值问题． (满分：75 分) 一、选择题(每小题 5 分，共 25 分) 1．设 a>0，b>0，若 3是 3a 与 3b 的等比中项，则1 a ＋1 b 的最小值为( ) A．8 B．4 C．1 D.1 4 2．(2011·鞍山月考)已知不等式(x＋y) 1 x ＋a y ≥9 对任意正实数 x，y 恒成立，则正实数 a 的最小值为( ) A．2 B．4 C．6 D．8 3．已知 a>0，b>0，则1 a ＋1 b ＋2 ab的最小值是( ) A．2 B．2 2 C．4 D．5 4．一批货物随 17 列货车从 A 市以 a km/h 的速度匀速直达 B 市，已知两地铁路线长 400 km，为了安全，两列车之间的距离不得小于 a 20 2 km，那么这批货物全部运到 B 市，最快 需要( ) A．6 h B．8 h C．10 h D．12 h 5．(2011·宁波月考)设 x，y 满足约束条件 3x－y－6≤0 x－y＋2≥0 x≥0，y≥0 ，若目标函数 z＝ax＋by (a>0， b>0)的最大值为 12，则2 a ＋3 b 的最小值为( ) A.25 6 B.8 3 C.11 3 D．4 二、填空题(每小题 4 分，共 12 分) 6．(2010·浙江)若正实数 x，y 满足 2x＋y＋6＝xy，则 xy 的最小值是________． 7．(2011·江苏)在平面直角坐标系 xOy 中，过坐标原点的一条直线与函数 f(x)＝2 x 的图象 交于 P，Q 两点，则线段 PQ 长的最小值是________． 8．已知 f(x)＝32x －(k＋1)3x ＋2，当 x∈R 时，f(x)恒为正值，则 k 的取值范围为 __________________． 三、解答题(共 38 分) 9．(12 分)(1)已知 00)． (1)在该时段内，当汽车的平均速度 v 为多少时车流量 y 最大？最大车流量为多少？ (2)为保证在该时段内车流量至少为 10 千辆/小时，则汽车的平均速度应控制在什么范围 内？ 11．(14 分)某加工厂需定期购买原材料，已知每千克原材料的价格为 1.5 元，每次购买 原材料需支付运费 600 元，每千克原材料每天的保管费用为 0.03 元，该厂每天需要消耗原 材料 400 千克，每次购买的原材料当天即开始使用(即有 400 千克不需要保管)． (1)设该厂每 x 天购买一次原材料，试写出每次购买的原材料在 x 天内总的保管费用 y1 关于 x 的函数关系式； (2)求该厂多少天购买一次原材料才能使平均每天支付的总费用 y 最小，并求出这个最 小值． 学案 36 基本不等式及其应用 自主梳理 1．(1)a>0，b>0 (2)a＝b 2.(1)2ab (2)2 (4)≤ 3.a＋b 2 ab 两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数 4.(1)x＝y 小 2 p (2)x＝y 大 p2 4 自我检测 1．A 2.A 3.C 4．大 －2 2－1 5.[1 5 ，＋∞) 课堂活动区 例 1 解题导引 基本不等式的功能在于“和与积”的相互转化，使用基本不等式求 最值时，给定的形式不一定能直接适合基本不等式，往往需要拆添项或配凑因式(一般是凑 和或积为定值的形式)，构造出基本不等式的形式再进行求解．基本不等式成立的条件是“一 正、二定、三相等”，“三相等”就是必须验证等号成立的条件． 解 (1)∵x>0，y>0，1 x ＋9 y ＝1， ∴x＋y＝(x＋y) 1 x ＋9 y ＝y x ＋9x y ＋10≥6＋10＝16. 当且仅当y x ＝9x y 时，上式等号成立，又1 x ＋9 y ＝1， ∴x＝4，y＝12 时，(x＋y)min＝16. (2)∵x<5 4 ，∴5－4x>0. y＝4x－2＋ 1 4x－5 ＝－ 5－4x＋ 1 5－4x ＋3 ≤－2 5－4x· 1 5－4x ＋3＝1， 当且仅当 5－4x＝ 1 5－4x ， 即 x＝1 时，上式等号成立，故当 x＝1 时，ymax＝1. (3)由 2x＋8y－xy＝0，得 2x＋8y＝xy， ∴2 y ＋8 x ＝1. ∴x＋y＝(x＋y) 8 x ＋2 y ＝10＋8y x ＋2x y ＝10＋2 4y x ＋x y ≥10＋2×2× 4y x ·x y ＝18， 当且仅当4y x ＝x y ，即 x＝2y 时取等号． 又 2x＋8y－xy＝0，∴x＝12，y＝6. ∴当 x＝12，y＝6 时，x＋y 取最小值 18. 变式迁移 1 C [∵a＋b＝2，∴a＋b 2 ＝1. ∴1 a ＋4 b ＝(1 a ＋4 b)(a＋b 2 )＝5 2 ＋(2a b ＋ b 2a)≥5 2 ＋2 2a b · b 2a ＝9 2(当且仅当2a b ＝ b 2a ，即 b＝2a 时， “＝”成立)，故 y＝1 a ＋4 b 的最小值为9 2.] 例 2 解题导引 “1”的巧妙代换在不等式证明中经常用到，也会给解决问题提供简捷 的方法． 在不等式证明时，列出等号成立的条件不仅是解题的必要步骤，而且也是检验转化是否 有误的一种方法． 证明 方法一 因为 a>0，b>0，a＋b＝1， 所以 1＋1 a ＝1＋a＋b a ＝2＋b a. 同理 1＋1 b ＝2＋a b. 所以(1＋1 a)(1＋1 b)＝(2＋b a)(2＋a b) ＝5＋2(b a ＋a b)≥5＋4＝9. 所以(1＋1 a)(1＋1 b)≥9(当且仅当 a＝b＝1 2 时等号成立)． 方法二 (1＋1 a)(1＋1 b)＝1＋1 a ＋1 b ＋ 1 ab ＝1＋a＋b ab ＋ 1 ab ＝1＋ 2 ab ， 因为 a，b 为正数，a＋b＝1， 所以 ab≤(a＋b 2 )2＝1 4 ，于是 1 ab ≥4， 2 ab ≥8， 因此(1＋1 a)(1＋1 b)≥1＋8＝9(当且仅当 a＝b＝1 2 时等号成立)． 变式迁移 2 证明 ∵x>0，y>0，z>0， ∴y x ＋z x ≥2 yz x >0， x y ＋z y ≥2 xz y >0， x z ＋y z ≥2 xy z >0. ∴ y x ＋z x x y ＋z y x z ＋y z ≥8 yz· xz· xy xyz ＝8. 当且仅当 x＝y＝z 时等号成立． 所以(y x ＋z x)(x y ＋z y)(x z ＋y z)≥8. 例 3 解题导引 1.用基本不等式解应用题的思维程序为： 由题设写 出函数 → 变形 转化 → 利用基本 不等式 → 求得 最值 → 结论 2．在应用基本不等式解决实际问题时，要注意以下四点：(1)先理解题意，设变量，一 般把要求最值的变量定为函数；(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数最值问 题；(3)在定义域内求函数最值；(4)正确写出答案． 解 (1)依题意得 y＝(560＋48x)＋2 160×10 000 2 000x ＝560＋48x＋10 800 x (x≥10，x∈N*)． (2)∵x>0，∴48x＋10 800 x ≥2 48×10 800＝1 440， 当且仅当 48x＝10 800 x ，即 x＝15 时取到“＝”， 此时，平均综合费用的最小值为 560＋1 440＝2 000(元)． 答 当该楼房建造 15 层时，可使楼房每平方米的平均综合费用最少，最少值为 2 000 元． 变式迁移 3 解 (1)由题意可设 3－x＝ k t＋1 ， 将 t＝0，x＝1 代入，得 k＝2.∴x＝3－ 2 t＋1 . 当年生产 x 万件时， ∵年生产成本＝年生产费用＋固定费用， ∴年生产成本为 32x＋3＝32 3－ 2 t＋1 ＋3. 当销售 x(万件)时，年销售收入为 150% 32 3－ 2 t＋1 ＋3 ＋1 2t. 由题意，生产 x 万件化妆品正好销完，由年利润＝年销售收入－年生产成本－促销费， 得年利润 y＝－t2＋98t＋35 2t＋1 (t≥0)． (2)y＝－t2＋98t＋35 2t＋1 ＝50－ t＋1 2 ＋ 32 t＋1 ≤50－2 t＋1 2 × 32 t＋1 ＝50－2 16＝42(万元)， 当且仅当t＋1 2 ＝ 32 t＋1 ，即 t＝7 时，ymax＝42， ∴当促销费投入 7 万元时，企业的年利润最大． 课后练习区 1．B [因为 3a·3b＝3，所以 a＋b＝1， 1 a ＋1 b ＝(a＋b) 1 a ＋1 b ＝2＋b a ＋a b ≥2＋2 b a·a b ＝4，当且仅当b a ＝a b 即 a＝b＝1 2 时，“＝”成立．] 2．B [不等式(x＋y) 1 x ＋a y ≥9 对任意正实数 x，y 恒成立，则 1＋a＋y x ＋ax y ≥a＋2 a＋ 1≥9， ∴ a≥2 或 a≤－4(舍去)． ∴正实数 a 的最小值为 4.] 3．C [因为1 a ＋1 b ＋2 ab≥2 1 ab ＋2 ab ＝2 1 ab ＋ ab ≥4，当且仅当1 a ＝1 b 且 1 ab ＝ ab， 即 a＝b＝1 时，取“＝”号．] 4．B [第一列货车到达 B 市的时间为400 a h，由于两列货车的间距不得小于 a 20 2 km， 所以第 17 列货车到达时间为400 a ＋16· a 20 2 a ＝400 a ＋16a 400 ≥8，当且仅当400 a ＝16a 400 ，即 a＝100 km/h 时成立，所以最快需要 8 h．] 5．A 6．18 解析 由 x>0，y>0,2x＋y＋6＝xy，得 xy≥2 2xy＋6(当且仅当 2x＝y 时，取“＝”)， 即( xy)2－2 2 xy－6≥0， ∴( xy－3 2)·( xy＋ 2)≥0. 又∵ xy>0，∴ xy≥3 2，即 xy≥18. 故 xy 的最小值为 18. 7．4 解析 过原点的直线与 f(x)＝2 x 交于 P、Q 两点，则直线的斜率 k>0，设直线方程为 y＝ kx，由 y＝kx， y＝2 x ， 得 x＝ 2 k ， y＝ 2k 或 x＝－ 2 k ， y＝－ 2k， ∴P( 2 k ， 2k)，Q(－ 2 k ，－ 2k)或 P(－ 2 k ，－ 2k)，Q( 2 k ， 2k)． ∴|PQ|＝  2 k ＋ 2 k 2＋ 2k＋ 2k2 ＝2 2 k＋1 k ≥4. 8．(－∞，2 2－1) 解析 由 f(x)>0 得 32x－(k＋1)·3x＋2>0，解得 k＋1<3x＋2 3x ，而 3x＋2 3x ≥2 2，∴k＋1<2 2， k<2 2－1. 9．解 (1)∵0