文科高考数学复习资料 69页

文科高考数学复习资料 第一章 集合 一 定义 集合是高中数学中最原始的不定义的概念，只给出描述性的说明。某些确定的且不同的对象集在一起就成为集合。组成集合的对象叫做元素。‎ 二 集合的抽象表示形式 用大写字母A，B，C……表示集合；用小写字母a，b，c……表示元素。‎ 三 元素与集合的关系 有属于，不属于关系两种。元素a属于集合A，记作；元素a不属于集合A，记作。‎ 四 几种集合的命名 有限集：含有有限个元素的集合；‎ 无限集：含有无限个元素的集合；‎ 空 集：不包含任何元素的集合叫做空集，用表示；‎ 自然数集：N；正整数集：N*或N+；整数集：Z；‎ 有理数集：Q；实数集：R。‎ 五 集合的表示方法 ‎(一) 列举法：把元素一一列举在大括号内的表示方法，‎ 例如：{a,b,c}。‎ 注意：凡是以列举法形式出现的集合，往往考察元素的互异性。‎ ‎(二) 描述法：有以下两种描述方式 ‎1．代号描述：【例】方程的所有解组成的集合，可表示为{x|x2-3x+2=0}。x是集合中元素的代号，竖线也可以写成冒号或者分号，竖线后面的式子的作用是描述集合中的元素符合的条件。‎ ‎2．文字描述：将说明元素性质的一句话写在大括号内。【例】{大于2小于5的整数}；描述法表示的集合一旦出现，首先需要分析元素的意义，也就说要判断元素到底是什么。‎ ‎(三) 韦恩图法：用图形表示集合定义了两个集合之间的所有关系。‎ ‎1．子集：如果属于A的所有元素都属于B，那么A就叫做B的子集，记作：，如图1-1所示。 图1-1‎ 子集有两种极限情况：(1)当A成为空集时，A仍为B的子集；‎ ‎ (2)当A和B相等时，A仍为B的子集。‎ 真子集：如果所有属于A的元素都属于B，而且Ｂ中至少有一个元素不属于A，那么A叫做B的真子集，记作或。‎ 真子集也是子集，和子集的区别之处在于。对于同一个集合，其真子集的个数比子集少一个。‎ ‎(1)求子集或真子集的个数，由n各元素组成的集合，‎ 有2n个子集，有2n -1个真子集；‎ ‎(2)空集的考查：凡是提到一个集合是另一个集合的子集，作为子集的集合首先可以是空集，的等价形式主要有：。‎ ‎2．交集：由两个集合的公共元素组成的集合，叫做这两个集合的交集，记作，读作A交B，如图1-2所示。‎ ‎ ‎ 图1-2 图1-3 图1-4‎ ‎3．并集：由两个集合所有元素组成的集合，叫做这两个集合的并集，记作，读作A并B，如图1-3所示。‎ ‎4．补集：由所有不属于Ａ的元素组成的集合，叫做Ａ在全集Ｕ中的补集，记作，读作A补，如图1-4所示。‎ 德摩根公式 ：‎ ‎.‎ ‎(四) 区间表示法：数轴上的一段数组成的集合可以用区间表示，区间分为开区间和闭区间，开区间用小括号表示，是大于或小于的意思；闭区间用中括号表示，是大于等于或小于等于的意思；【例】(2，3)，[2,3]，(2,3]，[2，3]．．．‎ 第二章 函数 一 映射与函数的基本概念 ‎(一) 映 射 A集合中的每个元素按照某种对应法则在B集合中都能找到唯一的元素和它对应，这种对应关系叫做从A集合到B集合的映射。A中的元素叫做原象，B中的相应元素叫做象。‎ 在A到B的映射中，从A中元素到B中元素的对应，可以多对一，不可以一对多。‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 图2-1是映射 图2-2是一一映射 图2-3不是映射 ‎(Ⅰ)求映射(或一一映射)的个数，m个元素的集合到n个元素的集合的映射的个数是nm。‎ ‎(Ⅱ)判断是映射或不是映射：可以多对一，不可以一对多。‎ ‎(二) 函数的概念 定义域到值域的映射叫做函数。如图2-4。高中阶段，函数用f(x)来表示：即x按照对应法则f对应的函数值为f(x)．函数有解析式和图像两种具体的表示形式。‎ 偶尔也用表格表示函数。‎ 函数三要素：定义域A：x取值范围组成的集合。值域B：y取值范围组成的集合。对应法则f：y与x的对应关系。有解析式和图像和映射三种表示形式 ‎ 函数与普通映射的区别在于：‎ ‎(1)两个集合必须是数集； ‎ ‎(2)不能有剩余的象，即每个函数值y都能找到相应的自变量x与其对应。‎ ‎ ‎ 图2-4 ‎ 二 定义域题型 ‎ ‎ ‎ ‎(一) 具体函数：即有明确解析式的函数，定义域的考查有两种形式 直接考查：主要考解不等式。利用：在中；在中，；在中，；在中，；在中， ；在 与中且，列不等式求解。‎ ‎(二)抽象函数：只要对应法则相同，括号里整体的取值范围就完全相同。‎ 三 值域题型 ‎(一) 常规函数求值域：画图像，定区间，截段。‎ 常规函数有：一次函数，二次函数，反比例函数，指数对数函数，三角函数，对号函数。‎ ‎(二) 非常规函数求值域：想法设法变形成常规函数求值域。‎ 解题步骤：(1)换元变形；‎ ‎(2)求变形完的常规函数的自变量取值范围；‎ ‎(3)画图像，定区间，截段。‎ ‎(三) 分式函数求值域 ：四种题型 ‎(1) ：则且。‎ ‎(2)：利用反表示法求值域。先反表示，再利用x的范围解不等式求y的范围。‎ ‎(3)：‎ ‎ ，‎ 则且。‎ ‎(4)求的值域，当时，用判别式法 求值域。，‎ ‎ 值域 ‎(四) 不可变形的杂函数求值域： 利用函数的单调性画出函数趋势图像，定区间，截段。‎ 判断单调性的方法：选择填空题首选复合函数法，其次求导数；大题首选求导数，其次用定义。详情见单调性部分知识讲解。‎ ‎(五) 原函数反函数对应求值域：原函数的定义域等于反函数值域，原函数值域等于反函数定义域。‎ ‎(六) 已知值域求系数：利用求值域的前五种方法写求值域的过程，将求出的以字母形式表示的值域与已知值域对照求字母取值或范围。‎ 四 函数运算法则 ‎（一） 指数运算法则 ‎① ② ‎ ‎③ ④ ‎ 运用指数运算法则，一般从右往左变形。‎ ‎（二） 对数运算法则 同底公式：① ‎ ‎② ‎ ‎③ ‎ ‎④ ‎ 运用对数运算法则，同底的情况，一般从右往左变形。‎ 不同底公式：① ‎ ‎② ‎ ‎③ ‎ 运用对数运算法则，不同底的情况，先变成同底。‎ 五 函数解析式 ‎(一) 换元法：如f(2x + 3)=x2 + 3x + 5，求f(3-7x)，‎ ‎(设2x + 3=3-7t)。‎ ‎(二) 构造法：如，求f(x)。‎ ‎(三) 待定系数法：通过图像求出y=Asin(ωx +) + C中系数 ‎(四) 递推：需利用奇偶性、对称性、周期性的定义式或运算式递推。‎ ‎(五) 求原函数的反函数：先反表示，再x、y互换。‎ 六 常规函数的图像 常规函数图像主要有： ‎ ‎ ‎ 指数函数：逆时针旋转， 对数函数：逆时针旋转，‎ 底数越来越大 底数越来越小 幂函数：逆时针旋转，指数越来越大。其他象限图象看函数奇偶性确定。‎ 七 函数的单调性 ‎(一) 定义：在给定区间范围内，如果x越大y越大，那么原函数为增函数；如果x越大y越小，那么原函数为减函数。‎ ‎(二) 单调性题型：‎ ‎1.求单调性区间：先找到最基本函数单元的单调区间，用复合函数法判断函数在这个区间的单调性，从而确定单调区间。‎ 复合函数法： ：‎ 当0 < x <1时，x↑，x2↑，- x2↓，↓，↑，↓‎ ‎2.判断单调性 ‎ ‎(1).求导函数：为增函数，为减函数 ‎(2).利用定义：设x1 0时，有 ‎.‎ 或.‎ 无理不等式：‎ ‎(1) .‎ ‎(2).‎ ‎(3)‎ ‎(三)指数不等式 对数不等式 不等号两边同时取指数或同时取对数，变成相同的形式后，再换元成有理不等式求解。‎ ‎(1)当时,‎ ‎; ‎ ‎.‎ ‎(2)当时,‎ ‎;‎ 三 线性规划 线性规划，出题现象如下： ‎ ‎ 设变量满足约束条件则目标函数的最大值为（ )‎ ‎ A.4 B.11 C.12 D.14‎ 解题步骤：‎ ‎（1）把不等式组中的一次式看成直线，在平面直角坐标系中画直线，‎ 标明直线序号 ‎（2）依据以下结论确定平面区域：‎ 是点在直线上方（包括直线） ‎ 是点在直线下方（包括直线）；‎ 是点在直线上方（不包括直线）‎ 是点在直线下方（不包括直线）‎ ‎（3）确定目标函数函数值的几何意义 ‎ ‎（4）若目标函数值z表示截距，在已知区域内平移目标函数直线，找出使截距取最大值和最小值的端点，求出端点坐标代入目标函数，得出z的最值。若目标函数z表示距离或者距离的平方，精确作图，在图像中直接观察距离的最大值与最小值相当于是点与点的距离还是点与直线的距离，用距离公式直接求最值。若目标函数z表示斜率，精确画图，利用求斜率取值范围结论，求最值。‎ 第七章 直线和圆的方程 一、直线方程.‎ ‎1）. 直线的倾斜角：一条直线向上的方向与轴正方向所成的最小正角叫做这条直线的倾斜角，其中直线与轴平行或重合时，其倾斜角为0，故直线倾斜角的范围是.‎ 注：①当或时，直线垂直于轴，它的斜率不存在.‎ ‎②每一条直线都存在惟一的倾斜角，除与轴垂直的直线不存在斜率外，其余每一条直线都有惟一的斜率，并且当直线的斜率一定时，其倾斜角也对应确定.‎ ‎2）. 直线方程的几种形式：点斜式、截距式、两点式、斜切式.‎ 特别地，当直线经过两点，即直线在轴，轴上的截距分别为时，直线方程是：.‎ 注：若是一直线的方程，则这条直线的方程是，但若则不是这条线.‎ 附：直线系：对于直线的斜截式方程，当均为确定的数值时，它表示一条确定的直线，如果变化时，对应的直线也会变化.①当为定植，变化时，它们表示过定点（0，）的直线束.②当为定值，变化时，它们表示一组平行直线.‎ ‎3）. ⑴两条直线平行：‎ ‎∥两条直线平行的条件是：①和是两条不重合的直线. ②在和的斜率都存在的前提下得到的. 因此，应特别注意，抽掉或忽视其中任一个“前提”都会导致结论的错误.‎ ‎（一般的结论是：对于两条直线，它们在轴上的纵截距是，则∥，且或的斜率均不存在，即是平行的必要不充分条件，且）‎ 推论：如果两条直线的倾斜角为则∥. ‎ ‎⑵两条直线垂直：‎ 两条直线垂直的条件：①设两条直线和的斜率分别为和，则有这里的前提是的斜率都存在. ②，且的斜率不存在或，且的斜率不存在. （即是垂直的充要条件）‎ ‎4）. 直线的交角：‎ ‎⑴直线到的角（方向角）；直线到的角，是指直线绕交点依逆时针方向旋转到与重合时所转动的角，它的范围是，当时.‎ ‎⑵两条相交直线与的夹角：两条相交直线与的夹角，是指由与相交所成的四个角中最小的正角，又称为和所成的角，它的取值范围是，当，则有.‎ ‎5). 过两直线的交点的直线系方程为参数，不包括在内）‎ ‎6）. 点到直线的距离：‎ ‎⑴点到直线的距离公式：设点，直线到的距离为，则有.‎ 注：‎ 1. 两点P1(x1,y1)、P2(x2,y2)的距离公式：.‎ 特例：点P(x,y)到原点O的距离：‎ 2. ‎ 定比分点坐标分式。若点P(x,y)分有向线段,其中P1(x1,y1),P2(x2,y2).则 ‎ 特例，中点坐标公式；重要结论，三角形重心坐标公式。‎ 3. 直线的倾斜角（0°≤＜180°）、斜率:‎ 4. 过两点. ‎ 当（即直线和x轴垂直）时，直线的倾斜角＝，没有斜率 ‎⑵两条平行线间的距离公式：设两条平行直线，它们之间的距离为，则有.‎ 注；直线系方程 ‎1. 与直线：Ax+By+C= 0平行的直线系方程是：Ax+By+m=0.( m∊R, C≠m).‎ ‎2. 与直线：Ax+By+C= 0垂直的直线系方程是：Bx-Ay+m=0.( m∊R)‎ ‎3. 过定点（x1,y1）的直线系方程是： A(x-x1)+B(y-y1)=0 (A,B不全为0)‎ ‎4. 过直线l1、l2交点的直线系方程：（A1x+B1y+C1）+λ( A2x+B2y+C2）=0 (λ∊R） 注：该直线系不含l2.‎ ‎7). 关于点对称和关于某直线对称：‎ ‎⑴关于点对称的两条直线一定是平行直线，且这个点到两直线的距离相等.‎ ‎⑵关于某直线对称的两条直线性质：若两条直线平行，则对称直线也平行，且两直线到对称直线距离相等.‎ 若两条直线不平行，则对称直线必过两条直线的交点，且对称直线为两直线夹角的角平分线.‎ ‎⑶点关于某一条直线对称，用中点表示两对称点，则中点在对称直线上（方程①），过两对称点的直线方程与对称直线方程垂直（方程②）①②可解得所求对称点.‎ 注：①曲线、直线关于一直线（）对称的解法：y换x，x换y. 例：曲线f(x ,y)=0关于直线y=x–2对称曲线方程是f(y+2 ,x –2)=0. ‎ ‎②曲线C: f(x ,y)=0关于点(a ,b)的对称曲线方程是f(a – x, 2b – y)=0. ‎ 二、圆的方程.‎ ‎1. ⑴曲线与方程：在直角坐标系中，如果某曲线上的 与一个二元方程的实数建立了如下关系：‎ ‎①曲线上的点的坐标都是这个方程的解.‎ ‎②以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.‎ 那么这个方程叫做曲线方程；这条曲线叫做方程的曲线（图形）.‎ ‎⑵曲线和方程的关系，实质上是曲线上任一点其坐标与方程的一种关系，曲线上任一点是方程的解；反过来，满足方程的解所对应的点是曲线上的点.‎ 注：如果曲线C的方程是f(x ,y)=0，那么点P0(x0 ,y)线C上的充要条件是f(x0 ,y0)=0 ‎ ‎2. 圆的标准方程：以点为圆心，为半径的圆的标准方程是.‎ 特例：圆心在坐标原点，半径为的圆的方程是：.‎ 注：特殊圆的方程：①与轴相切的圆方程 ‎ ‎②与轴相切的圆方程 ‎ ‎③与轴轴都相切的圆方程 ‎ ‎3. 圆的一般方程： .‎ 当时，方程表示一个圆，其中圆心，半径.‎ 当时，方程表示一个点.‎ 当时，方程无图形（称虚圆）.‎ 注：①圆的参数方程：（为参数）.‎ ‎②方程表示圆的充要条件是：且且.‎ ‎③圆的直径或方程：已知（用向量可征）.‎ ‎4. 点和圆的位置关系：给定点及圆.‎ ‎①在圆内 ‎②在圆上 ‎③在圆外 ‎5. 直线和圆的位置关系：‎ ‎ 设圆圆：； 直线：；‎ ‎ 圆心到直线的距离.‎ ‎①时，与相切；‎ 附：若两圆相切，则相减为公切线方程.‎ ‎②时，与相交；‎ 附：公共弦方程：设 有两个交点，则其公共弦方程为.‎ ‎③时，与相离. ‎ 附：若两圆相离，则相减为圆心的连线的中与线方程.‎ ‎ 由代数特征判断：方程组用代入法，得关于（或）的一元二次方程，其判别式为，则：‎ 与相切；‎ 与相交；‎ 与相离.‎ 注：若两圆为同心圆则，相减，不表示直线.‎ ‎6. 圆的切线方程：圆的斜率为的切线方程是过圆 上一点的切线方程为：.‎ ‎①一般方程若点(x0 ,y0)在圆上，则(x – a)(x0 – a)+(y – b)(y0 – b)=R2. 特别地，过圆上一点的切线方程为.‎ ‎②若点(x0 ,y0)不在圆上，圆心为(a,b)则，联立求出切线方程.‎ ‎7. 求切点弦方程：方法是构造图，则切点弦方程即转化为公共弦方程. 如图：ABCD四类共圆. 已知的方程…① 又以ABCD为圆为方程为…② ‎ ‎…③，所以BC的方程即③代②，①②相切即为所求.‎ 三、曲线和方程 ‎1.曲线与方程：在直角坐标系中，如果曲线C和方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系：‎ ‎1） 曲线C上的点的坐标都是方程f(x,y)=0的解（纯粹性）；‎ ‎2）‎ ‎ 方程f(x,y)=0的解为坐标的点都在曲线C上（完备性）。则称方程f(x,y)=0为曲线C的方程，曲线C叫做方程f(x,y)=0的曲线。‎ ‎2.求曲线方程的方法：.‎ ‎1）直接法：建系设点，列式表标,简化检验; 2）参数法; 3）定义法， 4）待定系数法.‎ 第八章 圆锥曲线 一 椭圆方程 ‎（一） 椭圆的定义：‎ 方程为椭圆；‎ 无轨迹；‎ 以为端点的线段。‎ ‎（二） 椭圆的方程:‎ ①椭圆的标准方程：‎ i. 中心在原点，焦点在x轴上：.‎ ii. 中心在原点，焦点在轴上：. ‎ ②一般方程：.‎ ③椭圆的标准参数方程：的参数方程为 ‎ ‎（三）椭圆的几何性质：‎ ①顶点：A,B,C和D.‎ ②轴：对称轴：x轴，轴；长轴长=，短轴长=.‎ ‎③焦点：, ‎ ④焦距：，.‎ ⑤离心率：. ‎ 二 双曲线方程 ‎（一）双曲线的定义：‎ ‎（二）双曲线的方程 ①双曲线标准方程：‎ i. 中心在原点，焦点在x轴上：. ‎ ii. 中心在原点，焦点在轴上：‎ ②一般方程：.‎ ③椭圆的标准参数方程：的参数方程为 ‎ ‎（三）双曲线的几何性质 ‎①i. 焦点在轴上：顶点：；焦点：；‎ 渐近线方程：或 ii. 焦点在轴上：顶点：；焦点：；‎ 渐近线方程：或，‎ ‎②轴：为对称轴，实轴长为2a, 虚轴长为2b，焦距2c. ‎ ③离心率. ‎ ④ 参数关系. ‎ ‎（四）常见的特殊双曲线：‎ ‎①等轴双曲线：双曲线称为等轴双曲线，其渐近线方程为，离心率.‎ ‎②共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，叫做已知双曲线的共轭双曲线.与互为共轭双曲线，它们具有共同的渐近线：‎ ‎.‎ ③共渐近线的双曲线系方程：的渐近线方程为如果双曲线的渐近线为时，它的双曲线方程可设为.‎ 例如：若双曲线一条渐近线为且过，求双曲线的方程？‎ 解：令双曲线的方程为：，代入得.‎ ‎（五）直线与双曲线的位置关系：如下图.‎ 区域①：无切线，2条与渐近线平行的直线，合计2条；‎ 区域②：即定点在双曲线上，1条切线，2条与渐近线平行的直线，合计3条；‎ 区域③：2条切线，2条与渐近线平行的直线，合计4条；‎ 区域④：即定点在渐近线上且非原点，1条切线，1条与渐近线平行的直线，合计2条；‎ 区域⑤：即过原点，无切线，无与渐近线平行的直线.‎ 小结：过定点作直线与双曲线有且仅有一个交点，可以作出的直线数目可能有0、2、3、4条.‎ ‎ ‎ 三 抛物线方程 设，抛物线的标准方程、类型及其几何性质：‎ 图形 焦点 准线 范围 对称轴 轴 轴 顶点 ‎(0，0)‎ 离心率 焦半径 注：①顶点.‎ ‎②则焦点半径 ‎;则焦点半径为.‎ ③通径为2p，这是过焦点的所有弦中最短的.‎ ④(或)的参数方程为(或)(为参数).‎ 第九章. 立体几何 一、 平面.‎ ‎1. 经过不在同一条直线上的三点确定一个面.‎ 注：两两相交且不过同一点的四条直线必在同一平面内.‎ ‎2. 两个平面可将平面分成3或4部分.‎ ‎（①两个平面平行，②两个平面相交）‎ ‎3. 过三条互相平行的直线可以确定1或3个平面.‎ ‎（①三条直线在一个平面内平行，②三条直线不在一个平面内平行）‎ ‎[注]：三条直线可以确定三个平面，三条直线的公共点有0或1个.‎ ‎4. 三个平面最多可把空间分成 8 部分.（X、Y、Z三个方向）‎ 二、 空间直线.‎ ‎1. 空间直线位置分三种：相交、平行、异面. 相交直线—共面有反且有一个公共点；平行直线—共面没有公共点；异面直线—不同在任一平面内 ‎[注]：①可能两条直线平行，也可能是点和直线等 ‎②直线在平面外，指的位置关系：平行或相交 ‎③若直线a、b异面，a平行于平面，b与的关系是相交、平行、在平面内.‎ ‎④两条平行线在同一平面内的射影图形是一条直线或两条平行线或两点.‎ ‎⑤射影不一定只有直线，也可以是其他图形 ‎⑥并非是从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段 ‎⑦是夹在两平行平面间的线段，若，则的位置关系为相交或平行或异面.‎ ‎2. 异面直线判定定理：过平面外一点与平面内一点的直线和平面内不经过该点的直线是异面直线.（不在任何一个平面内的两条直线）‎ ‎3. 平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行.‎ ‎4. 等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等（如下图）. ‎ ‎ （二面角的取值范围）‎ ‎ （直线与直线所成角）‎ ‎ （斜线与平面成角）‎ ‎ （直线与平面所成角）‎ ‎（向量与向量所成角 推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成锐角（或直角）相等.‎ ‎5. 两异面直线的距离：公垂线的长度.‎ 空间两条直线垂直的情况：相交（共面）垂直和异面垂直.‎ 是异面直线，则过外一点P，过点P且与都平行平面有一个或没有，但与距离相等的点在同一平面内. （或在这个做出的平面内不能叫与平行的平面）‎ 二、 直线与平面平行、直线与平面垂直.‎ ‎1. 空间直线与平面位置分三种：相交、平行、在平面内.‎ ‎2. 直线与平面平行判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行.（“线线平行，线面平行”）‎ ‎[注]：①直线与平面外一条直线平行，则∥.‎ ‎②直线与平面外一条直线相交，则与平面相交. ‎ ‎③若直线与平面平行，则内必存在无数条直线与平行.‎ ‎④两条平行线中一条平行于一个平面，那么另一条也平行于这个平面或在平面上 ‎⑤平行于同一直线的两个平面平行或相交 ‎⑥平行于同一个平面的两直线相交或异面或平行 ‎⑦直线与平面、所成角相等，则∥或与相交 ‎3. 直线和平面平行性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行.（“线面平行，线线平行”）‎ ‎4. 直线与平面垂直是指直线与平面任何一条直线垂直，过一点有且只有一条直线和一个平面垂直，过一点有且只有一个平面和一条直线垂直. ‎ l 若⊥，⊥，得⊥（三垂线定理），‎ 得不出⊥. 因为⊥，但不垂直OA.‎ l 三垂线定理的逆定理亦成立.‎ 直线与平面垂直的判定定理一：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这两条直线垂直于这个平面.（“线线垂直，线面垂直”）‎ 直线与平面垂直的判定定理二：如果平行线中一条直线垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面.‎ 推论：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行.‎ ‎[注]：①垂直于同一条直线的两个平面平行 ‎②垂一条直线垂直于平行的一个平面，必垂直于另一个平面 ‎③垂直于同一平面的两条直线平行 ‎5. ⑴垂线段和斜线段长定理：从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中，①射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段较长；②相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段射影较长；③垂线段比任何一条斜线段短.‎ ‎[注]：垂线在平面的射影为一个点.‎ ‎⑵射影定理推论：如果一个角所在平面外一点到角的两边的距离相等，那么这点在平面内的射影在这个角的平分线上 二、 平面平行与平面垂直.‎ ‎1. 空间两个平面的位置关系：相交、平行.‎ ‎2. 平面平行判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，哪么这两个平面平行.（“线面平行，面面平行”）‎ 推论：垂直于同一条直线的两个平面互相平行；平行于同一平面的两个平面平行.‎ ‎[注]：一平面间的任一直线平行于另一平面.‎ ‎3. 两个平面平行的性质定理：如果两个平面平行同时和第三个平面相交，那么它们交线平行.（“面面平行，线线平行”）‎ ‎4. 两个平面垂直性质判定一：两个平面所成的二面角是直二面角，则两个平面垂直.‎ 两个平面垂直性质判定二：如果一个平面与一条直线垂直，那么经过这条直线的平面垂直于这个平面.（“线面垂直，面面垂直”）‎ 注：如果两个二面角的平面对应平面互相垂直，‎ 则两个二面角没有什么关系.‎ 1. 两个平面垂直性质定理：如果两个平面垂直，那么 在一个平面内垂直于它们交线的直线也垂直于另一个平面.‎ 推论：如果两个相交平面都垂直于第三 平面，则它们交线垂直于第三平面.‎ 证明：如图，找O作OA、OB分别垂直 于，‎ 因为 则. ‎ ‎6. 两异面直线任意两点间的距离公式：‎ ‎（为锐角取加，为钝取减，综上，都取加则必有）‎ ‎7. ⑴最小角定理：（为最小角，如图）‎ ‎⑵最小角定理的应用（∠PBN为最小角）‎ 简记为：成角比交线夹角一半大，且又比交线夹角补角一半长，一定有4条.‎ 成角比交线夹角一半大，又比交线夹角补角小，一定有2条.‎ 成角比交线夹角一半大，又与交线夹角相等，一定有3条或者2条.‎ 成角比交线夹角一半小，又与交线夹角一半小，一定有1条或者没有. ‎ 五、 棱锥、棱柱.‎ ‎1. 棱柱.‎ ‎⑴①直棱柱侧面积：（为底面周长，是高）该公式是利用直棱柱的侧面展开图为矩形得出的.‎ ‎②斜棱住侧面积：（是斜棱柱直截面周长，是斜棱柱的侧棱长）该公式是利用斜棱柱的侧面展开图为平行四边形得出的.‎ ‎⑵{四棱柱}{平行六面体}{直平行六面体}{长方体}{正四棱柱}{正方体}.‎ ‎{直四棱柱}{平行六面体}={直平行六面体}.‎ ‎⑶棱柱具有的性质：‎ ‎①棱柱的各个侧面都是平行四边形，所有的侧棱都相等；直棱柱的各个侧面都是矩形；正棱柱的各个侧面都是全等的矩形.‎ ‎②棱柱的两个底面与平行于底面的截面是对应边互相平行的全等多边形.‎ ‎③过棱柱不相邻的两条侧棱的截面都是平行四边形.‎ 注：①直棱柱不能保证底面是钜形可如图 ‎②（直棱柱定义）棱柱有一条侧棱和底面垂直.‎ ‎⑷平行六面体：‎ 定理一：平行六面体的对角线交于一点，并且在交点处互相平分.‎ ‎[注]：四棱柱的对角线不一定相交于一点.‎ 定理二：长方体的一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱长的平方和.‎ 推论一：长方体一条对角线与同一个顶点的三条棱所成的角为，则.‎ 推论二：长方体一条对角线与同一个顶点的三各侧面所成的角为，则.‎ ‎[注]：①斜四面体的两个平行的平面可以为矩形 ‎②应是各侧面都是正方形的直棱柱才行 ‎③只能推出对角线相等，推不出底面为矩形 ‎④棱柱成为直棱柱的一个必要不充分条件是棱柱有一条侧棱与底面的两条边垂直. （两条边可能相交，可能不相交，若两条边相交，则应是充要条件）‎ ‎2. 棱锥：棱锥是一个面为多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形.‎ ‎[注]：①一个棱锥可以四各面都为直角三角形.‎ ‎②一个棱柱可以分成等体积的三个三棱锥；所以.‎ ‎⑴①正棱锥定义：底面是正多边形；顶点在底面的射影为底面的中心.‎ ‎[注]：i. 正四棱锥的各个侧面都是全等的等腰三角形.（不是等边三角形）‎ ii. 正四面体是各棱相等，而正三棱锥是底面为正△侧棱与底棱不一定相等 iii. 正棱锥定义的推论：若一个棱锥的各个侧面都是全等的等腰三角形（即侧棱相等）；底面为正多边形.‎ ‎②正棱锥的侧面积：（底面周长为，斜高为）‎ ‎③棱锥的侧面积与底面积的射影公式：（侧面与底面成的二面角为）‎ 附： 以知⊥，，为二面角.‎ ‎ 则①，②，③ ①②③得.‎ 注：S为任意多边形的面积（可分别多个三角形的方法）.‎ ‎⑵棱锥具有的性质：‎ ‎①正棱锥各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底边上的高相等（它叫做正棱锥的斜高）.‎ ‎②正棱锥的高、斜高和斜高在底面内的射影组成一个直角三角形，正棱锥的高、侧棱、侧棱在底面内的射影也组成一个直角三角形.‎ ‎⑶特殊棱锥的顶点在底面的射影位置：‎ ‎①棱锥的侧棱长均相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形的外心.‎ ‎②棱锥的侧棱与底面所成的角均相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形的外心.‎ ‎③棱锥的各侧面与底面所成角均相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形内心.‎ ‎④棱锥的顶点到底面各边距离相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形内心.‎ ‎⑤三棱锥有两组对棱垂直，则顶点在底面的射影为三角形垂心.‎ ‎⑥三棱锥的三条侧棱两两垂直，则顶点在底面上的射影为三角形的垂心.‎ ‎⑦每个四面体都有外接球，球心0是各条棱的中垂面的交点，此点到各顶点的距离等于球半径；‎ ‎⑧每个四面体都有内切球，球心是四面体各个二面角的平分面的交点，到各面的距离等于半径.‎ ‎[注]：i.各个侧面的等腰三角形不知是否全等 ii. 若一个三角锥，两条对角线互相垂直，则第三对角线必然垂直. ‎ 简证：AB⊥CD，AC⊥BD BC⊥AD. 令 得，已知 则.‎ iii. 空间四边形OABC且四边长相等，则顺次连结各边的中点的四边形一定是矩形.‎ iv. 若是四边长与对角线分别相等，则顺次连结各边的中点的四边是一定是正方形.‎ 简证：取AC中点，则平面90°易知EFGH为平行四边形EFGH为长方形.若对角线等，则为正方形.‎ ‎3. 球：⑴球的截面是一个圆面.‎ ‎①球的表面积公式：.‎ ‎②球的体积公式：.‎ ‎⑵纬度、经度：‎ ‎①纬度：地球上一点的纬度是指经过点的球半径与赤道面所成的角的度数.‎ ‎②经度：地球上两点的经度差，是指分别经过这两点的经线与地轴所确定的二个半平面的二面角的度数，特别地，当经过点的经线是本初子午线时，这个二面角的度数就是点的经度.‎ 附：①圆柱体积：（为半径，为高）‎ ‎②圆锥体积：（为半径，为高）‎ ‎③锥形体积：（为底面积，为高） ‎ ‎4. ①内切球：当四面体为正四面体时，设边长为a，，，‎ 得.‎ 注：球内切于四面体：‎ ‎②外接球：球外接于正四面体，可如图建立关系式.‎ 六. 空间向量.‎ ‎1. （1）共线向量：共线向量亦称平行向量，指空间向量的有向线段所在直线互相平行或重合.‎ 注：①若与共线，与共线，则与共线.（×） [当时，不成立]‎ ‎②向量共面即它们所在直线可能异面 ‎③若∥，则存在小任一实数，使.（×）[与不成立]‎ ‎④若为非零向量，则.‎ ‎（2）共线向量定理：对空间任意两个向量， ∥的充要条件是存在实数（具有唯一性），使.‎ ‎（3）共面向量：若向量使之平行于平面或在内，则与的关系是平行，记作∥.‎ ‎（4）①共面向量定理：如果两个向量不共线，则向量与向量共面的充要条件是存在实数对x、y使.‎ ‎②空间任一点O和不共线三点A、B、C，则是PABC四点共面的充要条件.（简证：P、A、B、C四点共面）‎ 注：①②是证明四点共面的常用方法.‎ ‎2. 空间向量基本定理：如果三个向量不共面，那么对空间任一向量 ‎，存在一个唯一的有序实数组x、y、z，使.‎ 推论：设O、A、B、C是不共面的四点，则对空间任一点P, 都存在 唯一的有序实数组x、y、z使 (这里隐含x+y+z≠1).‎ 注：设四面体ABCD的三条棱，其 中Q是△BCD的重心，则向量用即证.‎ ‎3. （1）空间向量的坐标：空间直角坐标系的x轴是横轴（对应为横坐标），y轴是纵轴（对应为纵轴），z轴是竖轴（对应为竖坐标）.‎ ‎①令=(a1,a2,a3),，则 ‎ ∥ ‎ ‎(用到常用的向量模与向量之间的转化：)‎ ‎②空间两点的距离公式：.‎ ‎（2）法向量：若向量所在直线垂直于平面，则称这个向量垂直于平面，记作，如果那么向量叫做平面的法向量. ‎ ‎（3）用向量的常用方法：‎ ‎①利用法向量求点到面的距离定理：如图，设n是平面的法向量，AB是平面的一条射线，其中，则点B到平面的距离为.‎ ‎②利用法向量求二面角的平面角定理：设分别是二面角中平面的法向量，则所成的角就是所求二面角的平面角或其补角大小（方向相同，则为补角，反方，则为其夹角）.‎ ‎③证直线和平面平行定理：已知直线平面，，且CDE三点不共线，则a∥的充要条件是存在有序实数对使.（常设求解若存在即证毕，若不存在，则直线AB与平面相交）.‎ II. 竞赛知识要点 一、四面体.‎ ‎1. 对照平面几何中的三角形，我们不难得到立体几何中的四面体的类似性质：‎ ‎①四面体的六条棱的垂直平分面交于一点，这一点叫做此四面体的外接球的球心；‎ ‎②四面体的四个面组成六个二面角的角平分面交于一点，这一点叫做此四面体的内接球的球心；‎ ‎③四面体的四个面的重心与相对顶点的连接交于一点，这一点叫做此四面体的重心，且重心将每条连线分为3︰1；‎ ‎④12个面角之和为720°，每个三面角中任两个之和大于另一个面角，且三个面角之和为180°.‎ ‎2. 直角四面体：有一个三面角的三个面角均为直角的四面体称为直角四面体，相当于平面几何的直角三角形. （在直角四面体中，记V、l、S、R、r、h分别表示其体积、六条棱长之和、表面积、外接球半径、内切球半径及侧面上的高），则有空间勾股定理：S2△ABC+S2△BCD+S2△ABD=S2△ACD.‎ ‎3. 等腰四面体：对棱都相等的四面体称为等腰四面体，好象平面几何中的等腰三角形.根据定义不难证明以长方体的一个顶点的三条面对角线的端点为顶点的四面体是等腰四面体，反之也可以将一个等腰四面体拼补成一个长方体.‎ ‎（在等腰四面体ABCD中，记BC = AD =a，AC = BD = b，AB = CD = c，体积为V，外接球半径为R，内接球半径为r，高为h），则有 ‎①等腰四面体的体积可表示为；‎ ‎②等腰四面体的外接球半径可表示为；‎ ‎③等腰四面体的四条顶点和对面重心的连线段的长相等，且可表示为；‎ ‎④h = 4r.‎ 二、空间正余弦定理.‎ 空间正弦定理：sin∠ABD/sin∠A-BC-D=sin∠ABC/sin∠A-BD-C=sin∠CBD/sin∠C-BA-D 空间余弦定理：cos∠ABD=cos∠ABCcos∠CBD+sin∠ABCsin∠CBDcos∠A-BC-D 立体几何知识要点 一、知识提纲 ‎（一）空间的直线与平面 ‎⒈平面的基本性质 　⑴三个公理及公理三的三个推论和它们的用途．　⑵斜二测画法．‎ ‎⒉空间两条直线的位置关系：相交直线、平行直线、异面直线．‎ ‎　⑴公理四（平行线的传递性）．等角定理．‎ ‎　⑵异面直线的判定：判定定理、反证法．‎ ‎　⑶异面直线所成的角：定义（求法）、范围．‎ ‎⒊直线和平面平行 　直线和平面的位置关系、直线和平面平行的判定与性质．‎ ‎⒋直线和平面垂直 ‎　⑴直线和平面垂直：定义、判定定理．‎ ‎　⑵三垂线定理及逆定理．‎ ‎5.平面和平面平行 两个平面的位置关系、两个平面平行的判定与性质．‎ ‎6.平面和平面垂直 互相垂直的平面及其判定定理、性质定理．‎ ‎（二）直线与平面的平行和垂直的证明思路（见附图）‎ ‎（三）夹角与距离 ‎7.直线和平面所成的角与二面角 ‎　⑴平面的斜线和平面所成的角：三面角余弦公式、最小角定理、斜线和平 ‎　　面所成的角、直线和平面所成的角．‎ ‎　⑵二面角：①定义、范围、二面角的平面角、直二面角．‎ ‎　　　　　　②互相垂直的平面及其判定定理、性质定理．‎ ‎8.距离 ‎　⑴点到平面的距离．‎ ‎　⑵直线到与它平行平面的距离．‎ ‎　⑶两个平行平面的距离：两个平行平面的公垂线、公垂线段．‎ ‎　⑷异面直线的距离：异面直线的公垂线及其性质、公垂线段．‎ ‎（四）简单多面体与球 ‎9.棱柱与棱锥 ‎　⑴多面体．‎ ‎　⑵棱柱与它的性质：棱柱、直棱柱、正棱柱、棱柱的性质．‎ ‎　⑶平行六面体与长方体：平行六面体、直平行六面体、长方体、正四棱柱、‎ ‎　　正方体；平行六面体的性质、长方体的性质．‎ ‎　⑷棱锥与它的性质：棱锥、正棱锥、棱锥的性质、正棱锥的性质．‎ ‎　⑸直棱柱和正棱锥的直观图的画法．‎ ‎10.多面体欧拉定理的发现 ‎　⑴简单多面体的欧拉公式．‎ ‎　⑵正多面体．‎ ‎11.球 ‎⑴球和它的性质：球体、球面、球的大圆、小圆、球面距离．‎ ‎　⑵球的体积公式和表面积公式．‎ 二、常用结论、方法和公式 ‎1.从一点O出发的三条射线OA、OB、OC，若∠AOB=∠AOC，则点A在平面∠BOC上的射影在∠BOC的平分线上；‎ A ‎2. 已知:直二面角M－AB－N中，AE M，BF N,∠EAB=,∠ABF=，异面直线AE与BF所成的角为，则 ‎3.立平斜公式：如图，AB和平面所成的角是，AC在平面内，BC和AB的射影BA1成，设∠ABC=,则coscos=cos；‎ ‎4.异面直线所成角的求法：‎ ‎（1）平移法：在异面直线中的一条直线中选择一特殊点，作另一条的平行线；‎ ‎（2）补形法：把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，如正方体、平行六面体、长方体等，其目的在于容易发现两条异面直线间的关系；‎ ‎5.直线与平面所成的角 斜线和平面所成的是一个直角三角形的锐角，它的三条边分别是平面的垂线段、斜线段及斜线段在平面上的射影。通常通过斜线上某个特殊点作出平面的垂线段，垂足和斜足的连线，是产生线面角的关键；‎ ‎6.二面角的求法 ‎（1）定义法：直接在二面角的棱上取一点（特殊点），分别在两个半平面内作棱的垂线，得出平面角，用定义法时，要认真观察图形的特性；‎ ‎（2）三垂线法：已知二面角其中一个面内一点到一个面的垂线，用三垂线定理或逆定理作出二面角的平面角；‎ ‎（3）垂面法：已知二面角内一点到两个面的垂线时，过两垂线作平面与两个半平面的交线所成的角即为平面角，由此可知，二面角的平面角所在的平面与棱垂直；‎ ‎（4）射影法：利用面积射影公式S射＝S原cos,其中为平面角的大小，此法不必在图形中画出平面角；‎ 特别:对于一类没有给出棱的二面角，应先延伸两个半平面，使之相交出现棱，然后再选用上述方法（尤其要考虑射影法）。‎ ‎7.空间距离的求法 ‎（1）两异面直线间的距离，高考要求是给出公垂线，所以一般先利用垂直作出公垂线，然后再进行计算；‎ ‎（2）求点到直线的距离，一般用三垂线定理作出垂线再求解；‎ ‎（3）求点到平面的距离，一是用垂面法，借助面面垂直的性质来作，因此，确定已知面的垂面是关键；二是不作出公垂线，转化为求三棱锥的高，利用等体积法列方程求解；‎ ‎8.正棱锥的各侧面与底面所成的角相等，记为，则S侧cos=S底；‎ ‎9.已知:长方体的体对角线与过同一顶点的三条棱所成的角分别为因此有cos2‎ ‎+cos2+cos2=1; 若长方体的体对角线与过同一顶点的三侧面所成的角分别为则有cos2+cos2+cos2=2;‎ ‎10.正方体和长方体的外接球的直径等与其体对角线长；‎ ‎11.欧拉公式：如果简单多面体的顶点数为V,面数为F,棱数为E.那么V+F－E=2；并且棱数E＝各顶点连着的棱数和的一半＝各面边数和的一半；‎ ‎12.柱体的体积公式：柱体（棱柱、圆柱）的体积公式是V柱体=Sh.其中S是柱体的底面积，h是柱体的高.‎ ‎13.直棱柱的侧面积和全面积 S直棱柱侧= c (c表示底面周长，表示侧棱长) ‎ S棱柱全=S底+S侧 ‎ ‎14．棱锥的体积:V棱锥=，其中S是棱锥的底面积，h是棱锥的高。‎ ‎15.球的体积公式V=，表面积公式；掌握球面上两点A、B间的距离求法：（1）计算线段AB的长，（2）计算球心角∠AOB的弧度数；(3)用弧长公式计算劣弧AB的长；‎ 第十章 排列组合二项定理 ‎ 一、两个原理.‎ ‎1. 乘法原理、加法原理.‎ ‎2. 可以有重复元素的排列.‎ 从m个不同元素中，每次取出n个元素，元素可以重复出现，按照一定的顺序排成一排，那么第一、第二……第n位上选取元素的方法都是m个，所以从m个不同元素中，每次取出n个元素可重复排列数m·m·… m = mn.. 例如：n件物品放入m个抽屉中，不限放法，共有多少种不同放法？ （解：种）‎ 二、排列.‎ ‎1. ⑴对排列定义的理解.‎ 定义：从n个不同的元素中任取m(m≤n)个元素，按照一定顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.‎ ‎⑵相同排列.‎ 如果；两个排列相同，不仅这两个排列的元素必须完全相同，而且排列的顺序也必须完全相同.‎ ‎⑶排列数.‎ 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素排成一列，称为从n个不同元素中取出m个元素的一个排列. 从n个不同元素中取出m个元素的一个排列数，用符号表示.‎ ‎⑷排列数公式： ‎ 注意： 规定0! = 1 ‎ ‎ 规定 ‎2. 含有可重元素的排列问题.‎ 对含有相同元素求排列个数的方法是：设重集S有k个不同元素a1，a2,…...an其中限重复数为n1、n2……nk，且n = n1+n2+……nk , 则S的排列个数等于. ‎ 例如：已知数字3、2、2，求其排列个数又例如：数字5、5、5、求其排列个数？其排列个数. ‎ 三、组合.‎ ‎1. ⑴组合：从n个不同的元素中任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.‎ ‎⑵组合数公式：‎ ‎⑶两个公式：① ②‎ ‎①从n个不同元素中取出m个元素后就剩下n-m个元素，因此从n个不同元素中取出 n-m个元素的方法是一一对应的，因此是一样多的就是说从n个不同元素中取出n-m个元素的唯一的一个组合.‎ ‎（或者从n+1个编号不同的小球中，n个白球一个红球，任取m个不同小球其不同选法，分二类，一类是含红球选法有一类是不含红球的选法有）‎ ‎②根据组合定义与加法原理得；在确定n+1个不同元素中取m个元素方法时，对于某一元素，只存在取与不取两种可能，如果取这一元素，则需从剩下的n个元素中再取m-1个元素，所以有C，如果不取这一元素，则需从剩余n个元素中取出m个元素，所以共有C种，依分类原理有. ‎ ‎⑷排列与组合的联系与区别.‎ 联系：都是从n个不同元素中取出m个元素.‎ 区别：前者是“排成一排”，后者是“并成一组”，前者有顺序关系，后者无顺序关系.‎ ‎⑸①几个常用组合数公式 ‎②常用的证明组合等式方法例.‎ i. 裂项求和法. 如：（利用）‎ ii. 导数法. iii. 数学归纳法. iv. 倒序求和法.‎ v. 递推法（即用递推）如：.‎ vi. 构造二项式. 如： ‎ 证明：这里构造二项式其中的系数，左边为 ‎，而右边 四、排列、组合综合.‎ ‎1. I. 排列、组合问题几大解题方法及题型：‎ ‎①直接法. ②排除法.‎ ‎③捆绑法：在特定要求的条件下，将几个相关元素当作一个元素来考虑，待整体排好之后再考虑它们“局部”的排列.它主要用于解决“元素相邻问题”，例如，一般地，n个不同元素排成一列，要求其中某个元素必相邻的排列有个.其中是一个“整体排列”，而则是“局部排列”.‎ 又例如①有n个不同座位，A、B两个不能相邻，则有排列法种数为. ‎ ‎②有n件不同商品，若其中A、B排在一起有.‎ ‎③有n件不同商品，若其中有二件要排在一起有.‎ 注：①③区别在于①是确定的座位，有种；而③的商品地位相同，是从n件不同商品任取的2个，有不确定性.‎ ‎④插空法：先把一般元素排列好，然后把待定元素插排在它们之间或两端的空档中，此法主要解决“元素不相邻问题”.‎ 例如：n个元素全排列，其中m个元素互不相邻，不同的排法种数为多少？（插空法），当n – m+1≥m, 即m≤时有意义.‎ ‎⑤‎ 占位法：从元素的特殊性上讲，对问题中的特殊元素应优先排列，然后再排其他一般元素；从位置的特殊性上讲，对问题中的特殊位置应优先考虑，然后再排其他剩余位置.即采用“先特殊后一般”的解题原则.‎ ‎⑥调序法：当某些元素次序一定时，可用此法.解题方法是：先将n个元素进行全排列有种，个元素的全排列有种，由于要求m个元素次序一定，因此只能取其中的某一种排法，可以利用除法起到去调序的作用，即若n个元素排成一列，其中m个元素次序一定，共有种排列方法.‎ 例如：n个元素全排列，其中m个元素顺序不变，共有多少种不同的排法？‎ 解法一：（逐步插空法）（m+1）（m+2）…n = n！/ m！；解法二：（比例分配法）.‎ ‎⑦平均法：若把kn个不同元素平均分成k组，每组n个，共有.‎ 例如：从1，2，3，4中任取2个元素将其平均分成2组有几种分法？有（平均分组就用不着管组与组之间的顺序问题了）又例如将200名运动员平均分成两组，其中两名种子选手必在一组的概率是多少？‎ ‎（）‎ 注意：分组与插空综合. 例如：n个元素全排列，其中某m个元素互不相邻且顺序不变，共有多少种排法？有，当n – m+1 ≥m, 即m≤时有意义.‎ ‎⑧隔板法：常用于解正整数解组数的问题.‎ 例如：的正整数解的组数就可建立组合模型将12个完全相同的球排成一列，在它们之间形成11个空隙中任选三个插入3块摸板，把球分成4个组.每一种方法所得球的数目依次为显然，故（）是方程的一组解.反之，方程的任何一组解，对应着惟一的一种在12个球之间插入隔板的方式（如图 ‎ 所示）故方程的解和插板的方法一一对应. 即方程的解的组数等于插隔板的方法数.‎ 注意：若为非负数解的x个数，即用中等于，有，进而转化为求a的正整数解的个数为 .‎ ‎⑨定位问题：从n个不同元素中每次取出k个不同元素作排列规定某r个元素都包含在内，并且都排在某r个指定位置则有.‎ 例如：从n个不同元素中，每次取出m个元素的排列，其中某个元素必须固定在（或不固定在）某一位置上，共有多少种排法？‎ 固定在某一位置上：；不在某一位置上：或（一类是不取出特殊元素a，有，一类是取特殊元素a，有从m-1个位置取一个位置，然后再从n-1个元素中取m-1，这与用插空法解决是一样的）‎ ‎⑩指定元素排列组合问题. ‎ i. 从n个不同元素中每次取出k个不同的元素作排列（或组合），规定某r个元素都包含在内 。先C后A策略，排列；组合.‎ ii. 从n个不同元素中每次取出k个不同元素作排列（或组合），规定某r个元素都不包含在内。先C后A策略，排列；组合.‎ iii 从n个不同元素中每次取出k个不同元素作排列（或组合），规定每个排列（或组合）都只包含某r个元素中的s个元素。先C后A策略，排列；组合. ‎ II. 排列组合常见解题策略：‎ ‎①特殊元素优先安排策略；②合理分类与准确分步策略；③排列、组合混合问题先选后排的策略（处理排列组合综合性问题一般是先选元素，后排列）；④正难则反，等价转化策略；⑤相邻问题插空处理策略；‎ ‎⑥不相邻问题插空处理策略；⑦定序问题除法处理策略；⑧分排问题直排处理的策略；⑨“小集团”排列问题中先整体后局部的策略；⑩构造模型的策略.‎ ‎2. 组合问题中分组问题和分配问题.‎ ‎①均匀不编号分组：将n个不同元素分成不编号的m组，假定其中r组元素个数相等，不管是否分尽，其分法种数为（其中A为非均匀不编号分组中分法数）.如果再有K组均匀分组应再除以.‎ 例：10人分成三组，各组元素个数为2、4、4，其分法种数为.若分成六组，各组人数分别为1、1、2、2、2、2，其分法种数为 ‎②非均匀编号分组: n个不同元素分组，各组元素数目均不相等，且考虑各组间的顺序，其分法种数为 例：10人分成三组，各组人数分别为2、3、5，去参加不同的劳动，其安排方法为：种.‎ 若从10人中选9人分成三组，人数分别为2、3、4，参加不同的劳动，则安排方法有种 ‎③均匀编号分组：n个不同元素分成m组，其中r组元素个数相同且考虑各组间的顺序，其分法种数为.‎ 例：10人分成三组，人数分别为2、4、4，参加三种不同劳动，分法种数为 ‎ ‎④非均匀不编号分组：将n个不同元素分成不编号的m组，每组元素数目均不相同，且不考虑各组间顺序，不管是否分尽，其分法种数为…‎ 例：10人分成三组，每组人数分别为2、3、5，其分法种数为若从10人中选出6人分成三组，各组人数分别为1、2、3，其分法种数为.‎ 五、二项式定理.‎ ‎1. ⑴二项式定理：.‎ 展开式具有以下特点：‎ ① 项数：共有项；‎ ② 系数：依次为组合数 ③ 每一项的次数是一样的，即为n次，展开式依a的降幕排列，b的升幕排列展开.‎ ‎⑵二项展开式的通项.‎ 展开式中的第项为：.‎ ‎⑶二项式系数的性质.‎ ‎①在二项展开式中与首未两项“等距离”的两项的二项式系数相等；‎ ‎②二项展开式的中间项二项式系数最大.‎ I. 当n是偶数时，中间项是第项，它的二项式系数最大；‎ II. 当n是奇数时，中间项为两项，即第项和第项，它们的二项式系数最大.‎ ‎③系数和：‎ ‎ ‎ 附：一般来说为常数）在求系数最大的项或最小的项时均可直接根据性质二求解. 当时，一般采用解不等式组的系数或系数的绝对值）的办法来求解.‎ ‎⑷如何来求展开式中含的系数呢？其中且把视为二项式，先找出含有的项，另一方面在中含有的项为，故在中含的项为 ‎.其系数为.‎ ‎2. 近似计算的处理方法.‎ 当a的绝对值与1相比很小且n不大时，常用近似公式，因为这时展开式的后面部分很小，可以忽略不计。类似地，有但使用这两个公式时应注意a的条件，以及对计算精确度的要求.‎ 第十一章 概率 一 事件 ‎（一）、在一定条件下，事先就能断定发生或不发生某种结果，这种现象叫做确定性现象 ‎（二）、在一定条件下，某种现象可能发生，也可能不发生，事先不能断定出现哪种结果，这种现象叫做随机现象 ‎（三）、必然会发生的事件叫做必然事件；肯定不会发生的事件叫做不可能事件；在一定条件下，可能发生，也可能不发生的事件，叫做随机事件 二 概率 在相同条件下，随着试验次数的增多，随机事件发生的频率会在某个常数附近摆动并趋于稳定，我们可以用这个常数来刻画该随机事件发生的可能性大小，而将频率作为其近似值。‎ ‎1.概率： 一般地，如果随机事件在次试验中发生了次，当试验的次数很大时，我们可以将发生的频率作为事件发生的概率的近似值，即 ‎2．概率的性质： ‎ ‎①随机事件的概率为，‎ ‎②必然事件和不可能事件看作随机事件的两个特例，分别用和表示，必然事件的概率为，不可能事件的概率为，即，;‎ ‎3.（1）频率的稳定性 即大量重复试验时，任何结果（事件）出现的频率尽管是随机的，却“稳定”在某一个常数附近，试验的次数越多，频率与这个常数的偏差大的可能性越小，这一常数就成为该事件的概率;‎ ‎（2）“频率”和“概率”这两个概念的区别是：频率具有随机性，它反映的是某一随机事件出现的频繁程度，它反映的是随机事件出现的可能性；概率是一个客观常数，它反映了随机事件的属性.‎ ‎1.随机事件的概率：‎ 我们已经学习用概率表示一个事件在一次试验或观测中发生的可能性的大小，它是在～之间的一个数，将这个事件记为，用表示事件发生的概率.‎ 三 古典概型 ‎1、基本事件： 一次试验连同其中可能出现的每一个结果称为一个基本事件．‎ ‎2、等可能基本事件：若在一次试验中，每个基本事件发生的可能性都相同，则称这些基本事件为等可能基本事件。‎ ‎3、如果一个随机试验满足：‎ ‎（1）试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；‎ ‎（2）每个基本事件的发生都是等可能的； ‎ 那么，我们称这个随机试验的概率模型为古典概型．‎ ‎4、古典概型的概率：‎ 如果一次试验的等可能事件有个，那么，每个等可能基本事件发生的概率都是；如果某个事件包含了其中个等可能基本事件，那么事件发生的概率为．‎ ‎5、古典概型解题步骤：‎ ‎⑴阅读题目，搜集信息；‎ ‎⑵判断是否是等可能事件，并用字母表示事件；‎ ‎⑶求出基本事件总数和事件所包含的结果数；‎ ‎⑷用公式求出概率并下结论.‎ 四 几何概型 ‎１．几何概型的概念：　　　　　‎ 对于一个随机试验，我们将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中每一点被取到的机会都一样；而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点．这里的区域可以是线段，平面图形，立体图形等．用这种方法处理随机试验，称为几何概型．‎ ‎２．几何概型的基本特点：‎ ‎（１）试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个；‎ ‎（２）每个基本事件出现的可能性相等．‎ ‎３．几何概型的概率：‎ 一般地，在几何区域中随机地取一点，记事件＂该点落在其内部一个区域内＂为事件，则事件发生的概率．‎ 说明：（１）的测度不为；‎ ‎（２）其中＂测度＂的意义依确定，当分别是线段，平面图形，立体图形时，相应的＂测度＂分别是长度，面积和体积．‎ ‎（３）区域为＂开区域＂；‎ ‎（４）区域内随机取点是指：该点落在区域内任何一处都是等可能的，落在任何部分的可能性大小只与该部分的测度成正比而与其形状位置无关．‎ ‎（选）第一章 统计 第一部分 抽样方法 一 总体、个体、容量 一般地，我们把所考查对象的某一数值指标的全体构成的集合看做总体，构成总体的对象作为个体，从总体中抽出一部分对象所组成的集合叫做样本，样本中对象的个数称为样本的容量。‎ 二 简单的随机抽样 ‎1.一般地，设一个总体含有N个个体，从中逐个不放回地抽取n个个体作为样本（），如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样。‎ ‎2.最简单的随机抽样方法有两种：抽签法(抓阄法)和随机数表法。‎ ‎3.从一个总体为N的个体中，抽出容量为n的样本，每个个体被抽到的概率为。‎ 三 系统抽样 ‎1.当总体中的个体数较多时，将总体分成均衡的几个部分，然后按照预先定出的规则，从每一部分抽取1个个体，得到所需要的样本．这种抽样叫做系统抽样。‎ ‎2.系统抽样的四个步骤可简记为：“编号----分段—--确定起始的个体号——抽取样本”四步。‎ ‎3.在系统抽样中，如果总体容量N能被样本容量n整除，则用它们的比值作为分段间隔．如果不是整数，可以先从总体中随机地剔除几个个体，使得总体中剩余的个体数能被样本容量整除．然后再编号、分段，确定第一段的起始号．继而确定整个样本。‎ 四 分层抽样 当已知总体由差异明显的几部分组成时，才常将总体分成几部分，然后按照各部分所占的比例筋洗净抽样，这种抽样叫做分层抽样，其所分成的各个部分叫做层。‎ 利用分层抽样抽取样本，每一层按照它在总体中所占的比例进行抽取。‎ 注意 ‎（1）分层抽样适用于差异明显的几部分组成的情况；（2）在每一层进行抽样时，在采用简单随机抽样或系统抽样；（3）分层抽样充分利用已掌握的信息，使样具有良好的代表性；（4）分层抽样也是等概率抽样，而且在每层抽样时，可以根据具体情况采用不同的抽样方法，因此应用较为广泛。‎ 五 三种抽样方法的比较 ‎（1）列表比较：‎ 类别 共同点 各自特点 相互联系 适用范围 简单随机抽样 抽样过程种每个个体被抽取的机会均等 从总体中逐个抽取 总体种的个体数较少 系统抽样 将总体均匀分成几部分，按事先确定的规则在各部分抽取 在起始部分抽样时采用简单随机抽样 总体种的个体数较多 分层抽样 将总体分成几层，分层抽样时采用简单随机抽样或系统抽样 各层抽样时采用简单随机抽样或系统抽样 总体由差异明显的几部分组成 ‎(2)简单随机抽样、系统抽样、分层抽样的共同特点是在抽样过程中每一个个体被抽取的机会相等，体现了这些方法的客观性和公平性，其中简单随机抽样是最简单和最基本的抽样方法，在进行系统抽样和分层抽样时都要用到简单随机抽样方法，抽样方法经常交叉应用，对于个体数量很大的总体，可采用系统抽样，系统中的每一均衡部分，又可采用简单随机抽样。‎ 六 抽样方法的选择 ‎ ‎(1)通过比较三种抽样方法，可以发现它们的关系密切，无论采取哪一种方法，每个个体被抽到的概率是一样的。 ‎ ‎(2)对于系统抽样和分层抽样．如果不是整数，可采用剔除法，每个个体被抽到的概率不变，如从1003个总体中抽出容量为l0的样本，那么每个个体被抽到的概率为 ‎(3)通过分析总体特点，灵活选择抽样方法。‎ ‎(4)简单随机抽样是抽样方法的基础，是一种等机会抽样，它有以下几个特点：①它要求被抽取样 本的总体个数是有限的；②它是从总体中逐个地抽取；③它是一种不放回抽样。‎ ‎(5)系统抽样是在总体个数比较多时采用的抽样方法。当总体个数N不能被样本容量 整除时，应注意如何从总体中剔除一些个体．‎ ‎（6）分层抽样适用于总体是由差异明显的几部分个体组成时的抽样方法。具体步骤是：①分层；②按比例确定各层抽取个体的个数；③各层抽样；④汇合成样本。‎ 第二部分 用样本估计总体 一 用样本估计总体 ‎(1)频率分布 样本中所有数据(或者数据组)的频率和样本容量的比就是该数据的频率，所有数据(或者数据组)的频率的分布变化规律叫做频率分布，可以用频率分布表，频率分布折线图．茎叶图，频率分布直方图来表示．‎ ‎(2)频率分布折线图 连结频率分布直方图中各小长方形上端的中点，就可以得到频率分布折线图。‎ ‎(3)总体密度曲线 ‎ ①如果样本容量越大，所分组数越多，图中表示频率分布就越接近于总体在各个小组内所取值的个数与总数比值的大小．设想如果样本容量不断增大，分组的组距不断缩小，则频率分布直方图实际上是越来越接近于总体的分布，它可以用一条光滑曲线来描绘，这条光滑曲线就叫做总体密度曲线。‎ ‎ ②总体密度曲线精确地反映了一个总体在各个区域内取值的规律．产品尺寸落在(a，b)内的百分率就是下图中带斜线部分的面积．对本题来说，总体密度曲线呈中间高两边低的“钟”形分布，总体的数据大致呈对称分布，并且大部分数据都集中在靠近中间的区间内。‎ ‎(4)茎叶图表示数据有两个突的优点 其一是统计图上没有原始数据的损失，所有信息可以从这个茎叶图中得到，其二是在比赛时随时记录，方便记录于表示。‎ 二 众数、中位数、平均数、方差、标准差 ‎(1) 一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数。‎ ‎(2)一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据(或中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数。‎ ‎(3)如果有几个数那么叫做这几个数的平均数。‎ 如果在几个数中，出现次，出现次，出现次，（这里)，那么 ‎ 叫做这几个数的加权平均数。‎ ‎(4)标准差与方差 ‎ 考察样本数据的分散程度的大小，最常用的统计量是标准差。标准差是样本数据到平均数的一种平均距离，一般用s表示。‎ 设一组数据的平均数为，‎ 则，其中表示方差而s表示标准差。‎ 三 频率分布图(表)和频率分布直方图 ‎(1)频数分布图(表)能使我们清楚地知道数据分布在各个小组的个数；而频率分布图(表)则是从各个小组数据在样本容量中所占比例大小的角度，来表示数据分布的规律．它可以使我们看到整个样本数据的频率分布。‎ ‎(2)作频率分布直方图的步骤：‎ ‎①求极差，即一组数据中最大值和最小值的差。‎ ‎②决定组距与组数．将数据分组时，组数应力求合适，以使数据的分布规律能较清楚的呈现出来。这时应注意：a．一般样本容量越大，所分组数越多；b．为方便起见，组距的选择应力求“取整”；c．当样本容量不超过100时，按照数据的多少，通常分成5组～l2组．‎ ‎③将数据分组．‎ ‎④计算各小组的频率，作频率分布表。‎ ‎．‎ ‎⑤画频率分布直方图。‎ ‎(3)总体密度曲线是频率分布折线的一条极限曲线，随着样本容量不断增加，分组的不断加密，频率分布折线就会越来越光滑，最终形成总体密度曲线．总体密度曲线反映的是总体在各个范围内取值的百分比，实际上，尽管有些总体密度曲线是客观存在的，但只能用样本的频率分布对它估计，一般来说，样本容量越大，这种估计就越准确．‎ 四 茎叶图的应用 ‎(1)茎叶图的优点是保留了原始数据，便于记录及表示，能反映数据在各段上的分布情况．‎ ‎(2)茎叶图不能直接反映总体的分布情况，这就需要通过茎叶图给出的数据求出数据的数字特征，进一步估计总体情况．‎ 茎是指中间的一列数，叶是从茎的旁边生长出来的数。‎ 在样本数据较少时用茎叶图表示数据的效果较好，但当样本数据较多时，茎叶图就闲的不太方便了。‎ 五 标准差和方差的关系及计算 ‎(1)标准差的平方就是方差，即 ‎（2）方差的计算 ‎①基本公式 ‎②简化计算公式，‎ 或写成。即方差等于数据平方的平均数减去平均是的平方。‎ ‎③简化计算公式 当一组数据中的数据较大时，可仿照简化平均是的据算方法，将每个数据同时减去一个与它们的平均是接近的常数a，得到一组新数据那么 也可以写成 ‎。‎ 即方差等于新数据的平方平均数减去新数据平均数的平方。‎ ‎④原数据的方差与新数据 的方差相等。‎ 即的方差 等于原数据的方差。‎ ‎（3）方差和标准差都是用来描述一组数据波动情况的特征数，常数来比较两组数据的波动大小。方差较大的波动较大，方差较小的波动较小，方差的单位是原数据的单位的平方，标准差的单位与原数据的单位相同，不要漏写单位。‎ ‎（选）第二章 导数 一 导数的概念 ‎（一）导数的定义 ‎1.导数的原始定义：设函数在处附近有定义，如果时，与的比(也叫函数的平均变化率)有极限即无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做函数在处的导数，记作，即 ‎2导函数的定义：如果函数在开区间内的每点处都有导数，此时对于每一个，都对应着一个确定的导数，从而构成了一个新的函数, 称这个函数为函数在开区间内的导函数，简称导数。 ‎ ‎（二）导数的实际意义：‎ ‎1.导数的几何意义：‎ 是曲线上点()处的切线的斜率因此，如果在点可导，则曲线在点()处的切线方程为 ‎2.导数的物理意义：‎ 导数是物体变速直线运动的瞬时速度，也叫做瞬时变化率。‎ ‎（三）概念部分题型：‎ ‎1.利用定义求函数的导数 ‎ 主要有三个步骤：‎ ‎(1)求函数的改变量 ‎(2)求平均变化率 ‎(3)取极限，得导数＝ ‎ ‎2.利用导数的实际意义解题 主要有两种：求切线方程和瞬时速度，考试重点为求切线方程。‎ 二 导数的运算 ‎（一）常见函数的导数 ‎1．‎ ‎ 2．‎ ‎ 3．‎ ‎ 4．‎ ‎ 5．‎ ‎ 6．‎ ‎ 7．‎ ‎ 8．‎ ‎（二）导数的四则运算 ‎ 1．和差：‎ ‎2．积： ‎ ‎ 3．商： ‎ ‎（三）复合函数的导数：‎ ‎1．运算法则复合函数导数的运算法则为：‎ ‎2．复合函数的求导的方法和步骤：‎ 求复合函数的导数一定要抓住“中间变量”这一关键环节，然后应用法则，由外向里一层层求导，注意不要漏层。 ‎ 求复合函数的导数的方法步骤：‎ ‎(1)分清复合函数的复合关系，选好中间变量 ‎(2)运用复合函数求导法则求复合函数的导数，注意分清每次是哪个变量对哪个变量求导数 ‎(3)根据基本函数的导数公式及导数的运算法则求出各函数的导数，并把中间变量换成自变量的函数 ‎ ‎ 三 导数的应用 ‎（一）利用导数判断函数单调性及求解单调区间。‎ ‎1.导数和函数单调性的关系：‎ ‎ (1)若(x)>0在(a，b)上恒成立，则f(x)在(a，b)上是增函数，(x)>0‎ 的解集与定义域的交集的对应区间为增区间；‎ ‎(2)若(x)<0在(a，b)上恒成立，则f(x)在(a，b)上是减函数，(x)<0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间。‎ ‎2.利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤：‎ ‎①确定的定义域；‎ ‎②计算导数；‎ ‎③求出的根；‎ ‎④用的根将的定义域分成若干个区间,列表考察这若干个区间内的符号,进而确定的单调区间：(x)>0，则f(x)在对应区间上是增函数，对应区间为增区间；(x)<0，则f(x)在对应区间上是减函数，对应区间为减区间。‎ ‎（二）利用导数求解函数极值与最值。‎ ‎1.极值与最值的定义：‎ ‎(1)极大值： 一般地，设函数f(x)在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f(x)＜f(x0)，就说f(x0)是函数f(x)的一个极大值，记作y极大值=f(x0)，x0是极大值点 ‎(2)极小值：一般地，设函数f(x)在x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f(x)＞f(x0)就说f(x0)是函数f(x)的一个极小值，记作y极小值=f(x0)，x0是极小值点 ‎(3)函数的最大值和最小值:在闭区间上连续的函数在上必有最大值与最小值，分别对应该区间上的函数值的最大值和最小值。‎ ‎2.极值的性质：‎ ‎(1)极值是一个局部概念由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小 ‎(2)函数的极值不是唯一的即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个 ‎(3)极大值与极小值之间无确定的大小关系即一个函数的极大值未必大于极小值。‎ ‎(4)函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点 而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点 ‎3.判别f(x0)是极大、极小值的方法:‎ 若满足，且在的两侧的导数异号，则是的极值点，是极值，并且如果在两侧满足“左正右负”，则是的极大值点，是极大值；如果在两侧满足“左负右正”，则是的极小值点，是极小值 ‎4.求函数f(x)的极值的步骤: ‎ ‎(1)确定函数的定义区间，求导数f′(x) ‎ ‎(2)求方程f′(x)=0的根 ‎ ‎(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格检查f′(x)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则f(x)在这个根处无极值 ‎5.利用导数求函数的最值步骤:‎ ‎⑴求在内的极值；‎ ‎⑵将的各极值与、比较得出函数在上的最值 ‎（三）利用导数求解证明不等式：‎ 主要方法为将不等式左右两边的多项式移到一边，构造出一个新的函数，通过对求导，根据的大小和导数的性质，结合已知条件进行求解或证明。 ‎ 四 定积分与微积分基本原理 (理科考查，文科不考查)‎ ‎（一）曲边梯形面积与定积分 ‎1、定积分定义：设函数在上有界(通常指有最大值和最小值)，在与之间任意插入个分点，‎ ‎，将区间分成个小区间，记每个小区间的长度为 ，在上任取一点ζi,作函数值与小区间长度的乘积，并求和 记λ=max{；},如果当λ->0时,和s总是趋向于一个定值,则该定值便称为函数在上的定积分,记为，即 ‎ 其中, 称为函数在区间的积分和.‎ ‎2、定积分的几何意义 定积分在几何上,当时,表示由曲线、直线、直线与轴所围成的曲边梯形的面积；当时，表示由曲线、直线、直线与轴所围成的曲边梯形的面积的负值；一般情况下，表示介于曲线、两条直线、与轴之间的个部分面积的代数和 ‎（二）微积分基本定理 ‎1、基本定理 若函数在上连续，且存在原函数，即，则在上可积，且 这称为牛顿一莱布尼茨公式，它也常写成 ‎ 二、常用的不定积分公式：‎ ‎ 1. ‎ ‎2. ()‎ ‎3. ‎ ‎4. (，)‎ ‎5. ‎ ‎6. ‎ ‎7. ‎ ‎8. ‎ ‎9. ‎ ‎10.‎ ‎12.‎ ‎13.‎ ‎14.‎ 本节主要考察利用积分的公式熟练的计算。‎ ‎（选）第三章. 复 数 ‎1. ⑴复数的单位为i，它的平方等于－1，即.‎ ‎⑵复数及其相关概念：‎ ① 复数—形如a + bi的数（其中）；‎ ② 实数—当b = 0时的复数a + bi，即a；‎ ③ 虚数—当时的复数a + bi；‎ ④ 纯虚数—当a = 0且时的复数a + bi，即bi.‎ ⑤ 复数a + bi的实部与虚部—a叫做复数的实部，b叫做虚部（注意a，b都是实数）‎ ⑥ 复数集C—全体复数的集合，一般用字母C表示.‎ ‎⑶两个复数相等的定义：‎ ‎.‎ ‎⑷两个复数，如果不全是实数，就不能比较大小.‎ 注：①若为复数，则若，则.（×）[为复数，而不是实数]‎ 若，则.（√）‎ ‎②若，则是的必要不充分条件.（当，‎ 时，上式成立）‎ ‎2. ⑴复平面内的两点间距离公式：.‎ 其中是复平面内的两点所对应的复数，间的距离.‎ 由上可得：复平面内以为圆心，为半径的圆的复数方程：.‎ ‎⑵曲线方程的复数形式：‎ ‎①为圆心，r为半径的圆的方程.‎ ‎②表示线段的垂直平分线的方程.‎ ‎③为焦点，长半轴长为a 的椭圆的方程（若，此方程表示线段）.‎ ‎④表示以为焦点，实半轴长为a的双曲线方程（若，此方程表示两条射线）.‎ ‎⑶绝对值不等式：‎ 设是不等于零的复数，则 ‎①.‎ 左边取等号的条件是，右边取等号的条件是.‎ ‎②.‎ 左边取等号的条件是，右边取等号的条件是.‎ 注：.‎ ‎3. 共轭复数的性质：‎ ‎ ‎ ‎，（a + bi） ‎ ‎ ‎ ‎（） ‎ 注：两个共轭复数之差是纯虚数. （×）[之差可能为零，此时两个复数是相等的]‎ ‎4 ⑴①复数的乘方：‎ ‎②对任何，及有 ‎③ ‎ 注：①以上结论不能拓展到分数指数幂的形式，否则会得到荒谬的结果，如若由就会得到的错误结论.‎ ‎②在实数集成立的. 当为虚数时，‎ ‎，所以复数集内解方程不能采用两边平方法.‎ ‎⑵常用的结论：‎ ‎ ‎ 若是1的立方虚数根，即，则 .‎ ‎5. ⑴复数是实数及纯虚数的充要条件：‎ ‎①.‎ ‎②若，是纯虚数.‎ ‎⑵模相等且方向相同的向量，不管它的起点在哪里，都认为是相等的，而相等的向量表示同一复数. 特例：零向量的方向是任意的，其模为零.‎ 注：. ‎ ‎6. ⑴复数的三角形式：.‎ 辐角主值：适合于0≤＜的值，记作.‎ 注：①为零时，可取内任意值.‎ ‎②辐角是多值的，都相差2的整数倍.‎ ‎③设则.‎ ‎⑵复数的代数形式与三角形式的互化：‎ ‎，，.‎ ‎⑶几类三角式的标准形式：‎ ‎7. 复数集中解一元二次方程：‎ 在复数集内解关于的一元二次方程时，应注意下述问题：‎ ‎①当时，若＞0，则有二不等实数根；若=0，则有二相等实数根 ‎；若＜0，则有二相等复数根（为共轭复数）.‎ ‎②当不全为实数时，不能用方程根的情况.‎ ‎③不论为何复数，都可用求根公式求根，并且韦达定理也成立.‎ ‎8. 复数的三角形式运算：‎ 棣莫弗定理：‎ ‎（选）第四章 空间向量（理科）‎ 一 空间向量的线性运算 知识点 ‎1. 空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。‎ 注：(1)向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。‎ ‎(2)空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示。‎ ‎2. 空间向量的运算 定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下(如下图)。‎ ‎ ‎ ‎;;‎ 运算律：⑴加法交换律：‎ ‎⑵加法结合律：‎ ‎⑶数乘分配律：‎ 二 空间向量的基本定理 知识点 ‎1. 共线向量 ‎(1)如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共线向量或平行向量，平行于，记作。‎ 当我们说向量、共线(或//)时，表示、的有向线段所在的直线可能是同一直线，也可能是平行直线。‎ ‎(2)共线向量定理：空间任意两个向量、(≠)，//存在实数λ，使＝λ。‎ 深化：‎ ‎(1)对于空间中的任意两个向量来说都是共面的，但三个向量不一定共面．‎ ‎(2)当p、a、b都是非零向量时，共面向量定理实际上也是p、a、b所在的三条直线共面的充要条件，但用于判定时，还需证明其中一条直线上有一点在另外两直线确定的平面内．‎ ‎2. 共面向量 ‎(1)定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。‎ 说明：空间任意的两向量都是共面的。‎ ‎(2)共面向量定理：如果两个向量不共线，与向量共面的条件是存在实数使。‎ ‎3. 空间向量基本定理：‎ 如果三个向量不共面，那么对空间任一向量，存在一个唯一的有序实数组，使。‎ 若三向量不共面，我们把叫做空间的一个基底，叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。‎ 推论：设是不共面的四点，则对空间任一点，都存在唯一的三个有序实数，使 ‎。‎ 深化：‎ ‎(1)如果三个向量a、b、c不共面，那么所有空间向量所组成的集合就是｛p|p＝xa＋yb＋zc，x、y、z∈R｝．这个集合可看作是由向量a、b、c生成的，所以我们把｛a，b，c｝叫做空间的一个基底，a、b、c都叫做基向量．由上述定理可知，空间任意三个不共面的向量都可构成空间的一个基底．‎ ‎(2)推论中，若x＋y＋z＝１，则根据共面向量定理得：P、‎ A、B、C四点共面．故可看成平面ABC 的一个向量参数方程，其中x, y，z为参数.‎ 三 向量的数量积 ‎(一)平面向量 ‎(二) 空间向量 ‎(1)空间向量的夹角及其表示：已知两非零向量，在空间任取一点，作，则叫做向量与的夹角，记作；且规定，显然有；若，则称与互相垂直，记作：。‎ ‎(2)向量的模：设，则有向线段的长度叫做向量的长度或模，记作：。‎ ‎(3)向量的数量积：已知向量，则叫做的数量积，记作，即。‎ ‎(4)空间向量数量积的性质：‎ ‎①；②；③。‎ ‎(5)空间向量数量积运算律：‎ ‎①；②(交换律)；③(分配律)。‎ 四 空间向量的直角坐标运算 ‎1.空间直角坐标系：‎ ‎(1)若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为，这个基底叫单位正交基底，用表示；‎ ‎(2)在空间选定一点和一个单位正交基底，以点为原点，分别以的方向为正方向建立三条数轴：轴、轴、轴，它们都叫坐标轴．我们称建立了一个空间直角坐标系，点叫原点，向量 都叫坐标向量．通过每两个坐标轴的平面叫坐标平面，分别称为平面，平面，平面；‎ ‎(3)作空间直角坐标系时，一般使(或)，；‎ ‎(4)在空间直角坐标系中，让右手拇指指向轴的正方向，食指指向轴的正方向，如果中指指向轴的正方向，称这个坐标系为右手直角坐标系规定立几中建立的坐标系为右手直角坐标系 ‎2．空间直角坐标系中的坐标：‎ 如图给定空间直角坐标系和向量，设为坐标向量，则存在唯一的有序实数组，使，有序实数组叫作向量在空间直角坐标系中的坐标，记作．‎ 在空间直角坐标系中，对空间任一点，存在唯一 的有序实数组，使，有序实数组叫作向量在空间直角坐标系中的坐标，记作，叫横坐标，叫纵坐标，叫竖坐标．如上图 ‎3．空间向量的直角坐标运算律：‎ ‎(1)如右图：若，‎ ‎，‎ 则，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎ ，‎ ‎．‎ ‎(2)若，，‎ 则．‎ 一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标如下图。‎ ‎（选）第五章 立体几何 一 平行关系 ‎（一） 线线平行(图3-1) ‎ ‎1．如果两条线都平行于第三条线，那么这两条线相互平行.‎ ‎2．如果一条线平行于另一个平面，那么这条线就平行于过这条线的 图3-1‎ 平面与已知平面的交线.‎ ‎3．如果两个平面平行，那么另一个平面与这两个平面的交线互相平行.‎ ‎4．如果两条直线都和另一个平面垂直，那么这两条直线平行.‎ ‎5．在同一平面内，如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行.‎ ‎（二） 线面平行(图3-2) 图3-2‎ ‎1．如果平面外一条直线平行于平面内的一条 ‎ 直线，那么直线与平面平行. ‎ ‎2．如果两个平面平行，一个平面内的任何一条直 线平行于另一个平面 ‎ ‎3．如果平面与平面外一条直线同时垂直于另一条直线，那么线面平行 ‎4．如果平面与平面外一条直线同时垂直于另一个平面，那么线面平行 ‎（三） 面面平行(图3-3)‎ ‎1.如果一个平面内有两条相交直线平行于另一个平面，那么面面平行 ‎ ‎2.如果两个平面都平行于第三个平面，那么 ‎ 这两个平面平行 图3-3‎ ‎3.如果两个平面同时垂直于同一条直线，那么这两个平面平行 二 垂直关系 大部分都是通过垂直证垂直；不能证明的时候，平移到另一个位置证垂直。 ‎ ‎（一） 线线垂直 ‎ 如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于这个平面内的任何一条直线。 ‎ ‎（二） 线面垂直 ‎1．如果一条直线垂直于平面内两条相交的直线，那么这条直线就垂直于两条相交直线所在的平面 ‎2．如果两个平面垂直，在其中一个平面内，垂直于公共棱的直线垂直于另一个平面 ‎（三） 面面垂直 (如图3-4)‎ ‎1．过一个平面垂线的平面垂直于已知平面 ‎ ‎2．二面角为直角的两个平面垂直 图3-4‎ ‎（四） 不能直接证垂直的情况 ‎ ‎1．把已知线或面平移到容易证明垂直的位置 ‎2．找和已知线或面平行的线或面证垂直 三 距离问题 ‎1．能做出垂线段的直接求距离，垂足一定是特殊点(顶点，中点，内心，外心)或在特殊直线(棱或对角线)上 ‎2．不能做出垂线段的，转移后求距离：‎ 点到面 → 线到面 → 面到面 ‎3．等体积性：，找到三个量就可以求出另一个量。‎ 四 多面体概念辨析与边长、面积、体积 ‎（一） 题型分类总描述 概念辨析：主要考查的是四棱柱，平行六面体，直平行六面体，长方体，正四棱柱，正方体系列概念的对比，或正四面体，正四棱锥系列。‎ 边长：将边长放于三角形中解三角形。正弦定理，余弦定理，勾股定理。‎ 面积：找底和高 体积：一般底面积好求，高看成是距离用上文“求距离”的方法求。‎ ‎（二）棱柱 ‎1．概念 棱柱的概念：有两个面互相平行，其余每相邻两个面的交线互相平行，这样的多面体叫棱柱。两个互相平行的面叫棱柱的底面(简称底)；其余各面叫棱柱的侧面；两侧面的公共边叫棱柱的侧棱；两底面所在平面的公垂线段叫棱柱的高(公垂线段长也简称高)‎ ‎2．棱柱的分类：‎ ‎(1)总体分类：‎ a.棱柱：棱柱的底面可以是三角形、四边形、五边形……这样的棱柱分别叫三棱柱、四棱柱、五棱柱……‎ b.直棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱叫斜棱柱；侧棱垂直于底面的棱柱叫直棱柱。‎ c.正棱柱：底面是正多边形的直棱柱叫正棱柱。‎ 例： 正四棱柱 ‎(2)四棱柱分类：‎ a.普通四棱柱：上下底面是四边形的棱柱。如图3-5 ‎ b.平行六面体：底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体。如图3-6‎ c.直平行六面体：侧棱与底面垂直的平行六面体叫直平行六面体。如图3-7 ‎ d.长方体：底面是矩形的直平行六面体是长方体。如图3-8‎ e.正四棱柱：底面是正方形的直四棱柱 f.正方体：棱长都相等的长方体叫正方体。如图3-9 ‎ ‎ ‎ 图3-5 图3-6 图3-7 ‎ ‎ ‎ ‎ 图3-8 图3-9 ‎ ‎(3)棱柱的体积公式： (为底面积，为高) ‎ 五 棱锥 ‎（一）概念：‎ 有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，这样的多面体叫棱锥。其中有公共顶点的三角形叫棱锥的侧面；多边形叫棱锥的底面或底；各侧面的公共顶点，叫棱锥的顶点，顶点到底面所在平面的垂线段，叫棱锥的高(垂线段的长也简称高)． ‎ ‎（二）棱锥的分类：‎ ‎1.按底面多边形的边数分类：‎ 分别称底面是三角形，四边形，五边形……的棱锥为三棱锥，四棱锥五棱锥……三棱锥也叫做四面体(如图3-10)，各个面都是正三角形的四面体叫正四面体。四棱锥如图3-11 .‎ 五棱锥如图3-12 ‎ 图3-10 图3-11 图3-12‎ ‎2.正棱锥：‎ 底面是正n边形，顶点在底面的射影是底面的中心的棱锥叫“正n棱锥”‎ ‎（三）棱锥的体积公式： (为底面积，为高) ‎ 注：在棱锥中涉及到表面积或体积时经常 图3-13‎ 需要连出底面高和斜高。如图3-13 ‎ 六 正多面体 ‎1．正多面体的概念：‎ 每个面都是有相同边数的全等的正多边形，每个顶点为端点都有相同棱数的凸多面体，叫做正多面体．‎ ‎（1）．正方体:是一类非常特别的多面体：它的六个面都是正方形，每个顶点处都有三条棱．正方体我们也可以称为正六面体．‎ ‎（2）．正四面体:它的四个面都是全等的正三角形，每个顶点处都有三条棱 ‎2．正多面体的特性：‎ 正多面体是一种特殊的凸多面体，它有两个特点：‎ ‎（1）．每个面都是有相同边数的全等的正多边形；‎ ‎（2）．每个顶点处都有相同数目的棱．‎ 由定义可以得知：正多面体的各个面是全等的正多边形，各条棱是相等的线段．‎ ‎3．正多面体的种类：‎ 正多面体共有五种，它们是：正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体。如下图。‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 七 球 ‎（一） 球的定义 第一定义：半圆以它的直径为旋转轴，旋转所成的曲面叫球面。球面所围成的几何体叫球体，简称球。‎ 第二定义：球面是空间中与定点的距离等于定长的所有点的集合 ‎（二）球的截面与大圆小圆 截面：用一个平面去截一个球，截面是圆面 大圆：过球心的截面圆叫大圆， 大圆是所有球的截面中半径最大的圆。‎ 球面上任意两点间最短的球面距离：是过这两点大圆的劣弧长 小圆：不过球心的截面圆叫小圆。 如图所示。‎ ‎（三）球的表面积与体积 ‎①球的表面积公式：.‎ ‎②球的体积公式：.‎ ‎（四）纬度、经度：‎ ‎1．纬度：地球上一点的纬度是指经过点的球半径与赤道面所成的角的度数.‎ ‎2．经度：地球上两点的经度差，是指分别经过这两点的经线与地轴所确定的二个半平面的二面角的大小