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- 2021-05-13 发布
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四川高考文科数学试题2006年—2011年立几解答题
1.(2006年四川高考文科20题)如图,在长方体中,分别是的中点,分别是的中点,
(Ⅰ)求证:面;
(Ⅱ)求二面角的大小。
2.(2007年四川高考文科19题)如图,平面平面,,,直线与直线所成的角为60°,又,,.
(Ⅰ)求证:;
(Ⅱ)求二面角的大小;
(Ⅲ)求多面体的体积.
3.(2008年四川高考文科19题)如图,平面平面,四边形与都是直角梯形,
,,分别为的中点
(Ⅰ)证明:四边形是平行四边形;
(Ⅱ)四点是否共面?为什么?
(Ⅲ)设,证明:平面平面;
4.(2009年四川高考文科19题)如图,正方形ABCD所在平面与平面四边形ABEF所在平面互相垂直,△ABE是等腰直角三角形,AB=AE,FA=FE,∠AEF=45°. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
(Ⅰ)求证:EF⊥平面BCE;
(Ⅱ)设线段CD、AE的中点分别为P、M,求证:PM∥平面BCE;
(Ⅲ)求二面角F-BD-A的大小.
5.(2010年四川高考文科18题)在正方体ABCD-A′B′C′D′中,点M是棱AA′的中点,点O是对角线BD′的中点.
(Ⅰ)求证:OM为异面直线AA′和BD′的公垂线;
(Ⅱ)求二面角M-BC′-B′的大小;w_w w. k#s5_u.c o*m
6.(2011年四川高考文科19题)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,AB=AC=AA1=1,延长A1C1至点P,使C1P=A1C1,连接AP交棱CC1于D.
(Ⅰ)求证:PB1∥平面BDA1;
(Ⅱ)求二面角A-A1D-B的平面角的余弦值;
四川高考文科数学试题立几答案
1.(2006年四川高考文科20题)
解:以为原点,所在直线分别为轴,轴,轴,建立直角坐标系,则
∵分别是的中点
∴
(Ⅰ) 取,显然面
,∴,又面∴面
∴过作,交于,取的中点,则
设,则又
由,及在直线上,可得:
解得
∴,∴ 即
∴与所夹的角等于二面角的大小
故:二面角的大小为
2.(2007年四川高考文科19题)
(Ⅰ)∵平面平面,,平面.
∴平面又∵平面,∴
(Ⅱ)取的中点,则.连接、.
∵平面平面,平面平面,.
∴平面.∵,∴,从而平面.
作于,连结,则由三垂线定理知.
从而为二面角的平面角.
∵直线与直线所成的角为60°,∴ .
在中,由勾股定理得.
在中,.
在中,.
在中,
故二面角的大小为
(Ⅱ)如图以为原点建立空间直角坐标系.
设,有,,.
,,由直线与直线所成的角为60°,得
,即,解得.
∴,
设平面的一个法向量为,则
由,取,得
取平面的一个法向量为,则
由图知二面角为锐二面角,故二面角的大小为.
(Ⅲ)多面体就是四棱锥
3.(2008年四川高考文科19题)
由平面平面,,得平面,
以为坐标原点,射线为轴正半轴,建立如图所示的直角坐标系
(Ⅰ)设,则由题设得
所以于是
又点不在直线上所以四边形是平行四边形。
(Ⅱ)四点共面。理由如下:
由题设知,所以
又,故四点共面。
(Ⅲ)由得,所以
又,因此
即,又,所以平面
故由平面,得平面平面
4.(2009年四川高考文科19题)
(Ⅰ)因为△ABE为等腰直角三角形,AB=AE,所以AE⊥AB,
又因为平面ABEF⊥平面ABCD,AE平面ABEF,平面ABEF 平面ABCD= AB
所以AE⊥平面ABCD,所以AE⊥AD因此,AD,AB,AE两两垂直,建立如图所示的直角坐标系.设AB=1,则AE=1,B(0,1,0),D(1,0,0),
E(0,0,1),C(1,1,0)
因为FA=FE,∠AEF=,
所以∠AEF=.
从而,F(0,,).
.
,所以EF⊥BE,EF⊥BC.
因为BE平面BCE,BC平面BCE,BCBE=B,所以EF⊥平面BCE. ……4分
(Ⅱ)M(0,0,).P(1, ,0).从而=(,).
于是
所以PM⊥FE,又EF⊥平面BCE,直线PM不在平面BCE内,
故PM∥平面BCE. ………………………8分
(Ⅲ)设平面BDF的一个法向量为,并设=(x,y,z)=(1,1,0),
即去y=1,则x=1,z=3,从=(0,0,3)
取平面ABD的一个法向量为=(0,0,1)
故二面角F-BD-A的大小为. ……………………….12分
5.(2010年四川高考文科18题)
以点D为坐标原点,建立如图所示空间直角坐标系D-xyz
则A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),A’(1,0,1),C’(0,1,1),D’(0,0,1)
(1)因为点M是棱AA’的中点,点O是BD’的中点
所以M(1,0, ),O(,,)
,=(0,0,1),=(-1,-1,1)
=0, +0=0
所以OM⊥AA’,OM⊥BD’
又因为OM与异面直线AA’和BD’都相交
故OM为异面直线AA'和BD'的公垂线.………………………………6分
(2)设平面BMC'的一个法向量为=(x,y,z) w_w w. k#s5_u.c o*m
=(0,-1,), =(-1,0,1)
即,取z=2,则x=2,y=1,从而=(2,1,2)
取平面BC'B'的一个法向量为=(0,1,0), cos
由图可知,二面角M-BC'-B'的平面角为锐角w_w w. k#s5_u.c o*m
故二面角M-BC'-B'的大小为arccos…………………12分
6.(2011年四川高考文科19题)
如图,以A1为原点,A1B1,A1C1,A1A所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系A1-B1C1A,则,,,,.
(Ⅰ)在△PAA1中有,即.
∴,,.
设平面BA1D的一个法向量为,
则令,则.
∵,
∴PB1∥平面BA1D,
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,平面BA1D的一个法向量.
又为平面AA1D的一个法向量.∴.
故二面角A-A1D-B的平面角的余弦值为.