北方工业大学附中2014三维设计高考数学一轮单元复习精品练习计数原理 4页

北方工业大学附中2019三维设计高考数学一轮单元复习精品练习：计数原理 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．‎ 第Ⅰ卷(选择题　共60分)‎ 一、选择题 (本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)‎ ‎1．记为一个位正整数，其中都是正整数，．若对任意的正整数，至少存在另一个正整数，使得，则称这个数为“位重复数”．根据上述定义，“四位重复数”的个数为( )‎ A．1994个 B．4464个 C．4536个 D．9000个 ‎【答案】B ‎2．4名同学分别报名参加学校的足球队，篮球队，乒乓球队，每人限报其中的一个运动队，不同报法的种数是( )‎ A． B． C．24 D．12 ‎ ‎【答案】A ‎3．若,则( )[来源:Z,xx,k.Com]‎ A．1 B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎4．设，则S等于( )‎ A．x4 B．x4+1 C．(x-2)4 D．x4+4‎ ‎【答案】A ‎5．用从0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数是( )‎ A．324 B．328 C．360 D．648‎ ‎【答案】B ‎6．方程中的，且互不相同，在所有这些方程所表示的曲线中，不同的抛物线共有( )‎ A．60条 B．62条 C．71条 D．80条 ‎【答案】B ‎7．某城市新修建的一条道路上有12盏路灯，为了节省用电而又不能影响正常的照明，可以熄灭其中的3盏灯，但两端的灯不能熄灭，也不能熄灭相邻的两盏灯，则熄灯的方法有( )‎ A．种 B．种 C．种 D．种 ‎【答案】A ‎8．△ABC内有任意三点不共线的2019个点，加上三个顶点，共2019个点，把这2019个点连线形成互不重叠（即任意两个三角形之间互不覆盖）的小三角形，则一共可以形成小三角形的个数为( )‎ A．4008 B．4009 C．4010 D．4011‎ ‎【答案】D ‎9．2019年上海世博会组委会分配甲、乙、丙、丁四人做三项不同的工作，每一项工作至少分一人，且甲、乙两人不能同时做同一项工作，则不同的分配种数是( )‎ A．24 B．30 C．36 D．48‎ ‎【答案】B ‎10．某书店有11种杂志，2元1本的8种，1元1本的3种，要用10元钱买杂志而且每种杂志至多买1本，10元钱刚好用完。则不同的买法种数为( )‎ A．168 B．242 C．266 D．284‎ ‎【答案】C ‎11．从1到10的10个正整数中,任意取两个数相加,所得的和为奇数的不同情况有( )种.‎ A．20 B．25 C．15 D．30‎ ‎【答案】B ‎12．已知对任意恒成立，且，则( )‎ A． B． C． D．[来源:学_科_网]‎ ‎【答案】A 第Ⅱ卷(非选择题　共90分)‎ 二、填空题 (本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)‎ ‎13．的展开式中的第3项含有，则的值为 ．‎ ‎【答案】10‎ ‎14．将24个志愿者名额分配给3个学校，则每校至少有一个名额且各校名额互不相同的分配方法共有　 　种．‎ ‎【答案】222‎ ‎15．用红、黄、蓝三种颜色之一去涂图中标号为1,2……9的9个小正方形（如右图），使得任意相邻（有公共边的）小正方形所涂颜色都不相同，且标号为“1、5、9”的小正方形涂相同的颜色，则符合条件的所有涂法共有 种． ‎ ‎【答案】108‎ ‎16．2019是一个数字之和为4的四位数，试求有____________个数字之和为4的四位数。‎ ‎【答案】20‎ 三、解答题 (本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)‎ ‎17．（1）比5000小且没有重复数字的自然数有多少个？‎ ‎(2）由1到9这9个数字中每次选出5个数字组成无重复数字的5位数，‎ ‎①其中奇数位置上的数字只能是奇数，，问有多少个这样的5位数？‎ ‎②其中奇数只能在奇数位置上，问又有多少个这样的5位数?[来源:学#科#网Z#X#X#K]‎ ‎【答案】（1）2755；（2）1800；2520.‎ ‎18．在由1、2、3、4、5五个数字组成的没有重复数字的四位数中 ‎①1不在百位且2不在十位的有多少个？‎ ‎②计算所有偶数的和。‎ ‎【答案】①由1不在百位，可分为以下两类 ‎ 第一类：1在十位的共有个；‎ ‎ 第二类：1不在十位也不在百位的共有个。‎ ‎ 所以1不在百位且2不在十位的共有24+54＝78个。‎ ‎②千位数字的和为：(1+3+5)+2+4=108+12+24=144；‎ ‎ 百位数字的和为：(1+3+5)+2+4=108+12+24=144；‎ ‎ 十位数字的和为：(1+3+5)+2+4=108+12+24=144；‎ ‎ 个位数字的和为：(2+4)=144；‎ ‎ ∴所有偶数的和为：144×(1000+100+10+1)=159984。‎ ‎19．已知，n∈N*.‎ ‎ (1) 若，求中含项的系数；‎ ‎ (2) 若是展开式中所有无理项的系数和，数列是各项都大于1的数组成的数列，试用数学归纳法证明：≥(1＋)(1＋)…(1＋)．‎ ‎【答案】(1) g(x)中含x2项的系数为C＋2C＋3C＝1＋10＋45＝56.‎ ‎(2) 证明：由题意，pn＝2n－1.‎ ‎① 当n＝1时，p1(a1＋1)＝a1＋1，成立；[来源:Z,xx,k.Com]‎ ‎② 假设当n＝k时，pk(a1a2…ak＋1)≥(1＋a1)(1＋a2)…(1＋ak)成立，‎ 当n＝k＋1时，‎ ‎(1＋a1)(1＋a2)…(1＋ak)(1＋ak＋1)≤2k－1(a1a2…ak＋1)(1＋ak＋1)‎ ‎＝2k－1(a1a2…akak＋1＋a1a2…ak＋ak＋1＋1)．(*)‎ ‎∵ ak＞1，a1a2…ak(ak＋1－1)≥ak＋1－1，即a1a2…akak＋1＋1≥a1a2…ak＋ak＋1，‎ 代入(*)式得(1＋a1)(1＋a2)…(1＋ak)(1＋ak＋1)≤2k(a1a2…akak＋1＋1)成立．[来源:Z*xx*k.Com]‎ 综合①②可知，pn（a1a2…an＋1）≥（1＋a1）（1＋a2）…（1＋an）对任意n∈N*成立．‎ ‎20．2名女生、3名男生排成一排合影留念，针对下列站法，试问：各有多少种不同的站法？‎ ‎⑴2名女生相邻；‎ ‎⑵2名女生不相邻。‎ ‎【答案】⑴；（2）‎ ‎21．从4名男生,3名女生中选出三名代表,(1)不同的选法共有多少种?(2)至少有一名女生的 不同的选法共有多少种?(3)代表中男、女生都要有的不同的选法共有多少种? ‎ ‎【答案】（1）即从7名学生中选出三名代表，共有选法 种；‎ ‎(2）至少有一名女生的不同选法共有 种；‎ ‎(3）男、女生都要有的不同的选法共有 种。‎ ‎22．已知展开式的各项依次记为．‎ 设．‎ ‎(1）若的系数依次成等差数列，求的值；‎ ‎(2）求证：对任意，恒有.‎ ‎【答案】（1）依题意，，‎ 的系数依次为，，，‎ 所以，解得；‎ ‎(2）‎ 设，‎ 则 考虑到，将以上两式相加得：‎ 所以 又当时，恒成立，从而是上的单调递增函数，‎ 所以对任意，．‎