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  • 2021-05-13 发布

北方工业大学附中2014三维设计高考数学一轮单元复习精品练习计数原理

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北方工业大学附中2019三维设计高考数学一轮单元复习精品练习:计数原理 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分150分.考试时间120分钟.‎ 第Ⅰ卷(选择题 共60分)‎ 一、选择题 (本大题共12个小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)‎ ‎1.记为一个位正整数,其中都是正整数,.若对任意的正整数,至少存在另一个正整数,使得,则称这个数为“位重复数”.根据上述定义,“四位重复数”的个数为( )‎ A.1994个 B.4464个 C.4536个 D.9000个 ‎【答案】B ‎2.4名同学分别报名参加学校的足球队,篮球队,乒乓球队,每人限报其中的一个运动队,不同报法的种数是( )‎ A. B. C.24 D.12 ‎ ‎【答案】A ‎3.若,则( )[来源:Z,xx,k.Com]‎ A.1 B. C. D.‎ ‎【答案】C ‎4.设,则S等于( )‎ A.x4 B.x4+1 C.(x-2)4 D.x4+4‎ ‎【答案】A ‎5.用从0到9这10个数字,可以组成没有重复数字的三位偶数的个数是( )‎ A.324 B.328 C.360 D.648‎ ‎【答案】B ‎6.方程中的,且互不相同,在所有这些方程所表示的曲线中,不同的抛物线共有( )‎ A.60条 B.62条 C.71条 D.80条 ‎【答案】B ‎7.某城市新修建的一条道路上有12盏路灯,为了节省用电而又不能影响正常的照明,可以熄灭其中的3盏灯,但两端的灯不能熄灭,也不能熄灭相邻的两盏灯,则熄灯的方法有( )‎ A.种 B.种 C.种 D.种 ‎【答案】A ‎8.△ABC内有任意三点不共线的2019个点,加上三个顶点,共2019个点,把这2019个点连线形成互不重叠(即任意两个三角形之间互不覆盖)的小三角形,则一共可以形成小三角形的个数为( )‎ A.4008 B.4009 C.4010 D.4011‎ ‎【答案】D ‎9.2019年上海世博会组委会分配甲、乙、丙、丁四人做三项不同的工作,每一项工作至少分一人,且甲、乙两人不能同时做同一项工作,则不同的分配种数是( )‎ A.24 B.30 C.36 D.48‎ ‎【答案】B ‎10.某书店有11种杂志,2元1本的8种,1元1本的3种,要用10元钱买杂志而且每种杂志至多买1本,10元钱刚好用完。则不同的买法种数为( )‎ A.168 B.242 C.266 D.284‎ ‎【答案】C ‎11.从1到10的10个正整数中,任意取两个数相加,所得的和为奇数的不同情况有( )种.‎ A.20 B.25 C.15 D.30‎ ‎【答案】B ‎12.已知对任意恒成立,且,则( )‎ A. B. C. D.[来源:学_科_网]‎ ‎【答案】A 第Ⅱ卷(非选择题 共90分)‎ 二、填空题 (本大题共4个小题,每小题5分,共20分,把正确答案填在题中横线上)‎ ‎13.的展开式中的第3项含有,则的值为 .‎ ‎【答案】10‎ ‎14.将24个志愿者名额分配给3个学校,则每校至少有一个名额且各校名额互不相同的分配方法共有   种.‎ ‎【答案】222‎ ‎15.用红、黄、蓝三种颜色之一去涂图中标号为1,2……9的9个小正方形(如右图),使得任意相邻(有公共边的)小正方形所涂颜色都不相同,且标号为“1、5、9”的小正方形涂相同的颜色,则符合条件的所有涂法共有 种. ‎ ‎【答案】108‎ ‎16.2019是一个数字之和为4的四位数,试求有____________个数字之和为4的四位数。‎ ‎【答案】20‎ 三、解答题 (本大题共6个小题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)‎ ‎17.(1)比5000小且没有重复数字的自然数有多少个?‎ ‎(2)由1到9这9个数字中每次选出5个数字组成无重复数字的5位数,‎ ‎①其中奇数位置上的数字只能是奇数,,问有多少个这样的5位数?‎ ‎②其中奇数只能在奇数位置上,问又有多少个这样的5位数?[来源:学#科#网Z#X#X#K]‎ ‎【答案】(1)2755;(2)1800;2520.‎ ‎18.在由1、2、3、4、5五个数字组成的没有重复数字的四位数中 ‎①1不在百位且2不在十位的有多少个?‎ ‎②计算所有偶数的和。‎ ‎【答案】①由1不在百位,可分为以下两类 ‎ 第一类:1在十位的共有个;‎ ‎ 第二类:1不在十位也不在百位的共有个。‎ ‎ 所以1不在百位且2不在十位的共有24+54=78个。‎ ‎②千位数字的和为:(1+3+5)+2+4=108+12+24=144;‎ ‎ 百位数字的和为:(1+3+5)+2+4=108+12+24=144;‎ ‎ 十位数字的和为:(1+3+5)+2+4=108+12+24=144;‎ ‎ 个位数字的和为:(2+4)=144;‎ ‎ ∴所有偶数的和为:144×(1000+100+10+1)=159984。‎ ‎19.已知,n∈N*.‎ ‎ (1) 若,求中含项的系数;‎ ‎ (2) 若是展开式中所有无理项的系数和,数列是各项都大于1的数组成的数列,试用数学归纳法证明:≥(1+)(1+)…(1+).‎ ‎【答案】(1) g(x)中含x2项的系数为C+2C+3C=1+10+45=56.‎ ‎(2) 证明:由题意,pn=2n-1.‎ ‎① 当n=1时,p1(a1+1)=a1+1,成立;[来源:Z,xx,k.Com]‎ ‎② 假设当n=k时,pk(a1a2…ak+1)≥(1+a1)(1+a2)…(1+ak)成立,‎ 当n=k+1时,‎ ‎(1+a1)(1+a2)…(1+ak)(1+ak+1)≤2k-1(a1a2…ak+1)(1+ak+1)‎ ‎=2k-1(a1a2…akak+1+a1a2…ak+ak+1+1).(*)‎ ‎∵ ak>1,a1a2…ak(ak+1-1)≥ak+1-1,即a1a2…akak+1+1≥a1a2…ak+ak+1,‎ 代入(*)式得(1+a1)(1+a2)…(1+ak)(1+ak+1)≤2k(a1a2…akak+1+1)成立.[来源:Z*xx*k.Com]‎ 综合①②可知,pn(a1a2…an+1)≥(1+a1)(1+a2)…(1+an)对任意n∈N*成立.‎ ‎20.2名女生、3名男生排成一排合影留念,针对下列站法,试问:各有多少种不同的站法?‎ ‎⑴2名女生相邻;‎ ‎⑵2名女生不相邻。‎ ‎【答案】⑴;(2)‎ ‎21.从4名男生,3名女生中选出三名代表,(1)不同的选法共有多少种?(2)至少有一名女生的 不同的选法共有多少种?(3)代表中男、女生都要有的不同的选法共有多少种? ‎ ‎【答案】(1)即从7名学生中选出三名代表,共有选法 种;‎ ‎(2)至少有一名女生的不同选法共有 种;‎ ‎(3)男、女生都要有的不同的选法共有 种。‎ ‎22.已知展开式的各项依次记为.‎ 设.‎ ‎(1)若的系数依次成等差数列,求的值;‎ ‎(2)求证:对任意,恒有.‎ ‎【答案】(1)依题意,,‎ 的系数依次为,,,‎ 所以,解得;‎ ‎(2)‎ 设,‎ 则 考虑到,将以上两式相加得:‎ 所以 又当时,恒成立,从而是上的单调递增函数,‎ 所以对任意,.‎